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广西壮族自治区来宾市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024八下·来宾期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·来宾期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·来宾期末）国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·来宾期末）函数的图象一定经过下列四个点中的（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·来宾期末）有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（　　）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
6．（2024八下·来宾期末）如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·来宾期末）直线经过的象限是（　　）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
8．（2024八下·来宾期末）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，．测得，则两处的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·来宾期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点，若，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·来宾期末）端午节假期，小强与家人自驾车去青秀山游玩然后返回家中，小强与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　）
A．小强全家去青秀山时的平均速度为
B．小强全家停车游玩了4.5小时
C．小强全家返回时的平均速度为
D．小强全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时
11．（2024八下·来宾期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　）
A．64 B．81 C．169 D．225
12．（2024八下·来宾期末）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题．（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024八下·来宾期末）在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（2024八下·来宾期末）某校对200名女生的身高进行了测量，身高在这一小组的频率为0.25，则该组共有　 　名女生．
15．（2024八下·来宾期末）中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为　 　．
16．（2024八下·来宾期末）如图，在正方形外侧，作等边，则　 　．
17．（2024八下·来宾期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方问以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为　 　海里．
18．（2024八下·来宾期末）如图，已知平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为　 　．
三、解答题．（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024八下·来宾期末） 计算：．
20．（2024八下·来宾期末） 如图，在四边形中，已知，．求的度数．
21．（2024八下·来宾期末） 如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是．
（1）画出关于轴成轴对称的图形，并写出的坐标；
（2）求的面积．
22．（2024八下·来宾期末） 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）抽样的人数是　 　人，扇形中　 　；
（2）求抽样中组的人数，并补全频数分布直方图；
（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为满分，那么该校2160名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有多少人？
23．（2024八下·来宾期末） 如图，在中，，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
24．（2024八下·来宾期末） 今年的6月16日，恰逢是父亲节，小明帮爸爸分担一些家务，小明在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究：小明经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如表：
杯子的个数（个） 1 2 3 4 5
杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
（1）根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式；
（2）请根据你所探究出的规律，帮助小明算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里．
25．（2024八下·来宾期末） 如图，在中，，过点的直线为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当在中点时，求证：四边形是菱形．
26．（2024八下·来宾期末） 每年6月，正是广西芒果飘香的季节，某果商计划租用若干辆货车装运桂七和台农两种芒果共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种芒果，且必须装满．已知每辆货车可装桂七4吨或台农6吨，桂七每吨获利1200元，台农每吨获利1500元，请解决下列问题．
（1）设装运桂七的货车有辆，装运台农的货车有辆，请用含的代数式来表示；
（2）写出总利润（元）与（辆）之间的函数关系式；
（3）若装运桂七的货车的辆数不得少于装运台农的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能组成直角三角形，A符合题意；
B、 ，不能组成直角三角形，B不符合题意；
C、 ，不能组成直角三角形，C不符合题意；
D、 ，不能组成直角三角形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意对选项逐一判断即可求解.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，对比选项只有B符合题意，
故答案为：B
【分析】根据第四象限的点的特征（横坐标为正，纵坐标为负）结合题意对选项逐一判断即可求解.
3．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，A不符合题意；
当时，，B不符合题意；
当时，，C不符合题意；
当时，，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解.
5．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由题意得，
∴应分6组，
故答案为：C
【分析】根据分组要注意包含最大值、最小值，且起始值和结束值均要比最大值要大一些，比最小值要小一些，结合题意即可求解.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵矩形中，；
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】先根据矩形的性质结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据角平分线的定义得到，再结合题意即可得到，从而即可求出∠BAE得到度数，再根据三角形内角和定理即可求解.
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k＞0，b＜0，
∴一次函数经过第一、三、四象限，
故答案为：A
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系结合题意即可求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵和的中点，，，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE=144m，
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理结合题意即可得到AB=2DE，从而即可求解.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，，，
∴，．
∴，
∴B符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和即可得到，，，进而即可得到，根据勾股定理求出BD和CD，从而即可得到BC，再对比选项即可求解.
