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广东省深圳市龙岗区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·龙岗期末）剪纸艺术是中国最传统的民间艺术之一，先后入选中国非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·龙岗期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是( )
A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
3．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·龙岗期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·龙岗期末）用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·龙岗期末）数学创新小队制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的斜边平行，将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点O处．如图所示，现将测量三角板底边紧贴被测物体表面，保持测量三角板与被测物体的截面在同一平面．若被测物体的截面为（平行于水平面），此时铅锤线（图中箭头的线）在量角器上对应的刻度为，那么倾斜角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·龙岗期末）为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·龙岗期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（ ）
用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□
A． B． C． D．
9．（2024八下·龙岗期末）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小
B．
C．当时，
D．方程组的解为
10．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·龙岗期末）如图，将等边绕点按逆时针方向旋转到的位置，若，则旋转角的度数是 ．
12．（2024八下·龙岗期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
13．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，对角线，相交于点O，，， ，则 ．
14．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，，，，点D在内部且为等边三角形，E、F分别是、的中点，则的长为 ．
15．（2024八下·龙岗期末）定义：形如（m，n不为零）的方程为“十字分式方程”，它的两个解分别为，．
举例：为十字分式方程，可化为，
∴，．
为十字分式方程，可化为，
∴，．
应用：若十字分式方程的两个解分别为，，则 ．
16．（2024八下·龙岗期末）分解因式
（1）；
（2）．
17．（2024八下·龙岗期末）先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
18．（2024八下·龙岗期末）已知在网格坐标系中，将进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表：
变换前
变换后
（1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出；
（2）若是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ；
（3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ．
19．（2024八下·龙岗期末）阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元．
（1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？
（2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
20．（2024八下·龙岗期末）如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
21．（2024八下·龙岗期末）【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】温水水流速度是，
水杯容积：．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况）
【问题】
（1）接到温水的体积是 ，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ．
22．（2024八下·龙岗期末）已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D．
【特例感知】
（1）如图1，当点D落在上时，求的长；
【类比迁移】
（2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．
①当为等腰三角形时，直接写出长；
②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解。
A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误。
故选C.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在中，
分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，
是线段的垂直平分线，
，，
，
，
故答案为：B
【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一性质即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形的一个内角为：，
，且正六边形是由个全等纸片拼接得到的，
，
故答案为：C．
【分析】先计算出正六边形一个内角为，再根据全等三角形的性质即可求解．
6．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到，，由对顶角的性质得到即可求解．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则走乙路线的平均速度为千米/时，
依题意，可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据“时间节省20分钟”列出分式方程即可．
8．【答案】D
【知识点】有理数的除法法则；不等式的概念
【解析】【解答】解：若每天服用2次，则所需剂量在之间，若每天服用3次，在所需剂量在之间，
∴依次服用这种药的剂量在之间，
∴，
故答案为：D．
【分析】若每天服用2次，则所需剂量为之间，若每天服用3次，则所需剂量为之间，故一次服用这种药的剂量在之间．
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意；
C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：A．
【分析】延长交的延长线于，根据勾股定理可得AC，再根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系可得AF，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式值为0的条件及分式有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】10
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
∵，，
∴在中，，
∴，
故答案为：10．
【分析】先利用平行四边形的性质及勾股定理求出OB的长，再利用平行四边形的性质求出即可.
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，genuine等边三角形性质可得，，根据线段中点可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BN，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据边之间的关系可得NG，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，根据边之间的关系可得FM，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：十字分式方程的两个解分别为：，，
∴，，
∴
故答案为：．
【分析】先根据十字分式方程的定义求出，的值，再化简代入计算即可求解．
16．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式7，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）提取公因式（x-y）即可得解.
