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湖南省衡阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·衡阳期末）考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解： 钟表的时针 顺时针旋转，形成的角为负角，
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，则经过2小时，时针所转过的弧度数为.
故答案为：B.
【分析】顺时针转所形成的角为负角，根据时针经过2小时相当于转了一圈的，计算即可.
2．（2024高一下·衡阳期末）定义在上的函数为偶函数，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数为偶函数，则，
即，变形可得，解得，
则函数，易知函数在上单调递减，
，
因为，所以，则.
故答案为：C．
【分析】根据函数为偶函数求出的值，得的解析式，再判断函数在上单调性，利用单调性比较大小即可．
3．（2024高一下·衡阳期末）下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
　 衣服裤子类 鞋类 帽子围巾类 其他类
营业收入占比
净利润占比
下列判断中不正确的是（　　）
A．该公司2021年度鞋类销售亏损
B．该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供
C．该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同
D．清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低
【答案】C
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：A、由统计表可知：鞋类净利润占比为负数，表示亏损，故A正确；
B、由统计表可知：该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供，故B正确；
C、帽子围巾类营业收入和净利润占比相同，不是金额相同，故C错误；
D、清除鞋类销售数据后，净利润增加，服裤子类销售净利润占比将会降低，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据统计表逐项判断即可.
4．（2024高一下·衡阳期末）已知甲袋中有4个白球 个红球，乙袋中有2个白球 4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲 乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（　　）
A．2 B．4 C．6或2 D．8或4
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设事件为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，
事件为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”，
，
由题意可得：，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据古典概型的概率公式列式计算即可.
5．（2024高一下·衡阳期末）已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得，
则，因为，所以当时，，
由，可得，即
因为，所以，则函数，
因为在区间上有唯一零点，所以在区间有一个根，
即与的图像在只有一个交点，
当时，，
故由正弦函数图象可得或，
解得或，则实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，解得，，再根据的范围，解得，由函数图象过点以及的范围，解得，由题意在区间上有唯一零点，即与的图像在只有一个交点，结合正弦函数图象可得或，求m的范围即可.
6．（2024高一下·衡阳期末）平面内有向量满足，，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由，可得，如图所示：
，，
延长至，使得，
，，则，得，
，
当三点共线且在线段上时，的最小值是.
故答案为：B.
【分析】由，可得，用几何图形表示向量和向量的线性运算，构造相似三角形，表示出，利用三点共线求最小值即可.
7．（2024高一下·衡阳期末）在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取中点，连接、、，设与交于，连接，如图所示：
在等腰梯形中，由且，
所以四边形为菱形，所以，
因为，且为的中点，所以，
又因为，所以平面，，
连接AC交BO于G，连接PG，同理可得平面PBO，所以，
因为相交，所以平面ABCD，
过O作交PF于H，由平面PCO，
故，又，所以平面PBD，
设PO=t，，故，又AD=2OD，
故点A到平面PBD的距离，
设直线PA与平面PBD所成角的大小为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值为.
故答案为：C.
【分析】取AD中点O，可得平面PCO，设PO=t，过O作交PF于H，说明A到平面PBD的距离；设直线PA与平面PBD所成角的大小为，可得
，再利用基本不等式求解即可.
8．（2024高一下·衡阳期末）函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，直线 为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有 的值的和为S，则S的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知或，k∈Z，
∴或
∴或，k∈Z，
∵函数f(x)在 上单调递减，
∴
∴
①当时，
取k=0，得，
此时，，当时，满足函数f(x)在 上单调递减，所以符合；
取k=1，得，
此时，，当时，满足函数f(x)在 上单调递减，所以符合；
②当时，
取k=0，得，
此时，，当时，，此时函数f(x)在 上单调递增，舍去；
当k≤-1，得，舍去；
当k≥1，得，舍去，
综上，或2，，
故答案为：A
【分析】根据正弦函数的单调性、对称性，结合分类讨论思想求解即可.
