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【精准提分】专题04 平行线的性质和判定解答题（浙教2024）
【4个基础题型+4个压轴题型】
【基础题型一】利用平行线性质与判定进行相关证明 1
【基础题型二】根据平行线性质与判定求角度 10
【基础题型三】根据平行线性质与判定进行填空 20
【基础题型四】平行线性质与判定的实际应用 31
【压轴题型五】平行线综合之实践探究问题 38
【压轴题型六】平行线综合之“折点”问题（猪蹄、铅笔、骨折） 60
【压轴题型七】平行线综合之三角板问题 81
【压轴题型八】平行线综合之探究类问题 105
【基础题型一】利用平行线性质与判定进行相关证明
例题1（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)试说明：；
(2)若与互余，试说明：．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
∴．
【变式1-1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，已知，，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2），，
，
．
，
．
【变式1-2】（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，已知△ABC，点D在上，交于点E，连接，若．
(1)与是否平行？请说明理由；
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)，见解析(2)
【详解】（1）解：
理由：
，
（2）
∴
平分
，
【变式1-3】（24-25七年级下·北京·期中）已知，、是上的点，、是上的点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点．
①请你依据题意，补全图形；
②试猜想的度数，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解；①补全图形如图，
②，理由如下，
过点作，
∵，
，
，，
设，，
、分别平分、，
，，
又，
，
又，，
∴
，
，
，
．
【变式1-4】（24-25七年级下·北京·期中）如图，，，分别是和的角平分线，．
(1)求证：；
(2)能否判定？若能，请证明：若不能，说明理由．
【答案】(1)见解析(2)能判定，见解析
【详解】（1）证明：，分别是和的角平分线，
，．
，
．
，
，
∴，
；
（2）解：能判定．
理由如下：，
．
，
，
．
【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）已知如图，，射线与交于点，点在直线上，点在射线上，连接，，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)答案见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
【变式1-6】（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
又，
，
．
【变式1-7】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
．
（2）解：，，，，
，，
，
．
【变式1-8】（24-25七年级下·北京·期中）如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作且交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，则与是否平行？请判断并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)与平行，见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，
平分；
（2）解：与平行，
理由如下：
，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【变式1-9】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与互补．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）解：，
，
，
,
又，
，
．
（2）解：平分，
，
又，
，
，
,
,
,
，
．
【变式1-10】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在，上，且，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)详见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【基础题型二】根据平行线性质与判定求角度
例题2（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)当为多少度时，，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：因为，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以，
又因为平分，
所以．
因为，
所以．
（2）解：当时，．
理由如下：
因为，
所以．
当时，
设，则，则
又因为平分，
所以．
所以，
解得，
所以当时，．
【变式2-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，平分，平分，的反向延长线交于点，过点作．
(1)若∠ABE=150°，，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，，
平分，平分，
，，
，
，，
（2）解：设，，
，，
由（1）知：，
，
，
，
；
【变式2-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，连接，平分交于点，点在上，连接，过点作交于点，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，，，，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴．
【变式2-3】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图①，，直线分别交于点，，，三角形的顶点在线段上，且，．
(1)求的度数．
(2)平分吗？请说明理由．
(3)如图②，将三角形绕点顺时针旋转，旋转至点落在射线上时停止，当与三角形的其中一条边平行时，直接写出此时的度数．
【答案】(1)(2)见解析(3)或或或
【详解】（1）解：∵，
∴，
又，，
∴，
（2）解：平分，理由如下，
∵，
∴，，
∴，
∴平分．
（3）解：记旋转角为，则
①与的边平行时，如图，
∵,
∴,
又,
∴,；
如图，
,
；
② 与的边平行时，如下图，
，，
∴；

③与的边平行时，如下图，
,
∴，

综上，旋转角为或或或．
【变式2-4】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，平分，．
(1)试判断与的位置关系？请说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)平行，详见详解(2)
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2-5】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，已知交的延长线于点．
(1)直接写出线段和的位置关系，线段和的位置关系；
(2)写出图中和相等的所有的角；
(3)若，求和的度数．
【答案】(1)，(2)3)；
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴；
∵
∴，
∵，
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴；
∵
∴
∴
∴图中和相等的角有
（3）∵，，
∴
∵
∴
∵，
∴
∵
∴．
【变式2-6】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，直线，直线与，分别相交于点，，，交直线于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，，，则点到直线的距离是 ；点到直线的距离是 ．
【答案】(1)(2)，
【详解】（1）解：如图，
∵直线，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2），
∴点B到直线的距离是线段的长即4，点C到直线的距离是线段的长即3，
故答案为：4，3．
【变式2-7】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，，线段与分别相交于点，平分，平分，．
(1)求的度数
(2)求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：，
，
又，
又为的平分线，
．
（2）证明：，，
，
又为的平分线，
，
，
．
【变式2-8】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式2-9】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，连接，连接并延长至点，连接，，．
(1)求的度数；
(2)若，请判断与是否平行，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【基础题型三】根据平行线性质与判定进行填空
例题3（24-25七年级下·山东聊城·期中）完成下题的解答过程：
生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直地面于点A，平行于地面，若，求的度数．
解；如图3，过点作．
因为（已知），
根据平行于同一条直线的两条直线平行，得
（_____）
所以根据（_____），得
（_____），
因为，
所以（_____）．
因为，
所以（_____）．
因为，
所以（_____），
所以（_____），
所以（_____）．
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；44；90；；90；134
【详解】解；如图3，过点作．
因为（已知），
根据平行于同一条直线的两条直线平行，得
，
所以根据两直线平行，同旁内角互补，得
，
因为，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；44；90；；90；134．
【变式3-1】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：平分，，，求证：平分．
证明：∵平分，（已知），
∴（角平分线的定义）
∵（已知），
∴______．（______）
∴（等量代换）
∵（已知），
∴______（______），（______）
∴____________（等量代换），
∴平分（______）
【答案】见解析
【详解】证明：∵平分，（已知），
∴（角平分线的定义）
∵（已知），
∴．（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换），
∴平分（角平分线的定义）．
【变式3-1】（24-25七年级下·全国·期中）请将下列证明过程补充完整．
已知：如图，，垂足分别为D，F，．求证：平分．
证明：（已知），
（垂直的定义）．
_______________（ ）
_______________（两直线平行，内错角相等），
_______________（ ）
（已知），
_______________（ ）
平分（ ）．
【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换；角平分线的定义
【详解】证明：（已知），
（垂直的定义）．
（同位角相等，两直线平行）；
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换）
平分（角平分线的定义）．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换；角平分线的定义．
【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：．
证明：如图2，延长交于点，
（已知），
（________________）
又（已知），
________（等量代换）．
（________________）
________（两直线平行，同旁内角互补）
又________________（已知），
∴（________________）
________（同角的补角相等）．
【答案】见解析
【详解】证明：如图2，延长交于点 P．
∵（已知）
∴ （两直线平行，内错角相等）
又∵（ 已知 ），
∴（等量代换）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（ 同角的补角相等）．
【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）阅读题目，将推理过程及依据补充完整．
如图，，，是的角平分线，求证：．
证明：∵是的角平分线
∴（①_______）
又∵
∴（②_______）
∴（③_______）
∴④_______（⑤_______）
又∵
∴（⑥_______）
∴（⑦_______）
【答案】见解析
【详解】证明：∵是的角平分线，
∴（①角平分线的定义），
又∵，
∴（②等量代换），
∴（③内错角相等，两直线平行），
∴④（⑤两直线平行，同旁内角互补），
又∵，
∴（⑥同角的补角相等），
∴（⑦同位角相等，两直线平行）.