17．【答案】解：原式
，
∵，时，分式分母为0，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
18．【答案】（1）解：点C坐标为，
如图，如图所示：
（2）
（3）平行四边形；20
【知识点】平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
【分析】（1）由已知点的坐标先确定平移方式，再确定的坐标，并画出图形即可；
（2）由平移的性质可得答案；
（3）由平移的性质可得四边形的形状，再利用面积公式计算即可；
（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
如图，如图所示：
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
19．【答案】（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克．
（2）解：设每千克蓝莓的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
即y的最小值为．
答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克．
（2）设每千克蓝莓的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
即y的最小值为．
答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元．
20．【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）①解：作角平分线如图1；
②解：，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）选择②③；由，可得，则，可证，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据角平分线的性质作图即可.
②根据平行四边形性质可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）①解：作角平分线如图1；
②解：，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1），
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒
（3）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4），
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为：，．
（4）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为：，.
【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可求解；
（2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式：，解不等式即可；
（3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值计算即可求出的值；
（4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值即可列出关于的函数关系式： ，再根据不等式，代入求解即可．
（1）解：∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为，．
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒．
（3）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为，
22．【答案】解：（1）∵将沿折叠得到，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，即；
（2）
解：延长交延长线于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即；
(3) ①或3；
②
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：①情况1：，即；
情况2：如图1，当时，作于点H，则，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
情况3：如图2，当四边形为正方形时，此时，，
由旋转的性质得：，
∴是等腰直角三角形，
此时点D在上，且为的中点，
此时，符合题意，
∴；
综上所述，的长为或3；
② 如图，作于点H，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴
即．
【分析】（1）根据折叠性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得BD，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）延长交延长线于点M，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，则CM=9，根据勾股定理可得AM，再根据边之间的关系可得DM，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）①分情况讨论：，即，即可求出答案；当时，作于点H，则，根据旋转性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当四边形为正方形时，此时，，根据旋转性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，此时点D在上，且为的中点，此时，即可求出答案.
②作于点H，则，根据旋转性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理可得AP，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·龙岗期末）剪纸艺术是中国最传统的民间艺术之一，先后入选中国非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2．（2024八下·龙岗期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是( )
A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解。
A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误。
故选C.
3．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在中，
分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，
是线段的垂直平分线，
，，
，
，
故答案为：B
【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一性质即可得到答案．
4．（2024八下·龙岗期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
5．（2024八下·龙岗期末）用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形的一个内角为：，
，且正六边形是由个全等纸片拼接得到的，
，
故答案为：C．
【分析】先计算出正六边形一个内角为，再根据全等三角形的性质即可求解．
6．（2024八下·龙岗期末）数学创新小队制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的斜边平行，将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点O处．如图所示，现将测量三角板底边紧贴被测物体表面，保持测量三角板与被测物体的截面在同一平面．若被测物体的截面为（平行于水平面），此时铅锤线（图中箭头的线）在量角器上对应的刻度为，那么倾斜角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到，，由对顶角的性质得到即可求解．
7．（2024八下·龙岗期末）为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则走乙路线的平均速度为千米/时，
依题意，可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据“时间节省20分钟”列出分式方程即可．
8．（2024八下·龙岗期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（ ）
用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的除法法则；不等式的概念
【解析】【解答】解：若每天服用2次，则所需剂量在之间，若每天服用3次，在所需剂量在之间，
∴依次服用这种药的剂量在之间，
∴，
故答案为：D．
【分析】若每天服用2次，则所需剂量为之间，若每天服用3次，则所需剂量为之间，故一次服用这种药的剂量在之间．
9．（2024八下·龙岗期末）在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小
B．
C．当时，
D．方程组的解为
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意；
C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，延长交的延长线于，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：A．
【分析】延长交的延长线于，根据勾股定理可得AC，再根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系可得AF，再根据三角形面积即可求出答案.
11．（2024八下·龙岗期末）如图，将等边绕点按逆时针方向旋转到的位置，若，则旋转角的度数是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质即可求出答案.
12．（2024八下·龙岗期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式值为0的条件及分式有意义的条件即可求出答案.
