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广东省梅州市大埔县2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·大埔期末）“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·大埔期末）已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·大埔期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·大埔期末）如图，，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了，间的距离：先在外选一点，然后分别步测出，的中点，，并步测出的长为3米，由此他就估测出，间的距离为（　　）
A．3米 B．米 C．6米 D．9米
5．（2024八下·大埔期末）在平行四边形，若，则度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·大埔期末）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·大埔期末）如图，平行四边形的两条对角线交于点，的周长比的周长大，已知，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·大埔期末）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·大埔期末）为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了任务设原计划每天绿化的面积为万平方米，则所列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2024八下·大埔期末）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：随的增大而减小；，；关于，的二元一次方程必有一个解为，；当时，．其中正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·大埔期末）如图所示的不等式组的解集是　 　．
12．（2024八下·大埔期末）化简分式的结果是 　 　．
13．（2024八下·大埔期末）已知，，则的值为　 　．
14．（2024八下·大埔期末）如图，在中，，将沿着射线平移m个单位长度，得到，若，则　 　.
15．（2024八下·大埔期末）如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是　 　．
16．（2024八下·大埔期末）如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则线段AB的长为　 　，线段BC的长为　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17．（2024八下·大埔期末）解方程：
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2024八下·大埔期末）分解因式：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·大埔期末）解不等式组：．
20．（2024八下·大埔期末）如图，中，，的垂直平分线交于点．
（1）若，求的度数
（2）若，，求的周长
21．（2024八下·大埔期末）如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
（1）画出平移后的，并写出，，的坐标；
（2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
22．（2024八下·大埔期末）如图一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式．
（2）请直接写出时自变量的取值范围．
23．（2024八下·大埔期末）如图，在 中，平分交于点，平分交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．（2024八下·大埔期末）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．
25．（2024八下·大埔期末）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点、，点D是的中点，点E在上由点B向点A运动．
（1）求点A的坐标；
（2）若点E运动速度为每秒2个单位长度，点E运动的时间为t秒，当四边形是平行四边形时，求t的值；
（3）当是等腰三角形时，直接写出点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵，
∴，
故A选项错误；
B、当时，，
故B选项是错误；
C、∵
∴，
∴，
故C选项错误；
D、∵，
∴，
故D选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式左边是单项式，故不是因式分解，A不符合题意；
B、 ，括号里面有分式，不是整式的积，故不是因式分解，B不符合题意；
C、 ，符合定义，是因式分解，C符合题意；
D、 ，等号左边是整式积的形式，右边是多项式，故不是因式分解，是整式乘法，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义“将一个多项式变形成整式的乘积的形式，这样的变形叫做因式分解”进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
(米)，
故选：C．
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，利用三角形中位线定理即可求得．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质得到，进而求得度数.
6．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=，
故答案为：D．
【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
∵的周长比的周长大，
，
，
，
故选：．
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，可以得到，=5cm，再根据的周长比的周长大，就是BC比AB长2cm.据此可以求出AB=3cm
8．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可知，当时，，
即不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解，再利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
10．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象过第一、二、三象限，
∴，随的增大而增大，
故①错误；
与y轴相交于y轴的正半轴，
故②错误
又∵图象与轴交于，
故正确；
当时，图象在轴上方，，
故正确；
综上可得正确，共个，
故选：．
【分析】
此题考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可判断求解
11．【答案】-2＜x≤1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左．可知数轴上表示的不等式组的解集为-2＜x≤1，
故答案为：-2＜x≤1．
【分析】根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左可得答案．
12．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：.
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
14．【答案】6
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，点B平移后的对应点为点E，
，，
，
故答案为：6．
【分析】利用图形平移的性质及线段的和差求出BE的长，从而可得m的值.
15．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵是中的角平分线， D作DF⊥AC于点F，于点，
∴DE=DF，
∵，
∴=28，
∴，
∴AC=6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，首先根据角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形面积计算公式得出，根据， 即可得出，解方程即可得出AC=6，即可得出答案.
16．【答案】2；
【知识点】勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】结合图1，图2可得，
当x=0时，BP=AB=2，
当x=1时，BP⊥AC，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得， ，
在Rt△CBP中，根据勾股定理得， 。
故答案是：2；
【分析】观察图形及图像，可知当x=0时，BP=AB=2，当x=1时，BP⊥AC，在Rt△ABP和Rt△CBP中，利用勾股定理即可解决问题。
17．【答案】解： 化成整式方程为 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是方程的解，
故方程的解为 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再利用整式方程的解法计算并检验即可。
18．【答案】（1）解：，

（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法进行计算是解决本题的关键．
（1）通过提公因式及完全平方公式（）进行计算即可；
（2）通过提公因式及平方差公式(进行计算即可．
19．【答案】由2(1-x)≤3，
得：x≥-.
由，
得：x<3.