9．（2024高一下·衡阳期末）下列命题中，真命题是（　　）
A．，使得
B．
C．幂函数在上为减函数，则m的值为
D．，是的充分不必要条件
【答案】C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、易知恒成立，故A错误；
B、取特殊值，则，故B错误；
C、函数为幂函数，则，解得或，
因为在上为减函数，所以，则，故C正确；
D、，，一定有；当，满足，但，，
则，是的充分不必要条件，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由指数函数的值域即可判断A；利用赋值法即可判断B；由幂函数的定义结合单调性求得即可判断C；取特殊值验证即可判断D.
10．（2024高一下·衡阳期末）设正数满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最大值为1 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、 正数满足，则，即 ，当且仅当时取等号，则的最大值为，故A错误；
B、，则，即，
则，当且仅当时等号成立，由对数函数单调性可知，则的最小值为，故B正确；
C、，当且仅当，即时取等号，故C正确；
D、
，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用基本不等式求最大值即可判断A；先分析出的取值范围，结合对数函数的单调性可知的最小值即可判断B；将式中化为，然后化简并结合基本不等式求解出最小值即可判断C；将原式乘以，然后化简并结合基本不等式求解出最小值即可判断D.
11．（2024高一下·衡阳期末）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（　　）
A．球的体积为
B．球内接圆柱的侧面积的最大值为
C．球在正方体外部的体积小于
D．球在正方体外部的面积大于
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、易知正方体的棱切球的半径为，则球的体积为，故A错误；
B、记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为，
则内接圆柱的侧面积为：，
当且仅当时等号成立，则球的内接圆柱的侧面积最大值为，故B正确；
C、球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，
即，故C正确；
D、球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积，
每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，
则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：，
得内接圆锥的侧面积为：，
所以6个球冠的表面积大于，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，可得正方体的棱切球的半径为，再逐项分析判断即可.
12．（2024高一下·衡阳期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，则①，
，则，即②，
①②联立可得，
解得，
则.
故答案为：.
【分析】利用两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系将条件式展开，求出，再利用两角差的正弦公式求解即可.
13．（2024高一下·衡阳期末）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台上、下底面半径为，圆台的高为，
由题意可得：，解得，
，，解得，
当圆台的上、下底面在球心的两侧时：设球心到下底面的距离为，球的半径为，
则，所以，解得，
则，故球的表面积为；
当圆台的上、下底面在球心的同侧时：设球心到下底面的距离为，球的半径为，
则，所以，解得，不符合题意.
故答案为：.
【分析】设圆台上、下底面半径为，圆台的高为，讨论当圆台的上、下底面在球心的同侧时不满足题意，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心到下底面的距离为，球的半径为，由，解方程求出，即可求出，再由球的表面积公式求解即可.
14．（2024高一下·衡阳期末）已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
由题意可知：函数在区间上有最大值必然为，且，
则函数在区间上的最大值为；
若在处取最大值，即，解得，，解得，符合题意；
若在处取最大值，即，解得，
此时，符合题意，
综上可知，的取值集合是.
故答案为：.
【分析】先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为，分在处或处取最大值分类讨论，数形结合，求解即可.
15．（2024高一下·衡阳期末）已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】解：(1) 向量， ，若，
则，即，，
则
，故；
(2)易知，
因为，所以，
化简得，即，
因为，，
所以联立，解得，，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)由求得，再利用同角三角函数关系将化简为，代值计算即可；
(2)由求得，结合同角三角函数基本关系求得以及，再利用两角和的正弦公式求解即可.
16．（2024高一下·衡阳期末）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，
（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；
（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
【答案】解：（1）连接交于，如图所示：
因为，，，所以，故，
又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而，所以平面；
（2）延长交于点，
平面即为平面，平面即平面，
设直线与平面所成角为，
过作，垂足为，因为，所以
以为坐标原点，以为轴，作轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
，则，
即直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由边角边证得，即，在等腰三角形中由三线合一证得，在菱形中由菱形的对角线垂直证得，由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，以为轴，作轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
17．（2024高一下·衡阳期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积之和为1可得：，
解得；
（2）解：因为成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，故为84；
（3）解：由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
，
，
则两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据求解即可；
（3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式求解即可.
（1）由频率之和为1得，
解得．
（2）因为成绩落在内的频率为
落在内的频率为
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，
故为84.
