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广西壮族自治区柳州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．（2024八下·柳州期末）下列式子一定是二次根式是(　　)
A． B． C．37 D．
2．（2024八下·柳州期末）函数的图象经过的象限是(　　)
A．第一三象限 B．第一二象限 C．第二三象限 D．第二四象限
3．（2024八下·柳州期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·柳州期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　)
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
5．（2024八下·柳州期末）如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（　　）
A．10 B．3 C．5 D．4
6．（2024八下·柳州期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
7．（2024八下·柳州期末）下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2024八下·柳州期末）点在一次函数的图象上，则a的值为(　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·柳州期末）若函数和函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·柳州期末）如图，函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若点P为线段上一动点，过P分别作轴于点E，轴于点F，则线段的最小值为(　　)
A．2 B． C．1 D．
二、填空题
11．（2024八下·柳州期末）要使代数式有意义，则的取值范围是 　 　。
12．（2024八下·柳州期末）柳州市2024年5月底天气开始炎热，5月最后一周的最高温度(单位：℃)情况为：29、31、29、24、23、29、32，则这组数据的众数是：　 　.
13．（2024八下·柳州期末）将一次函数的图象向上平移2个单位长度后所对应的函数解析式为　 　.
14．（2024八下·柳州期末）菱形的对角线长分别为6，9，则这个菱形的面积是　 　.
15．（2024八下·柳州期末）经过原点和点（2，1）的直线表达式为　 　．
16．（2024八下·柳州期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.若，AB=5，则的周长是　 　.
三、解答题
17．（2024八下·柳州期末）计算：.
18．（2024八下·柳州期末）如图，在四边形中，，，，，求的长.
19．（2024八下·柳州期末）广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a.配送速度得分：
甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
c.配送速度和服务质量得分统计表：
统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
b.服务质量得分统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　 　；　 　(填“”“=”或“”).
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由.
20．（2024八下·柳州期末）《国务院关于印发全民健身计划（2021－2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客举行夏日大回馈活动，特推出两种“夏季唤醒计划”活动方案．
方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费40元．
方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费15元．
设小宇一年内来此健身中心健身的次数为x（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）．
（1）请直接写出，与x之间的函数关系式．
（2）当小宇一年内来此健身中心健身的次数在什么范围时，选择方案2所需费用较少？并说明理由．
21．（2024八下·柳州期末）八年级11班的同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得的长度为8米；(注：BE⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米，求风筝的高度.
22．（2024八下·柳州期末）直线.与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作，于点A，且点C在第一象限内，在第一象限内有一点，使.
（1）求点A、B、C三点的坐标
（2）求t的值.
23．（2024八下·柳州期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.
（1）折一折、猜想计算：
如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕.
如图②：将正方形纸片沿经过点A的直线折叠，使点D落在上的点N处，展开后连接，，
图②中，△AND为　 　三角形，线段　 　；
（2）折一折、类比探究：如图③将正方形纸片折叠，使点D落点F处，折痕与边交于点M，与边交于点N，展开后连接.
①猜想线段与线段之间的关系　 　；
②CM=　 　；
（3）折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片内部的点N处，折痕与边交于点M，展开后延长交于点G.
猜想BG与的数量关系并证明；若，则_▲_.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】二次根式的被开方数为非负数，故A、D不符合，而C为整数，不符合题意；x2≥0，故一定是二次根式.
答案：B.
【分析】直接由二次根式的特点进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】函数y=2x过原点，且y随x的增大而增大，故函数过一、三象限.
答案：A.
【分析】直接由y=2x的性质进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得出，将代入求出的度数.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A选项，12+12=()2，能构造直角三角形；
B选项，42+52>62，故不能构造直角三角形；
C选项，52+122=132<232，故不能构成直角三角形；
D选项，62+82=102>112，故不能构造直角三角形；
答案：A.
【分析】直接计算两较小边的平方和与最长边的平方对照即可判断能否构成直角三角形.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，点D为斜边上的中点，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的除法法则，二次根式的减法法则，二次根式的性质计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将点(a，-1)代入函数得-1=-2a+1得a=1
答案：C.
【分析】直接将点代入函数解析式即可得a的值.
9．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵由图象可得函数和函数的图象的交点坐标为(1，2)，
当x>1时，函数的图象在函数图象上方，
∴不等式ax>bx+c的解集为x>1，即的解集为x>1，
故答案为：D．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】连接OP，由PF⊥y轴，PE⊥x轴，得PEOF为矩形，
由矩形的性质知OP=EF，当OP⊥AB于OP取最小值，
对函数y=x+2，令x=0得y=2，得B(0，2)，令y=0，得x=-2，得A(-2，0)，AB=
由等面积法知，AB边上的高h=，OP的最小值为，即EF的最小值为
答案：B.
