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广西壮族自治区贵港市平南县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·平南期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（　　）
A．惊蛰 B．芒种
C．立秋 D．大雪
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.
2．（2024八下·平南期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（　　）
A．6，8，12 B．0.1，0.2，0.3
C．3，4，5 D．2，3，5
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵62+82≠122，
∴ 6，8，12不 能作为直角三角形三边长，故不符合题意；
B、∵0.12+0.22≠0.32，
∴ 0.1，0.2，0.3不 能作为直角三角形三边长，故不符合题意；
C、A、∵32+42=52，
∴ 3，4，5能作为直角三角形三边长，故符合题意；
D、∵22+32≠52，
∴ 2，3，5 不能作为直角三角形三边长，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
3．（2024八下·平南期末）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为（　　）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到y轴的距离为=4.
故答案为：A.
【分析】 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此解答即可.
4．（2024八下·平南期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，，则的度数是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，∠BCA=90°，
∵∠A=20°，
∴∠DCA=∠A=20°，
∴∠BCD=∠BCA-∠DCA=90°-20°=70°.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD，由等边对等角可得∠DCA=∠A=20°，根据
∠BCD=∠BCA-∠DCA即可求解.
5．（2024八下·平南期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是七边形，
故答案为：C．
【分析】设这个多边形是n边形，根据“ 这个多边形分为5个三角形 ”列出方程，再求解即可.
6．（2024八下·平南期末）某班50名学生在一次数学测试中不及格人数的频率是0.1，则及格的同学有（　　）
A．5位 B．40位 C．45位 D．30位
【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：50×（1-0.1）=50×0.9=45（位），
答： 及格的同学有45位.
故答案为：C.
【分析】先求出及格人数的频率，再乘以学生人数即得结论.
7．（2024八下·平南期末）如图，在□ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=4，AC=6，
∴6-4＜AC＜4+6，即2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∴2＜2AO＜10，
∴1＜AO＜5，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系可得2＜AC＜10，由平行四边形的性质可得AC=2OA，可得2＜2AO＜10，继而得解.
8．（2024八下·平南期末）如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE=14米，则A，B间的距离是（　　）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D和E分别为AO和OB的中点
∴DE为三角形OAB的中位线
∴AB=2DE=2×14=28
故答案为：C.
【分析】根据题意，可知DE为三角形的中位线，由中位线定理即可得到AB的长度。
9．（2024八下·平南期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是线段DE上的一点，连接AF，BF，，且，，则EF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABF中， ，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=AB=3，
∵ D，E分别是边AB，AC的中点 ，BC=10，
∴DE=BC=5，
∴EF=DE-DF=5-3=2.
故答案为：A.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得DF=AB=3，再利用三角形中位线定理可得DE=BC=5，根据EF=DE-DF即可求解.
10．（2024八下·平南期末）直线上有三个点，，．则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： 直线中，k＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵-2.4＜-1.5＜1.3，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由直线，k=1＞0，则y随x的增大而增大，据此解答即可.
11．（2024八下·平南期末）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
12．（2024八下·平南期末）如图，在Rt△ABC中，，，，P为边BC上一动点，于点E，于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A． B． C． D．1.5
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ∵，，，
∴BC==5，
∵，，，
∴四边形AEPF为矩形，
∴AP=EF，
∵， M为EF的中点 ，
∴AM=EF=AP，
若AP值最小时，则AM的值就最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，
此时△ABC面积=BC·AP=AB·AC，即5AP=3×4，
∴AP=，
∴ AM的最小值为AP=.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理求出BC=5，易证四边形AEPF为矩形，可得AP=EF，利用直角三角形斜边中线的性质可得AM=EF=AP，若AP值最小时，则AM的值就最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC的面积可求出AP的最小值，继而得出AM的最小值.
13．（2024八下·平南期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，且比大50°，则　 　°．
【答案】70
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图形可知：∠1+∠2+90°=180°，
∴∠1=90°-∠2，
由题意知：∠2=∠1-50°，
∴∠1=90°-（∠1-50°），
∴∠1=70°.
