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广西贵港市桂平市2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·桂平期末）已知：点的坐标为，则点所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024八下·桂平期末）下面图形中，是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2024八下·桂平期末）我们把每一组数的频数与数据总数的比叫作这一组数据的频率（relative frequency）．在“relative”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·桂平期末）由线段，，组成的三角形是直角三角形的是(　　)
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2024八下·桂平期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·桂平期末）一个n边形的内角和为720°，则n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024八下·桂平期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·桂平期末）将直线向上平移个单位，可得到直线(　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·桂平期末）如图，在矩形中，，，平分交于点，点F，G分别是，的中点，则的长为(　　)
A． B．B. C． D．
10．（2024八下·桂平期末）下列判断错误的是(　　)
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．同旁内角互补
11．（2024八下·桂平期末）某星期日上午：，小星从家匀速步行到附近的图书馆，看完书后他匀速跑步回家，已知跑步的速度是步行速度的倍，如图表示小星离家的距离千米与所用的时间分钟之间的关系，下列说法正确的是(　　)
A．小星在图书馆看书的时间是分钟
B．小星家与图书馆的距离为千米
C．小星的步行速度是千米小时
D．小星回到家的时刻是上午：
12．（2024八下·桂平期末）如图，在正方形中，，与相交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13．（2024八下·桂平期末）分解因式： 　 　.
14．（2024八下·桂平期末）正比例函数的图象经过点，则　 　．
15．（2024八下·桂平期末）在中，是斜边的中点，若，则的长是　 　．
16．（2024八下·桂平期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是　 　．
17．（2024八下·桂平期末） 在“探索一次函数 的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，2)，B(2，3)，C(3，1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别计算k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于　 　.
18．（2024八下·桂平期末）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（2024八下·桂平期末）计算：．
20．（2024八下·桂平期末）已知．
（1）化简；
（2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值．
21．（2024八下·桂平期末）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移个单位．再向下平移个单位，它的像是．
（1）请画出，并直接写出点的坐标；
（2）外有一点经过同样的平移后得到点，直接写出点的坐标；
（3）连接线段，，则这两条线段之间的关系是　 　．
22．（2024八下·桂平期末） 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
23．（2024八下·桂平期末）已知：如图，在 中，点，分别为、的中点，是对角线，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
24．（2024八下·桂平期末）某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下．
视力 频数人 频率
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为　 　，的值为　 　．
（2）将频数直方图补充完整；
（3）甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在以上含均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．
25．（2024八下·桂平期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
26．（2024八下·桂平期末）综合与实践
（1）【模型探索】如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为　 　；
（2）【模型应用】如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度；
（3）【迁移应用】如图，正方形的边长为，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点若，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点的坐标为，
∴点在第二象限.
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，第一象限坐标符号为正正，第二象限坐标符号为负正，第三象限坐标符号为负负，第四象限坐标符号为正负；据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 不是中心对称图形，故不符合题意；
B、 不是中心对称图形， 故不符合题意；
C、是中心对称图形， 故符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.
3．【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在“relative”中，字母“e”出现2次，共有8个字母，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：A．
【分析】根据频率公式计算可得答案．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故不符合题意；
B、∵42+32=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故不符合题意；
D、∵62+82≠112，
∴以6，8，11为边不能组成直角三角形，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
5．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点关于轴对称的点的坐标为（-5，-3） .
故答案为：C.
【分析】关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n-2） 180=720，
解得n=6.
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2） 180°进行解答即可.
7．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、B、D选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，
只有C选项对于x的每一个确定的值，可能会有两个y与之对应，不符合函数的定义．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将直线向上平移个单位，可得到直线y=2x-1+4，即y=2x+3；
故答案为：A.
【分析】直线的平移规律：左加右减变自变量，上加下减变常数项.
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接DE，
在矩形中， AB∥CD，AD=BC=3，∠A=90°
∴∠BEC=∠DCE，
∵平分，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC=3，
∴AE=AB -BE=5-3=2，
∴DE==，
∵ 点，G分别是，的中点，
∴GF=DE=.
故答案为：D.
【分析】连接DE，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BEC=∠BCE，可得BE=BC=3，可求
AE=AB -BE=2，由勾股定理求DE=，再利用三角形中位线定理即可求解.