【分析】由矩形的性质知OP=EF，当OP⊥AB时取最小值，由等面积法即可知AB边上的高.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 要使代数式有意义，
∴x-2≥0，
即x≥2.
故答案为：x≥2.
【分析】根据代数式有意义的条件为a≥0，得到代数式有意义的条件为x-2≥0，解不等式即可得到答案。
12．【答案】29
【知识点】众数
【解析】【解答】观察数据知29度有3次，故众数为29
答案：29.
【分析】直接观察数据即可得众数.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】由平移的规则知向上平移2个单位得到函数y=3x+1+2，即y=3x+3
答案：y=3x+3
【分析】直接由函数平移的规则求解即可.
14．【答案】27
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】由菱形的面积公式知S=
答案：27
【分析】对角线乘积的一半即可菱形的面积.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵直线过原点，
∴设直线表达式为：，
又∵直线过（2，1），
∴，
解得：，
∴表达式为：
故答案为：.
【分析】根据直线过原点，确定该直线呈正比例的形式，再根据待定系数法，将（2，1）代入表达式中，即可求解.
16．【答案】14
【知识点】勾股定理；完全平方式
【解析】【解答】由勾股定理知AC2+BC2=AB2，而S半1+S半2==S半ACB，于是S1+S2=S△ABC，即S△ABC=14，设BC=a，AC=b，即有a2+b2=15，，得ab=28即，故a+b=9，△ABC的周长为9+5=14.
答案：14.
【分析】由勾股定理知S1+S2与△ABC的面积相等，再根据完全平方与平方和之间的联系即可得两直角边的和，即可得△ABC的周长.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：在中，，，，
根据勾股定理，得
，
.
，，
，
又，
四边形为平行四边形.
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理得AD的和长，即可得BC的长.
19．【答案】（1）7.5；＜
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)由甲的数据知m=，由统计图知甲比乙的数据更稳定，故<；【分析】(1)由数据知甲乙的中位数为7和8的平均值，而甲的数据更稳定，得<；
(2)比较甲乙数据的平均值和方差，选择甲公司更合理.
20．【答案】（1）解：，
（2）解：当时，选择方案2所需费用较少
解，得，
即：当小宇一年内来此健身中心健身的次数大于8次时，选择方案2所需费用较少
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：，，
∴，与x之间的函数关系式分别为：，.
【分析】（1）根据两种方案列函数解析式求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再解不等式即可。
21．【答案】解：由题意得：，，，，
，
风筝的高.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由已知得DE=AB=1.6m，由勾股定理得CD=15m，即可得CE的高度.
22．【答案】（1）解：令代入中，
∴，
∴，
令代入中，
∴，
∴，
过点C作轴于点D，
∵，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵在第一象限内有一点，使，
∴，
设直线为，
代入C的坐标得，，解得，
∴直线为，
点代入得，，
∴t的值为13.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)对函数，分别令x=0，y=0求出点A、B的坐标，由一线三角得，即可得点C的坐标；
(2)点P在过点C且与AB平行的直线上，设CP的解析式为，将点P代入即可得t的值.
23．【答案】（1）等边；
（2）垂直、相等；3
（3）证明：连接，
由折叠性质可知，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，，，
∴由勾股定理得，
∴解得：，
∴.
∴.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】(1)由折叠的性质知E为AD的中点，且NE⊥AD，故NA=ND；
同时AD=AN，故AN=ND=AD，故△AND为等边三角形；
由勾股定理得NE=，而EF=8，故NF=8-4；
(2)由对称知D、F关于MN对称，故DF⊥MN
过点M作MG⊥AB于点G，
∵MN⊥DF
∴∠GMN+∠DMN=90°，
∵∠DMN+∠MDF=90°
∴∠GMN=∠CDF
∵GM=BC，BC=CD
∴GM=CD
又∵∠MGN=∠DCF
∴△CDF≌△GMN
∴MN=DF
【分析】(1)结合折叠的性质和三线合一可得△ADN为等边三角形，由勾股定理得EN的长即可得NF的长；
(2)由折叠的性质知DF⊥MN，利用垂直关系可得全等的条件，证△CDF≌△GMN即可得DF=MN；
(3)由折叠的性质可得△ABG≌△ABG，设BG=x，利用勾股定理可得x的值，即可得△CMG的面积.