【变式3-4】（24-25八年级下·广东深圳·期中）把下面的说理过程补充完整并解答第（2）题．
(1)已知：如图，点，分别在，上，于点，，．
求证：．
理由：∵（已知），
∴（_____），
∵在中，_____，
∴_____，
又∵（已知），
∴_____（_____），
又∵（已知），
∴（_____），
∴（_____）；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：理由：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵在中，，
∴，
又∵（已知），
∴（同角的余角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：解：∵，可设，则且，
∴，
又∵，
∴，
即，
解得，，
又∵，
∴；
【变式3-5】（24-25七年级下·广东深圳·期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
如图，点分别在上，，于点，，求证：．
证明：（______），
（______），（______），
（已知），（______），
（已知），______（______）
（______）
（______）．
【答案】已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行
【详解】证明：（已知），
（垂直的定义），（直角三角形的两个锐角互余），
（已知），（同角的余角相等），
（已知），（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；同角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【变式3-6】（24-25七年级下·北京·期中）补全证明并填写依据：
已知：如图，，，，求证：平分．
证明：∵，，
∴，．（________________）
∴．
∴ ．（ ）
∴．（ ）
．（ ）
又∵，
∴．（ ）
∴平分．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，，
∴，．（垂线的定义）
∴．
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
．（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴．（等量代换）
∴平分．
【变式3-7】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）请把下面证明过程补充完整：
已知：如图，，分别平分、，且．求证：．
证明：∵分别平分、（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（______），
∵（已知）
∴（____________），
∴（______）．
∴（____________）．
∴，（____________）．
又∵（已知）
∴（____________）．
【答案】等量代换，两直线平行，同位角相等；等量代换，内错角相等，两直线平行；，，两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等
【详解】证明：∵分别平分、（已知），
∴，（角平分线的性质）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴，（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知）
∴（等角的补角相等）．
故答案为：等量代换，两直线平行，同位角相等；等量代换，内错角相等，两直线平行；，，两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等
【变式3-8】（24-25七年级下·重庆·期中）把下列推理过程补充完整：
如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：．
证明：，，
，（ ① ）．
（等量代换）．
（ ② ）．
③ （两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
，
（内错角相等，两直线平行）．
（ ⑤ ）．
【答案】见解析
【详解】证明：，，
，（垂直的定义）．
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
，
（内错角相等，两直线平行）．
（平行于同一条直线的两直线平行）．
【变式3-9】（24-25七年级下·天津·期中）如图，，分别平分和．
(1)求证：．
请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由．
证明：（已知），
______（______）．
分别平分和（已知），
，（______），
．
____________（______）．
（______）．
(2)若，则的大小为______（度）．
【答案】(1)；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等(2)31
【详解】（1）证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
分别平分和（已知），
，（角平分线的定义），
．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：31
【基础题型四】平行线性质与判定的实际应用
例题4（24-25七年级下·陕西榆林·期中）探究感知
（1）如图1，，，，求的度数；
类比应用
（2）如图2是一盏可以伸缩的台灯达到最佳照明角度的示意图，已知灯头与支架平行，与平行，支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．请分别求出和的度数．
【答案】（1）；（2），
【详解】解：（1）如图，过点作直线，
，
，
．
，
，
，且，
，
，
；
（2）如图，过点作直线，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式4-1】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里（水面与杯底平行），一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变．
(1)请写出图中所有的同旁内角．
(2)若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：根据同旁内角的定义，结合图形可得：
的同旁内角有：．
（2）解：∵，
∴
∵，
．
∴筷子的水下部分向上弯折的度数为．
【变式4-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：，
.
，
.
又，
，
，
.
【变式4-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即．
(1)的度数为 ；
(2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为．
①若，求的度数；
②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数．
【答案】(1)(2)① ②画图见解析；
【详解】（1）解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点G作，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，若反射光线恰好与平行，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式4-4】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．
【答案】
【详解】解：如图，点是延长线上一点，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式4-5】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，现有两束平行光线从距离水面相同的高度斜射向水面，从而发生折射，由于两束光线的偏折程度一样，故射入水中的两束光线仍为平行光线．已知 ，，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式4-6】（24-25七年级下·河南郑州·期中）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐．小郑的自行车示意图如图所示，其中，，．
(1)求的度数；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)．理由见解析
【详解】（1）解：，
．
，
；
（2）解：．理由如下：
，
．
．
，
，
，
．
【压轴题型五】平行线综合之实践探究问题
例题5（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）应用题
如图，锦州东湖公园某处湖道两岸所在直线平行（），在湖道两岸安装探照灯和，若灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯转动的速度是10度／秒，灯转动的速度是4度／秒，为湖面上一点．
(1)若把灯发出的光线自射线转至射线，或者灯发出的光线自射线转至射线称为照射一次，请求出，两灯照射一次各需要的时间．
(2)12秒时，两光束恰好在点汇聚，求的度数．
(3)在两灯同时开启后的35秒（包括35秒）内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？请直接写出结果．
【答案】(1)灯照射一次需要的时间是秒，灯照射一次需要的时间是秒(2)(3)15秒或秒或秒
【详解】（1）解：由题意知，两灯照射一次，转动的角度均为，灯转动的速度是10度／秒，灯转动的速度是4度／秒，
所以灯照射一次需要的时间是（秒），
灯照射一次需要的时间是（秒）．
（2）解：因为转动12秒时，两光束恰好在点汇聚，
所以，．
如图①，过点作，
则有．
所以，．
所以，
所以．
（3）解：设两灯开启的时间为秒，两灯的光束交点为．
①当时，如图1，过点作，
则有，
所以，．
因为两灯的光束互相垂直，所以，
解得；
②当，返回，第一次与垂直时，如图2所示，
过点作，则有．
所以，，
因为两灯的光束互相垂直，所以，
解得；
③当，返回，第二次与垂直时，
过点作，则有．
所以，．
因为两灯的光束互相垂直，所以，解得．
综上所述，开启15秒或秒或秒后，两灯的光束互相垂直．
【变式5-1】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，台球比赛中，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹滚向桌边，碰到上的点后再反弹滚向点．已知，、分别平分、，且在球碰到桌边时始终有，．
(1)如果球反弹一次就“落入球网”，即球滚向桌边上的点处，直接反弹到处的球洞中，若，则与所夹锐角度数为______；
(2)判断图1中球经过两次反弹后的路径与原来的路径的位置关系，并证明；
(3)如图2，为增加比赛难度，在桌面的转角处放置一个可以转动的小木条，从桌边上的点沿方向击中球后落在小木条上的点处，再反弹到桌边上的点处．
已知，，，当（且与不重合）时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：由题可得：点与点重合，如图：且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作，，垂足为，由题意可得为法线，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵“入射角反射角”原理，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴；
【变式5-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）【阅读理解】
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
【建立模型】
（1）如图①已知，点E在直线之间，则___________．
（2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由．
【解决问题】
（3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数．
【答案】（1）；（2）；见解析；（3）
【详解】解：（1）如图，过点作，
，，
，
，，
，
，，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图②，过作直线，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长交直线于点，
，
，
，
．
【变式5-3】（24-25七年级下·北京西城·期中）在学习“相交线与平行线”一章时，课本第21页中有一道关于潜望镜的拓广探索问题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小明所在组上网查阅资料，制作了相关PPT介绍给同学（图1、图2）；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图3）．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．
(1)图4中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，入射光线与反射光线满足，这样离开潜望镜的光线就与进入潜望镜的光线平行，即．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）
（已知）， （____________________________）． （已知）， （_________________）．
(2)若，则________°．
