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广西壮族自治区梧州市苍梧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题。（本大题12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1．（2024七下·苍梧期末）1的立方根是（　　）
A．1 B． C．0 D．
2．（2024七下·苍梧期末）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．2
3．（2024七下·苍梧期末）近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺.7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·苍梧期末）下列物体运动中，属于平移的是（　　）
A．翻开数学课本 B．升降电梯的上下移动
C．电扇扇叶转动 D．荡秋千运动
5．（2024七下·苍梧期末）下列各数中，能使不等式成立的是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2024七下·苍梧期末）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·苍梧期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·苍梧期末）如图，点A为直线BC外一点，且于点C，，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（　　）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
9．（2024七下·苍梧期末）如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
10．（2024七下·苍梧期末）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·苍梧期末）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中不能判定AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠CBE D．∠C＋∠ADC＝180°
12．（2024七下·苍梧期末）已知，且，，…，则为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024七下·苍梧期末）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是　 　．
14．（2024七下·苍梧期末）分解因式： 　 　.
15．（2024七下·苍梧期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
16．（2024七下·苍梧期末）如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则　 　．
17．（2024七下·苍梧期末）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对　 　道题．
18．（2024七下·苍梧期末）如果是长方形的长和宽，且，，则长方形面积是　 　．
三、解答题（本大题8小题，共72分）
19．（2024七下·苍梧期末）计算：．
20．（2024七下·苍梧期末）分解因式：．
21．（2024七下·苍梧期末）先化简，再求值：，其中．
22．（2024七下·苍梧期末）解方程：
23．（2024七下·苍梧期末）如图，直线相交于点O，过点O作，射线平分，．
求：
（1）的度数；
（2）的度数．
24．（2024七下·苍梧期末）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分，OD平分交DE于点D.

（1）试说明；
（2）若与互余，试说明.
25．（2024七下·苍梧期末）2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学，已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．
（1）求两种书籍的单价分别为多少元？
（2）学校实际购买对，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售。若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共8本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
26．（2024七下·苍梧期末）【综合实践】
（1）【探究】
如图1，已知直线，点A在MN上，点C在PQ上，点E在两平行线之间，则∠　 　＋∠　 　；
（2）【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接AD，BC；其中AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，，．求∠AEC的度数；
（3）在（2）的条件下，将线段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求∠AEC的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：1的立方根是1，
故答案为：A．
【分析】利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵负数小于正数，负数小于零，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴
∴四个数中最小的数是，
故答案为：C．
【分析】根据负数小于正数，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可求解．
4．【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、翻开数学课本不满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，故A不符合题意；
B、升降电梯的上下移动满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动， 故B符合题意；
C、电扇扇叶转动不满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动， 故C不符合题意；
D、荡秋千运动不满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项判断即可解答.
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项得：，
系数化为1得：．
观察四个选项，能使x＜4成立的是3．
故答案为：D．
【分析】
本题考查了解一元一次不等式．熟知解一元一次不等式的步骤是解题关键.
解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据将诶一元一次不等式的步骤，通过移项、系数化为1的步骤解出x的范围，根据x的取值范围，依次判断各个选项即可．
6．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，
该不等式组为，
故答案为：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间，实心圆点含等号，空心圆点不含等号，解答即可．
7．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；去括号法则及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、 ，故选项B错误；
C、 ，故选项C正确；
D、 ，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】根据去括号、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，逐项判定即可.
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵点为直线外一点，且于点，
∴，
∴线段长不可能是3.5.
故答案为：A．
【分析】利用垂线段最短得到，即可得到答案．
9．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】】
解：如图：
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】
利用平行线的性质可得，再根据垂线的定义可得，从而可得，结合 最后进行计算即可解答．
10．【答案】C
【知识点】分式的乘除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：C．
【分析】
根据分式的乘除法首先将分子分解因式得，再利用分式的乘法法则计算即可解答．
11．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠3，∴AB∥DC，故选项A符合题意；
B、∵∠2=∠4，∴AD∥BC，故选项B不符合题意；
C、∵∠A=∠CBE，∴AD∥BC，故选项C不符合题意；
D、∵∠C+∠ADC=180°，∴AD∥BC，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行、同位角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行逐项判断即可求解.
12．【答案】B
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
循环周期为3，
，
．
故答案为：C．
【分析】先根据分式的混合运算的运算顺序计算出，得出其循环周期为3，进而得出，即可得到答案.
13．【答案】0
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：一个数的平方根与立方根相同，
这个数为0．
故答案为：0．
【分析】
由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数为0．
14．【答案】（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案是：（x-2y）（x+2y）.
