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【精准提分】专题02 计算题专项集训（浙教2024）
【二元一次方程组、整式、因式分解、分式、分式方程10个题型】
【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组 1
【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组 11
【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组 19
【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组 28
【基础题型五】解三元一次方程组 39
【基础题型六】整式的混合运算 49
【基础题型七】因式分解的相关计算 53
【基础题型八】含乘方的分式乘除运算 61
【基础题型九】含乘方的分式乘除运算 69
【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程 73
【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组
例题1（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1），
把②代入①，得，
解得，
把代入②，得，
∴；
（2），
，得
，
∴，
∴把代入①，得
，
∴，
∴．
【变式1-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：方程组整理得
，
得：③，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【变式1-2】（24-25七年级下·天津·期中）解下列方程组．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
由①得，
把③代入②，得，则，
把代入③，得，
所以这个方程组的解为；
（2）解：化简，得，
，得，
由，得，则，
把代入①，得，
所以这个方程组的解为．
【变式1-3】（24-25七年级下·吉林·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
将①代入②，得，
解得：，
将代入①，得，
方程组的解为：；
（2）解：，
整理得，
将②代入①，得，
解得：，
将代入②，得，
方程组的解为：．
【变式1-4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
把②代入①，得，
∴，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
，得，
把代入②，得，
∴，
∴方程组的解为．
【变式1-5】（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
把代入得，
解得，
将代入得，
原方程组的解为；
（2）解：
得，
解得，
将代入得，
解得，
原方程组的解为．
【变式1-6】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）解下列一元二次方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：，
将代入②得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
【变式1-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解方程组∶
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
把①代入②得：，解得，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【变式1-8】（24-25九年级下·广东广州·期中）（1）解方程组；
（2）解方程组：；
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）解方程组；
将①代入②得，
，
，
，
将代入①得，
是方程组的解；
（2）解方程组：
①＋②×2得，
，
将代入①得，，，
是方程组的解．
【变式1-9】（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
方程组的解为；
（2）解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
去括号，得，
解得：，
把代入③，得，
方程组的解为．
【变式1-10】（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
①代入②，可得：
，
解得，
把代入①，
解得，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
∴原方程组的解是．
【变式1-11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：
把①代入②，得：，
解得：，
将带入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
，得：，
解得：，
将带入②，得，
解得：，
∴原方程组的解是．
【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组
例题2（24-25七年级下·福建厦门·期中）解二元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
②代入①得，
解得：
将代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：
①②得：
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为
【变式2-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴这个方程组的解为；
（2）解：，
整理，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴这个方程组的解为．
【变式2-2】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：．
【答案】
【详解】解：，
①×3得：③，
②×4得：④，
③+④得：，解得：
将代入①得
所以该方程组得解为
【变式2-3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）用适当的方法解方程组．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【变式2-4】（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
由①得，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【变式2-5】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：，
将方程①与方程②相加，可得，解得：，
将代入方程①：，解得：，
该二元一次方程组的解为；
（2）解：
方程①：展开并整理得：③，
方程②：展开并整理得：④，
将方程③与方程④相加，可得：，解得：，
将代入方程③：，解得：，
该二元一次方程组的解为．
【变式2-6】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）解下列方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
所以原方程组的解为．
【变式2-7】（24-25七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
得，
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，
得，
解得，
将代入②得，
解得
∴原方程组的解为．
【变式2-8】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入②得：，解得，
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
【变式2-9】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
由，得，解得：，
将代入①得，
故方程组得解为；
（2）解：，
将②化简得③，
由得，
将代入①得，
故方程组得解为．
【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组
例题3（24-25七年级下·山东烟台·期中）解下列方程组：
(1)（请用代入消元法来解）
(2)；
解题思路：【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键：
（1）将①变形得到，代入②进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由①，得，
把③代入②得：，解得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为；
（2）原方程组可整理为，
得，解得，
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解为．
【变式3-1】（24-25七年级下·重庆忠县·期中）解下面各题：
(1)解方程组；
(2)用代入法解方程组：
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
整理得：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
由②得，
把③代入①得：，解得，
把代入③得：，
∴原方程组的解为．
【变式3-2】解下列方程组：
（）；
（）．
【答案】（）；（）
【详解】解：（），
由②得，③，
把③代入①得，，
解得，
把代入③，得，
∴方程组的解是；
（），
①得，③，
②得，④，
③+④得，，
解得，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解是．
【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解二元一次方程组：
(1)用代入法解方程组
