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2024-2025 学年九师联盟高二下学期 5 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = ln2 ，则 ′( ) =( )
A. 1 B. 2 C. 12 D.
1
+ 2
2.对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. 1 < 2 < 0 B. 2 < 1 < 0 C. 2 > 1 > 0 D. 1 > 2 > 0
3.已知 ′( )是函数 ( ) = + + ( , ∈ )的导函数，若 ′(0) = 3，且 ( )在[0,1]上的最大值为 5，
则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 3 + D. 3
4 1.若函数 ( ) = 3 23 ( 2) + 5 存在极值点，则实数 的取值范围为( )
A. ( 2,1) B. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞)
C. [ 2,1] D. ( ∞, 2] ∪ [1, + ∞)
5.若数列{ }满足 1 = 2， +1 = 1，则 2025 =( )
A. 1 B. 12 C. 2 D. 3
6.( 5 2)( 2 2 5 3 ) 的展开式中常数项为( )
A. 80 B. 80 C. 160 D. 160
7.设随机变量 Z~N( ,1), 1函数 f(x)= 3-3 2+Z x 在定义域 R 上是单调递增函数的概率为2,则 P(1< Z≤2)=（）附:
若 Z~N( , 2),则 P( - < Z≤ + )≈0.683,P( -2 < Z≤ +2 )≈0.954.
A. 0.1587 B. 0.1355 C. 0.2718 D. 0.3413
8 .若函数 ( ) = + ( ∈ , 是自然对数的底数)有两个零点，则 的取值范围为( )
A. > 0 B. = 1 2 C. ≥
1 1
D. 0 < <
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有三名男生、两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A.如果两名女生必须相邻，那么有 48 种不同排法
B.如果三名男生均不相邻，那么有 12 种不同排法
C.如果女生不能站在两端，那么有 48 种不同排法
D.如果三名男生不能连排在一起，那么有 108 种不同的排法
10.已知点 ( 0, 2)在抛物线 : 2 = 2 ( > 0)上，过 的焦点 的直线与 相交于 ， 两点， 在 ， 两点
处的切线相交于点 ， 的中点是 ，若| | = 3，则( )
A. 0 = 2 2 B. 的准线方程是 = 1
C.点 1在抛物线 = 22 + 1 上 D.点 在 的准线上
11 ( ) = 2 +1 5.设函数 +2，数列{ }满足 2 = 4， +1 = ( )，则( )
A. +11 = 3 B.数列{ 1 }是等比数列
C. 1 < ≤ 1+
1 1
3 1 D. ( ) + ( ) > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12 .若焦点在 轴上的双曲线 2与双曲线 1: 16 9 = 1 有相同的渐近线，则 2的离心率为 ．
13 2 1 .设两个等差数列{ }、{ }的前 项和分别为 、 ，若对任意正整数 都有 2 8 = 3 +2，则 +4+ 6 3+ 7
的值为 ．
14.若 为自然对数的底数， ( )是定义在 上的函数，且 ( ) + ′( ) < 1， (0) 4 = 0，则不等式 ( ) >
+ 3 的解集为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知各项均不相等的等差数列{ }的前 项和为 ， 2 = 3，且 2， 4， 8成等比数列．
(1)求{ }的通项公式;
(2)若 = 2 ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各 50 个，得到他们加工后的零
件尺寸 (单位： )及个数 ，如下表：
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零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
甲 4 5 20 15 6
零件个数
乙 9 7 15 8 11
已知一等品零件尺寸与 1.03( )的误差不超过 0.01( )，其余零件为二等品．
(1)试根据上述数据建立一个 2 × 2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲、
乙有关
(2)如果从已经抽检出的这 100 个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取 7 个一等品零件，再从这 7
个零件中随机抽取 4 个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用.设乙加工的零件送给商家试用的个数为
随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
2
参考公式： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
参考数据：
= 2 0.10 0.05 0.025
2.706 3.841 5.024
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 = 1 ， ⊥ ， = = 4， 是 的中点， 1 = 1 = 2．
(1)求三棱柱 1 1 1的体积;
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，区间[ , ]是 的子集，若 = ( )的图象上存在两点 ( , ( ))， ( , ( ))，
使直线 恰好是曲线 = ( )的一条切线，且 ， 为切点，记直线 的方程为 = ( )，如果 ∈ [ , ]
都有 ( ) ≥ ( )，则称函数 = ( )是“桥函数”，称 ， 两点为“桥墩”．
(1) ( , 1) ( 3 若 2 ， 2 , 1)，试说明函数 = sin 能否是以 ， 两点为“桥墩”的“桥函数”
(2)判断函数 ( ) = 1 2与 ( ) = + sin 是不是“桥函数” 并说明你的理由．
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19.(本小题 17 分)
3 2 2
已知过点(1, 2 )的椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
1
的离心率为2．
(1)求椭圆 的方程;
(2)已知点 是椭圆 的左顶点，直线 : = + 与椭圆 相交于 ， 两点，且 ， 两点均不与点 重合;
(ⅰ) 12若直线 与圆 2 + 2 = 7相切，证明：以 为直径的圆经过坐标原点;
(ⅱ)若直线 ， 1的斜率之积为 4，证明：直线 过定点，并求出定点的坐标．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.B
8.
9.
10.
11.
12.53
13.1729
14.( ∞,0)
15.解：(1)设数列{ }的公差为 ，则 ≠ 0，
24 = 2 8, ( 1 + 3 )2 = ( 1 + )( 1 + 7 )由 = 3 得 2 + = 3 ,2 1
2 =
化简得 12 1 + = 3
,
因为 ≠ 0，所以 = 1 = 1，
所以 = 1 + ( 1) × 1 = ．
(2)由(1)知 = ，
则 = 2 ，
则 = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + + 2 ，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + 2 +1，
2(1 2 )
两式相减得 = 2 + 22 + 23 + + 2 2 +1 = 2 +11 2 = (1 ) 2
+1 2，
所以 = ( 1) 2 +1 + 2．
16.解：(1)2 × 2 列联表为：
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一等品零件数二等品零件数
甲 40 10 50
乙 30 20 50
合计 70 30 100
2 = 100×(40×20 30×10)
2 100
由列联表得： 70×30×50×50 = 21 > 3.841，
所以有 95%的把握认为加工后零件是否为一等品与甲、乙有关．
(2) 甲 4根据分层抽样的方法，甲乙一等品的零件数之比为： = ，
乙 3
所以抽取出的 7 个一等品零件中，甲加工的 4 个，乙加工的 3 个，
的所有取值为：0，1，2，3，
4
( = 0) = 44 =
1
，
7 35
1 3
( = 1) = 3 4 12
4
=
7 35
，
( = 2) =
2 23 4 = 18
47 35
，
3 1
( = 3) = 3 4 4
4
=
7 35
，
的分布列为：
0 1 2 3
1 12 18 4
35 35 35 35
( ) = 0 × 1 + 1 × 12 + 2 × 18+ 3 × 4 = 1235 35 35 35 7．
17.解：(1)因为 1 = 1 ， 是 的中点，
所以 ⊥ 1 ，同理 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 1 ，
又平面 ∩平面 1 = ，
作 1 ⊥ 交 于点 ，则 1 ⊥底面 ，如图，
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1 就是三棱柱 1 1 1的高，
又 = = 4， ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 4 2 = 1， 2 = 2 2，
又 1 = 2 2 21 = 2，所以 = 1 + 1 ，
所以△ 1
1
是等腰直角三角形，所以 1 = 2 = 2，
1 1
所以三棱柱 1 1 1的体积 = 2 × × 1 = 2 × 4 × 4 × 2 = 8 2．
(2)以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，过点 且与 1 平行的直线为 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，
因为由(1)可得△ 1 是等腰直角三角形， 1 ⊥ ，
所以 是 的中点，则 (0,0,0)， (4,0,0)， (0,4,0)， (2,2,0)， (1,1,0)， 1(1,1, 2)，
1 = ( 3,1, 2)， 1 1 = = ( 4,4,0)， = (4,0,0)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
1 = 3 + + 2 = 0则 ,
= 4 = 0
取 = 2，则 = 0， = 1，所以平面 1的一个法向量 = (0, 2, 1)，