13．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，对角线，相交于点O，，， ，则 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
∵，，
∴在中，，
∴，
故答案为：10．
【分析】先利用平行四边形的性质及勾股定理求出OB的长，再利用平行四边形的性质求出即可.
14．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，，，，点D在内部且为等边三角形，E、F分别是、的中点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，genuine等边三角形性质可得，，根据线段中点可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BN，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据边之间的关系可得NG，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，根据边之间的关系可得FM，再根据勾股定理即可求出答案.
15．（2024八下·龙岗期末）定义：形如（m，n不为零）的方程为“十字分式方程”，它的两个解分别为，．
举例：为十字分式方程，可化为，
∴，．
为十字分式方程，可化为，
∴，．
应用：若十字分式方程的两个解分别为，，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：十字分式方程的两个解分别为：，，
∴，，
∴
故答案为：．
【分析】先根据十字分式方程的定义求出，的值，再化简代入计算即可求解．
16．（2024八下·龙岗期末）分解因式
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式7，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）提取公因式（x-y）即可得解.
17．（2024八下·龙岗期末）先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，时，分式分母为0，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
18．（2024八下·龙岗期末）已知在网格坐标系中，将进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表：
变换前
变换后
（1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出；
（2）若是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ；
（3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ．
【答案】（1）解：点C坐标为，
如图，如图所示：
（2）
（3）平行四边形；20
【知识点】平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
【分析】（1）由已知点的坐标先确定平移方式，再确定的坐标，并画出图形即可；
（2）由平移的性质可得答案；
（3）由平移的性质可得四边形的形状，再利用面积公式计算即可；
（1）解：∵，；
∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位；
∵，
∴，
如图，如图所示：
（2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为；
（3）解：由平移的性质可得：，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的面积为；
19．（2024八下·龙岗期末）阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元．
（1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？
（2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
【答案】（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克．
（2）解：设每千克蓝莓的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
即y的最小值为．
答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克．
（2）设每千克蓝莓的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
即y的最小值为．
答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元．
20．（2024八下·龙岗期末）如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）①解：作角平分线如图1；
②解：，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）选择②③；由，可得，则，可证，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据角平分线的性质作图即可.
②根据平行四边形性质可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）①解：作角平分线如图1；
②解：，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（2024八下·龙岗期末）【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】温水水流速度是，
水杯容积：．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况）
【问题】
（1）接到温水的体积是 ，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ．
【答案】（1），
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒
（3）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4），
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为：，．
（4）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为：，.
【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可求解；
（2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式：，解不等式即可；
（3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值计算即可求出的值；
（4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式： ，代入数值即可列出关于的函数关系式： ，再根据不等式，代入求解即可．
（1）解：∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为，．
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒．
（3）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为，
22．（2024八下·龙岗期末）已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D．
【特例感知】
（1）如图1，当点D落在上时，求的长；
【类比迁移】
（2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．
①当为等腰三角形时，直接写出长；
②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式．
【答案】解：（1）∵将沿折叠得到，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，即；
（2）
解：延长交延长线于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即；
(3) ①或3；
②
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：①情况1：，即；
情况2：如图1，当时，作于点H，则，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
情况3：如图2，当四边形为正方形时，此时，，
由旋转的性质得：，
∴是等腰直角三角形，
此时点D在上，且为的中点，
此时，符合题意，
∴；
综上所述，的长为或3；
② 如图，作于点H，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴
即．
【分析】（1）根据折叠性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得BD，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）延长交延长线于点M，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，则CM=9，根据勾股定理可得AM，再根据边之间的关系可得DM，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）①分情况讨论：，即，即可求出答案；当时，作于点H，则，根据旋转性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当四边形为正方形时，此时，，根据旋转性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，此时点D在上，且为的中点，此时，即可求出答案.
②作于点H，则，根据旋转性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理可得AP，再根据三角形面积即可求出答案.
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