10．【答案】D
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，∴A正确，不符合题意；
B、∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，∴B正确，不符合题意；
C、∵对顶角相等，∴C正确，不符合题意；
D、∵两直线平行，同旁内角互补，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质及平行线的性质逐项分析判断即可.
11．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知： 小星家与图书馆的距离为2千米，小星在图书馆看书的时间是70-30=40（分钟） ，故A、B均不符合题意；
小星的步行速度为2÷=4（千米/时） ，故C不符合题意；
∵跑步的速度是步行速度的倍，
∴从图书馆回家所用的时间是从家到图书馆的一半，则从图书馆回家所用的时间为×30=15分钟，
∴ 小星回到家所用时间为70+15=85分钟，
∴ 小星回到家的时刻是上午：，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图象的数据可得小星家与图书馆的距离为2千米，小星在图书馆看书的时间是70-30=40（分钟） ，据此判断A、B；由图象可知小星步行30分钟走了2千米，利用速度=路程÷时间求出小星的步行速度，即可判断C；从图书馆回家所用的时间是从家到图书馆的一半，可求出从图书馆回家所用的时间为15分钟，从而得出小星回到家所用时间，据此判断D即可.
12．【答案】A
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，
∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，且对角线平分，
∴PN=PN'，∠NPO=∠N'PO，NO=N'O，OA=OC，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'
当点P、N'、M三点共线时，的值最大，最大值为MN'的长，
在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC=AB=，
∴OA=OC=，
∵是的中点，
∴ON=，
∴N'O=CN'=，
∴AN'=3，
∵BM=3，BC=AB=4，
∴CM=1，
∴，
∴PM∥AB∥CD，
∴∠CMN'=90°，
∴△MCN'为等腰直角三角形，
∴MN'=CM=1，
∴的值为1.
故答案为：A.
【分析】作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，由正方形的性质可得PN=PN'，∠NPO=∠N'PO，NO=N'O，OA=OC，从而得出PM-PN=PM-PN'≤MN'，当P、M、N'三点共线时，的值最大，最大值为MN'的长， 求出此时MN'的长即可，推出△MCN'为等腰直角三角形，可得MN'=CM=1，继而得解.
13．【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
14．【答案】-5
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 把点 代入中，得5=-k，
∴k=-5.
故答案为：-5.
【分析】把点 代入中即可求解.
15．【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，是斜边的中点，且，
∴CD=AB=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD=2cm，∠AOD=120°，
∴OA=OB=OC=OD=2，∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，OA=OB=1cm，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=1cm，
∴BC=，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（1+）=2+2（cm）.
故答案为：(2+2)cm.
【分析】由邻补角的定义求出∠AOB=180°-∠AOD=60°，结合矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可得AB=OA=1cm，利用勾股定理求出BC，根据矩形的周长为2（AB+BC）即可求解.
17．【答案】5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设直线AB：
∵点 A(0，2)，B(2，3)
∴
解得
∴=
同理
设直线BC：
∵点 B(2，3)，C(3，1)
∴
解得
∴ k2+b2 =5
设直线AC：
∵点 A(0，2)，C(3，1)
∴
∴
∴ k3+b3 =
∴最大值为5
【分析】根据待定系数法分别求三条直线的解析式，即可得的k+b的值，比较即可.
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质可得和都为等边三角形，再证明，可得，，从而推出为等边三角形，得出，当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质求出AE，再利用勾股定理求出DE的长，即得EF的最小值．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先算括号里、乘方及乘法，再计算除法，最后计算减法即可.
20．【答案】（1）解：
．
（2）解：，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式，完全平方公式将原式展开，再利用去括号、合并同类项即可化简；
（2）由菱形的面积为，可得mn的值，然后代入（1）结论即可求解.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求，．
（2）M（0，6）
（3），
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
22．【答案】（1）解：将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得，
这两个函数的解析式分别为和；
（2）解：在中，令，得，
．
，
在中，令，得，
．
，
，
；
（3）当时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（3）当时，函数的图象在函数的下方，∴，符合题意；
故答案为：.