（3）由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
故．
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
18．（2024高一下·衡阳期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点.
（1）若为的中点，求三棱锥的体积；
（2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为，
故.

（2）存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，
则EG为面AEC与面PMD的交线.
易得，
在三角形中，，所以，所以平面EAC，
即存在点，且当为AB中点时，平面.

（3）过点P作，因为，
所以，面面，
因为面，所以，
又，，
所以面，
又因为，所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】本题考查三棱锥的体积计算公式，直线与平面平行的判定，二面角的求解.（1）根据为的中点，可推出：点与点到平面的距离之比为，再利用三棱锥的体积计算公式可得：，代入数据进行计算可求出答案；
（2）存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，根据平行线分线段成比例可得，利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（3）过点P作，进而可推出，面面，根据面，利用直线与平面垂直的性质可推出，进而可证明面，据此可推出面，，，利用二面角的定义可推出：是面与面所成锐二面角的平面角，利用余弦的定义可求出锐二面角的余弦值.
（1）因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为，
故.
（2）存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，
则EG为面AEC与面PMD的交线.
易得，
在三角形中，，所以，所以平面EAC，
即存在点，且当为AB中点时，平面.
（3）过点P作，因为，
所以，面面，
因为面，所以，又，，
所以面，
又因为，所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以.
19．（2024高一下·衡阳期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，.
（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式.
（iii）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）
附：样本的相关系数，.
【答案】（1）解：由题可得，
，
，
则，
，故可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；
（2）解：（i）由题可得，，
因为第13个零件的尺寸为，，
所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；
（ii）由于
，证毕；
（iii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为，
剔除离群值后，，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由表中数据，结合公式计算的值，根据的规则进行判断即可；
（2）（i）计算的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断即可；
（ii）根据已学公式进行变形证明即可；
（iii）代入公式计算即可.
（1）由题可得，
，
所以，
则，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小
（2）（i）由题可得，，
因为第13个零件的尺寸为，，
所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；
（ii）由于
，证毕.
（iii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为，
剔除离群值后，，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为，
1 / 1湖南省衡阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·衡阳期末）考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·衡阳期末）定义在上的函数为偶函数，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·衡阳期末）下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
　 衣服裤子类 鞋类 帽子围巾类 其他类
营业收入占比
净利润占比
下列判断中不正确的是（　　）
A．该公司2021年度鞋类销售亏损
B．该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供
C．该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同
D．清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低
4．（2024高一下·衡阳期末）已知甲袋中有4个白球 个红球，乙袋中有2个白球 4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲 乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（　　）
A．2 B．4 C．6或2 D．8或4
5．（2024高一下·衡阳期末）已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（　　）.
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·衡阳期末）平面内有向量满足，，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·衡阳期末）在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·衡阳期末）函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，直线 为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有 的值的和为S，则S的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·衡阳期末）下列命题中，真命题是（　　）
A．，使得
B．
C．幂函数在上为减函数，则m的值为
D．，是的充分不必要条件
10．（2024高一下·衡阳期末）设正数满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最大值为1 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2024高一下·衡阳期末）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（　　）
A．球的体积为
B．球内接圆柱的侧面积的最大值为
C．球在正方体外部的体积小于
D．球在正方体外部的面积大于
12．（2024高一下·衡阳期末）若，则　 　．
13．（2024高一下·衡阳期末）已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为　 　.
14．（2024高一下·衡阳期末）已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是　 　.
15．（2024高一下·衡阳期末）已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值.
16．（2024高一下·衡阳期末）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，
（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；
（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
17．（2024高一下·衡阳期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
18．（2024高一下·衡阳期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点.
（1）若为的中点，求三棱锥的体积；
（2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（2024高一下·衡阳期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，.
（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式.
（iii）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）
附：样本的相关系数，.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解： 钟表的时针 顺时针旋转，形成的角为负角，
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，则经过2小时，时针所转过的弧度数为.
故答案为：B.
【分析】顺时针转所形成的角为负角，根据时针经过2小时相当于转了一圈的，计算即可.