(2)用适当方法解方程组
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
由①得，③，
将③代入②得，，
解得，
将代入③得，，
所以原方程组的解为；
（2）解：原方程组可变为，
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
所以原方程组的解为．
【变式3-4】（24-25七年级下·河南开封·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解；
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解；
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【变式3-5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）解下列方程组
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，得
，
把代入①，得
，
∴，
∴；
（2）解：，
化简，得
，
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
∴．
【变式3-6】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
由①式得：，
把代入②式得：，
解得：，
把代入，
解得：，
∴方程组的解为：
（2）解：
由①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【变式3-7】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
把②代入①得：
，
把代入②得：，
原方程组的解为；
（2）解：，
方程组整理得：，
得：
，
把代入②得：
，
则方程组的解为．
【变式3-8】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组：
(1)（用代入消元法）
(2)（用加减消元法）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
由①，得．③
将③代入②，得，
，
，
．
将代入③，得．
所以原方程组的解是；
（2）解：，
，得，
．
将代入①，得，
．
所以原方程组的解是．
【变式3-9】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：得：
，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是．
（2）解：得：
，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是．
【变式3-10】（24-25六年级下·上海闵行·期中）解下列二元一次方程组
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
①②，得，
解得．
将代入②，得，
解得．
所以方程组的解是；
（2）解：，
整理得：，
②①得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组
例题4（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程组
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
（2）
解：，得：，解得：；
把代入②，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
（3）原方程组可化为：
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：；
（4）
原方程组可化为：
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
【变式4-1】（2025七年级下·全国·期中）用加减法解下列方程组．
(1)．
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：把得，，
解得：，
把代入①得，，
解得：，
故此不等式组的解集为：；
（2）解：原方程组可化为，
得，，解得：，
把代入④得，，解得：，
故此方程组的解为．
【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
由①得，然后代入②，
得，
展开得：，
解得：，
把代入，
得：，
∴这个方程组的解是．
（2），
方程组整理得：，
由得：③，
由得：
，
解得：，
把代入①得：
，
解得．
∴这个方程组的解是．
【变式4-3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：在中
由得，
解得，
把代入得，
方程组的解是；
（2）解：将原方程组变形为，
由得，
解得，
将代入得，
解得，
原方程组的解是．
【变式4-4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）解方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：
①②，得：，
解得：，
把代入①，
得：，
解得：，
原方程组的解为；
（2）解：方程组整理，得，
③④得：，
解得：，
将代入③得：，
解得：，
原方程组的解为．
【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1），
化简，得
，
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
∴；
（2），
化简，得
，
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
∴．
【变式4-6】（23-24七年级下·全国·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
由①得：，
将③代入②，可得：；
解得：；
将代入③，可得：；
故该方程组的解为：；
（2）解：整理成；
得：，
解得：；
把代入①得：，
解得：；
故该方程组的解为：；
（3）解：整理成；
由得：；
将③代入②，可得：；
解得：；
将代入③，可得：；
故方程组的解为：；
【变式4-7】（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【变式4-8】（2024七年级下·全国·期中）解下列二元一次方程组：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【详解】（1）解：，
，得：，解得：，
把代入，得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（3）
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（4）
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（5）原方程组可化为：，
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（6）原方程组可化为：
，得：，解得：；
把代入，得：，解得：，
∴方程组的解为：．
【变式4-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程的解为：；
（2）解：，
原方程组可变为：，
由①得，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：．
【基础题型五】解三元一次方程组
例题5（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：
(1)；（用代入法解）
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
将①代入②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴方程组的解为；
（3）解：，
得：，
得：，
将代入①得，
解得：，
将，代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1），
将①代入②，得
，
∴，
，
解得，
把代入①，得，
∴；
（2），
由，得，
，得，
由④⑤得到
将代入①可得， ，
∴原方程组的解为．
【变式5-2】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：对于方程组
由①得，③
把③代入②得
解得．
把代入③得，
故原方程组的解为；
（2）解：，
，得，
，得，
，得：，
解得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①，得：，
解得：．
所以原方程组的解为．
【变式5-3】（23-24六年级下·上海长宁·期末）解方程组：．
【答案】
【详解】解：把①代入②得，，
，
把代入①③得，，
将④代入⑤得，，
，
把代入④得，，
原方程组的解为： ．
【变式5-4】（24-25七年级下·四川资阳·期中）解方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：方程组整理得：，
得：，解得：，
把代入①得：，
解得：，
故方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
故方程组的解为．
【变式5-5】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
，得，
∴，
将代入①，得，
∴，
∴方程组的解为；
（2）解：
由①得③，
由②得④，
将③代入④得，，
解方程组，
∴，
∴，
∴方程组的解为．
【变式5-6】（22-23七年级下·江西宜春·期末）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
②代入①，可得，
解得，，
将代入②，可得，
故方程组的解为．
（2）解：．
①+②，得④，
②+③，得⑤，
④⑤，得，解得．
把代入④，得，解得．
把，代入③，得，解得．
所以原方程组的解为．
【变式5-7】（23-24六年级下·上海松江·期末）解方程组：
【答案】
【详解】由得：④
由得：⑤
由得：
将代入④得：
将，代入①得：
所以，原方程组的解为．