【分析】（1）将点P的坐标分别代入 和，再求出a、b的值即可；
（2）先求出点A、B的坐标，可得AO和BO的长，再利用线段的和差求出AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
点，分别是，的中点，
，，
．
在和中，
，
≌，
；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
是直角三角形，，
四边形是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CBF，可得DE=FB；
（2）先证四边形是平行四边形，利用菱形的性质可推出△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，根据矩形的判定定理即证结论.
24．【答案】（1）60；0.05
（2）解：根据求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）中位数落在第组内，甲同学的视力情况在范围内；
（4）视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：（1）调查人数为20÷0.1=200（人），
∴a=200×0.3=60（人），b=10÷200=0.05；
故答案为：60，0.05；
【分析】（1）根据的频数除以其频率，可得调查总人数，由a=调查总人数×的频率，b=的频数除以调查总人数，分别计算即可；
（2）利用（1）结论补图即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）利用视力在以上含的人数除以调查总人数即得结论.
25．【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
≌，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接，，根据SSS证明△BEG≌△BFG，可得∠FBG=∠EBG，继而得出结论；
（2）由三角形内角和求出∠A=30°，利用角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=30°，即∠A=∠ABD，利用等角对等边可得AD=BD=4，利用含30°角的直角三角形的性质可得，由勾股定理求出BC的长，继而求出△BCD的周长即可.
26．【答案】（1）
（2）解：如图，过作交于，
将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，
点与点关于对称，
，
，
点是边的中点，
，
，
由【模型探索】知，
，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：四边形是正方形，
，
，，
，
将沿折叠，使点落在点处，
点与点关于对称，
于，，
由【模型探索】知，，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°
∵AF⊥BE，
∴∠BAF+∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠BAF，
∴△ABF≌△BCE（ASA）
∴AF=BE.
【分析】（1）证明△ABF≌△BCE（ASA），可得AF=BE.
（2）过作交于，由折叠的性质可得BE⊥MN，即CP⊥BE，利用勾股定理求出BE=，由（1）知CP=MN=BE=，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论；
（3）由正方形的性质及勾股定理求出BE=13，由折叠的性质可得于，，由（1）知，，根据可求出BH的长，即得BB'的长，继而求解.
1 / 1广西贵港市桂平市2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·桂平期末）已知：点的坐标为，则点所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点的坐标为，
∴点在第二象限.
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，第一象限坐标符号为正正，第二象限坐标符号为负正，第三象限坐标符号为负负，第四象限坐标符号为正负；据此判断即可.
2．（2024八下·桂平期末）下面图形中，是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 不是中心对称图形，故不符合题意；
B、 不是中心对称图形， 故不符合题意；
C、是中心对称图形， 故符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.
3．（2024八下·桂平期末）我们把每一组数的频数与数据总数的比叫作这一组数据的频率（relative frequency）．在“relative”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在“relative”中，字母“e”出现2次，共有8个字母，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：A．
【分析】根据频率公式计算可得答案．
4．（2024八下·桂平期末）由线段，，组成的三角形是直角三角形的是(　　)
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故不符合题意；
B、∵42+32=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故不符合题意；
D、∵62+82≠112，
∴以6，8，11为边不能组成直角三角形，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
5．（2024八下·桂平期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点关于轴对称的点的坐标为（-5，-3） .
故答案为：C.
【分析】关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
6．（2024八下·桂平期末）一个n边形的内角和为720°，则n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n-2） 180=720，
解得n=6.
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2） 180°进行解答即可.
7．（2024八下·桂平期末）下列图象中，表示y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、B、D选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，
只有C选项对于x的每一个确定的值，可能会有两个y与之对应，不符合函数的定义．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
8．（2024八下·桂平期末）将直线向上平移个单位，可得到直线(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将直线向上平移个单位，可得到直线y=2x-1+4，即y=2x+3；
故答案为：A.
【分析】直线的平移规律：左加右减变自变量，上加下减变常数项.
9．（2024八下·桂平期末）如图，在矩形中，，，平分交于点，点F，G分别是，的中点，则的长为(　　)
A． B．B. C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接DE，
在矩形中， AB∥CD，AD=BC=3，∠A=90°
∴∠BEC=∠DCE，
∵平分，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC=3，
∴AE=AB -BE=5-3=2，
∴DE==，
∵ 点，G分别是，的中点，
∴GF=DE=.
故答案为：D.