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A． 小明全家去翠湖时的平均速度为，A不符合题意；
B． 小明全家停车游玩了小时，B不符合题意；
C． 小明全家返回时的平均速度为，C不符合题意；
D． 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为或小时，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数的图象得到小明去翠湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，进而根据根据速度=路程÷时间可判断A、C；再结合题意根据小明全家在出发1.5小时后到达阳屏湖，在出发6小时后离开翠湖即可判断B；小明全家出发后，距家90千米有离家和回家过程中两个时间，进而结合题意判断D．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如图所示：
则，，
∵小正方形的面积为，
解得或（舍去），
∴，
∴大正方形的面积．
故答案为：C．
【分析】设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，则，，根据小正方形的面积结合题意即可得到b的值，从而即可计算大正方形的面积。
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形为菱形，
，，，，，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的性质得到，，，，，进而即可得到，，再根据勾股定理求出OB，从而即可得到BD，根据题意等量代换即可求出AH.
13．【答案】x≥1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
14．【答案】50
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得200×0.25=50，
故答案为：50
【分析】根据题意用总数乘频率即可求解.
15．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形的外角和为，正五边形的每一个外角都相等，
∴它的一个外角的度数为，
故答案为：．
【分析】利用“一个外角的度数=360°÷边数”列出算式求解即可.
16．【答案】75°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵在正方形外侧，作等边，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据正方形的性质结合等边三角形的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意进行角的运算得到，从而得到∠ABE的度数，再根据即可求解.
17．【答案】20
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：由题意得，（海里），（海里），
∴是直角三角形，
由勾股定理得（海里）
∴M岛与N岛之间的距离为20海里．
故答案为：
【分析】由题意得，（海里），（海里），进而根据勾股定理求出MN，从而即可求解.
18．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
过作于点，如图所示：
∵平分，
，
∵点是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：6
【分析】先根据角平分线的定义得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到PD，过作于点，根据角平分线的性质的得到，从而根据垂线段最短即可求解.
19．【答案】解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；开立方（求立方根）
20．【答案】解：，
在中，
，
，
，
是直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得到AC的长度，进而根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，从而得到∠ACD的度数，再根据即可求解.
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：的面积
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据作图-轴对称画出点A'和B'，进而依次连接即可得到，再读出点的坐标即可求解；
（2）根据三角形的面积（割补法）结合题意即可求解.
22．【答案】（1）60；84
（2）解：抽样中组人数为：
（人），
补全图形如下：
（3）解：（人），
答：该校2160名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有756人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽样总人数为：（人）；
B组对应的扇形的圆心角为：
∴；
故答案为：60；84；
【分析】（1）根据A组的人数和其占的百分比即可求出总人数，进而运用圆心角的计算公式即可求解；
（2）先用总人数减去其余人数即可得到D组的人数，进而补全直方图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解.
23．【答案】（1）证明：为延长线上一点
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知：，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据垂直结合题意得到，进而根据直角三角形全等的判定即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意得到∠BAE的度数，再根据三角形全等的性质得到，从而根据即可求解.
24．【答案】（1）解：描点，连线，如图所示：
由函数图象可得，和满足一次函数关系，
设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：
，
解得，
答：关于的函数表达式为；
（2）解：若这摞纸杯可以放进柜子，
则，
解得，，
应为正整数，
的最大值为21，
答：他最多可以将21个杯子放入橱柜里．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据题意描点连线，进而根据一次函数的图象结合题意运用待定系数法即可求出其解析式；
（2）根据题意即可列出n的不等式，进而即可得到n的取值，再结合题意即可求解.
25．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，四边形是平行四边形，
，
为中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直结合题意等量代换得到，再根据平行线的判定结合题意即可得到，，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）由（1）知，四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，从而结合题意根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而根据菱形的判定即可求解.
26．【答案】（1）解：由题意可得，
，
则；
（2）解：由题意可得，
，
答：总利润（元）与（辆）之间的函数关系式是；
（3）解：装运桂七的货车的辆数不得少于装运台农的货车的辆数，
，
，
解得，
由（2）知：，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
答：安排6辆车拉桂七，6辆车拉台农才能获得最大利润，最大利润是82800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-调运问题
【解析】【分析】（1）根据“用若干辆货车装运桂七和台农两种芒果共60吨去外地销售，每辆货车可装桂七4吨或台农6吨”即可列出二元一次方程，从而变换即可求解；
（2）根据（1）中y与x的关系式，结合题意即可得到W与x的一次函数关系式；
（3）先根据题意求出x的取值范围，进而根据（2）中的关系式结合一次函数的性质即可求出最值.