故答案为：70.
【分析】由由图形可知∠1=90°-∠2，由“比大50°”可得∠2=∠1-50°，据此解答即可.
14．（2024八下·平南期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为　 　米．
【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知：BC=4米，∠A=30°，
∴AB=2BC=8米，
∴ 这棵树在折断前的高度为AB+BC=8+4=12米.
故答案为：12.
【分析】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此求出AB，利用AB+BC即可求解.
15．（2024八下·平南期末）若点在y轴上，则　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： ∵点在y轴上 ，
∴-3a-4=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】y轴上点的横坐标为0，据此解答即可.
16．（2024八下·平南期末）如图，晓岚同学统计了她家5月份的长途电话明细清单，按通话时间画出频数分布直方图，则从图中的信息可知，她家通话时间不足10分钟的有　 　次．
【答案】43
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由图中信息可知：她家通话时间不足10分钟的有25+18=43次.
故答案为：43.
【分析】根据频数分布直方图中数据直接求解即可.
17．（2024八下·平南期末）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则72g该种液体的体积为　 　．
【答案】80
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当20≤V≤120时，设液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积的关系为m=kv+b（k≠0），
则，解得，
∴m=0.9v+140，
当m=140+72时，140+72=0.9v+140，
∴v=80（）.
【分析】利用待定系数法求出当20≤V≤120时函数解析式为m=0.9v+140，再把m=140+72代入求出v即可.
18．（2024八下·平南期末）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：根据翻滚方式可知：点A1坐标为（5，0）；
点A2坐标为（5，0）；
点A3坐标为（7，2）；
点A4坐标为（12，3）；
点A5坐标为（15，0）；
点A6坐标为（15，0）；
点A7坐标为（17，2）；
点A8坐标为（22，3）；
······，
由此可知：每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且纵坐标按0，0，2，3循环出现，
由2024÷4=506，
∴12+10×（506-1）=5062，
∴ 点的坐标为.
故答案为：.
【分析】根据所给的运动方式，一次求出点A对应点的坐标，据此找出规律：每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且纵坐标按0，0，2，3循环出现，据此即可求解.
19．（2024八下·平南期末） 如图，C为AD的中点，过点C的线段，且．
求证：．
【答案】证明：∵C为AD的中点，
∴．
∵，∴．
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
∵
∴，
∴，∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；内错角相等，两直线平行
20．（2024八下·平南期末）如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．
【答案】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA1＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝ ，
答：弯折点B与地面的距离为 米．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据 ∠BCA1＝90° ，利用勾股定理进行求解即可作答。
21．（2024八下·平南期末） 在平面直角坐标系中，△ABC如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标：（ ▲ ），（ ▲ ），（ ▲ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为　 　；
（3）在x轴上画点P，使最大．（不写作法）
【答案】（1）解：如图，即为所求；
，，．
（2）
（3）解：如图，延长AB交x轴于一点，即为点P.
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）由图可知
∴，，．
故答案为：（-1，2）（-3，1）（-4，3）.
（2）△ABC的面积=2×3-×3×1-×2×1-×2×1=.
故答案为：.
【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于y轴的对称的点A1，B1，C1，再顺次连接即得，根据位置分别写出坐标即可；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（3）延长AB交x轴于一点，即为点P，此时最大.