【分析】连接DE，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BEC=∠BCE，可得BE=BC=3，可求
AE=AB -BE=2，由勾股定理求DE=，再利用三角形中位线定理即可求解.
10．（2024八下·桂平期末）下列判断错误的是(　　)
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对顶角相等
D．同旁内角互补
【答案】D
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；对顶角及其性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，∴A正确，不符合题意；
B、∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形，∴B正确，不符合题意；
C、∵对顶角相等，∴C正确，不符合题意；
D、∵两直线平行，同旁内角互补，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质及平行线的性质逐项分析判断即可.
11．（2024八下·桂平期末）某星期日上午：，小星从家匀速步行到附近的图书馆，看完书后他匀速跑步回家，已知跑步的速度是步行速度的倍，如图表示小星离家的距离千米与所用的时间分钟之间的关系，下列说法正确的是(　　)
A．小星在图书馆看书的时间是分钟
B．小星家与图书馆的距离为千米
C．小星的步行速度是千米小时
D．小星回到家的时刻是上午：
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知： 小星家与图书馆的距离为2千米，小星在图书馆看书的时间是70-30=40（分钟） ，故A、B均不符合题意；
小星的步行速度为2÷=4（千米/时） ，故C不符合题意；
∵跑步的速度是步行速度的倍，
∴从图书馆回家所用的时间是从家到图书馆的一半，则从图书馆回家所用的时间为×30=15分钟，
∴ 小星回到家所用时间为70+15=85分钟，
∴ 小星回到家的时刻是上午：，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图象的数据可得小星家与图书馆的距离为2千米，小星在图书馆看书的时间是70-30=40（分钟） ，据此判断A、B；由图象可知小星步行30分钟走了2千米，利用速度=路程÷时间求出小星的步行速度，即可判断C；从图书馆回家所用的时间是从家到图书馆的一半，可求出从图书馆回家所用的时间为15分钟，从而得出小星回到家所用时间，据此判断D即可.
12．（2024八下·桂平期末）如图，在正方形中，，与相交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，
∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，且对角线平分，
∴PN=PN'，∠NPO=∠N'PO，NO=N'O，OA=OC，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'
当点P、N'、M三点共线时，的值最大，最大值为MN'的长，
在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC=AB=，
∴OA=OC=，
∵是的中点，
∴ON=，
∴N'O=CN'=，
∴AN'=3，
∵BM=3，BC=AB=4，
∴CM=1，
∴，
∴PM∥AB∥CD，
∴∠CMN'=90°，
∴△MCN'为等腰直角三角形，
∴MN'=CM=1，
∴的值为1.
故答案为：A.
【分析】作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，由正方形的性质可得PN=PN'，∠NPO=∠N'PO，NO=N'O，OA=OC，从而得出PM-PN=PM-PN'≤MN'，当P、M、N'三点共线时，的值最大，最大值为MN'的长， 求出此时MN'的长即可，推出△MCN'为等腰直角三角形，可得MN'=CM=1，继而得解.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13．（2024八下·桂平期末）分解因式： 　 　.
【答案】x(x-3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.
14．（2024八下·桂平期末）正比例函数的图象经过点，则　 　．
【答案】-5
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 把点 代入中，得5=-k，
∴k=-5.
故答案为：-5.
【分析】把点 代入中即可求解.
15．（2024八下·桂平期末）在中，是斜边的中点，若，则的长是　 　．
【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，是斜边的中点，且，
∴CD=AB=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
16．（2024八下·桂平期末）设矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的周长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD=2cm，∠AOD=120°，
∴OA=OB=OC=OD=2，∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，OA=OB=1cm，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=1cm，
∴BC=，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（1+）=2+2（cm）.
故答案为：(2+2)cm.
【分析】由邻补角的定义求出∠AOB=180°-∠AOD=60°，结合矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可得AB=OA=1cm，利用勾股定理求出BC，根据矩形的周长为2（AB+BC）即可求解.
17．（2024八下·桂平期末） 在“探索一次函数 的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，2)，B(2，3)，C(3，1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别计算k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于　 　.