cos < 1 1 ， >=
1 1 4 2 3
|
= = ，
1 1 || | 4 2× 3 3
所以直线 1 1与平面 1所成角的正弦值为
3．
3
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18.解：(1)因为 = sin ， ′ = cos ，
所以函数 = sin 的图象在点 ( 2 , 1)处的切线方程是 + 1 = 0 ( + 2 )，即 = 1，
同理可得函数 = sin 3 的图象在点 ( 2 , 1)处的切线方程也是 = 1，
因此，经过 ， 两点的直线 : = 1 恰好是曲线 = ( )的一条切线，
又因为 sin ≥ 1 对 ∈ [ 2 ,
3
2 ]恒成立，
所以函数 = sin 是以 ， 两点为“桥墩”的“桥函数”．
(2)函数 ( ) = 1 2不是“桥函数”，函数 ( ) = + sin 是“桥函数”，理由如下：
对于函数 ( ) = 1 2，因为 ′( ) = 2 ，
所以由 ′( ) = 2 图象可知，导函数 ′( )在( ∞, + ∞)上是减函数，
所以在函数 ( )的图象上的任意两点 ， 处的切线的斜率都不相同，
不满足“直线 恰好是曲线 = ( )的一条切线，且 ， 为切点”，
所以函数 ( ) = 1 2不是“桥函数”;
对于函数 ( ) = + sin ，我们先在函数 ( )的定义域( ∞, + ∞)上找一个区间[ , ]，
使函数 ( ) = + sin 的图象上经过 ( , ( ))， ( , ( ))两点的直线 恰好是曲线 ( ) = + sin 的一条
切线，且 ， 为切点，
方法一：因为 ( ) = + sin ， ′( ) = 1 + cos ，设 ( 1, 1 + sin 1)， ( 2, 2 + sin 2)， 1 ≠ 2，
则曲线 ( ) = + sin 在 ， 两点处的切线方程分别为 = (1 + cos 1) + sin 1 1cos 1， = (1 +
cos 2) + sin 2 2cos 2，
1 + cos 1 = 1 + cos 令 2sin 1 1cos 1 = sin 2 2cos
,
2
则 cos 2 = cos 1，所以 2 =± 1 + 2 ( ∈ 且 1 ≠ 2)，当 2 = 1 + 2 ，
代入 sin 1 1cos 1 = sin 2 2cos