(3)在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为________．
A． B． C． D．
【答案】(1)3，两直线平行，内错角相等，等量代换(2)(3)C
【详解】（1）解：（已知），
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（等量代换）．
故答案为：3，两直线平行，内错角相等，等量代换．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：45．
（3）
解：由题意可知每反射一次，相应的图形旋转，一共要经过三次反射，故起始图形应逆时针旋转或顺时针旋转后得到的图形为，
故选：C．
【变式5-4】（24-25七年级下·北京·期中）【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______；
【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______；
（3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：过点作，如图①所示：
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【应用】（2）过点作，如图3所示：
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（3），理由如下：
过点作，如图④所示：
平分，
，
平分，
设，则，
在（1）的条件下：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式5-5】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为______度；
(2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系；
(3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明
②连接，与满足______时，．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析； ②当点在的延长线上时，；当点在线段上时，
(3)①；②
【详解】（1）解：过点作，
∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）．
理由：如图，过点作交于，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
②如图，当点在的延长线上时，，
过点作交于，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
如图，当点在线段上时，，
过点作交于，
∵，，，
∴，
∴，，
∴．
（3）①∵，，
由（2）得：，
∵
∴，
∴，
②如图所示，过点作交于点
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-6】（24-25七年级下·广西钦州·期中）综合与实践．
筷子，古称箸，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具．现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合操作餐具礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
(1)图1为五指凌乱式的抓法及示意图，交于点，，则___________；
(2)图2为传统的筷子抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点，射线交于点．
①___________；
②若，求证；
(3)图3为丁字型抓法及示意图，，射线交于点，与交于点．射线交于点．
③若，，则___________；
④若，请写出的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)①；②见解析(3)①；②，理由见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
∵，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴．
【变式5-7】（24-25七年级下·吉林·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)①；②与所成锐角的度数为
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：过点F作交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如图，作，则，
，，
，
故答案为：；
② 过点E作，
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：与所成锐角的度数为．
【变式5-8】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】
（1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °．
（2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由．
【尝试探究】
（3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数．
【答案】（1）80；（2），理由见解析；（3）或.
【详解】（1）解：由入射角反射角可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：．
理由：设，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，．
（3）解：如图，当在的下方时，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
如图，当在的上方时，过作，
同理可得：，，
∴，
综上：或.
【变式5-9】（24-25七年级下·广西玉林·期中）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．
【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
【深入探究】（2）如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角）；
【拓展探究】（3）如图4，直线上有A、C两点，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出满足条件的时间t．
【答案】（1），理由见解析（2）；（3）存在，
【详解】解：（1），理由如下：
由题意得，，，
镜子与镜子互相平行，
，，
，
，
；
（2），，
，
，
，
当平面镜与水平线的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底；
（3）存在，
，
，
，
解得；
当射线首次与射线重合时，射线转动了，
，
∵，符合题意，
射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，当时，与平行．
【变式5-10】（24-25七年级下·广东佛山·期中）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．
情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射．
（1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______．
拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由；
应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值．
【答案】（1）；（2）（3），，
【详解】解：（1）如图
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，延长交于点，延长交于点，
则，，
，
，
，
，
即，
；
（3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒，
∴射线最多运动到，
当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点，
∵，
∴，
与互相垂直时，
，
，
解得，
②如图所示，当射线返回时，
，
，
解得；
③当回到时，刚好垂直，
，
综上所述，，，时，与互相垂直．
【压轴题型六】平行线综合之“折点”问题（猪蹄、铅笔、骨折）
例题6（24-25七年级下·山东枣庄·期中）【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题：
如图①，，，，求的度数．小莉的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求的度数．
【问题解决】（1）按小莉的思路，求的度数．
【问题迁移】（2）如图②，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点P在直线上运动，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）或
【详解】解：（1）过点P作，
，
，
，，
，
， ，
，
∴；
（2），理由：
过点P作，如图：
，
，
， ，
；
（3）①点P在射线上时，如图，作，
，
，
，
，
，，，
；
②点P在射线上，如图，作，
，
，
，
，
，，，
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连接，试探究与、之间的数量关系．、、之间的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______；
（3）拓展延伸：如图3，已知，线段与相交于点E．若与的平分线相交于点F．请求出与之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）解：过点P作，
，
，
∴，
．
∴；
（2）解：如图，过点E作，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴；
（3）解：由（2）同理得：，
，分别是，的平分线，
，，
，
如图，过点F作，
则，
，
，
，
，
．
【变式6-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，直线，求证：
（1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内．
解：过点作直线，
①_______，
（已知），，
②_______，
③_______，
，
．
（2）如图2，直线，若，，则______．
【方法运用】
（3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由．
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
【答案】（1）见解析（2）（3），理由见详解（4）
【详解】（1）解：过点作直线，
，
（已知），，
，
，
，
．
（2）如图，过点作，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
（3），
理由如下：如图，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图所示，
由（2）知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
由（1）知：．
【变式6-3】（24-25七年级下·江西南昌·期中）【课题学行线的“等角转化”功能
如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
解：过点A作，
______，______．
又，
．
【问题解决】（1）阅读并补充上述解题过程．
【解题反思】从上面的解题过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，，求的度数．
（提示过点E作或的平行线）
【深化拓展】（3）如图3，已知，，分别平分，，且所在直线交于点F，，求的度数．
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】解： （1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：，；
（2）过点E作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）过E点作，过F点作，如图，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式6-4】（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，点在直线之间，且．
(1)求证：；
(2)若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
(3)如图3，点是直线外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为 （请直接写出答案，用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图1，过点作，
，
．
，
，
；
（2）解：如图2，过点作，
由（1）知，
，
，
平分，
，
设，
则，
，
，
解得，
；
（3）解：如图，过点作，过点作，
，
∵， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式6-5】（24-25七年级下·重庆·期中）已知．
(1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系．
(2)证明（1）中猜想的结论．