1 / 1广西壮族自治区来宾市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024八下·来宾期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能组成直角三角形，A符合题意；
B、 ，不能组成直角三角形，B不符合题意；
C、 ，不能组成直角三角形，C不符合题意；
D、 ，不能组成直角三角形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意对选项逐一判断即可求解.
2．（2024八下·来宾期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意得第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，对比选项只有B符合题意，
故答案为：B
【分析】根据第四象限的点的特征（横坐标为正，纵坐标为负）结合题意对选项逐一判断即可求解.
3．（2024八下·来宾期末）国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
4．（2024八下·来宾期末）函数的图象一定经过下列四个点中的（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，A不符合题意；
当时，，B不符合题意；
当时，，C不符合题意；
当时，，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解.
5．（2024八下·来宾期末）有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（　　）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由题意得，
∴应分6组，
故答案为：C
【分析】根据分组要注意包含最大值、最小值，且起始值和结束值均要比最大值要大一些，比最小值要小一些，结合题意即可求解.
6．（2024八下·来宾期末）如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵矩形中，；
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】先根据矩形的性质结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据角平分线的定义得到，再结合题意即可得到，从而即可求出∠BAE得到度数，再根据三角形内角和定理即可求解.
7．（2024八下·来宾期末）直线经过的象限是（　　）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k＞0，b＜0，
∴一次函数经过第一、三、四象限，
故答案为：A
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系结合题意即可求解.
8．（2024八下·来宾期末）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，．测得，则两处的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵和的中点，，，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE=144m，
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理结合题意即可得到AB=2DE，从而即可求解.
9．（2024八下·来宾期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点，若，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，，，
∴，．
∴，
∴B符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和即可得到，，，进而即可得到，根据勾股定理求出BD和CD，从而即可得到BC，再对比选项即可求解.
10．（2024八下·来宾期末）端午节假期，小强与家人自驾车去青秀山游玩然后返回家中，小强与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（　　）
A．小强全家去青秀山时的平均速度为
B．小强全家停车游玩了4.5小时
C．小强全家返回时的平均速度为
D．小强全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A． 小明全家去翠湖时的平均速度为，A不符合题意；
B． 小明全家停车游玩了小时，B不符合题意；
C． 小明全家返回时的平均速度为，C不符合题意；
D． 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为或小时，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数的图象得到小明去翠湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，进而根据根据速度=路程÷时间可判断A、C；再结合题意根据小明全家在出发1.5小时后到达阳屏湖，在出发6小时后离开翠湖即可判断B；小明全家出发后，距家90千米有离家和回家过程中两个时间，进而结合题意判断D．
11．（2024八下·来宾期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　）
A．64 B．81 C．169 D．225
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如图所示：
则，，
∵小正方形的面积为，
解得或（舍去），
∴，
∴大正方形的面积．
故答案为：C．
【分析】设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，则，，根据小正方形的面积结合题意即可得到b的值，从而即可计算大正方形的面积。
12．（2024八下·来宾期末）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形为菱形，
，，，，，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的性质得到，，，，，进而即可得到，，再根据勾股定理求出OB，从而即可得到BD，根据题意等量代换即可求出AH.
二、填空题．（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024八下·来宾期末）在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
14．（2024八下·来宾期末）某校对200名女生的身高进行了测量，身高在这一小组的频率为0.25，则该组共有　 　名女生．
【答案】50
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得200×0.25=50，
故答案为：50
【分析】根据题意用总数乘频率即可求解.
15．（2024八下·来宾期末）中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形的外角和为，正五边形的每一个外角都相等，
∴它的一个外角的度数为，
故答案为：．
【分析】利用“一个外角的度数=360°÷边数”列出算式求解即可.
16．（2024八下·来宾期末）如图，在正方形外侧，作等边，则　 　．
【答案】75°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵在正方形外侧，作等边，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据正方形的性质结合等边三角形的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意进行角的运算得到，从而得到∠ABE的度数，再根据即可求解.
17．（2024八下·来宾期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方问以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为　 　海里．
【答案】20
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：由题意得，（海里），（海里），
∴是直角三角形，
由勾股定理得（海里）
∴M岛与N岛之间的距离为20海里．
故答案为：
【分析】由题意得，（海里），（海里），进而根据勾股定理求出MN，从而即可求解.
