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广西壮族自治区南宁市第三中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·南宁期末）下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·南宁期末）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·南宁期末）以下列各组线段长为边，能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．5，11，13 D．6，9，10
4．（2024八下·南宁期末）下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·南宁期末）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2024八下·南宁期末）已知点，在直线上，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．（2024八下·南宁期末） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·南宁期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·南宁期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·南宁期末）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
11．（2024八下·南宁期末）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
12．（2024八下·南宁期末）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024八下·南宁期末）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是　 　．
14．（2024八下·南宁期末）如图，在中，，，，，则　 　．
15．（2024八下·南宁期末）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是　 　分．
16．（2024八下·南宁期末）二次函数中，当时，的最小值是　 　．
17．（2024八下·南宁期末）如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为　 　．
18．（2024八下·南宁期末）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为　 　．
19．（2024八下·南宁期末） 计算：；
20．（2024八下·南宁期末）解方程：．
21．（2024八下·南宁期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）在上找一点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
22．（2024八下·南宁期末）中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（）时都符合标准，其中质量（）为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）：
甲：，，，，，，，，，
乙：，，，，，，，，，
分析数据如表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了个粽子，乙员工共包了个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以优秀率作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
23．（2024八下·南宁期末）如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
24．（2024八下·南宁期末）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示：
流水时间 0 10 20 30 40
水面高度（观察值） 30 29 28 27 26
任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）；
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化．
任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度．
任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值．
【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具．
任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明．
25．（2024八下·南宁期末）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
26．（2024八下·南宁期末）如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？
（3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义判断．解题的关键是找对称轴。
2．【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：|－30|<|－50|<|－60|<|－80|，
故信号最强的是－30dBm.
故答案为：D.
【分析】由题意，比较各个选项的绝对值，取绝对值最小的即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，能构成直角三角形，故本选项正确．
B．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，，
∴，
则成绩最稳定的是丁，
故答案为：D．
【分析】根据方差越小，数据越稳定求解即可．
6．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：，
函数y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、正确；
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】注意，负数的偶数次方为正数.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，
由题意可得23（1-x）2=16.
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，，
∵，，
在中，，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再结合DE=20，利用勾股定理求出AE的长即可.
10．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
∴
解得： 且
∵关于的分式方程的解是负数，
∴，且
∴且，
故答案为：B．
【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
∵要使二次根式有意义，
∴x-4≥0，
∴，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】由题意易得，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得90×30%+94×50％+95×20%=93（分），
故答案为：93
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
16．【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，当时取最小值，最小值为，
故答案为：1.
【分析】先将二次函数的一般式换为顶点式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
17．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入中，
可得：，
解得：，
∴
∴不等式的解集为
故答案为：
【分析】先求出点P的横坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，
是等腰直角三角形，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：
．
，即，
此时、、三点共线且，点在的中点处，
，
．
故答案为：．
【分析】根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出．
19．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得，由二次根式的性质可得，由绝对值的非负性可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
20．【答案】解：原方程变形为，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
21．【答案】（1）解：如图，点为所作；
（2）解：设，则，
在中，
，
，
解得，
即的长为3．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于点；
（2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图，点为所作；
（2）设，则，
在中，
，
，
解得，
即的长为3．
22．【答案】（1）；
（2）解：乙员工更加优秀，理由如下：
因为乙的方差小于甲的方差，
所以乙所包粽子质量质量比较稳定；
（3）解：个，
个，
甲员工所包粽子的优秀率为，
乙员工所包粽子的优秀率为，
甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率，
甲员工更加优秀．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得，
乙的中位数为第5、6 个数的平均数，
故答案为：，；
【分析】（1）根据众数的定义求出甲的众数，根据中位数的定义求得乙的中位数即可；
（2）比较两者方差的大小即可；
（3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案．
（1）解：由题意得，
乙的中位数为第5、6 个数的平均数，
故答案为：，；
（2）解：乙员工更加优秀，理由如下：
因为乙的方差小于甲的方差，
所以乙所包粽子质量质量比较稳定；
（3）解：个，
个，
甲员工所包粽子的优秀率为，
乙员工所包粽子的优秀率为，
甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率，
甲员工更加优秀．
23．【答案】（1）证明：∵点分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形.