小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明．
请根据小亮的思路，写出完整的证明过程．
(3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：之间的数量关系为：，证明见解析（2）；
（2）证明：过点作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵平分，平分，
∴，，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式6-6】（24-25七年级下·山西朔州·期中）综合与实践
在中华武术中，有双节棍，三节棍，四节镋（如图①），其中四节镋又称镋镰，是真正的软兵器之一．小李家是武术世家，他用四节镋能拼出许多几何图形，如图②，图③是拼出的两个示意图．已知．
(1)如图②，求证：；
(2)如图③，判断，和之间的数量关系，并说明理由；
(3)在图③中，已知，比的3倍小，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）证明：如图所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∵比的3倍小，
∴，
∴，
∴．
【变式6-7】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，点在射线上，．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，若，射线沿射线移动得到，点在射线上，探究和的关系；
(3)如图③，在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点．若，试用含的式子表示的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
，
∵，
；
（2）解：如图②，过点作，
，，
，
，，
，
；
（3）解：如图所示，过点P作，延长到，
，，
∴，
∴，
是的平分线，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
∴，
∴
．
【变式6-8】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在数学实践活动中，某数学兴趣小组的同学共同探究平行线的作用．
(1)如图1，直线，为，之间一点，连接，，判断与，的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，在的内部有一点，连接，，求证：．
(3)如图3，是的平分线，是的平分线，与交于点，若，，直接写出的大小．
【答案】(1)，理由见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：
理由：如图，过点作．
∵，
，
，．
，
；
（2）证明：如图，过点作，过点作，则，
，，．
，
，
．
，
．
（3）解：由（2）可得，．
是的平分线，是的平分线，
，，
，
．
【变式6-9】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，线段分别与、相交于点、．
(1)如图①，当，，则______；
(2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
(3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】(1)(2)，证明见解析
(3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析；当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析
【详解】（1）解：如图所示，过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：，证明如下：
过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下：
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下：
设与相交于点，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式6-10】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读理解】
对于平行线的拐角问题，经常通过做第三条平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E、F分别在直线、上，点P在直线、之间，求证：．
证明：如图②，过点P作，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即．
可以运用以上结论解答下列问题：
【类比应用】
（1）如图③，已知，，，求的度数．
（2）如图④，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【详解】解：（1）如图，过点P作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过P点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
（3）由示例知，过Q点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，分别是与的角平分线，
∴，，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，即．
【压轴题型七】平行线综合之三角板问题
例题7（24-25七年级下·浙江·期中）一副三角板按如图1初始放置，已知，，，，此时与重合．当点从点出发沿射线方向滑动的同时，点在射线上滑动．滑动过程中，三角板不动，三角板形状，大小不变．
(1)如图2，当时，求的度数；
(2)如图3，若点运动到延长线上时，连结．当时，求的值；
(3)如图4，射线平分，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请求出的度数．
【答案】(1)(2)(3)，或
【详解】（1）解：如图（2）所示，当时，
；
（2）解：如图（3）所示，设，则，
当时，，，
；
（3）解：①当时，过点作，
平分，
，
，
；
②如图所示，当时，；
③当时，过点作，
，
，
；
综上，的度数为，或．
【变式7-1】（24-25七年级下·天津北辰·期中）数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题：
(1)小明的设计：如图（1），利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴；②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小明这样画图的依据是___________．
(2)小齐的设计：如图（2）将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上，使两直角顶点F与C重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分．当的大小为___________时，可使．
(3)小童的设计：如图（3），，将一副直角三角板作如下摆放：，，
①下列结论：（I）；（II）；（III），其中正确的是___________．
②求的度数．
【答案】(1)同位角相等，两直线平行；(2)(3)①（I）（Ⅱ）； ②
【详解】（1）如图所示，
∵将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，
∴
∴
∴小明这样画图的依据是：同位角相等，两直线平行；
（2）当的大小为时，可使
理由：当的大小为时
∴
∴
∴；
（3）①∵
∴，故（I）正确；
∵
∴
∴，故（II）正确；
如图所示，延长交于H
∵
∴
∵
∴，故（III）错误；
∴其中正确的是（I），（II）；
②∵，
∴．
【变式7-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分；
(1)求的度数；
(2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值．
【答案】(1)(2)①5或35 ②或或
出方程，再求解即可．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图，当在上方时，，
，
，
，
，
．
如图，当在下方时，，
，
∵，
∴，
此时旋转了，
∴，
．
在旋转过程中，若边，的值为5或35．
②如图，延长，与交于H，由题意得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；
如图，延长，与交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上：t的值为或或．
【变式7-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图①所示的是一副三角尺，，，，．
(1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数；
(2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值．
【答案】(1)(2)，理由见解析
(3)所有满足条件的的值为或或或或或．
【详解】（1）解：过点作，如图2所示，
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
；
（2）解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
（3）解：设边旋转的角度为，则边旋转的角度为，下面分类讨论：
如图⑤，，则，
所以，解得；
如图⑥，，则，
所以，解得；
如图⑦，，则，
所以，解得；
如图⑧，，则，
因为，所以，
解得；
如图⑨，，则，
因为，所以，
解得；
如图⑩，，则，
所以，解得，
综上，所有满足条件的的值为或或或或或．
【变式7-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，若交于点，时，请直接写出，，之间的数量关系；
(3)当点在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当这两块三角尺一组边互相平行时，请直接写出此时的度数．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)或或或或．
【详解】（1）证明：，
．
．
．
（2）∵，
∴，
，
∴
∴；
（3）如图，当时，
∴，
∵
；
如图，当时，
∴；
如图，当时，
∴，
；
如图，当时
，
∴，
．
当时，
，
∴，
，
，
，
综上，的度数为或或或或．
【变式7-5】（24-25七年级下·上海·期中）在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．
操作发现：
(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______；
(2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）；
(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由．
【答案】(1)3(2)15(3)垂直，理由见解析
【详解】（1）解：由平移的性质得，，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：3；
（2）解：过A作直线，交于G，而，
∴，
，
同理，
；
故答案为：15；
（3）解：垂直，理由如下
如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线a，
∵，
∴直线b；
如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H
∵
，
∴，
∴，
．
【变式7-6】（24-25七年级下·广东汕头·期中）在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．，．
(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，求的度数；
(2)如图2，小红将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由三角板的性质可知：，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由三角板的性质可知：，，
∴，
∵，
∴．
【变式7-7】（24-25七年级下·河南三门峡·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动．
(1)如图1，________；
(2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数；
【答案】(1)(2)，图见解析
【详解】（1）解：∵，．
∴，
故答案为：；
（2）解：三角板的位置如下图：
∵，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式7-8】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．

(1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______；
(2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数；
(3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数．
【答案】(1)；(2)；(3)或．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，当点在直线的上方时，

∵，，
∴，
∵，
∴；
如图，当点在直线的下方时，

∵，，
∴，
∵，
∴；
综上：为或.