【分析】直接根据平方差公式进行分解.
15．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得≠0，解得，
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
16．【答案】1
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： 由平移的性质可得
∵
∴．
故答案为：1
【分析】
根据平移的性质： 平移变换不会改变图形的大小和形状，因此平移前后对应边的长度是相等的；且对应点之间连线的长度就是平移的距离；即可得到 ；再利用线段的和差计算即可.
17．【答案】12
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最小值为12，即这个队至少答对12道题．
故答案为：12．
【分析】设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，根据“ 八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上） ”列出不等式，再求解即可.
18．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 解：（a+b）2=16， （a-b）2=4，
（a+b）2-（a-b）2=4ab=12，
ab=3，
长方形面积是3.
故答案为：3.
【分析】两式做差即可求解.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
20．【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提取公因式y，再利用完全平方公式进行因式分解即可.
21．【答案】解：，
，
，
，
把代入中得：.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
22．【答案】解：，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解．

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】
根据分式方程的解法：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后求解即可，最后进行检验，即可解答．
23．【答案】（1）解：∵射线平分，，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
24．【答案】（1）解：因为平分，平分
所以，.
因为，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以
因为与互余，
所以，
所以，
所以.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】（1）利用角平分线定义求出，，根据邻补角的性质即可求出的值，从而求出∠COD度数，证明OC⊥OD.
（2）利用第一问的结果结合与互余， 可推出，根据内错角相等，两直线平行即可推出.
25．【答案】（1）解：设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元．
由题意得：，解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴
答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元．
（2）解：设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，
由题意得：，解得：
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出分式方程，解方程并检验即可；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，由题意列出不等式，求解即可得到答案．
26．【答案】（1）NAE；ECQ
（2）解：如下图，过点E作
∵，∴
∵，∴，
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线
∴，
∵，，∴，
∴
（3）解：如图，过点E作，∴
∵，∴，
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线
∴，
∵，，∴，
∴
【知识点】平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解∶（1）如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为∶，；
【分析】（1）过点E作，根据平行公理得，利用平行线的性质求解即可；
（2）过点E作，利用平行线的性质得，
由角平分线的定义得出、，利用平行线的性质即可得出答案；
（3）过点E作，，利用平行线的性质结合角平分线的定义得出，由，计算求解即可．
1 / 1广西壮族自治区梧州市苍梧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题。（本大题12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1．（2024七下·苍梧期末）1的立方根是（　　）
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：1的立方根是1，
故答案为：A．
【分析】利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
2．（2024七下·苍梧期末）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵负数小于正数，负数小于零，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴
∴四个数中最小的数是，
故答案为：C．
【分析】根据负数小于正数，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解．
3．（2024七下·苍梧期末）近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺.7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可求解．
4．（2024七下·苍梧期末）下列物体运动中，属于平移的是（　　）
A．翻开数学课本 B．升降电梯的上下移动
C．电扇扇叶转动 D．荡秋千运动
【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、翻开数学课本不满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，故A不符合题意；
B、升降电梯的上下移动满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动， 故B符合题意；
C、电扇扇叶转动不满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动， 故C不符合题意；
D、荡秋千运动不满足图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项判断即可解答.
5．（2024七下·苍梧期末）下列各数中，能使不等式成立的是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项得：，
系数化为1得：．
观察四个选项，能使x＜4成立的是3．
故答案为：D．
【分析】
本题考查了解一元一次不等式．熟知解一元一次不等式的步骤是解题关键.
解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据将诶一元一次不等式的步骤，通过移项、系数化为1的步骤解出x的范围，根据x的取值范围，依次判断各个选项即可．
6．（2024七下·苍梧期末）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，
该不等式组为，
故答案为：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间，实心圆点含等号，空心圆点不含等号，解答即可．
7．（2024七下·苍梧期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；去括号法则及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、 ，故选项B错误；
C、 ，故选项C正确；
D、 ，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】根据去括号、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，逐项判定即可.
8．（2024七下·苍梧期末）如图，点A为直线BC外一点，且于点C，，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（　　）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵点为直线外一点，且于点，
∴，
∴线段长不可能是3.5.