22．（2024八下·平南期末） 土壤的酸碱度由土壤中氢离子和氢氧根离子的相对浓度决定，通常采用pH值来表示土壤的酸碱度．土壤的酸碱度对植物生长的“量”和“质”均有重要影响，某生物课题研究小组以“土壤酸碱度与小麦幼苗生长”为课题开展试验．将若干株相同的小麦幼苗随机均分为9组，分别种植在pH值为4，4.5，5，5.5，6，6.5，7，7.5，8九个梯度的土壤中，经过40多天培育，观察后记录数据，整理并绘制了如下不完整的统计图表：
的土壤中小麦幼苗生长高度频数分布表
组别 小麦高度/cm 频数 频率
A 29.5~30.5 12 0.1250
B 30.5~31.5 　 0.2500
C 31.5~32.5 36 0.3750
D 32.5~33.5 　 　
E 33.5~34.5 6 0.0625
的土壤中小麦幼苗生长高度频数直方图
九个梯度的土壤中小麦幼苗生长的平均高度统计表
土壤酸碱度pH值 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
小麦幼苗生长平均高度/cm 22 24 27 28 30 　 29 30 25
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）若将的土壤中小麦幼苗生长高度按A组每株30cm，B组每株31cm，C组每株32cm，D组每株33cm，E组每株34cm计算，则小麦幼苗生长的平均高度约为多少？（结果精确到1cm）
（3）请根据试验数据写出一条合理的试验结论．
【答案】（1）解：总数有（株）．
B组有（株），
D组有（株）．
补全频数分布直方图如下：
（2）解：．
答：的土壤中小麦幼苗生长的平均高度约为32cm．
（3）解：土壤pH值在6~7.5时，小麦幼苗的长势较好；无论土壤pH过大还是过小，对小麦幼苗的生长高度都有很大的影响等．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【分析】（1）根据A的频数和频率求出总数，利用B组的频率求出其频数，用总数减去A、B、C、E的频数，即得D组频数，然后补图即可；
（2）利用加权平均数公式计算即可；
（3）合理即可，答案不唯一.
23．（2024八下·平南期末） 实践与探究
[问题发现]直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？
丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：
（1）[观察发现]
①观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图1所示的Rt△ABC中，，CD是斜边AB上中线．请根据图1证明你的猜想．
②根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线的性质．
（2）[拓展应用]如图2，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．若，求Rt△ABC面积的最小值．
【答案】（1）解：①猜想：．
证明：如图1，延长CD至点E，使，连接BE．
在△BDE和△ADC中，
∵
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在△CBE和△BCA中，
∵
∴，
∴，∴．
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：如图2，由垂线段最短知：AB边上中线长．
∵，
∴，当D为AB的中点时，即Rt△ABC为等腰直角三角形时，面积最小为．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
24．（2024八下·平南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．
（1）求m的值和直线的解析式；
（2）设直线，分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把代入，得，解得．
∴．
把代入，得，解得．
∴直线的解析式为．
（2）解：当时，，则；
当时，，则．
∴△ABC的面积．
（3）解：当时，，解得，
∴直线与x轴的交点坐标为．
由图可知，不等式的解集为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）把代入中求出m值，即得A（-2，1），把点A坐标代入代入可求出k值，即得直线的解析式；
（2）先求出B、C坐标，再利用三角形面积公式计算即可；
（3）先求出直线与x轴的交点坐标为，由图象可知：当时 直线在直线的下方，且均在x轴上方，据此即得结论.
25．（2024八下·平南期末）2024年4月18日上午10时08分，华为Pura70系列正式开售，华为Pura70Ultra和Pura70Pro已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验．某营业厅现有A，B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
（1）A，B两种型号的手机每部利润各是多少元？
（2）某营业厅再次购进A，B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元．
根据题意，得
解得
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元．
（2）解：设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机部．
根据题意，得，
即．
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，
∴，解得．
∵，∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（部）．
答：营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时能获得最大利润，最大利润是5600元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元．根据“ 售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元”列出方程组并解之即可；
（2）设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机部．根据总利润=单价利润×销售量，可列出W关于x的函数解析式，由“ B型手机的数量不超过A型手机数量的 ”求出x范围，再利用一次函数的性质求解即可.