（2）证明：在中，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质可得，再结合AB=2AD，可得，从而可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质及等边对等角的性质可得，再结合，利用等量代换可得．
24．【答案】任务1：定；
解：任务2：根据任务1的结论，水面高度与流水时间满足一次函数关系，
故设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，
将，；，代入，得，
解得，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
任务3：当时，，
∴当流水时间为2小时，水面高度h的值为；
任务4：根据任务1的变化规律，可以在甲容器外壁每隔标记一个刻度，这样水面高度每降低一个刻度，就代表时间经过了．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务1：根据表格数据，每隔，水面高度都减小，
∴观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为定值，
故答案为：定；
【分析】任务1：直接由表格数据可得出答案；
任务2：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，根据待定系数法将，；，代入解析式接口求出答案.
任务3：将t=20代入解析式即可求出答案.
任务4：根据观察出水面的高度值随流水时间的变化规律进行设计即可．
25．【答案】解：（1）根据题意可知： 道路宽度x不超过12米，且不小于5米 ，因此纵向道路宽度x的取值范围为5≤x≤12；
（2）根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：x=10或x=190（不符合题意故舍去），
所以路面宽度为10米，
因为5≤x≤12，
所以路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓的利润为（100-y）元，
根据题意可列方程为为：（100-y）（5000+500×）-20000=520000，
整理得：，
解得：y=10或y=40，
所以，从购买草莓客户的角度应该降价40元，
答：从购买草莓客户的角度应该降价40元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题目中 “道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围；
（2）由果园的长、宽及四周带路的宽度，可得出中间种植部分的长为（300-2x），宽为（200-2×2x），结合中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，求解可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出一元二次方程，求解可得出y的值，再结合从购买草莓客户的角度即可确定y的值.
26．【答案】（1）解：令，则，
点的坐标为，
将，两点坐标代入到直线中，
得，
解得，
点的坐标为，，；
（2）解：点为直线上（不与、重合）一动点，
设，
轴，轴，
，，
四边形的面积为2，
，
解得或2或或，
当点的坐标为，或或或时，四边形的面积为2；
（3）存在，、、、
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的判定与性质；四边形-动点问题
1 / 1广西壮族自治区南宁市第三中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·南宁期末）下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义判断．解题的关键是找对称轴。
2．（2024八下·南宁期末）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：|－30|<|－50|<|－60|<|－80|，
故信号最强的是－30dBm.
故答案为：D.
【分析】由题意，比较各个选项的绝对值，取绝对值最小的即可.
3．（2024八下·南宁期末）以下列各组线段长为边，能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．5，11，13 D．6，9，10
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，能构成直角三角形，故本选项正确．
B．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D．，不能构成直角三角形，故本选项错误；
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024八下·南宁期末）下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024八下·南宁期末）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，，
∴，
则成绩最稳定的是丁，
故答案为：D．
【分析】根据方差越小，数据越稳定求解即可．
6．（2024八下·南宁期末）已知点，在直线上，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：，
函数y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
7．（2024八下·南宁期末） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、正确；
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】注意，负数的偶数次方为正数.
8．（2024八下·南宁期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，
由题意可得23（1-x）2=16.
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
9．（2024八下·南宁期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：依题意，，
在中，，
∵，，
在中，，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再结合DE=20，利用勾股定理求出AE的长即可.
10．（2024八下·南宁期末）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
∴
解得： 且
∵关于的分式方程的解是负数，
∴，且
∴且，
故答案为：B．
【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
11．（2024八下·南宁期末）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
12．（2024八下·南宁期末）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
13．（2024八下·南宁期末）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
∵要使二次根式有意义，
∴x-4≥0，
∴，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
14．（2024八下·南宁期末）如图，在中，，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】由题意易得，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
15．（2024八下·南宁期末）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是　 　分．
【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得90×30%+94×50％+95×20%=93（分），
故答案为：93
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
16．（2024八下·南宁期末）二次函数中，当时，的最小值是　 　．
【答案】1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴当时，当时取最小值，最小值为，
故答案为：1.
