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2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是( )
A. B. C. D.
4.如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 无法确定
5.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的值域为的值域为，则( )
A. B. C. D.
7.如图，棱长为的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且平面则点在侧面轨迹的长度为
A. B. C. D.
8.已知函数的最大值为，若在区间上有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四面体中，，，则下列结论正确的有( )
A. 四面体的表面积为
B. 四面体的体积为
C. 四面体外接球的表面积为
D. 记四面体内切球的球心为，则
10.已知平面向量，，则( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11.已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C. 向量，在上的投影向量相等
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为 ．
13.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆正方形内部，含边界，则的取值范围为 ．
14.在中国古代数学著作九章算术中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
求角的大小；
求的取值范围．
16.本小题分
已知中，分别为内角的对边，且．
求角的大小；
设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积．
17.本小题分
函数的部分图象如图所示：
求函数的解析式；
求函数在上的单调区间；
已知，，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，平面，，设，分别为，的中点．
求证：平面平面；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
设，是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为轴，轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记已知，．
若．
(ⅰ)求．
(ⅱ)是否存在上一点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
若对恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
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7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.，
，
，
，
，，
又，，
，；
根据正弦定理，，
则
，
，所以的取值范围为．
16.在中，由正弦定理及得：，
由余弦定理得，
又，所以
是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，
故
17.由图象可得，设的最小正周期为，
则，解得，
，故，解得，
所以，
将代入解析式，，
故，解得，
又，故当时，满足要求，
所以；
时，，
故当或时，
即或时，单调递增，
当，即时，单调递减，
故在上的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
，即，
因为，所以，又，
所以，其中，
故，故，
所以
．

18.
由中位线定理可得平面 再证得平面平面平面；由知，平面平面点到平面的距离等于点到平面的距离．
试题解析：证明：分别为的中点，
则 又平面，平面，
平面
在中，，．
又， ．
平面，平面，平面
又，平面平面．
由知，平面平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离．
由已知，，，，，
三棱锥的体积．
19.
，
轴上不存在一点，理由如下：
假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形．
依题意得：，
，
，
，，
即，
即，
化简得：，
，方程无解，
即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形；
，
恒成立，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在上单调递增，理由如下：
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
故，即，
故在上单调递增，
当时，取得最大值，最大值为．

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