26．（2024八下·平南期末） 在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接FA，FB．
（1）如图1，若△ABF是等边三角形，则　 　°。
（2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM．
①求∠MFH的度数；
②用等式表示线段MB，MD，AB之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）15
（2）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵点C关于直线BE的对称点为点F，
∴，，
∴．
设，
∴，，
∴．
②解：数量关系为：，
理由如下：
如图，过点A作交BM于点N，连接BD．
∵，∴，
∴，，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
1 / 1广西壮族自治区贵港市平南县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·平南期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（　　）
A．惊蛰 B．芒种
C．立秋 D．大雪
2．（2024八下·平南期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（　　）
A．6，8，12 B．0.1，0.2，0.3
C．3，4，5 D．2，3，5
3．（2024八下·平南期末）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为（　　）
A．4 B． C．3 D．
4．（2024八下·平南期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，，则的度数是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．70°
5．（2024八下·平南期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．（2024八下·平南期末）某班50名学生在一次数学测试中不及格人数的频率是0.1，则及格的同学有（　　）
A．5位 B．40位 C．45位 D．30位
7．（2024八下·平南期末）如图，在□ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·平南期末）如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE=14米，则A，B间的距离是（　　）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
9．（2024八下·平南期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是线段DE上的一点，连接AF，BF，，且，，则EF的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024八下·平南期末）直线上有三个点，，．则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·平南期末）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024八下·平南期末）如图，在Rt△ABC中，，，，P为边BC上一动点，于点E，于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A． B． C． D．1.5
13．（2024八下·平南期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，且比大50°，则　 　°．
14．（2024八下·平南期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为　 　米．
15．（2024八下·平南期末）若点在y轴上，则　 　．
16．（2024八下·平南期末）如图，晓岚同学统计了她家5月份的长途电话明细清单，按通话时间画出频数分布直方图，则从图中的信息可知，她家通话时间不足10分钟的有　 　次．
17．（2024八下·平南期末）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则72g该种液体的体积为　 　．
18．（2024八下·平南期末）如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为　 　．
19．（2024八下·平南期末） 如图，C为AD的中点，过点C的线段，且．
求证：．
20．（2024八下·平南期末）如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．
21．（2024八下·平南期末） 在平面直角坐标系中，△ABC如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标：（ ▲ ），（ ▲ ），（ ▲ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为　 　；
（3）在x轴上画点P，使最大．（不写作法）
22．（2024八下·平南期末） 土壤的酸碱度由土壤中氢离子和氢氧根离子的相对浓度决定，通常采用pH值来表示土壤的酸碱度．土壤的酸碱度对植物生长的“量”和“质”均有重要影响，某生物课题研究小组以“土壤酸碱度与小麦幼苗生长”为课题开展试验．将若干株相同的小麦幼苗随机均分为9组，分别种植在pH值为4，4.5，5，5.5，6，6.5，7，7.5，8九个梯度的土壤中，经过40多天培育，观察后记录数据，整理并绘制了如下不完整的统计图表：
的土壤中小麦幼苗生长高度频数分布表
组别 小麦高度/cm 频数 频率
A 29.5~30.5 12 0.1250
B 30.5~31.5 　 0.2500
C 31.5~32.5 36 0.3750
D 32.5~33.5 　 　
E 33.5~34.5 6 0.0625
的土壤中小麦幼苗生长高度频数直方图
九个梯度的土壤中小麦幼苗生长的平均高度统计表
土壤酸碱度pH值 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
小麦幼苗生长平均高度/cm 22 24 27 28 30 　 29 30 25
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）若将的土壤中小麦幼苗生长高度按A组每株30cm，B组每株31cm，C组每株32cm，D组每株33cm，E组每株34cm计算，则小麦幼苗生长的平均高度约为多少？（结果精确到1cm）
（3）请根据试验数据写出一条合理的试验结论．
23．（2024八下·平南期末） 实践与探究
[问题发现]直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？
丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：
（1）[观察发现]
①观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图1所示的Rt△ABC中，，CD是斜边AB上中线．请根据图1证明你的猜想．
②根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线的性质．
（2）[拓展应用]如图2，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．若，求Rt△ABC面积的最小值．
24．（2024八下·平南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．
（1）求m的值和直线的解析式；
（2）设直线，分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式的解集．
25．（2024八下·平南期末）2024年4月18日上午10时08分，华为Pura70系列正式开售，华为Pura70Ultra和Pura70Pro已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验．某营业厅现有A，B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
（1）A，B两种型号的手机每部利润各是多少元？
（2）某营业厅再次购进A，B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
26．（2024八下·平南期末） 在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接FA，FB．
（1）如图1，若△ABF是等边三角形，则　 　°。
（2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM．
①求∠MFH的度数；
②用等式表示线段MB，MD，AB之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵62+82≠122，
∴ 6，8，12不 能作为直角三角形三边长，故不符合题意；
B、∵0.12+0.22≠0.32，
∴ 0.1，0.2，0.3不 能作为直角三角形三边长，故不符合题意；
C、A、∵32+42=52，
∴ 3，4，5能作为直角三角形三边长，故符合题意；
D、∵22+32≠52，
∴ 2，3，5 不能作为直角三角形三边长，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
3．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到y轴的距离为=4.