2，整理得 cos 1 = 0，所以 1 = 2 + ( ∈ )，
3 1 ( 1)
不妨取 1 = 2，则 ( 2 , 2 1)， (
3 , 3 1)， = 2 22 2 3 = 1，
2 (

2)
又函数 ( ) = + sin 3 的图象在 ， 两点处切线的斜率 ′( 2 ) = 1， ′( 2 ) = 1，
这就是说，函数 ( ) = + sin 的图象上过 ( 2 , (
3 3
2 ))， ( 2 , ( 2 ))两点的直线 ，
恰好是曲线 ( ) = + sin 的一条切线，且 ， 为切点，此时，切线 的方程为 = 1．
3 3 3
方法二：在函数 ( )的定义域( ∞, + ∞)上，取区间[ 2 , 2 ]，令 ( 2 , 2 1)， ( 2 , 2 1)，
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3
2 1 (

则 = 2
1)
3 = 1，
2 (

2)
且函数 ( ) = + sin 3 的图象在 ， 两点处切线的斜率 ′( 2 ) = 1， ′( 2 ) = 1，
所以函数 ( ) = + sin 3 3 的图象上过 ( 2 , ( 2 ))， ( 2 , ( 2 ))两点的直线 恰好是曲线 ( ) = +
sin 的一条切线，
且 ， 为切点，此时，切线 的方程为 = 1，
3
再来说明在 2 ≤ ≤ 2时，函数 ( ) = + sin 的图象不在切线 的下方，

即需要说明 + sin ≥ 1 对 2 ≤ ≤
3
2恒成立，
因为对任意实数 ，都有 sin ≥ 1，
+ sin ≥ 1 + sin ≥ 1 ≤ ≤ 3 所以 恒成立，即 对 2 2恒成立，
因此，函数 ( ) = + sin 是“桥函数”．
1
2 +
9
4 2 = 1 2
19.解：(1)由题意得 1 ，解得 = 4
= 2
,
2 = 3
2 = 2 + 2
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
= +
(2)由(1)得，将直线 的方程与椭圆 的方程联立 2 2 ,
4 +

3 = 1
并消去 整理得(3 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
因为直线 与椭圆 有两个交点，
= 64 2 2 4(3 + 4 2)(4 2 12) = 48(4 2 2 + 3) > 0，
8 4 2 ( 12设 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 3+4 2， 1 2 = 3+4 2 ，
2
= ( + )( + ) = 2 + ( + ) + 2 = 2 4 12
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 3+4 2 +
8 2 3 12
3+4 2 + = 3+4 2 ，
( ) 12证明：因为直线 与圆 2 + 2 = 7相切，
所以圆心到直线 | | 12的距离为 = 7，即 7
2 12 2 12 = 0，
1+ 2
4 2 2 + = 12 3 12
2 7 2 12 2 12
于是 1 2 1 2 3+4 2 + 3+4 2 = 3+4 2 = 0，
因为 · = 1 2 + 1 2，
所以 = 0，即 ⊥ ，
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所以以 为直径的圆经过坐标原点．
( )证明：椭圆 的左顶点 的坐标为( 2,0)，
3 2 12 2
所以 = 1 2 = 1 2 3+4 2 1+2 2+2 1 2+2( + )+4
= ，
1 2 4 2 12+ 16 2 2+43+4 3+4
= 3
2 12 2 1
4 2+16 2 16 = 4，
化简得 2 2 2 = 0，所以 = 2 或 = ，
当 = 2 时，直线 的方程为 = + 2 ，即 = ( + 2)，直线 过定点 ( 2,0)，不合题意;
当 = 时，直线 的方程为 = ，即 = ( 1)，直线 过定点(1,0)，
此时 = 48(4 2 2 + 3) = 144( 2 + 1) > 0，满足题意，
综上即证直线 过定点，点的坐标为 1,0 ．
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