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广东省深圳市深圳实验学校初中部2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·深圳期末）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·深圳期末）下列各式是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·深圳期末）如果，那么下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·深圳期末）如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024八下·深圳期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
6．（2024八下·深圳期末）如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
7．（2024八下·深圳期末）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·深圳期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·深圳期末）直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·深圳期末）已知P是等边三角形的边上的一点，若，在以线段，，长度为边长的三角形中，最小内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·深圳期末）分式的值为0．则 x 的值为　 　．
12．（2024八下·深圳期末）分解因式：　 　．
13．（2024八下·深圳期末）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为　 　.
14．（2024八下·深圳期末）四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边的中点是坐标原点O，固定点A，B，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为　 　．
15．（2024八下·深圳期末）如图，在中，，延长至D，平分，过A作于F，过F作于G，若，且，则　 　．
16．（2024八下·深圳期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
17．（2024八下·深圳期末） 先化简，再求值： ，其中 x＝
18．（2024八下·深圳期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为A（2，－4），B（4，－4），C（1，－1）．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）画出绕点C逆时针旋转90°后的；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留）．
19．（2024八下·深圳期末）如图，在矩形中，的垂直平分线分别交于，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
20．（2024八下·深圳期末）2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
21．（2024八下·深圳期末）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断位置 求证：平分．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
22．（2024八下·深圳期末）在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究．
（1）【初步探究】
当四边形是正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程．
（2）【类比探究】
如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由．
（3）【拓展探究】
当四边形是平行四边形，且．
如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由）
如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故本选项正确，符合题意；
B、如果，那么，则，故本选项错误，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项错误，不符合题意；
D、当时，那么，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3和1，可对B、C作出判断；利用负整数指数幂的性质和有理数的大小比较，可对D作出判断.
4．【答案】B
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：AC与DF是对应边，AC=2，则DF=2，
向右平移一个单位，则AD=1，BF=3，
故其周长为2+1+2+3=8．
故答案为：B．
【分析】先利用图形平移的特征可得AD=1，BF=3，再利用四边形的周长公式求出答案即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】A、 若，则，故A为假命题，不符合题意；
B、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故B为假命题，不符合题意；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C为假命题，不符合题意；
D 、一个正多边形的内角和为，则这个正多边形有6条边，则这个正多边形的一个外角等于60°，
故D为真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；等腰三角形的性质；平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；多边形内角和为：与外角和，据此逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B逆时针旋转得，
∴，
根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：A．
【分析】根据旋转的性质可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=5，得出，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线性质可得AF=CF，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，由题意得，
故答案为：A
【分析】设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，进而根据题意即可列出一元二次方程。
9．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1，∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1．
故答案为：A．
【分析】当直线l1：y1=k1x+b1都在直线l2：y2=k2x的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，
为等边三角形，
，
以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据补角可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】－5
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得且x-5≠0，解得x＝±5且x≠5，
∴x＝－5，
故答案是：－5．
【分析】根据分式值为0的条件即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
13．【答案】20
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：20.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得：摸到红球的概率为0.25，然后根据概率公式进行计算.
14．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出，再结合，，求出点的坐标即可.
15．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
延长，交于点，连接，
∵，
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由题意可得，延长，交于点，连接，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直角三角形的性质得出，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
17．【答案】解： ，
，
，
，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵C点坐标为（1，-1），B点坐标为（4，-4），
∴，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积．
【知识点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先根据关于y轴对称的特点，找到A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1，即可得到答案；
（2）根据绕原点旋转90度的特点，画出旋转图形即可；
（3）△ABC旋转时BC线段扫过的面积进行求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵C点坐标为（1，-1），B点坐标为（4，-4），
∴，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积．
19．【答案】（1）证明：四边形是矩形，是的中点，
，
，
又，
在和中，
，
，且
四边形是平行四边形，
垂直平分
四边形是菱形.