故答案为：A.
【分析】 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，∠BCA=90°，
∵∠A=20°，
∴∠DCA=∠A=20°，
∴∠BCD=∠BCA-∠DCA=90°-20°=70°.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD，由等边对等角可得∠DCA=∠A=20°，根据
∠BCD=∠BCA-∠DCA即可求解.
5．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是七边形，
故答案为：C．
【分析】设这个多边形是n边形，根据“ 这个多边形分为5个三角形 ”列出方程，再求解即可.
6．【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：50×（1-0.1）=50×0.9=45（位），
答： 及格的同学有45位.
故答案为：C.
【分析】先求出及格人数的频率，再乘以学生人数即得结论.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=4，AC=6，
∴6-4＜AC＜4+6，即2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∴2＜2AO＜10，
∴1＜AO＜5，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系可得2＜AC＜10，由平行四边形的性质可得AC=2OA，可得2＜2AO＜10，继而得解.
8．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D和E分别为AO和OB的中点
∴DE为三角形OAB的中位线
∴AB=2DE=2×14=28
故答案为：C.
【分析】根据题意，可知DE为三角形的中位线，由中位线定理即可得到AB的长度。
9．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABF中， ，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=AB=3，
∵ D，E分别是边AB，AC的中点 ，BC=10，
∴DE=BC=5，
∴EF=DE-DF=5-3=2.
故答案为：A.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得DF=AB=3，再利用三角形中位线定理可得DE=BC=5，根据EF=DE-DF即可求解.
10．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： 直线中，k＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵-2.4＜-1.5＜1.3，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由直线，k=1＞0，则y随x的增大而增大，据此解答即可.
11．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
12．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ∵，，，
∴BC==5，
∵，，，
∴四边形AEPF为矩形，
∴AP=EF，
∵， M为EF的中点 ，
∴AM=EF=AP，
若AP值最小时，则AM的值就最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，
此时△ABC面积=BC·AP=AB·AC，即5AP=3×4，
∴AP=，
∴ AM的最小值为AP=.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理求出BC=5，易证四边形AEPF为矩形，可得AP=EF，利用直角三角形斜边中线的性质可得AM=EF=AP，若AP值最小时，则AM的值就最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC的面积可求出AP的最小值，继而得出AM的最小值.
13．【答案】70
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图形可知：∠1+∠2+90°=180°，
∴∠1=90°-∠2，
由题意知：∠2=∠1-50°，
∴∠1=90°-（∠1-50°），
∴∠1=70°.
故答案为：70.
【分析】由由图形可知∠1=90°-∠2，由“比大50°”可得∠2=∠1-50°，据此解答即可.
14．【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知：BC=4米，∠A=30°，
∴AB=2BC=8米，
∴ 这棵树在折断前的高度为AB+BC=8+4=12米.
故答案为：12.
【分析】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此求出AB，利用AB+BC即可求解.
15．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： ∵点在y轴上 ，
∴-3a-4=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】y轴上点的横坐标为0，据此解答即可.
16．【答案】43
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由图中信息可知：她家通话时间不足10分钟的有25+18=43次.
故答案为：43.
【分析】根据频数分布直方图中数据直接求解即可.
17．【答案】80
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当20≤V≤120时，设液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积的关系为m=kv+b（k≠0），
则，解得，
∴m=0.9v+140，
当m=140+72时，140+72=0.9v+140，
∴v=80（）.