1 / 1广西壮族自治区柳州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．（2024八下·柳州期末）下列式子一定是二次根式是(　　)
A． B． C．37 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】二次根式的被开方数为非负数，故A、D不符合，而C为整数，不符合题意；x2≥0，故一定是二次根式.
答案：B.
【分析】直接由二次根式的特点进行判断即可.
2．（2024八下·柳州期末）函数的图象经过的象限是(　　)
A．第一三象限 B．第一二象限 C．第二三象限 D．第二四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】函数y=2x过原点，且y随x的增大而增大，故函数过一、三象限.
答案：A.
【分析】直接由y=2x的性质进行判断即可.
3．（2024八下·柳州期末）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得出，将代入求出的度数.
4．（2024八下·柳州期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　)
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A选项，12+12=()2，能构造直角三角形；
B选项，42+52>62，故不能构造直角三角形；
C选项，52+122=132<232，故不能构成直角三角形；
D选项，62+82=102>112，故不能构造直角三角形；
答案：A.
【分析】直接计算两较小边的平方和与最长边的平方对照即可判断能否构成直角三角形.
5．（2024八下·柳州期末）如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（　　）
A．10 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，点D为斜边上的中点，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）分析求解即可.
6．（2024八下·柳州期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．（2024八下·柳州期末）下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的除法法则，二次根式的减法法则，二次根式的性质计算求解即可。
8．（2024八下·柳州期末）点在一次函数的图象上，则a的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将点(a，-1)代入函数得-1=-2a+1得a=1
答案：C.
【分析】直接将点代入函数解析式即可得a的值.
9．（2024八下·柳州期末）若函数和函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵由图象可得函数和函数的图象的交点坐标为(1，2)，
当x>1时，函数的图象在函数图象上方，
∴不等式ax>bx+c的解集为x>1，即的解集为x>1，
故答案为：D．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
10．（2024八下·柳州期末）如图，函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若点P为线段上一动点，过P分别作轴于点E，轴于点F，则线段的最小值为(　　)
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】连接OP，由PF⊥y轴，PE⊥x轴，得PEOF为矩形，
由矩形的性质知OP=EF，当OP⊥AB于OP取最小值，
对函数y=x+2，令x=0得y=2，得B(0，2)，令y=0，得x=-2，得A(-2，0)，AB=
由等面积法知，AB边上的高h=，OP的最小值为，即EF的最小值为
答案：B.
【分析】由矩形的性质知OP=EF，当OP⊥AB时取最小值，由等面积法即可知AB边上的高.
二、填空题
11．（2024八下·柳州期末）要使代数式有意义，则的取值范围是 　 　。
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 要使代数式有意义，
∴x-2≥0，
即x≥2.
故答案为：x≥2.
【分析】根据代数式有意义的条件为a≥0，得到代数式有意义的条件为x-2≥0，解不等式即可得到答案。
12．（2024八下·柳州期末）柳州市2024年5月底天气开始炎热，5月最后一周的最高温度(单位：℃)情况为：29、31、29、24、23、29、32，则这组数据的众数是：　 　.
【答案】29
【知识点】众数
【解析】【解答】观察数据知29度有3次，故众数为29
答案：29.
【分析】直接观察数据即可得众数.
13．（2024八下·柳州期末）将一次函数的图象向上平移2个单位长度后所对应的函数解析式为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】由平移的规则知向上平移2个单位得到函数y=3x+1+2，即y=3x+3
答案：y=3x+3
【分析】直接由函数平移的规则求解即可.
14．（2024八下·柳州期末）菱形的对角线长分别为6，9，则这个菱形的面积是　 　.
【答案】27
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】由菱形的面积公式知S=
答案：27
【分析】对角线乘积的一半即可菱形的面积.
15．（2024八下·柳州期末）经过原点和点（2，1）的直线表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵直线过原点，
∴设直线表达式为：，
又∵直线过（2，1），
∴，
解得：，
∴表达式为：
故答案为：.
【分析】根据直线过原点，确定该直线呈正比例的形式，再根据待定系数法，将（2，1）代入表达式中，即可求解.
16．（2024八下·柳州期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.若，AB=5，则的周长是　 　.
【答案】14
【知识点】勾股定理；完全平方式
【解析】【解答】由勾股定理知AC2+BC2=AB2，而S半1+S半2==S半ACB，于是S1+S2=S△ABC，即S△ABC=14，设BC=a，AC=b，即有a2+b2=15，，得ab=28即，故a+b=9，△ABC的周长为9+5=14.
答案：14.
