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2025年浙江省金华市东阳市九年级中考二模
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请户，完成改造户，完成系统审价补贴金额达元，数字用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.某校名同学在歌唱比赛中的成绩单位：分分别为，，，，，这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
6.小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是( )
A. 蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形
B.
C. 蜡烛火焰长
D. 线段中点与线段中点的连线不一定经过点
7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为( )
A. B. C. D.
9.已知反比例函数的图像上有，两点，下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
10.如图，是边长为的正三角形，点，分别是边，上的动点，连结，交于点，且作于点，于点下列两条线段的和，不随，的运动而改变的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式： ．
12.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 写出一个即可．
13.如图，是的弦，与相切于点，经过圆心．若，则 ．
14.不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球、个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是蓝球的概率是 ．
15.如图，在中，垂直平分，点，分别是，的中点，连结，交于，延长交于点若，则的长为 ．
16.如图，在中，为对角线上一点，且，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，则四边形与的面积之比为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：．
18.解方程组：．
四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．
求证：．
若，，求的度数．
20.本小题分
如图，在中，，，．
利用直尺和圆规在上取一点，使得，保留作图痕迹．
求的面积．
21.本小题分
某校九年级学生共人，为了解九年级学生的体能情况，从中随机抽取部分学生进行分钟的跳绳测试，小慧将这次测试结果的数据分成组绘成如图所示频数直方图，并发现跳绳次数不少于次的同学占，第，两组频率之和为，且第组与第组的频数都是，第，，组频数之比为．
根据小慧提供的材料，请解答如下问题：
这次跳绳测试共抽取多少名学生？
第组的频数与频率分别是多少？
现学校计划表彰前的学生，请结合频数直方图确定被表彰学生的分钟跳绳次数，并说明理由．
22.本小题分
某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式．现有一壶的水经过分钟烧至后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温与时间分的关系如图所示．
求的值为．
已知时，，求当时水温与时间之间的函数关系式，并求出的值．
当时，求此时电热水壶中水的温度是多少．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
请用含的代数式表示．
若该抛物线向上平移个单位后顶点恰好落在轴上，求该抛物线的函数表达式．
已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
24.本小题分
如图，在中，直径于点，连结并延长交于点，点为上一点，且．
求的度数．
求证：．
连结，如图，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】的倒数是，故选：
2.【答案】
【解析】数字用科学记数法表示为．
故选：．
3.【答案】
【解析】选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
4.【答案】
【解析】．，故该选项不正确，不符合题意；
B.和不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】从小到大重新排列为，，，，，最中间的那个数是
中位数是
故选：．
6.【答案】
【解析】由题意可得：，，
，
，
，故 B正确；
，故蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故 A正确；
，
，即蜡烛火焰长，故 C正确；
线段中点与线段中点的连线一定经过点，故D错误，
故选：．
7.【答案】
【解析】由，得，
由，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：

故选：．
8.【答案】
【解析】设
依题意，，
直角的面积为，
故选：．
9.【答案】
【解析】当时，，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
当时，在第三象限，在第一象限，
，，，故 B错误
当时，，，，都在第一象限，
则，故 A，C错误
当时，，
反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
在第二象限，在第四象限，
，，则，故 D选项正确
故选：．
10.【答案】
【解析】设，在中，，则，，证明得出，则，在中，根据得，进而由勾股定理得，则，据此即可得出答案．
【详解】解：设，
是等边三角形，且边长为，
，，
，，
和都是直角三角形，
在中，，
，，
是的外角，且，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的值不随、的运动而改变，始终是，
故选：．
11.【解析】，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得，
故答案为：答案不唯一．
13.【答案】
【解析】连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【解析】袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个蓝球，
从袋子中随机取出个球，它是蓝球的概率是：，
故答案为：．
15.【解析】垂直平分，
，且．
点是的中点，
，且，，
，
，
，
，
．
点是的中点，且，
，，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】设直线与、相交于点、，连接，如图：
，
线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，
直线，、、三点共线，
，
设，则，，
，
，
，
设，则，
，
由对称性可得，，故，
，
，
，
，
与的对应高之比为，
的边上的高为，
，，
，，
四边形与的面积之比为，
故答案为：．
17.【解析】

18.【解析】
得，，
解得；，
将代入得，，
解得：，
方程组的解为：．

19. 【解析】证明：，
，
即，
，
，
在和中，
；
【小题】
解：由知，，
，
，
，
，
．

20. 【解析】如图，作的垂直平分线交于，点即为所求；
【小题】
解：过点作，垂足为，
，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，解得：
．
的面积．
21. 【解析】【小题】
跳绳次数不少于次的同学占，
第组占，
第，两组频率之和为，
第组的频率为：，
第组与第组的频数都是，
这次跳绳测试共抽取名学生；
【小题】
第，，组频数之比为，第组与第组的频数都是，
第组的频数为，
第组的频率为；
【小题】
第，，组频数之比为，
第组的频数为，
第组的频率为，
第组的频率为：，
第组和第组的频率之和为，
学校计划表彰前的学生，
被表彰学生的分钟跳绳次数是不少于次的学生．
22.【答案】【小题】
解：由图可见，水壶在保温模式下加热到的目标温度，即图中所示的水平线，即．
【小题】
解：设时水温随时间的函数为，当时，水温降至开始重新加热，已知时可得
，解得：
因此，时，．
当水温加热到时电路停止工作，故令得：
，解得．
答：当时，水温与时间之间的函数关系式，．
【小题】
解：从至为降温的分钟，每分钟降温，
从至为升温的分钟，
“从冷却到，需要分钟
再往后水壶会按“从冷却到，再加热回”的周期反复．可知每分钟完成一次“”的循环．
当时水温刚到，再经过分钟后即又回到．
故时，水温为．
23. 【解析】将代入得，
，
【小题】
，
抛物线解析式为
该抛物线向上平移个单位后顶点恰好落在轴上，即的顶点在轴上，
当时
抛物线解析式为
【小题】
抛物线为，点的横坐标，
对应．
对于，需满足：
即
分情况讨论：
当：需，最大值 时，解得．
当 ：需，最小值 时，解得．
所以：的取值范围为 或．
24. 【解析】【小题】
如解图，连接、，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
【小题】如解图，连接，
，
，
，是直径，
，，
，
，
【小题】
连接、、、过点作，垂足为，
由可知：，
，
，
设，则，
，，
是直径，
，
，即，
，
，
，
由得，，
又，，
，
，，
，
，
．

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