2．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数为偶函数，则，
即，变形可得，解得，
则函数，易知函数在上单调递减，
，
因为，所以，则.
故答案为：C．
【分析】根据函数为偶函数求出的值，得的解析式，再判断函数在上单调性，利用单调性比较大小即可．
3．【答案】C
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：A、由统计表可知：鞋类净利润占比为负数，表示亏损，故A正确；
B、由统计表可知：该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供，故B正确；
C、帽子围巾类营业收入和净利润占比相同，不是金额相同，故C错误；
D、清除鞋类销售数据后，净利润增加，服裤子类销售净利润占比将会降低，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据统计表逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设事件为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，
事件为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”，
，
由题意可得：，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据古典概型的概率公式列式计算即可.
5．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得，
则，因为，所以当时，，
由，可得，即
因为，所以，则函数，
因为在区间上有唯一零点，所以在区间有一个根，
即与的图像在只有一个交点，
当时，，
故由正弦函数图象可得或，
解得或，则实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，解得，，再根据的范围，解得，由函数图象过点以及的范围，解得，由题意在区间上有唯一零点，即与的图像在只有一个交点，结合正弦函数图象可得或，求m的范围即可.
6．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由，可得，如图所示：
，，
延长至，使得，
，，则，得，
，
当三点共线且在线段上时，的最小值是.
故答案为：B.
【分析】由，可得，用几何图形表示向量和向量的线性运算，构造相似三角形，表示出，利用三点共线求最小值即可.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取中点，连接、、，设与交于，连接，如图所示：
在等腰梯形中，由且，
所以四边形为菱形，所以，
因为，且为的中点，所以，
又因为，所以平面，，
连接AC交BO于G，连接PG，同理可得平面PBO，所以，
因为相交，所以平面ABCD，
过O作交PF于H，由平面PCO，
故，又，所以平面PBD，
设PO=t，，故，又AD=2OD，
故点A到平面PBD的距离，
设直线PA与平面PBD所成角的大小为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值为.
故答案为：C.
【分析】取AD中点O，可得平面PCO，设PO=t，过O作交PF于H，说明A到平面PBD的距离；设直线PA与平面PBD所成角的大小为，可得
，再利用基本不等式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知或，k∈Z，
∴或
∴或，k∈Z，
∵函数f(x)在 上单调递减，
∴
∴
①当时，
取k=0，得，
此时，，当时，满足函数f(x)在 上单调递减，所以符合；
取k=1，得，
此时，，当时，满足函数f(x)在 上单调递减，所以符合；
②当时，
取k=0，得，
此时，，当时，，此时函数f(x)在 上单调递增，舍去；
当k≤-1，得，舍去；
当k≥1，得，舍去，
综上，或2，，
故答案为：A
【分析】根据正弦函数的单调性、对称性，结合分类讨论思想求解即可.
9．【答案】C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、易知恒成立，故A错误；
B、取特殊值，则，故B错误；
C、函数为幂函数，则，解得或，
因为在上为减函数，所以，则，故C正确；
D、，，一定有；当，满足，但，，
则，是的充分不必要条件，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由指数函数的值域即可判断A；利用赋值法即可判断B；由幂函数的定义结合单调性求得即可判断C；取特殊值验证即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、 正数满足，则，即 ，当且仅当时取等号，则的最大值为，故A错误；
B、，则，即，
则，当且仅当时等号成立，由对数函数单调性可知，则的最小值为，故B正确；
C、，当且仅当，即时取等号，故C正确；
D、
，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用基本不等式求最大值即可判断A；先分析出的取值范围，结合对数函数的单调性可知的最小值即可判断B；将式中化为，然后化简并结合基本不等式求解出最小值即可判断C；将原式乘以，然后化简并结合基本不等式求解出最小值即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、易知正方体的棱切球的半径为，则球的体积为，故A错误；
B、记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为，
则内接圆柱的侧面积为：，
当且仅当时等号成立，则球的内接圆柱的侧面积最大值为，故B正确；
C、球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，
即，故C正确；
D、球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积，
每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，
则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：，
得内接圆锥的侧面积为：，
所以6个球冠的表面积大于，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，可得正方体的棱切球的半径为，再逐项分析判断即可.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，则①，
，则，即②，
①②联立可得，
解得，
则.