【分析】由勾股定理知S1+S2与△ABC的面积相等，再根据完全平方与平方和之间的联系即可得两直角边的和，即可得△ABC的周长.
三、解答题
17．（2024八下·柳州期末）计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.
18．（2024八下·柳州期末）如图，在四边形中，，，，，求的长.
【答案】解：在中，，，，
根据勾股定理，得
，
.
，，
，
又，
四边形为平行四边形.
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理得AD的和长，即可得BC的长.
19．（2024八下·柳州期末）广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a.配送速度得分：
甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
c.配送速度和服务质量得分统计表：
统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
b.服务质量得分统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　 　；　 　(填“”“=”或“”).
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由.
【答案】（1）7.5；＜
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)由甲的数据知m=，由统计图知甲比乙的数据更稳定，故<；【分析】(1)由数据知甲乙的中位数为7和8的平均值，而甲的数据更稳定，得<；
(2)比较甲乙数据的平均值和方差，选择甲公司更合理.
20．（2024八下·柳州期末）《国务院关于印发全民健身计划（2021－2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客举行夏日大回馈活动，特推出两种“夏季唤醒计划”活动方案．
方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费40元．
方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费15元．
设小宇一年内来此健身中心健身的次数为x（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）．
（1）请直接写出，与x之间的函数关系式．
（2）当小宇一年内来此健身中心健身的次数在什么范围时，选择方案2所需费用较少？并说明理由．
【答案】（1）解：，
（2）解：当时，选择方案2所需费用较少
解，得，
即：当小宇一年内来此健身中心健身的次数大于8次时，选择方案2所需费用较少
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：，，
∴，与x之间的函数关系式分别为：，.
【分析】（1）根据两种方案列函数解析式求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再解不等式即可。
21．（2024八下·柳州期末）八年级11班的同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得的长度为8米；(注：BE⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米，求风筝的高度.
【答案】解：由题意得：，，，，
，
风筝的高.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由已知得DE=AB=1.6m，由勾股定理得CD=15m，即可得CE的高度.
22．（2024八下·柳州期末）直线.与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作，于点A，且点C在第一象限内，在第一象限内有一点，使.
（1）求点A、B、C三点的坐标
（2）求t的值.
【答案】（1）解：令代入中，
∴，
∴，
令代入中，
∴，
∴，
过点C作轴于点D，
∵，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵在第一象限内有一点，使，
∴，
设直线为，
代入C的坐标得，，解得，
∴直线为，
点代入得，，
∴t的值为13.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)对函数，分别令x=0，y=0求出点A、B的坐标，由一线三角得，即可得点C的坐标；
(2)点P在过点C且与AB平行的直线上，设CP的解析式为，将点P代入即可得t的值.
23．（2024八下·柳州期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.
（1）折一折、猜想计算：
如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕.
如图②：将正方形纸片沿经过点A的直线折叠，使点D落在上的点N处，展开后连接，，
图②中，△AND为　 　三角形，线段　 　；
（2）折一折、类比探究：如图③将正方形纸片折叠，使点D落点F处，折痕与边交于点M，与边交于点N，展开后连接.
①猜想线段与线段之间的关系　 　；
②CM=　 　；
（3）折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片内部的点N处，折痕与边交于点M，展开后延长交于点G.
猜想BG与的数量关系并证明；若，则_▲_.
【答案】（1）等边；
（2）垂直、相等；3
（3）证明：连接，
由折叠性质可知，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，，，
∴由勾股定理得，
∴解得：，
∴.
∴.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】(1)由折叠的性质知E为AD的中点，且NE⊥AD，故NA=ND；
同时AD=AN，故AN=ND=AD，故△AND为等边三角形；
由勾股定理得NE=，而EF=8，故NF=8-4；
(2)由对称知D、F关于MN对称，故DF⊥MN
过点M作MG⊥AB于点G，
∵MN⊥DF
∴∠GMN+∠DMN=90°，
∵∠DMN+∠MDF=90°
∴∠GMN=∠CDF
∵GM=BC，BC=CD
∴GM=CD
又∵∠MGN=∠DCF
∴△CDF≌△GMN
∴MN=DF
【分析】(1)结合折叠的性质和三线合一可得△ADN为等边三角形，由勾股定理得EN的长即可得NF的长；
(2)由折叠的性质知DF⊥MN，利用垂直关系可得全等的条件，证△CDF≌△GMN即可得DF=MN；
(3)由折叠的性质可得△ABG≌△ABG，设BG=x，利用勾股定理可得x的值，即可得△CMG的面积.
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