【变式7-9】（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．
(1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，的度数为___________；
(2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式．
【答案】(1)(2)，见解析(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点A作，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图3，过点A作直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式7-10】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、H，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，．
(1)若，则__________．
(2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数；
(3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数为____________________（用含的式子表示）．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：过点作直线，如图1，
，
，
，，
．
∵
∴
故答案为：；
（2）解：延长交于点，如图2，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：①当，分别在点，的右侧，如图3，
，
，
，
，
，
，
射线平分，
；
②当点，分别在点，的左侧，如图4，
，
，
，
，
，
，，
射线平分，
，
，
，
综上所述，或．
故答案为：或．
【变式7-11】（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．
【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______；
【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数；
【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】操作判断：迁移探究：拓展应用：不变，
【详解】［操作判断］：如图1，过点E作
，
，，
∵
∴

故答案为：
［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
［拓展应用］：不变，
理由如下：过点E作
，
，
设，则，
、分别平分、
，
【压轴题型八】平行线综合之探究类问题
例题8（24-25七年级下·四川达州·期中）【感知】
（1）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．按小明的思路，易求得的度数为 度；
【探究】
（2）如图2，点B，D在射线上，点A，C在射线上，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与，之间有何数量关系？请说明理由；
【迁移】
（3）在（2）的条件下，如果点P在线段外运动时（点P与点O，B，D不重合），试探究与，之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在射线上；
②点P在线段上．
【答案】（1）110；（2）；（3）①；②
【详解】（1）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2），理由如下：
如图，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）①如图，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
②如图，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【变式8-1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】
（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平；
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．
王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整；
证明：由折叠可知：
又∵
∴
……
【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）；
【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数．
【答案】（1）见解析（2）（3）或
【详解】（1）证明：由折叠可知：
又∵
∴
同理，，
∴，
∴；
（2）作，则：，
∴，，
∴，
∵，（正方形的一个内角为90度），
∴；
（3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：，
∴，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）可知：，
∴；
当点在上方时，如图，作，则：，
则：，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）知：，
∴；
综上：或．
【变式8-2】（2025七年级下·山西·期中）综合与实践
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知直线，在三角板中，，，将其顶点放在直线上，并使直线于点，与直线交于点．试说明直线．
（1）请解答老师提出的问题．
操作探究：
（2）如图2，将图1中的三角板的顶点放在两平行线之间，与直线交于点，得到，与直线交于点，得到．
试探究与的数量关系，并说明理由．
下面是小明同学不完整的解答过程，请你补充完整．
解：．理由如下：
如图5，过点作直线，则 ．
因为直线，
所以直线 ．
所以 ．
因为 ，，
所以．
深入探究：
（3）如图3，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使他们分别平分和的对顶角，请直接写出的度数．
（4）如图4，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使平分的对顶角，．若，请直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等；；（3）
【详解】解：（1）直线于点，
．
，
，
直线；
（2）过点作，则．
因为直线，
所以（平行于同一条直线的两条直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）．
因为，，
所以；
故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等；；
（3）过先作，如图所示：
，
，．
、分别平分和的对顶角，
，
由（2）得，
；
（4）过点作，如图所示：
，
，．
平分对顶角，，
，，
由（2）得，
，
．
【变式8-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究
如图，直线被直线所截，分别交于点平分，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并证明．
(2)是射线上的一动点（不与点重合），平分，交于点．设，．
①如图1，当点在线段上运动时，求证：．
②如图2，当点在射线上运动时，请判定①中与的关系是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出新的数量关系．
【答案】(1)平行，理由见解析(2)①见解析；②．
【详解】（1）解：结论：．
理由：平分，
，
又，
，
；
（2）①当点在线段上运动时，设，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
②当点在射线上运动时，．
证明：设，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【变式8-4】（2025七年级下·全国·期中）（1）问题发现：如图1，直线，连接可以发现．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作，（已知），（辅助线的作法），
（ ）．
（ ）．
，
．
（等量代换）．
即．
（2）拓展探究：如果点E运动到图2所示的位置，其他条件不变，试说明：
．
【拓展变式】如图3，平分平分，则
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；【拓展变式】
【详解】（1）证明：过点E作，如图1所示：
（已知），（辅助线的作法），
（平行于同一条直线的两条直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴．
∴（ 等量代换）．
即．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；
（2）证明：过点E作，如图2所示：
∵，
，
，
，
，
，
即；
（3）解：平分平分，
∴设，
，
由（1）的结论得：
，
，
，
由（2）的结论得：，
，
．
故答案为：．
【变式8-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)①，证明见解析；②或
【详解】（1）解：过点P作．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，证明如下：
设，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
过点P作，过点M作，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，
设，设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点P在线段延长线上时，
过点P作，则，设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上：的度数为或．
【变式8-6】（24-25七年级下·湖北·期中）某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即．
(1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由．
(2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间．
(3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，见解析(2)3秒，58秒，93秒，118秒(3)能垂直，A灯旋转秒或45秒
【详解】（1）解：，理由如下：
，，
∵，
，
，
．
（2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒），
，即．
由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行，
①，解得；
②，解得；
③，解得；
④，解得；
⑤，解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒．
（3）设A灯旋转秒时，与互相垂直，
①，解得；
②，解得；
即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直．
【变式8-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，已知三角形与三角形摆放在一起，点、、在同一直线上，其中，，．如图2，固定三角形，将三角形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角（）．
(1)当时，________°；
(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系：
①当时，______________；
②当时，______________；
③当时，______________；
(3)当三角形的一边与三角形的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数．
【答案】(1)35(2)①；②；③
(3)的值为或或或或．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：35；
（2）解：①当时，如图所示：
∵，，
∴；
②当时，如图所示：
∵，，
∴；
③当时，如图所示：
∵，，，，
∴；
故答案为：；；；
（3）解：由题意可分：
①当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图所示：
∴与重合，
∵，
∴；
③当时，如图所示：
∴，
∵，，
∴，
∴；
④当时，如图所示：
∴与重合，
∴；
⑤当时，如图所示：
∴，
∴；
综上所述：的值为或或或或．
【变式8-8】（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足．
(1) ， ；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
(3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？（直接写出答案即可）
【答案】(1)，(2)秒(3)秒或秒
【详解】（1）解：，，，
，，
，，
故答案为：；；
（2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，
如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
至少旋转秒时，射线、射线互相垂直；
（3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行．
如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，则，
；
分两种情况：
当时，，，
，
，
，，
当时，，
，
，
解得；
当时，，，
，，
当时，，
此时，，
，
解得；
综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行．
1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图，，，求证：．
证明：（已知），
（________），
（等量代换）．
（________）．
________（________）．
又（已知）
________（等量代换）．
________________（________）．
（________）．
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【详解】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
又（已知）
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
3．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，延长到点F，连接，，点E是上一点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，
，
，
，
则．
（2）解：，
，
，
，
，
∵平分，
，
，
，
．
4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，平分，．
(1)与平行吗？写出证明过程；
(2)若平分，说一说与位置关系．并说理由．
【答案】(1)与平行．证明见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）与平行．
证明：平分，
，
又，
，
；
（2），理由如下：
平分，
，
，
，
，，
，
；
，
，
，
．
5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线．