【答案】5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设直线AB：
∵点 A(0，2)，B(2，3)
∴
解得
∴=
同理
设直线BC：
∵点 B(2，3)，C(3，1)
∴
解得
∴ k2+b2 =5
设直线AC：
∵点 A(0，2)，C(3，1)
∴
∴
∴ k3+b3 =
∴最大值为5
【分析】根据待定系数法分别求三条直线的解析式，即可得的k+b的值，比较即可.
18．（2024八下·桂平期末）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质可得和都为等边三角形，再证明，可得，，从而推出为等边三角形，得出，当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质求出AE，再利用勾股定理求出DE的长，即得EF的最小值．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（2024八下·桂平期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先算括号里、乘方及乘法，再计算除法，最后计算减法即可.
20．（2024八下·桂平期末）已知．
（1）化简；
（2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值．
【答案】（1）解：
．
（2）解：，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式，完全平方公式将原式展开，再利用去括号、合并同类项即可化简；
（2）由菱形的面积为，可得mn的值，然后代入（1）结论即可求解.
21．（2024八下·桂平期末）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移个单位．再向下平移个单位，它的像是．
（1）请画出，并直接写出点的坐标；
（2）外有一点经过同样的平移后得到点，直接写出点的坐标；
（3）连接线段，，则这两条线段之间的关系是　 　．
【答案】（1）解：如图，即为所求，．
（2）M（0，6）
（3），
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
22．（2024八下·桂平期末） 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得，
这两个函数的解析式分别为和；
（2）解：在中，令，得，
．
，
在中，令，得，
．
，
，
；
（3）当时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：（3）当时，函数的图象在函数的下方，∴，符合题意；
故答案为：.
【分析】（1）将点P的坐标分别代入 和，再求出a、b的值即可；
（2）先求出点A、B的坐标，可得AO和BO的长，再利用线段的和差求出AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
23．（2024八下·桂平期末）已知：如图，在 中，点，分别为、的中点，是对角线，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
点，分别是，的中点，
，，
．
在和中，
，
≌，
；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
是直角三角形，，
四边形是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CBF，可得DE=FB；
（2）先证四边形是平行四边形，利用菱形的性质可推出△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，根据矩形的判定定理即证结论.
24．（2024八下·桂平期末）某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下．
视力 频数人 频率
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为　 　，的值为　 　．
（2）将频数直方图补充完整；
（3）甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在以上含均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．
【答案】（1）60；0.05
（2）解：根据求出的数据，补全频数分布直方图如下：
（3）中位数落在第组内，甲同学的视力情况在范围内；
（4）视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：（1）调查人数为20÷0.1=200（人），
∴a=200×0.3=60（人），b=10÷200=0.05；
故答案为：60，0.05；
【分析】（1）根据的频数除以其频率，可得调查总人数，由a=调查总人数×的频率，b=的频数除以调查总人数，分别计算即可；
（2）利用（1）结论补图即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）利用视力在以上含的人数除以调查总人数即得结论.
25．（2024八下·桂平期末）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
≌，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接，，根据SSS证明△BEG≌△BFG，可得∠FBG=∠EBG，继而得出结论；
（2）由三角形内角和求出∠A=30°，利用角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=30°，即∠A=∠ABD，利用等角对等边可得AD=BD=4，利用含30°角的直角三角形的性质可得，由勾股定理求出BC的长，继而求出△BCD的周长即可.
26．（2024八下·桂平期末）综合与实践
（1）【模型探索】如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为　 　；
（2）【模型应用】如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度；
（3）【迁移应用】如图，正方形的边长为，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点若，求的长度．
【答案】（1）
（2）解：如图，过作交于，
将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，
点与点关于对称，
，
，
点是边的中点，
，
，
由【模型探索】知，
，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：四边形是正方形，
，
，，
，
将沿折叠，使点落在点处，
点与点关于对称，
于，，
由【模型探索】知，，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°
∵AF⊥BE，
∴∠BAF+∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠BAF，
∴△ABF≌△BCE（ASA）
∴AF=BE.
【分析】（1）证明△ABF≌△BCE（ASA），可得AF=BE.
（2）过作交于，由折叠的性质可得BE⊥MN，即CP⊥BE，利用勾股定理求出BE=，由（1）知CP=MN=BE=，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论；
（3）由正方形的性质及勾股定理求出BE=13，由折叠的性质可得于，，由（1）知，，根据可求出BH的长，即得BB'的长，继而求解.
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