【变式5-8】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：．
【答案】
【详解】解：②+③，得④，
由①④组成方程组，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴原方程组的解是．
【变式5-9】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组：．
【答案】
【详解】解：①③得：，
化简，得
②-①得：
④+⑤得：，解得，
把代入④得，，
把，代入③得：
∴原方程组的解为
【变式5-10】（23-24六年级下·上海黄浦·期末）解方程组：．
【答案】
【详解】解：，
由得，
由得，
由得，
得，
∴
将代入③得
将，代入①得
，
解得：
∴原方程组解为．
【变式5-11】（23-24七年级下·江苏南通·期中）（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1），
整理得：，
①+②得：，解得：，
把代入①得：，
∴，
∴．
（2），
①+②得：④，
②+③得：⑤，
④⑤得：，
把代入，
∴，
把，代入①得：，
∴．
【基础题型六】整式的混合运算
例题6（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，3
【详解】
∵，
∴原式．
【变式6-1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式6-2】（2025七年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】；8
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式6-3】（24-25七年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式6-4】（2025·湖南长沙·二模）先化简，再求值：，其中
【答案】；6
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式6-5】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【变式6-6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值
，其中．
【答案】，
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【变式6-7】（24-25九年级下·重庆·期中）计算：
【答案】
【详解】解：
．
【变式6-8】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值．
，其中，．
【答案】，
【详解】解：
，
当，时，原式．
【变式6-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）（1）化简：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；.
【详解】解：（1）
；
（2）
当时，原式．
【变式6-10】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
；
当时，
原式．
【基础题型七】因式分解的相关计算
例题7（24-25七年级下·吉林·期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式7-1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式7-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式7-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
；
（3）解：
，
．
【变式7-4】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【变式7-5】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解；
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式7-6】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
（2）
．
【变式7-7】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)(2)(3)2500
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式7-8】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)利用因式分解进行简便计算：；
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【变式7-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式7-10】（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
；
（4）解：，
，
．
【变式7-11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式7-12】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：．
（4）解：．
【基础题型八】含乘方的分式乘除运算
例题8（23-24八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【变式8-1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算：
【答案】
【详解】解：原式
．
【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
．
【变式8-4】（23-24八年级上·吉林·期中）计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
【变式8-5】（23-24八年级上·湖北黄石·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式8-6】（24-25八年级下·湖南常德·期中）计算：
【答案】
【详解】解：
．
【变式8-7】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）计算题
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
．
【变式8-8】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式8-9】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-10】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
（4）解：
．
【变式8-11】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)(2)(3)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【基础题型九】含乘方的分式乘除运算
例题9（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】．
【详解】解：，
，
，
，
当时，原式．
【变式9-1】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中．
【答案】
【详解】解：，
当时，原式=．
【变式9-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）化简求值，，其中．
【答案】；
【详解】解：
，
当，原式．
【变式9-3】（24-25八年级下·河南南阳·期中）先化简再求值．，请在，1，2，3中选择一个适当的数作为的值代入求值．
【答案】，4
【详解】解：
，
∵
∴，
故把代入，
得．
【变式9-4】（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简，然后从，1，2中选择一个数代入求值．
【答案】，2
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【变式9-5】（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解．
【答案】，3
【详解】解：原式=
=
=
=；
由方程，得：．
∴原式．
【变式9-6】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；1
【详解】解：
当时，．
【变式9-7】（2025·重庆·一模）先化简再求值：，其中是从，0，2中选取的一个合适的数．
【答案】；0
【详解】解：原式，
，
，
且，
当时，原式，
【变式9-8】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，值为（答案不唯一）
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式
【变式9-9】（2025八年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
【变式9-10】（2025·北京·一模）已知，求代数式的值．
【答案】2
【详解】解：
，
∴ 当时，原式 ．
【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程
例题10（24-25八年级下·甘肃天水·期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解(2)
【详解】（1）解：
去分母得，，
解得：，
当时，，
∴是原方程的增根，此方程无解；
（2）解：
去分母得，
解得：
当时，，
∴是原方程根．
【变式10-1】（2025·福建南平·二模）解分式方程：．
【答案】
【详解】解：方程两边乘得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【变式10-2】（2025·陕西西安·模拟预测）解方程：
【答案】
【详解】解：