(1)若，判断与是否平行，并说明理由；
(2)若射线平分，求的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析(2)
【详解】（1）解：与平行，理由见解析；
，
，
，
，
；
（2）解：由三角板可知，，
，
平分，
，
，
．
6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）如图，是的平分线，．
(1)若，求的值．
(2)试说明．
(3)若是的平分线，，求的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：，，
．
是的平分线，，
，
．
（2）解：，，
．
是的平分线，
，
，
∴．
（3）解：由（2）知，，
．
是的平分线，
，
．
由（1）知，
．
，
．
7．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践
动手操作可提高我们的思维能力，白老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题．
初步认知
（1）如图1，将三角板直角顶点与重合，若，求的度数．
深入探究
白老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答．
（2）①“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点放在三角板的边上，若，求证：平分．
②“善思小组”提出问题：将两块直角三角板按如图3所示的方式摆放，若，，求的度数．
【答案】（1）；（2）①见解析；②
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
②解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：___________，___________．
(2)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出___________，___________（结果用含的代数式表示）；
(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为．当时，则___________．（提示：三角形内角和为）
②在旋转过程中，是否存在．若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)，(3)①；②的值为12或48
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
故答案为：；；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：，；
（3）解：①如图：
根据题意得：，，
，
，
，
，
故答案为：15；
②存在，
如图，当为相交前，
此时，
，
，
，
解得，
如图，当为相交后，
此时，
，
，
，
解得，
综上所述，的值为12或48．
9．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点．
(1)若，，则______度；
(2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由：
(3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)或，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：如图1，过P作，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）如图2，
∵，
∴，
∴，
∵由（1）知，，
∴
∴；
即或；
（3）解：如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵由（1）知，，
∴，
∴．
10．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期中）如图1，已知直线，直线与交于点E，与交于点N，点F为直线上一点，连接，恰好平分，点G，H分别为直线，上位于右侧的点，连接交线段于点M，．
(1)求证：；
(2)如图2，过E作交于点I，作的角平分线交于点K，作的角平分线交于点Q，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
11．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）【探究感知】如图1，，求的度数．
【类比应用】如图2，，则的度数是______；
【拓展延伸】如图3，与的平分线相交于点，求的度数．
【答案】[探究感知]；[类比应用]；[拓展延伸]
【详解】解：[探究感知]
过点C作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
[类比应用]
如图，过点C作直线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
[拓展延伸]
如图，过点F作，
，，平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
．
12．（24-25七年级上·河南南阳·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图，直线，求证：
（1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由．
解：过点作直线，
（ ）
（已知），，
（ ）
（ ）
，
（ ）
（2）如图2，直线，若，，则 ；
【方法运用】
（3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换（2）（3），理由见详解（4）
【详解】（1）解：过点作直线，
（两直线平行，内错角相等）
（已知），，
（两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
（两直线平行，内错角相等）
，
（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换
（2）如图，过点作，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
（3），
理由如下：如图，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图所示，
由（2）知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
由（1）知：；中小学教育资源及组卷应用平台
【精准提分】专题04 平行线的性质和判定解答题（浙教2024）
【4个基础题型+4个压轴题型】
【基础题型一】利用平行线性质与判定进行相关证明 1
【基础题型二】根据平行线性质与判定求角度 10
【基础题型三】根据平行线性质与判定进行填空 20
【基础题型四】平行线性质与判定的实际应用 31
【压轴题型五】平行线综合之实践探究问题 38
【压轴题型六】平行线综合之“折点”问题（猪蹄、铅笔、骨折） 60
【压轴题型七】平行线综合之三角板问题 81
【压轴题型八】平行线综合之探究类问题 105
【基础题型一】利用平行线性质与判定进行相关证明
例题1（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)试说明：；
(2)若与互余，试说明：．
【变式1-1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，已知，，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式1-2】（24-25七年级下·河南焦作·期中）如图，已知△ABC，点D在上，交于点E，连接，若．
(1)与是否平行？请说明理由；
(2)若，平分，求的度数．
【变式1-3】（24-25七年级下·北京·期中）已知，、是上的点，、是上的点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点．
①请你依据题意，补全图形；
②试猜想的度数，并证明你的结论．
【变式1-4】（24-25七年级下·北京·期中）如图，，，分别是和的角平分线，．
(1)求证：；
(2)能否判定？若能，请证明：若不能，说明理由．
【变式1-5】（24-25七年级下·北京·期中）已知如图，，射线与交于点，点在直线上，点在射线上，连接，，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【变式1-6】（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式1-7】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式1-8】（24-25七年级下·北京·期中）如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作且交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，则与是否平行？请判断并说明理由．
【变式1-9】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与互补．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【变式1-10】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在，上，且，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【基础题型二】根据平行线性质与判定求角度
例题2（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)当为多少度时，，并说明理由．
【变式2-1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，平分，平分，的反向延长线交于点，过点作．
(1)若∠ABE=150°，，求的度数．
(2)若，求的度数．
【变式2-2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，连接，平分交于点，点在上，连接，过点作交于点，，，求的度数．
【变式2-3】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图①，，直线分别交于点，，，三角形的顶点在线段上，且，．
(1)求的度数．
(2)平分吗？请说明理由．
(3)如图②，将三角形绕点顺时针旋转，旋转至点落在射线上时停止，当与三角形的其中一条边平行时，直接写出此时的度数．
【变式2-4】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，平分，．
(1)试判断与的位置关系？请说明理由；
(2)若，求的度数．
【变式2-5】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，已知交的延长线于点．
(1)直接写出线段和的位置关系，线段和的位置关系；
(2)写出图中和相等的所有的角；
(3)若，求和的度数．
【变式2-6】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，直线，直线与，分别相交于点，，，交直线于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，，，则点到直线的距离是 ；点到直线的距离是 ．
【变式2-7】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，，线段与分别相交于点，平分，平分，．
(1)求的度数
(2)求证：．
【变式2-8】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求的度数．
【变式2-9】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，连接，连接并延长至点，连接，，．
(1)求的度数；
(2)若，请判断与是否平行，并说明理由．
【基础题型三】根据平行线性质与判定进行填空
例题3（24-25七年级下·山东聊城·期中）完成下题的解答过程：
生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直地面于点A，平行于地面，若，求的度数．
解；如图3，过点作．
因为（已知），
根据平行于同一条直线的两条直线平行，得
（_____）
所以根据（_____），得
（_____），
因为，
所以（_____）．
因为，
所以（_____）．
因为，
所以（_____），
所以（_____），
所以（_____）．
【变式3-1】填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：平分，，，求证：平分．
证明：∵平分，（已知），
∴（角平分线的定义）
∵（已知），
∴______．（______）
∴（等量代换）
∵（已知），
∴______（______），（______）
∴____________（等量代换），
∴平分（______）
【变式3-1】（24-25七年级下·全国·期中）请将下列证明过程补充完整．
已知：如图，，垂足分别为D，F，．求证：平分．
证明：（已知），
（垂直的定义）．
_______________（ ）
_______________（两直线平行，内错角相等），
_______________（ ）
（已知），
_______________（ ）
平分（ ）．
【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：．
证明：如图2，延长交于点，
（已知），
（________________）
又（已知），
________（等量代换）．
（________________）
________（两直线平行，同旁内角互补）
又________________（已知），
∴（________________）
________（同角的补角相等）．
【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）阅读题目，将推理过程及依据补充完整．
如图，，，是的角平分线，求证：．
证明：∵是的角平分线
∴（①_______）
又∵
∴（②_______）
∴（③_______）
∴④_______（⑤_______）
又∵
∴（⑥_______）
∴（⑦_______）
【变式3-4】（24-25八年级下·广东深圳·期中）把下面的说理过程补充完整并解答第（2）题．
(1)已知：如图，点，分别在，上，于点，，．
求证：．
理由：∵（已知），
∴（_____），
∵在中，_____，
∴_____，
又∵（已知），
∴_____（_____），
又∵（已知），
∴（_____），
∴（_____）；
(2)若，求的度数．
【变式3-5】（24-25七年级下·广东深圳·期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
如图，点分别在上，，于点，，求证：．
证明：（______），
（______），（______），
（已知），（______），
（已知），______（______）
（______）
（______）．
【变式3-6】（24-25七年级下·北京·期中）补全证明并填写依据：
已知：如图，，，，求证：平分．
证明：∵，，
∴，．（________________）
∴．
∴ ．（ ）
∴．（ ）
．（ ）
又∵，
∴．（ ）
∴平分．
【变式3-7】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）请把下面证明过程补充完整：
已知：如图，，分别平分、，且．求证：．
证明：∵分别平分、（已知），
∴，（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（______），
∵（已知）
∴（____________），
∴（______）．
∴（____________）．
∴，（____________）．
又∵（已知）
∴（____________）．
【变式3-8】（24-25七年级下·重庆·期中）把下列推理过程补充完整：
如图，已知交BC于点M，交BC于点E，，，求证：．
证明：，，