故答案为：.
【分析】利用两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系将条件式展开，求出，再利用两角差的正弦公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台上、下底面半径为，圆台的高为，
由题意可得：，解得，
，，解得，
当圆台的上、下底面在球心的两侧时：设球心到下底面的距离为，球的半径为，
则，所以，解得，
则，故球的表面积为；
当圆台的上、下底面在球心的同侧时：设球心到下底面的距离为，球的半径为，
则，所以，解得，不符合题意.
故答案为：.
【分析】设圆台上、下底面半径为，圆台的高为，讨论当圆台的上、下底面在球心的同侧时不满足题意，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心到下底面的距离为，球的半径为，由，解方程求出，即可求出，再由球的表面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
由题意可知：函数在区间上有最大值必然为，且，
则函数在区间上的最大值为；
若在处取最大值，即，解得，，解得，符合题意；
若在处取最大值，即，解得，
此时，符合题意，
综上可知，的取值集合是.
故答案为：.
【分析】先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为，分在处或处取最大值分类讨论，数形结合，求解即可.
15．【答案】解：(1) 向量， ，若，
则，即，，
则
，故；
(2)易知，
因为，所以，
化简得，即，
因为，，
所以联立，解得，，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)由求得，再利用同角三角函数关系将化简为，代值计算即可；
(2)由求得，结合同角三角函数基本关系求得以及，再利用两角和的正弦公式求解即可.
16．【答案】解：（1）连接交于，如图所示：
因为，，，所以，故，
又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而，所以平面；
（2）延长交于点，
平面即为平面，平面即平面，
设直线与平面所成角为，
过作，垂足为，因为，所以
以为坐标原点，以为轴，作轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
，则，
即直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由边角边证得，即，在等腰三角形中由三线合一证得，在菱形中由菱形的对角线垂直证得，由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，以为轴，作轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
17．【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积之和为1可得：，
解得；
（2）解：因为成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，故为84；
（3）解：由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
，
，
则两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据求解即可；
（3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式求解即可.
（1）由频率之和为1得，
解得．
（2）因为成绩落在内的频率为
落在内的频率为
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，
故为84.
（3）由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
故．
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
18．【答案】（1）因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为，
故.

（2）存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，
则EG为面AEC与面PMD的交线.
易得，
在三角形中，，所以，所以平面EAC，
即存在点，且当为AB中点时，平面.

（3）过点P作，因为，
所以，面面，
因为面，所以，
又，，
所以面，
又因为，所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】本题考查三棱锥的体积计算公式，直线与平面平行的判定，二面角的求解.（1）根据为的中点，可推出：点与点到平面的距离之比为，再利用三棱锥的体积计算公式可得：，代入数据进行计算可求出答案；
（2）存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，根据平行线分线段成比例可得，利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（3）过点P作，进而可推出，面面，根据面，利用直线与平面垂直的性质可推出，进而可证明面，据此可推出面，，，利用二面角的定义可推出：是面与面所成锐二面角的平面角，利用余弦的定义可求出锐二面角的余弦值.
（1）因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为，
故.
（2）存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG，
则EG为面AEC与面PMD的交线.
易得，
在三角形中，，所以，所以平面EAC，
即存在点，且当为AB中点时，平面.
（3）过点P作，因为，
所以，面面，
因为面，所以，又，，
所以面，
又因为，所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以.
19．【答案】（1）解：由题可得，
，
，
则，
，故可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；
（2）解：（i）由题可得，，
因为第13个零件的尺寸为，，
所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；
（ii）由于
，证毕；
（iii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为，
剔除离群值后，，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由表中数据，结合公式计算的值，根据的规则进行判断即可；
（2）（i）计算的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断即可；
（ii）根据已学公式进行变形证明即可；
（iii）代入公式计算即可.
（1）由题可得，
，
所以，
则，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小
（2）（i）由题可得，，
因为第13个零件的尺寸为，，
所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；
（ii）由于
，证毕.
（iii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为，
剔除离群值后，，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为，
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