去分母，得．
整理，得．
解得．
检验：当时，．
原分式方程的解为．
【变式10-3】（24-25八年级下·重庆·期中）解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为：；
（2）解：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为：．
【变式10-4】（24-25九年级下·福建福州·期中）解分式方程：．
【答案】
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【变式10-5】（24-25八年级下·全国·期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)（增根），原方程无解(2)
【详解】（1）解：
方程两边同乘，得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
（2）解：
方程两边同乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
【变式10-6】（24-25八年级下·四川眉山·期中）解方程：．
【答案】原分式方程无解
【详解】解：，
整理得，
去分母得，
，
经检验：当时，，
原分式方程无解．
【变式10-7】（2025八年级下·全国·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)无解
【详解】（1）解：，
∴，
去分母得：，
∴，
解得：，
检验，当时，，
所以该分式方程的解为：；
（2）解：，
去分母得：，
∴
解得：，
检验，当时，，
所以该分式方程无解．
【变式10-8】（2025八年级下·全国·期中）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)方程无解(2)
【详解】（1）解：
化为整式方程得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验：把代入，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：
化为整式方程得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
【变式10-9】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)分式方程无解．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：，
∴，
解得：，
检验，当时，，
∴是原方程的增根，原方程无解．
【变式10-10】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)无解
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程的解为：；
（2）解：，
，
，
检验，当时，，
所以该分式方程无解．
【变式10-11】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：
∴，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为：．中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题02 计算题专项集训（浙教2024）
【二元一次方程组、整式、因式分解、分式、分式方程10个题型】
【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组 1
【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组 4
【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组 5
【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组 7
【基础题型五】解三元一次方程组 10
【基础题型六】整式的混合运算 12
【基础题型七】因式分解的相关计算 13
【基础题型八】含乘方的分式乘除运算 16
【基础题型九】含乘方的分式乘除运算 18
【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程 19
【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组
例题1（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【变式1-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【变式1-2】（24-25七年级下·天津·期中）解下列方程组．
(1)；
(2)．
【变式1-3】（24-25七年级下·吉林·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式1-4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程：
(1)
(2)
【变式1-5】（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组：
(1)；
(2)
【变式1-6】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）解下列一元二次方程
(1)；
(2)．
【变式1-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解方程组∶
(1)
(2)
【变式1-8】（24-25九年级下·广东广州·期中）（1）解方程组；
（2）解方程组：；
【变式1-9】（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组．
(1)
(2)
【变式1-10】（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程组：
(1)
(2)
【变式1-11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程：
(1)
(2)
【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组
例题2（24-25七年级下·福建厦门·期中）解二元一次方程组：
(1)
(2)
【变式2-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【变式2-2】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：．
【变式2-3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）用适当的方法解方程组．
(1)
(2)
【变式2-4】（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程组：
(1)
(2)
【变式2-5】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）解方程组
(1)
(2)
【变式2-6】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）解下列方程组：
(1)；
(2)
【变式2-7】（24-25七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【变式2-8】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【变式2-9】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组
例题3（24-25七年级下·山东烟台·期中）解下列方程组：
(1)（请用代入消元法来解）
(2)；
解题思路：【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键：
（1）将①变形得到，代入②进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【变式3-1】（24-25七年级下·重庆忠县·期中）解下面各题：
(1)解方程组；
(2)用代入法解方程组：
【变式3-2】解下列方程组：
（）；
（）．
【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解二元一次方程组：
(1)用代入法解方程组
(2)用适当方法解方程组
【变式3-4】（24-25七年级下·河南开封·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【变式3-5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）解下列方程组
(1)；
(2)．
【变式3-6】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【变式3-7】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【变式3-8】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组：
(1)（用代入消元法）
(2)（用加减消元法）
【变式3-9】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组：
(1)
(2)
【变式3-10】（24-25六年级下·上海闵行·期中）解下列二元一次方程组
(1)
(2)
【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组
例题4（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程组
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式4-1】（2025七年级下·全国·期中）用加减法解下列方程组．
(1)．
(2)．
【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式4-3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【变式4-4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）解方程组：