（2）解：四边形是菱形，
，
在中，，
，
，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合BE=DE，证出四边形是菱形即可；
（2）利用勾股定理可得，即，求出BE的长，最后利用菱形的面积公式求解即可.
20．【答案】（1）解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元
（2）解：设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物，
依题意，得：，
解得：．
∴m的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍，列分式方程，解方程即可；
（2）根据总金额不超过3000元，列不等式，解不等式即可.
21．【答案】解：（1）∵，且，，
∴，
在和中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴，
∴平分；
（2）过E做，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图，
在中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：60．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得△AED≌△AFD（SSS），则 ，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）过E做，根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）设与交于点O，与交于点Q，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得BO，再根据正切定义可得MN，再根据边之间的关系可得MG，再根据正切定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：延长和交于点M，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2）
（3）；
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（2），理由如下：
证明：延长和交于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）
当顶点F与A点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点D作于点H，
同（1）得，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，，，
设，则，
∴，
得
∴，
∴，
故答案为；
当顶点F与D点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点C作于点H，
同理得，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）延长和交于点M，根据正方形性质可得，则，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据等边对等角即可求出答案.
（2）延长和交于点M，根据矩形性质可得，则，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据等边对等角即可求出答案.
（3）分情况讨论：当顶点F与A点重合，G在边上，延长和交于点M，过点D作于点H，根据全等三角形性质可得，则，设，则，根据直线平行性质可得，则，，，设，则，建立等式，则，再根据边之间的关系即可求出答案；当顶点F与D点重合，G在边上，延长和交于点M，过点C作于点H，根据全等三角形性质可得，则，设，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边直角的关系即可求出答案.
（1）证明：延长和交于点M，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2），理由如下：
证明：延长和交于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）当顶点F与A点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点D作于点H，
同（1）得，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，，，
设，则，
∴，
得
∴，
∴，
故答案为；
当顶点F与D点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点C作于点H，
同理得，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
1 / 1广东省深圳市深圳实验学校初中部2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·深圳期末）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．（2024八下·深圳期末）下列各式是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．（2024八下·深圳期末）如果，那么下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故本选项正确，符合题意；
B、如果，那么，则，故本选项错误，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项错误，不符合题意；
D、当时，那么，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3和1，可对B、C作出判断；利用负整数指数幂的性质和有理数的大小比较，可对D作出判断.
4．（2024八下·深圳期末）如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：AC与DF是对应边，AC=2，则DF=2，
向右平移一个单位，则AD=1，BF=3，
故其周长为2+1+2+3=8．
故答案为：B．
【分析】先利用图形平移的特征可得AD=1，BF=3，再利用四边形的周长公式求出答案即可.
5．（2024八下·深圳期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】A、 若，则，故A为假命题，不符合题意；
B、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故B为假命题，不符合题意；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C为假命题，不符合题意；
D 、一个正多边形的内角和为，则这个正多边形有6条边，则这个正多边形的一个外角等于60°，
故D为真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；等腰三角形的性质；平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；多边形内角和为：与外角和，据此逐项判断即可.
6．（2024八下·深圳期末）如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B逆时针旋转得，
∴，
根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：A．
【分析】根据旋转的性质可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=5，得出，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
7．（2024八下·深圳期末）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线性质可得AF=CF，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．（2024八下·深圳期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，由题意得，
故答案为：A
【分析】设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，进而根据题意即可列出一元二次方程。
9．（2024八下·深圳期末）直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1，∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1．
故答案为：A．
【分析】当直线l1：y1=k1x+b1都在直线l2：y2=k2x的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
10．（2024八下·深圳期末）已知P是等边三角形的边上的一点，若，在以线段，，长度为边长的三角形中，最小内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，
为等边三角形，
，
以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据补角可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．（2024八下·深圳期末）分式的值为0．则 x 的值为　 　．
【答案】－5
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得且x-5≠0，解得x＝±5且x≠5，
∴x＝－5，
故答案是：－5．
【分析】根据分式值为0的条件即可求出答案.