∴不等式组的解集是≤x<3．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，然后确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
20．【答案】（1）解的垂直平分线交于点
∵∠BPC是△BPC的外角
（2）解：
∴的周长
∵AP=BP，AB=AC
∴的周长
，
的周长
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得，因此，再根据三角形的外角的性质可得：.
（2）因为的周长，再根据AP=BP，AB=AC可得的周长，代入数据计算即可．
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移和旋转，坐标与图形；
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律先得到对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可；
（2）根据所给的旋转方式和网格的特点得到对应点、的坐标，再描出、、，最后顺次连接、、即可；
22．【答案】（1）解：，
，
点的横坐标为，点在正比例函数的图象上，
时，，即：，
，
解得：，
一次函数的解析式为
（2）解：由图象可知，
当时，直线在直线的上方，
时自变量的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）首先根据题中所给条件求的点A和点B的坐标，再用待定系数法得出一次函数的解析式；
（2）根据点B（1，2），结合函数图象可得再点B的左侧，直线的图象在直线的上方，故而得出的解析式为．
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
∴∠AEB=∠EBC，
平分，
，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，，，，
平分，平分，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
24．【答案】（1）解：设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．
根据题意得： ，
即350（x﹣20）=250x，
∴7x﹣140=5x
解得x=70．
经检验，x=70是原分式方程的解，且符合题意，
乙工程队每天能铺设：x﹣20=70﹣20=50米．
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米
（2）解：设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．
由题意，得
，
解得500≤y≤700．
所以分配方案有3种：
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解；（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析．
25．【答案】（1）解：如图，过A作于M，过B作于N，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵C，B的坐标分别为，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：设点运动秒时，四边形是平行四边形，
由题意得：，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴当秒时，四边形是平行四边形.
（3）点的坐标为
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：①当时，过E作于点F，且点F在点D的右边，
则，
∴，则，
∴点的坐标为；
当时，过E作于点F，且点F在点D的左边，
则，
此时点不在线段上，需舍去；
②当时，过E作于点F，
则，
∴，但，
此时点不在线段上，需舍去；
③当时，过E作于点F，
则，
此时点不在线段上，需舍去；
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为.
【分析】（1）过A作于M，过B作于N，先利用平行四边形的性质可得，，再结合点C、B的坐标求出，最后求出点A的坐标即可；
（2）先求出，再利用平行四边形的性质可得，即，最后求出t的值即可；
（3）分类讨论： ①当时， ②当时， ③当时， 再分别画出图形并分析求解即可.
1 / 1广东省梅州市大埔县2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·大埔期末）“琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·大埔期末）已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵，
∴，
故A选项错误；
B、当时，，
故B选项是错误；
C、∵
∴，
∴，
故C选项错误；
D、∵，
∴，
故D选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．（2024八下·大埔期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式左边是单项式，故不是因式分解，A不符合题意；
B、 ，括号里面有分式，不是整式的积，故不是因式分解，B不符合题意；
C、 ，符合定义，是因式分解，C符合题意；
D、 ，等号左边是整式积的形式，右边是多项式，故不是因式分解，是整式乘法，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义“将一个多项式变形成整式的乘积的形式，这样的变形叫做因式分解”进行判断即可.
4．（2024八下·大埔期末）如图，，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了，间的距离：先在外选一点，然后分别步测出，的中点，，并步测出的长为3米，由此他就估测出，间的距离为（　　）
A．3米 B．米 C．6米 D．9米
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
(米)，
故选：C．
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，利用三角形中位线定理即可求得．
5．（2024八下·大埔期末）在平行四边形，若，则度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质得到，进而求得度数.
6．（2024八下·大埔期末）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=，
故答案为：D．
【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。
7．（2024八下·大埔期末）如图，平行四边形的两条对角线交于点，的周长比的周长大，已知，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
∵的周长比的周长大，
，
，
，
故选：．
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，可以得到，=5cm，再根据的周长比的周长大，就是BC比AB长2cm.据此可以求出AB=3cm
8．（2024八下·大埔期末）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可知，当时，，
即不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解，再利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
9．（2024八下·大埔期末）为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了任务设原计划每天绿化的面积为万平方米，则所列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
10．（2024八下·大埔期末）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：随的增大而减小；，；关于，的二元一次方程必有一个解为，；当时，．其中正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象过第一、二、三象限，
∴，随的增大而增大，
故①错误；
与y轴相交于y轴的正半轴，
故②错误
又∵图象与轴交于，
故正确；
当时，图象在轴上方，，
故正确；
综上可得正确，共个，
故选：．
【分析】
此题考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可判断求解
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·大埔期末）如图所示的不等式组的解集是　 　．
【答案】-2＜x≤1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左．可知数轴上表示的不等式组的解集为-2＜x≤1，
故答案为：-2＜x≤1．
【分析】根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左可得答案．
12．（2024八下·大埔期末）化简分式的结果是 　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
13．（2024八下·大埔期末）已知，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：.
