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广东省番禺区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题
1．（2024高一下·番禺期末）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·番禺期末）设集合，，若，则（　　）．
A．2 B．1 C． D．
3．（2024高一下·番禺期末）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（　　）
A．8 B．7 C．5 D．3
4．（2024高一下·番禺期末）某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
年级 高一 高二 高三
抽样人数 36 34 30
平均身高
则该校高中学生的平均身高可估计为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·番禺期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·番禺期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（　　）
A．A与B，A与，与B，与都相互独立
B．与是对立事件
C．
D．
7．（2024高一下·番禺期末）已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·番禺期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中，
①平面EFG
②平面平面
③所有点P在直线上
④BP与所成的角为，则的最小值是
正确命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024高一下·番禺期末）下列不等式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·番禺期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数中位数<平均数
D．图（3）的平均数中位数众数
11．（2024高一下·番禺期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（　　）
A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形
B．鳖臑的四个面均为直角三角形
C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍
D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
12．（2024高一下·番禺期末）对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则第50百分位数是　 　．
13．（2024高一下·番禺期末）已知 是方程 的一个根，则 　 　
14．（2024高一下·番禺期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是　 　．
15．（2024高一下·番禺期末）已知向量，，．
（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
16．（2024高一下·番禺期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：
10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8
经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．
（1）求这组样本平均数和方差；
（2）从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率；
（3）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由．
17．（2024高一下·番禺期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形．
（1）证明：平面CDF；
（2）证明：四棱锥是正四棱锥；
（3）试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
18．（2024高一下·番禺期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且．
（1）求A的大小；
（2）若，的面积为，求a，b；
（3）求的取值范围．
19．（2024高一下·番禺期末）已知函数的定义域为，且，．
（1）若，求A与；
（2）证明：函数是偶函数；
（3）证明函数是周期函数；
（4）若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】在复平面内，复数对应的点位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数的几何意义求出复数所对点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限.
2．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：依题意，a-2=0或2a-2=0
当a-2=0时，解得a =2，此时A ={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；
当2a-2=0时，解得a=1.此时A ={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得a-2=0或2a -2=0然后讨论求得a的值，再验证即可.
3．【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，
则，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和圆台的侧面积公式，从而得出圆台较小底面的半径.
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可知：抽取的总人数为，各年级的频率依次为，
所以该校高中学生的平均身高可估计为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和加权平均数的计算公式，从而得出该校高中学生的平均身高的估计值.
5．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：的图象如图所示，
因为方程有3个实数解，
所以与的图象有3个不同的交点，
由图可知.
故答案为：A.
【分析】根据题意画出函数的图象，再将方程有3个实数解转化为与的图象有3个不同的交点，根据函数图象得出k的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：A、由于两人射击的结果没有相互影响，则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确；
B、事件表示“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误；
C、，故C错误；
D、
，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据独立事件的定义以及乘法公式求解即可判断AC；由对立事件的定义、互斥事件的概率公式求解即可判断D.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，
所以，则，
由.
故答案为：D
【分析】利用平面向量的数量积进行计算即可求出 的取值范围 。
8．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，
所以平面EFG，所以①正确，
对于②，连接，
因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点，
所以∥，∥，
因为∥，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为，平面，
所以平面平面，所以②正确，
对于③，由①②知平面平面，平面EFG，
所以平面，
因为平面平面，点P为底面上任意一点，
所以所有点P在上，所以③错误，
对于④，因为∥，所以为BP与所成的角，
因为平面，平面，
所以，所以，
由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为，
所以的最小值为，则的最小值是，所以④正确.
故答案为：C.
【分析】根据直线BP与平面EFG无公共点判断出序号①；根据面面平行的判定定理结合正方体的性质判断出序号②；结合①②结合面面平行的性质定理和线面平行的性质定理，再结合点与直线的位置关系分析判断序号③；利用线线平行得出为BP与所成的角，利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合③可知点P在上，则当为的中点时得出的最小值，再根据正切函数的定义得出的最小值，从而得出的最小值，则判断出序号④，从而找出正确的命题个数.