12．（2024八下·深圳期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
13．（2024八下·深圳期末）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为　 　.
【答案】20
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：20.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得：摸到红球的概率为0.25，然后根据概率公式进行计算.
14．（2024八下·深圳期末）四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边的中点是坐标原点O，固定点A，B，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出，再结合，，求出点的坐标即可.
15．（2024八下·深圳期末）如图，在中，，延长至D，平分，过A作于F，过F作于G，若，且，则　 　．
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
延长，交于点，连接，
∵，
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由题意可得，延长，交于点，连接，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直角三角形的性质得出，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2024八下·深圳期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
17．（2024八下·深圳期末） 先化简，再求值： ，其中 x＝
【答案】解： ，
，
，
，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
18．（2024八下·深圳期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为A（2，－4），B（4，－4），C（1，－1）．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）画出绕点C逆时针旋转90°后的；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留）．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵C点坐标为（1，-1），B点坐标为（4，-4），
∴，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积．
【知识点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先根据关于y轴对称的特点，找到A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1，即可得到答案；
（2）根据绕原点旋转90度的特点，画出旋转图形即可；
（3）△ABC旋转时BC线段扫过的面积进行求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵C点坐标为（1，-1），B点坐标为（4，-4），
∴，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积．
19．（2024八下·深圳期末）如图，在矩形中，的垂直平分线分别交于，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，是的中点，
，
，
又，
在和中，
，
，且
四边形是平行四边形，
垂直平分
四边形是菱形.
（2）解：四边形是菱形，
，
在中，，
，
，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合BE=DE，证出四边形是菱形即可；
（2）利用勾股定理可得，即，求出BE的长，最后利用菱形的面积公式求解即可.
20．（2024八下·深圳期末）2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
【答案】（1）解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元
（2）解：设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物，
依题意，得：，
解得：．
∴m的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍，列分式方程，解方程即可；
（2）根据总金额不超过3000元，列不等式，解不等式即可.
21．（2024八下·深圳期末）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1 判断位置 求证：平分．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
【答案】解：（1）∵，且，，
∴，
在和中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴，
∴平分；
（2）过E做，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图，
在中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：60．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得△AED≌△AFD（SSS），则 ，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）过E做，根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）设与交于点O，与交于点Q，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得BO，再根据正切定义可得MN，再根据边之间的关系可得MG，再根据正切定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
22．（2024八下·深圳期末）在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究．
（1）【初步探究】
当四边形是正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程．
（2）【类比探究】
如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由．
（3）【拓展探究】
当四边形是平行四边形，且．
如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由）
如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】（1）证明：延长和交于点M，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2）
（3）；
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（2），理由如下：
证明：延长和交于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）
当顶点F与A点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点D作于点H，
同（1）得，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，，，
设，则，
∴，
得
∴，
∴，
故答案为；
当顶点F与D点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点C作于点H，
同理得，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）延长和交于点M，根据正方形性质可得，则，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据等边对等角即可求出答案.
（2）延长和交于点M，根据矩形性质可得，则，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据等边对等角即可求出答案.
（3）分情况讨论：当顶点F与A点重合，G在边上，延长和交于点M，过点D作于点H，根据全等三角形性质可得，则，设，则，根据直线平行性质可得，则，，，设，则，建立等式，则，再根据边之间的关系即可求出答案；当顶点F与D点重合，G在边上，延长和交于点M，过点C作于点H，根据全等三角形性质可得，则，设，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边直角的关系即可求出答案.
（1）证明：延长和交于点M，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2），理由如下：
证明：延长和交于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）当顶点F与A点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点D作于点H，
同（1）得，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，，，
设，则，
∴，
得
∴，
∴，
故答案为；
当顶点F与D点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点C作于点H，
同理得，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
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