故答案为：A．
【分析】利用垂线段最短得到，即可得到答案．
9．（2024七下·苍梧期末）如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】】
解：如图：
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】
利用平行线的性质可得，再根据垂线的定义可得，从而可得，结合 最后进行计算即可解答．
10．（2024七下·苍梧期末）化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：C．
【分析】
根据分式的乘除法首先将分子分解因式得，再利用分式的乘法法则计算即可解答．
11．（2024七下·苍梧期末）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中不能判定AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠CBE D．∠C＋∠ADC＝180°
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠3，∴AB∥DC，故选项A符合题意；
B、∵∠2=∠4，∴AD∥BC，故选项B不符合题意；
C、∵∠A=∠CBE，∴AD∥BC，故选项C不符合题意；
D、∵∠C+∠ADC=180°，∴AD∥BC，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行、同位角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行逐项判断即可求解.
12．（2024七下·苍梧期末）已知，且，，…，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
循环周期为3，
，
．
故答案为：C．
【分析】先根据分式的混合运算的运算顺序计算出，得出其循环周期为3，进而得出，即可得到答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024七下·苍梧期末）如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是　 　．
【答案】0
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：一个数的平方根与立方根相同，
这个数为0．
故答案为：0．
【分析】
由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数为0．
14．（2024七下·苍梧期末）分解因式： 　 　.
【答案】（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案是：（x-2y）（x+2y）.
【分析】直接根据平方差公式进行分解.
15．（2024七下·苍梧期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得≠0，解得，
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
16．（2024七下·苍梧期末）如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则　 　．
【答案】1
【知识点】平移的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： 由平移的性质可得
∵
∴．
故答案为：1
【分析】
根据平移的性质： 平移变换不会改变图形的大小和形状，因此平移前后对应边的长度是相等的；且对应点之间连线的长度就是平移的距离；即可得到 ；再利用线段的和差计算即可.
17．（2024七下·苍梧期末）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对　 　道题．
【答案】12
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最小值为12，即这个队至少答对12道题．
故答案为：12．
【分析】设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，根据“ 八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上） ”列出不等式，再求解即可.
18．（2024七下·苍梧期末）如果是长方形的长和宽，且，，则长方形面积是　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 解：（a+b）2=16， （a-b）2=4，
（a+b）2-（a-b）2=4ab=12，
ab=3，
长方形面积是3.
故答案为：3.
【分析】两式做差即可求解.
三、解答题（本大题8小题，共72分）
19．（2024七下·苍梧期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
20．（2024七下·苍梧期末）分解因式：．
【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提取公因式y，再利用完全平方公式进行因式分解即可.
21．（2024七下·苍梧期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
，
，
把代入中得：.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
22．（2024七下·苍梧期末）解方程：
【答案】解：，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解．

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】
根据分式方程的解法：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，然后求解即可，最后进行检验，即可解答．
23．（2024七下·苍梧期末）如图，直线相交于点O，过点O作，射线平分，．
求：
（1）的度数；
（2）的度数．
【答案】（1）解：∵射线平分，，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
24．（2024七下·苍梧期末）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分，OD平分交DE于点D.

（1）试说明；
（2）若与互余，试说明.
【答案】（1）解：因为平分，平分
所以，.
因为，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以
因为与互余，
所以，
所以，
所以.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】（1）利用角平分线定义求出，，根据邻补角的性质即可求出的值，从而求出∠COD度数，证明OC⊥OD.
（2）利用第一问的结果结合与互余， 可推出，根据内错角相等，两直线平行即可推出.
25．（2024七下·苍梧期末）2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学，已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．
（1）求两种书籍的单价分别为多少元？
（2）学校实际购买对，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售。若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共8本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
【答案】（1）解：设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元．
由题意得：，解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴
答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元．
（2）解：设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，
由题意得：，解得：
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出分式方程，解方程并检验即可；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，由题意列出不等式，求解即可得到答案．
26．（2024七下·苍梧期末）【综合实践】
（1）【探究】
如图1，已知直线，点A在MN上，点C在PQ上，点E在两平行线之间，则∠　 　＋∠　 　；
（2）【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接AD，BC；其中AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，，．求∠AEC的度数；
（3）在（2）的条件下，将线段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求∠AEC的度数．
【答案】（1）NAE；ECQ
（2）解：如下图，过点E作
∵，∴
∵，∴，
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线
∴，
∵，，∴，
∴
（3）解：如图，过点E作，∴
∵，∴，
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线
∴，
∵，，∴，
∴
【知识点】平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解∶（1）如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为∶，；
【分析】（1）过点E作，根据平行公理得，利用平行线的性质求解即可；
（2）过点E作，利用平行线的性质得，
由角平分线的定义得出、，利用平行线的性质即可得出答案；
（3）过点E作，，利用平行线的性质结合角平分线的定义得出，由，计算求解即可．
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