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
14．（2024八下·大埔期末）如图，在中，，将沿着射线平移m个单位长度，得到，若，则　 　.
【答案】6
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，点B平移后的对应点为点E，
，，
，
故答案为：6．
【分析】利用图形平移的性质及线段的和差求出BE的长，从而可得m的值.
15．（2024八下·大埔期末）如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵是中的角平分线， D作DF⊥AC于点F，于点，
∴DE=DF，
∵，
∴=28，
∴，
∴AC=6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，首先根据角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形面积计算公式得出，根据， 即可得出，解方程即可得出AC=6，即可得出答案.
16．（2024八下·大埔期末）如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则线段AB的长为　 　，线段BC的长为　 　．
【答案】2；
【知识点】勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】结合图1，图2可得，
当x=0时，BP=AB=2，
当x=1时，BP⊥AC，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得， ，
在Rt△CBP中，根据勾股定理得， 。
故答案是：2；
【分析】观察图形及图像，可知当x=0时，BP=AB=2，当x=1时，BP⊥AC，在Rt△ABP和Rt△CBP中，利用勾股定理即可解决问题。
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17．（2024八下·大埔期末）解方程：
【答案】解： 化成整式方程为 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是方程的解，
故方程的解为 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再利用整式方程的解法计算并检验即可。
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2024八下·大埔期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，

（2）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法进行计算是解决本题的关键．
（1）通过提公因式及完全平方公式（）进行计算即可；
（2）通过提公因式及平方差公式(进行计算即可．
19．（2024八下·大埔期末）解不等式组：．
【答案】由2(1-x)≤3，
得：x≥-.
由，
得：x<3.
∴不等式组的解集是≤x<3．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，然后确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
20．（2024八下·大埔期末）如图，中，，的垂直平分线交于点．
（1）若，求的度数
（2）若，，求的周长
【答案】（1）解的垂直平分线交于点
∵∠BPC是△BPC的外角
（2）解：
∴的周长
∵AP=BP，AB=AC
∴的周长
，
的周长
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得，因此，再根据三角形的外角的性质可得：.
（2）因为的周长，再根据AP=BP，AB=AC可得的周长，代入数据计算即可．
21．（2024八下·大埔期末）如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
（1）画出平移后的，并写出，，的坐标；
（2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移和旋转，坐标与图形；
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律先得到对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可；
（2）根据所给的旋转方式和网格的特点得到对应点、的坐标，再描出、、，最后顺次连接、、即可；
22．（2024八下·大埔期末）如图一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式．
（2）请直接写出时自变量的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
点的横坐标为，点在正比例函数的图象上，
时，，即：，
，
解得：，
一次函数的解析式为
（2）解：由图象可知，
当时，直线在直线的上方，
时自变量的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】（1）首先根据题中所给条件求的点A和点B的坐标，再用待定系数法得出一次函数的解析式；
（2）根据点B（1，2），结合函数图象可得再点B的左侧，直线的图象在直线的上方，故而得出的解析式为．
23．（2024八下·大埔期末）如图，在 中，平分交于点，平分交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
∴∠AEB=∠EBC，
平分，
，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，，，，
平分，平分，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
24．（2024八下·大埔期末）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．
【答案】（1）解：设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．
根据题意得： ，
即350（x﹣20）=250x，
∴7x﹣140=5x
解得x=70．
经检验，x=70是原分式方程的解，且符合题意，
乙工程队每天能铺设：x﹣20=70﹣20=50米．
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米
（2）解：设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．
由题意，得
，
解得500≤y≤700．
所以分配方案有3种：
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解；（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析．
25．（2024八下·大埔期末）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点、，点D是的中点，点E在上由点B向点A运动．
（1）求点A的坐标；
（2）若点E运动速度为每秒2个单位长度，点E运动的时间为t秒，当四边形是平行四边形时，求t的值；
（3）当是等腰三角形时，直接写出点E的坐标．
【答案】（1）解：如图，过A作于M，过B作于N，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵C，B的坐标分别为，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：设点运动秒时，四边形是平行四边形，
由题意得：，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴当秒时，四边形是平行四边形.
（3）点的坐标为
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：①当时，过E作于点F，且点F在点D的右边，
则，
∴，则，
∴点的坐标为；
当时，过E作于点F，且点F在点D的左边，
则，
此时点不在线段上，需舍去；
②当时，过E作于点F，
则，
∴，但，
此时点不在线段上，需舍去；
③当时，过E作于点F，
则，
此时点不在线段上，需舍去；
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为.
【分析】（1）过A作于M，过B作于N，先利用平行四边形的性质可得，，再结合点C、B的坐标求出，最后求出点A的坐标即可；
（2）先求出，再利用平行四边形的性质可得，即，最后求出t的值即可；
（3）分类讨论： ①当时， ②当时， ③当时， 再分别画出图形并分析求解即可.
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