，（ ① ）．
（等量代换）．
（ ② ）．
③ （两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
，
（内错角相等，两直线平行）．
（ ⑤ ）．
【变式3-9】（24-25七年级下·天津·期中）如图，，分别平分和．
(1)求证：．
请把下列解题过程补充完整，并在括号内注明理由．
证明：（已知），
______（______）．
分别平分和（已知），
，（______），
．
____________（______）．
（______）．
(2)若，则的大小为______（度）．
【基础题型四】平行线性质与判定的实际应用
例题4（24-25七年级下·陕西榆林·期中）探究感知
（1）如图1，，，，求的度数；
类比应用
（2）如图2是一盏可以伸缩的台灯达到最佳照明角度的示意图，已知灯头与支架平行，与平行，支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．请分别求出和的度数．
【变式4-1】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里（水面与杯底平行），一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变．
(1)请写出图中所有的同旁内角．
(2)若测得，，求筷子的水下部分向上弯折（）的度数．
【变式4-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，求的度数．
【变式4-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即．
(1)的度数为 ；
(2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为．
①若，求的度数；
②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数．
【变式4-4】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．
【变式4-5】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，现有两束平行光线从距离水面相同的高度斜射向水面，从而发生折射，由于两束光线的偏折程度一样，故射入水中的两束光线仍为平行光线．已知 ，，求的度数．
【变式4-6】（24-25七年级下·河南郑州·期中）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐．小郑的自行车示意图如图所示，其中，，．
(1)求的度数；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
【压轴题型五】平行线综合之实践探究问题
例题5（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）应用题
如图，锦州东湖公园某处湖道两岸所在直线平行（），在湖道两岸安装探照灯和，若灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，灯发出的光线自射线逆时针旋转至射线便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯转动的速度是10度／秒，灯转动的速度是4度／秒，为湖面上一点．
(1)若把灯发出的光线自射线转至射线，或者灯发出的光线自射线转至射线称为照射一次，请求出，两灯照射一次各需要的时间．
(2)12秒时，两光束恰好在点汇聚，求的度数．
(3)在两灯同时开启后的35秒（包括35秒）内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？请直接写出结果．
【变式5-1】（24-25七年级下·北京·期中）如图1，台球比赛中，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹滚向桌边，碰到上的点后再反弹滚向点．已知，、分别平分、，且在球碰到桌边时始终有，．
(1)如果球反弹一次就“落入球网”，即球滚向桌边上的点处，直接反弹到处的球洞中，若，则与所夹锐角度数为______；
(2)判断图1中球经过两次反弹后的路径与原来的路径的位置关系，并证明；
(3)如图2，为增加比赛难度，在桌面的转角处放置一个可以转动的小木条，从桌边上的点沿方向击中球后落在小木条上的点处，再反弹到桌边上的点处．
已知，，，当（且与不重合）时，直接写出的取值范围．
【变式5-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）【阅读理解】
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
【建立模型】
（1）如图①已知，点E在直线之间，则___________．
（2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由．
【解决问题】
（3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数．
【变式5-3】（24-25七年级下·北京西城·期中）在学习“相交线与平行线”一章时，课本第21页中有一道关于潜望镜的拓广探索问题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小明所在组上网查阅资料，制作了相关PPT介绍给同学（图1、图2）；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图3）．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．
(1)图4中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，入射光线与反射光线满足，这样离开潜望镜的光线就与进入潜望镜的光线平行，即．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）
（已知）， （____________________________）． （已知）， （_________________）．
(2)若，则________°．
(3)在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为________．
A． B． C． D．
【变式5-4】（24-25七年级下·北京·期中）【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______；
【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______；
（3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数．
【变式5-5】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为______度；
(2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系；
(3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明
②连接，与满足______时，．
【变式5-6】（24-25七年级下·广西钦州·期中）综合与实践．
筷子，古称箸，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具．现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合操作餐具礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
(1)图1为五指凌乱式的抓法及示意图，交于点，，则___________；
(2)图2为传统的筷子抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点，射线交于点．
①___________；
②若，求证；
(3)图3为丁字型抓法及示意图，，射线交于点，与交于点．射线交于点．
③若，，则___________；
④若，请写出的数量关系，并说明理由．
【变式5-7】（24-25七年级下·吉林·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
【变式5-8】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】
（1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °．
（2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由．
【尝试探究】
（3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数．
【变式5-9】（24-25七年级下·广西玉林·期中）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．
【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
【深入探究】（2）如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角）；
【拓展探究】（3）如图4，直线上有A、C两点，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出满足条件的时间t．
【变式5-10】（24-25七年级下·广东佛山·期中）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．
情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射．
（1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______．
拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由；
应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值．
【压轴题型六】平行线综合之“折点”问题（猪蹄、铅笔、骨折）
例题6（24-25七年级下·山东枣庄·期中）【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题：
如图①，，，，求的度数．小莉的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求的度数．
【问题解决】（1）按小莉的思路，求的度数．
【问题迁移】（2）如图②，，点P在直线上运动，记，，当点P在线段上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】（3）在（2）的条件下，，点P在直线上运动，如果点P不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系．
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连接，试探究与、之间的数量关系．、、之间的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______；
（3）拓展延伸：如图3，已知，线段与相交于点E．若与的平分线相交于点F．请求出与之间的数量关系．
【变式6-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，直线，求证：
（1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内．
解：过点作直线，
①_______，
（已知），，
②_______，
③_______，
，
．
（2）如图2，直线，若，，则______．
【方法运用】
（3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由．
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
【变式6-3】（24-25七年级下·江西南昌·期中）【课题学行线的“等角转化”功能
如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
解：过点A作，
______，______．
又，
．
【问题解决】（1）阅读并补充上述解题过程．
【解题反思】从上面的解题过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，，求的度数．
（提示过点E作或的平行线）
【深化拓展】（3）如图3，已知，，分别平分，，且所在直线交于点F，，求的度数．
【变式6-4】（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，点在直线之间，且．
(1)求证：；
(2)若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
(3)如图3，点是直线外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为 （请直接写出答案，用含的式子表示）．
【变式6-5】（24-25七年级下·重庆·期中）已知．
(1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系．
(2)证明（1）中猜想的结论．
小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明．
请根据小亮的思路，写出完整的证明过程．
(3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数．
【变式6-6】（24-25七年级下·山西朔州·期中）综合与实践
在中华武术中，有双节棍，三节棍，四节镋（如图①），其中四节镋又称镋镰，是真正的软兵器之一．小李家是武术世家，他用四节镋能拼出许多几何图形，如图②，图③是拼出的两个示意图．已知．
(1)如图②，求证：；
(2)如图③，判断，和之间的数量关系，并说明理由；
(3)在图③中，已知，比的3倍小，直接写出的度数．
【变式6-7】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，点在射线上，．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，若，射线沿射线移动得到，点在射线上，探究和的关系；
(3)如图③，在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点．若，试用含的式子表示的度数．
【变式6-8】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在数学实践活动中，某数学兴趣小组的同学共同探究平行线的作用．
(1)如图1，直线，为，之间一点，连接，，判断与，的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，在的内部有一点，连接，，求证：．
(3)如图3，是的平分线，是的平分线，与交于点，若，，直接写出的大小．
【变式6-9】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，线段分别与、相交于点、．
(1)如图①，当，，则______；
(2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
(3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【变式6-10】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读理解】
对于平行线的拐角问题，经常通过做第三条平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E、F分别在直线、上，点P在直线、之间，求证：．
证明：如图②，过点P作，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即．
可以运用以上结论解答下列问题：
【类比应用】
（1）如图③，已知，，，求的度数．
（2）如图④，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【压轴题型七】平行线综合之三角板问题