(1)；
(2)
【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期中）解方程组：
(1)
(2)
【变式4-6】（23-24七年级下·全国·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
【变式4-7】（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组
(1)；
(2)．
【变式4-8】（2024七年级下·全国·期中）解下列二元一次方程组：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【变式4-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程组：
(1)
(2)
【基础题型五】解三元一次方程组
例题5（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：
(1)；（用代入法解）
(2)；
(3)．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
【变式5-2】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）解下列方程组：
(1)
(2)
【变式5-3】（23-24六年级下·上海长宁·期末）解方程组：．
【变式5-4】（24-25七年级下·四川资阳·期中）解方程组：
(1)；
(2)
【变式5-5】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【变式5-6】（22-23七年级下·江西宜春·期末）解下列方程组：
(1)
(2)
【变式5-7】（23-24六年级下·上海松江·期末）解方程组：
【变式5-8】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：．
【变式5-9】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组：．
【变式5-10】（23-24六年级下·上海黄浦·期末）解方程组：．
【变式5-11】（23-24七年级下·江苏南通·期中）（1）；
（2）．
【基础题型六】整式的混合运算
例题6（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，．
【变式6-1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算：
(1)；
(2)
【变式6-2】（2025七年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式6-3】（24-25七年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式6-4】（2025·湖南长沙·二模）先化简，再求值：，其中
【变式6-5】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算：
(1)
(2)
【变式6-6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值
，其中．
【变式6-7】（24-25九年级下·重庆·期中）计算：
【变式6-8】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值．
，其中，．
【变式6-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）（1）化简：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【变式6-10】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中．
【基础题型七】因式分解的相关计算
例题7（24-25七年级下·吉林·期中）因式分解：
(1)
(2)
【变式7-1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【变式7-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）因式分解
(1)
(2)
【变式7-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【变式7-4】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式7-5】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式7-6】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）分解因式：
(1)；
(2)．
【变式7-7】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解
(1)；
(2)；
(3)
【变式7-8】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)利用因式分解进行简便计算：；
【变式7-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式7-10】（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【变式7-11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式7-12】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【基础题型八】含乘方的分式乘除运算
例题8（23-24八年级下·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式8-1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算：
【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算
(1)；
(2)．
【变式8-4】（23-24八年级上·吉林·期中）计算：．
【变式8-5】（23-24八年级上·湖北黄石·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式8-6】（24-25八年级下·湖南常德·期中）计算：
【变式8-7】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）计算题
(1)
(2)
【变式8-8】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式8-9】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式8-10】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式8-11】（23-24八年级上·全国·期中）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【基础题型九】含乘方的分式乘除运算
例题9（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中．
【变式9-1】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中．
【变式9-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）化简求值，，其中．
【变式9-3】（24-25八年级下·河南南阳·期中）先化简再求值．，请在，1，2，3中选择一个适当的数作为的值代入求值．
【变式9-4】（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简，然后从，1，2中选择一个数代入求值．
【变式9-5】（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解．
【变式9-6】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【变式9-7】（2025·重庆·一模）先化简再求值：，其中是从，0，2中选取的一个合适的数．
【变式9-8】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值．
【变式9-9】（2025八年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式9-10】（2025·北京·一模）已知，求代数式的值．
【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程
例题10（24-25八年级下·甘肃天水·期中）解分式方程：
(1)
(2)
【变式10-1】（2025·福建南平·二模）解分式方程：．
【变式10-2】（2025·陕西西安·模拟预测）解方程：
【变式10-3】（24-25八年级下·重庆·期中）解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【变式10-4】（24-25九年级下·福建福州·期中）解分式方程：．
【变式10-5】（24-25八年级下·全国·期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【变式10-6】（24-25八年级下·四川眉山·期中）解方程：．
【变式10-7】（2025八年级下·全国·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式10-8】（2025八年级下·全国·期中）解方程：
(1)；
(2)
【变式10-9】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1)；
(2)．
【变式10-10】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式10-11】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程：
(1)
(2)

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