18．（2024八下·来宾期末）如图，已知平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
过作于点，如图所示：
∵平分，
，
∵点是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：6
【分析】先根据角平分线的定义得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可得到PD，过作于点，根据角平分线的性质的得到，从而根据垂线段最短即可求解.
三、解答题．（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024八下·来宾期末） 计算：．
【答案】解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；开立方（求立方根）
20．（2024八下·来宾期末） 如图，在四边形中，已知，．求的度数．
【答案】解：，
在中，
，
，
，
是直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得到AC的长度，进而根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，从而得到∠ACD的度数，再根据即可求解.
21．（2024八下·来宾期末） 如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是．
（1）画出关于轴成轴对称的图形，并写出的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：的面积
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据作图-轴对称画出点A'和B'，进而依次连接即可得到，再读出点的坐标即可求解；
（2）根据三角形的面积（割补法）结合题意即可求解.
22．（2024八下·来宾期末） 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）抽样的人数是　 　人，扇形中　 　；
（2）求抽样中组的人数，并补全频数分布直方图；
（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为满分，那么该校2160名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有多少人？
【答案】（1）60；84
（2）解：抽样中组人数为：
（人），
补全图形如下：
（3）解：（人），
答：该校2160名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有756人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽样总人数为：（人）；
B组对应的扇形的圆心角为：
∴；
故答案为：60；84；
【分析】（1）根据A组的人数和其占的百分比即可求出总人数，进而运用圆心角的计算公式即可求解；
（2）先用总人数减去其余人数即可得到D组的人数，进而补全直方图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解.
23．（2024八下·来宾期末） 如图，在中，，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：为延长线上一点
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知：，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据垂直结合题意得到，进而根据直角三角形全等的判定即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意得到∠BAE的度数，再根据三角形全等的性质得到，从而根据即可求解.
24．（2024八下·来宾期末） 今年的6月16日，恰逢是父亲节，小明帮爸爸分担一些家务，小明在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究：小明经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如表：
杯子的个数（个） 1 2 3 4 5
杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
（1）根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式；
（2）请根据你所探究出的规律，帮助小明算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里．
【答案】（1）解：描点，连线，如图所示：
由函数图象可得，和满足一次函数关系，
设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：
，
解得，
答：关于的函数表达式为；
（2）解：若这摞纸杯可以放进柜子，
则，
解得，，
应为正整数，
的最大值为21，
答：他最多可以将21个杯子放入橱柜里．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据题意描点连线，进而根据一次函数的图象结合题意运用待定系数法即可求出其解析式；
（2）根据题意即可列出n的不等式，进而即可得到n的取值，再结合题意即可求解.
25．（2024八下·来宾期末） 如图，在中，，过点的直线为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当在中点时，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，四边形是平行四边形，
，
为中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直结合题意等量代换得到，再根据平行线的判定结合题意即可得到，，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）由（1）知，四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，从而结合题意根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而根据菱形的判定即可求解.
26．（2024八下·来宾期末） 每年6月，正是广西芒果飘香的季节，某果商计划租用若干辆货车装运桂七和台农两种芒果共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种芒果，且必须装满．已知每辆货车可装桂七4吨或台农6吨，桂七每吨获利1200元，台农每吨获利1500元，请解决下列问题．
（1）设装运桂七的货车有辆，装运台农的货车有辆，请用含的代数式来表示；
（2）写出总利润（元）与（辆）之间的函数关系式；
（3）若装运桂七的货车的辆数不得少于装运台农的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】（1）解：由题意可得，
，
则；
（2）解：由题意可得，
，
答：总利润（元）与（辆）之间的函数关系式是；
（3）解：装运桂七的货车的辆数不得少于装运台农的货车的辆数，
，
，
解得，
由（2）知：，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
答：安排6辆车拉桂七，6辆车拉台农才能获得最大利润，最大利润是82800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-调运问题
【解析】【分析】（1）根据“用若干辆货车装运桂七和台农两种芒果共60吨去外地销售，每辆货车可装桂七4吨或台农6吨”即可列出二元一次方程，从而变换即可求解；
（2）根据（1）中y与x的关系式，结合题意即可得到W与x的一次函数关系式；
（3）先根据题意求出x的取值范围，进而根据（2）中的关系式结合一次函数的性质即可求出最值.
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