例题7（24-25七年级下·浙江·期中）一副三角板按如图1初始放置，已知，，，，此时与重合．当点从点出发沿射线方向滑动的同时，点在射线上滑动．滑动过程中，三角板不动，三角板形状，大小不变．
(1)如图2，当时，求的度数；
(2)如图3，若点运动到延长线上时，连结．当时，求的值；
(3)如图4，射线平分，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请求出的度数．
【变式7-1】（24-25七年级下·天津北辰·期中）数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题：
(1)小明的设计：如图（1），利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴；②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小明这样画图的依据是___________．
(2)小齐的设计：如图（2）将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上，使两直角顶点F与C重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分．当的大小为___________时，可使．
(3)小童的设计：如图（3），，将一副直角三角板作如下摆放：，，
①下列结论：（I）；（II）；（III），其中正确的是___________．
②求的度数．
【变式7-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分；
(1)求的度数；
(2)如图2，若将△ABC绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在△ABC绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值．
【变式7-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图①所示的是一副三角尺，，，，．
(1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数；
(2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值．
【变式7-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，若交于点，时，请直接写出，，之间的数量关系；
(3)当点在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当这两块三角尺一组边互相平行时，请直接写出此时的度数．
【变式7-5】（24-25七年级下·上海·期中）在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．
操作发现：
(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______；
(2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）；
(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由．
【变式7-6】（24-25七年级下·广东汕头·期中）在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．，．
(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，求的度数；
(2)如图2，小红将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，求的度数．
【变式7-7】（24-25七年级下·河南三门峡·期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动．
(1)如图1，________；
(2)当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数；
【变式7-8】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．

(1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______；
(2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数；
(3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数．
【变式7-9】（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．
(1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，的度数为___________；
(2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式．
【变式7-10】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、H，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，．
(1)若，则__________．
(2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数；
(3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数为____________________（用含的式子表示）．
【变式7-11】（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．
【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______；
【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数；
【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
【压轴题型八】平行线综合之探究类问题
例题8（24-25七年级下·四川达州·期中）【感知】
（1）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．按小明的思路，易求得的度数为 度；
【探究】
（2）如图2，点B，D在射线上，点A，C在射线上，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与，之间有何数量关系？请说明理由；
【迁移】
（3）在（2）的条件下，如果点P在线段外运动时（点P与点O，B，D不重合），试探究与，之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在射线上；
②点P在线段上．
【变式8-1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】
（1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平；
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．
王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整；
证明：由折叠可知：
又∵
∴
……
【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）；
【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数．
【变式8-2】（2025七年级下·山西·期中）综合与实践
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知直线，在三角板中，，，将其顶点放在直线上，并使直线于点，与直线交于点．试说明直线．
（1）请解答老师提出的问题．
操作探究：
（2）如图2，将图1中的三角板的顶点放在两平行线之间，与直线交于点，得到，与直线交于点，得到．
试探究与的数量关系，并说明理由．
下面是小明同学不完整的解答过程，请你补充完整．
解：．理由如下：
如图5，过点作直线，则 ．
因为直线，
所以直线 ．
所以 ．
因为 ，，
所以．
深入探究：
（3）如图3，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使他们分别平分和的对顶角，请直接写出的度数．
（4）如图4，在图2的基础上，为两平行线之间一点，连接，，使平分的对顶角，．若，请直接写出的度数．
【变式8-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究
如图，直线被直线所截，分别交于点平分，交于点，且．
(1)判断直线与的位置关系，并证明．
(2)是射线上的一动点（不与点重合），平分，交于点．设，．
①如图1，当点在线段上运动时，求证：．
②如图2，当点在射线上运动时，请判定①中与的关系是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出新的数量关系．
【变式8-4】（2025七年级下·全国·期中）（1）问题发现：如图1，直线，连接可以发现．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作，（已知），（辅助线的作法），
（ ）．
（ ）．
，
．
（等量代换）．
即．
（2）拓展探究：如果点E运动到图2所示的位置，其他条件不变，试说明：
．
【拓展变式】如图3，平分平分，则
．
【变式8-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
【变式8-6】（24-25七年级下·湖北·期中）某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即．
(1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由．
(2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间．
(3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由．
【变式8-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，已知三角形与三角形摆放在一起，点、、在同一直线上，其中，，．如图2，固定三角形，将三角形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角（）．
(1)当时，________°；
(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系：
①当时，______________；
②当时，______________；
③当时，______________；
(3)当三角形的一边与三角形的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数．
【变式8-8】（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足．
(1) ， ；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
(3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？（直接写出答案即可）
1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图，，，求证：．
证明：（已知），
（________），
（等量代换）．
（________）．
________（________）．
又（已知）
________（等量代换）．
________________（________）．
（________）．
3．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，延长到点F，连接，，点E是上一点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
4．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，平分，．
(1)与平行吗？写出证明过程；
(2)若平分，说一说与位置关系．并说理由．
5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线．
(1)若，判断与是否平行，并说明理由；
(2)若射线平分，求的度数．
6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）如图，是的平分线，．
(1)若，求的值．
(2)试说明．
(3)若是的平分线，，求的值．
7．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践
动手操作可提高我们的思维能力，白老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题．
初步认知
（1）如图1，将三角板直角顶点与重合，若，求的度数．
深入探究
白老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答．
（2）①“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点放在三角板的边上，若，求证：平分．
②“善思小组”提出问题：将两块直角三角板按如图3所示的方式摆放，若，，求的度数．
8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：___________，___________．
(2)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出___________，___________（结果用含的代数式表示）；
(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为．当时，则___________．（提示：三角形内角和为）
②在旋转过程中，是否存在．若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
9．（24-25七年级上·江苏常州·期末）已知：如图，直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点．
(1)若，，则______度；
(2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究，，间满足的数量关系并说明理由：
(3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系．
10．（24-25七年级下·重庆九龙坡·期中）如图1，已知直线，直线与交于点E，与交于点N，点F为直线上一点，连接，恰好平分，点G，H分别为直线，上位于右侧的点，连接交线段于点M，．
(1)求证：；
(2)如图2，过E作交于点I，作的角平分线交于点K，作的角平分线交于点Q，若，求的度数．
11．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）【探究感知】如图1，，求的度数．
【类比应用】如图2，，则的度数是______；
【拓展延伸】如图3，与的平分线相交于点，求的度数．
12．（24-25七年级上·河南南阳·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图，直线，求证：
（1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由．
解：过点作直线，
（ ）
（已知），，
（ ）
（ ）
，
（ ）
（2）如图2，直线，若，，则 ；
【方法运用】
（3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．

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