【分析】利用待定系数法求出当20≤V≤120时函数解析式为m=0.9v+140，再把m=140+72代入求出v即可.
18．【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：根据翻滚方式可知：点A1坐标为（5，0）；
点A2坐标为（5，0）；
点A3坐标为（7，2）；
点A4坐标为（12，3）；
点A5坐标为（15，0）；
点A6坐标为（15，0）；
点A7坐标为（17，2）；
点A8坐标为（22，3）；
······，
由此可知：每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且纵坐标按0，0，2，3循环出现，
由2024÷4=506，
∴12+10×（506-1）=5062，
∴ 点的坐标为.
故答案为：.
【分析】根据所给的运动方式，一次求出点A对应点的坐标，据此找出规律：每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且纵坐标按0，0，2，3循环出现，据此即可求解.
19．【答案】证明：∵C为AD的中点，
∴．
∵，∴．
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
∵
∴，
∴，∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；内错角相等，两直线平行
20．【答案】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA1＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝ ，
答：弯折点B与地面的距离为 米．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据 ∠BCA1＝90° ，利用勾股定理进行求解即可作答。
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
，，．
（2）
（3）解：如图，延长AB交x轴于一点，即为点P.
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）由图可知
∴，，．
故答案为：（-1，2）（-3，1）（-4，3）.
（2）△ABC的面积=2×3-×3×1-×2×1-×2×1=.
故答案为：.
【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于y轴的对称的点A1，B1，C1，再顺次连接即得，根据位置分别写出坐标即可；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（3）延长AB交x轴于一点，即为点P，此时最大.
22．【答案】（1）解：总数有（株）．
B组有（株），
D组有（株）．
补全频数分布直方图如下：
（2）解：．
答：的土壤中小麦幼苗生长的平均高度约为32cm．
（3）解：土壤pH值在6~7.5时，小麦幼苗的长势较好；无论土壤pH过大还是过小，对小麦幼苗的生长高度都有很大的影响等．
【知识点】频数（率）分布直方图；统计表；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【分析】（1）根据A的频数和频率求出总数，利用B组的频率求出其频数，用总数减去A、B、C、E的频数，即得D组频数，然后补图即可；
（2）利用加权平均数公式计算即可；
（3）合理即可，答案不唯一.
23．【答案】（1）解：①猜想：．
证明：如图1，延长CD至点E，使，连接BE．
在△BDE和△ADC中，
∵
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在△CBE和△BCA中，
∵
∴，
∴，∴．
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：如图2，由垂线段最短知：AB边上中线长．
∵，
∴，当D为AB的中点时，即Rt△ABC为等腰直角三角形时，面积最小为．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
24．【答案】（1）解：把代入，得，解得．
∴．
把代入，得，解得．
∴直线的解析式为．
（2）解：当时，，则；
当时，，则．
∴△ABC的面积．
（3）解：当时，，解得，
∴直线与x轴的交点坐标为．
由图可知，不等式的解集为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）把代入中求出m值，即得A（-2，1），把点A坐标代入代入可求出k值，即得直线的解析式；
（2）先求出B、C坐标，再利用三角形面积公式计算即可；
（3）先求出直线与x轴的交点坐标为，由图象可知：当时 直线在直线的下方，且均在x轴上方，据此即得结论.
25．【答案】（1）解：设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元．
根据题意，得
解得
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元．
（2）解：设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机部．
根据题意，得，
即．
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，
∴，解得．
∵，∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（部）．
答：营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时能获得最大利润，最大利润是5600元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元．根据“ 售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元”列出方程组并解之即可；
（2）设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机部．根据总利润=单价利润×销售量，可列出W关于x的函数解析式，由“ B型手机的数量不超过A型手机数量的 ”求出x范围，再利用一次函数的性质求解即可.
26．【答案】（1）15
（2）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵点C关于直线BE的对称点为点F，
∴，，
∴．
设，
∴，，
∴．
②解：数量关系为：，
理由如下：
如图，过点A作交BM于点N，连接BD．
∵，∴，
∴，，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
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