【分析】先将二次函数的一般式换为顶点式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
17．（2024八下·南宁期末）如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入中，
可得：，
解得：，
∴
∴不等式的解集为
故答案为：
【分析】先求出点P的横坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
18．（2024八下·南宁期末）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，
是等腰直角三角形，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：
．
，即，
此时、、三点共线且，点在的中点处，
，
．
故答案为：．
【分析】根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出．
19．（2024八下·南宁期末） 计算：；
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得，由二次根式的性质可得，由绝对值的非负性可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
20．（2024八下·南宁期末）解方程：．
【答案】解：原方程变形为，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
21．（2024八下·南宁期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）在上找一点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，点为所作；
（2）解：设，则，
在中，
，
，
解得，
即的长为3．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于点；
（2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图，点为所作；
（2）设，则，
在中，
，
，
解得，
即的长为3．
22．（2024八下·南宁期末）中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（）时都符合标准，其中质量（）为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）：
甲：，，，，，，，，，
乙：，，，，，，，，，
分析数据如表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了个粽子，乙员工共包了个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以优秀率作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：乙员工更加优秀，理由如下：
因为乙的方差小于甲的方差，
所以乙所包粽子质量质量比较稳定；
（3）解：个，
个，
甲员工所包粽子的优秀率为，
乙员工所包粽子的优秀率为，
甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率，
甲员工更加优秀．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得，
乙的中位数为第5、6 个数的平均数，
故答案为：，；
【分析】（1）根据众数的定义求出甲的众数，根据中位数的定义求得乙的中位数即可；
（2）比较两者方差的大小即可；
（3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案．
（1）解：由题意得，
乙的中位数为第5、6 个数的平均数，
故答案为：，；
（2）解：乙员工更加优秀，理由如下：
因为乙的方差小于甲的方差，
所以乙所包粽子质量质量比较稳定；
（3）解：个，
个，
甲员工所包粽子的优秀率为，
乙员工所包粽子的优秀率为，
甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率，
甲员工更加优秀．
23．（2024八下·南宁期末）如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵点分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形.
（2）证明：在中，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质可得，再结合AB=2AD，可得，从而可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质及等边对等角的性质可得，再结合，利用等量代换可得．
24．（2024八下·南宁期末）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示：
流水时间 0 10 20 30 40
水面高度（观察值） 30 29 28 27 26
任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）；
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化．
任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度．
任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值．
【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具．
任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明．
【答案】任务1：定；
解：任务2：根据任务1的结论，水面高度与流水时间满足一次函数关系，
故设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，
将，；，代入，得，
解得，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
任务3：当时，，
∴当流水时间为2小时，水面高度h的值为；
任务4：根据任务1的变化规律，可以在甲容器外壁每隔标记一个刻度，这样水面高度每降低一个刻度，就代表时间经过了．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务1：根据表格数据，每隔，水面高度都减小，
∴观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为定值，
故答案为：定；
【分析】任务1：直接由表格数据可得出答案；
任务2：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，根据待定系数法将，；，代入解析式接口求出答案.
任务3：将t=20代入解析式即可求出答案.
任务4：根据观察出水面的高度值随流水时间的变化规律进行设计即可．
25．（2024八下·南宁期末）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
【答案】解：（1）根据题意可知： 道路宽度x不超过12米，且不小于5米 ，因此纵向道路宽度x的取值范围为5≤x≤12；
（2）根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：x=10或x=190（不符合题意故舍去），
所以路面宽度为10米，
因为5≤x≤12，
所以路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓的利润为（100-y）元，
根据题意可列方程为为：（100-y）（5000+500×）-20000=520000，
整理得：，
解得：y=10或y=40，
所以，从购买草莓客户的角度应该降价40元，
答：从购买草莓客户的角度应该降价40元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题目中 “道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围；
（2）由果园的长、宽及四周带路的宽度，可得出中间种植部分的长为（300-2x），宽为（200-2×2x），结合中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，求解可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出一元二次方程，求解可得出y的值，再结合从购买草莓客户的角度即可确定y的值.
26．（2024八下·南宁期末）如图1，一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）如图2，O为坐标原点，点Q为直线上（不与A、C重合）一动点，过点Q分别作y轴和x轴的垂线，垂足为E、F．点Q在何处时，矩形的面积为2？
（3）点M在y轴上，平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则，
点的坐标为，
将，两点坐标代入到直线中，
得，
解得，
点的坐标为，，；
（2）解：点为直线上（不与、重合）一动点，
设，
轴，轴，
，，
四边形的面积为2，
，
解得或2或或，
当点的坐标为，或或或时，四边形的面积为2；
（3）存在，、、、
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的判定与性质；四边形-动点问题
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