9．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递减，因为，
所以，故A错误；
B、函数在上单调递减，且，，故B正确；
C、函数在上单调递增，且，则，
因为，所以，故C正确；
D、函数在上单调递增，且，
，，，
因为在上单调递增，，
，，
，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐项分析判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、图（1）的分布直方图是对称的，则平均数=中位数=众数，故A正确；
BC、图（2）呈右拖尾，则众数最小，平均数大于中位数，故B错误，C正确；
D、图（3）呈左拖尾，众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，如图，
由题意可知平面，平面，
所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误，
对于B，如图，由题意可知平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确，
对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则，
所以阳马的体积，鳖臑的体积，
所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确，
对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，
且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点，
所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体，
所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据阳马的定义结合线面垂直的判定定理和性质定理，则判断出选项A；根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质定理，则判断出选项B；根据棱锥的体积公式结合已知条件，则判断出选项C；根据堑堵、阳马与鳖臑的定义判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】5
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，
所以第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数.
故答案为：5.
【分析】根据已知条件和百分位数的定义，从而得出这组数据的第50百分位数.
13．【答案】14
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 是关于 方程 的一个根，
也是关于 方程 的一个根，
，
，
解得 ， ，
故答案为：14
【分析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可求出。
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，所以，解得，
又因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
令（），
因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
且，则，得，
综上，，即a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而求的取值范围即可.
15．【答案】解：（1）因为，，，
所以，
因为、、三点共线，所以，
所以，解得.
（2）①若为直角，则，
所以，解得；
②若为直角，则，
所以，解得；
③若为直角，则，
所以，
则，因为，所以方程无解；
综上可得，当或时，为直角三角形.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先求出，，的坐标，依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算得出m的值.
（2）对直角分三种情况讨论，若为直角，则，所以，从而求出m的值；若为直角，则，所以，从而得出m的值；若为直角，则，所以，从而得出m的值，综上所述，当或时，为直角三角形.
16．【答案】（1）解：因为，
所以样本方差为：
.
（2）解：用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品，
用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品，
则该试验的样本空间可表示为：
，
共有15个样本点，
设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果，
则，
所以，
则两件均为一等品的概率为．
（3）解：因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分，
所以估计改进后生产的产品评分的平均数，
所以可以认为这6件产品平均等级为一等品，
因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品，
所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平均数公式、方差公式，从而得出这组样本平均数和方差.
（2）由列举法结合古典概率公式，从而得出这两件均为一等品的概率.
（3）根据平均数公式得出改进后生产的产品评分的平均数，再由平均数的定义判断出新样本平均等级不一定是一等品.
（1），
样本方差为
，
（2）用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品，
用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品，
则该试验的样本空间可表示为
共有15个样本点．
设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果，
即．
所以．
即两件均为一等品的概率为．
（3）因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分，
所以估计改进后生产的产品评分的平均数，
所以可以认为这6件产品平均等级为一等品.
因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品，
所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．
17．【答案】（1）证明：由题意可知，对角面AFCE是正方形，
所以，
又因为平面CDF，平面CDF，
所以平面CDF．
（2）证明：如图1，连接AC与BD，设，连接EO，
图1
则
因为，
所以， ，
因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且，
所以平面ABCD，
所以四棱锥是正四棱锥．
（3）解：如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，
图2
根据等边三角形性质可知，，
所以是二面角的平面角，
设该正八面体棱长为，
则，，
在中，，
所以，
所以平面ABE与平面BCE不垂直．
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，再由线面平行的判定定理证出平面CDF.
（2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意结合等腰三角形的性质可得， ，再由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而证出四棱锥是正四棱锥.
（3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，所以是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，从而表示出，再利用勾股定理的逆定理分析判断出平面ABE与平面BCE不垂直．
（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形，
所以，
又因为平面CDF，平面CDF，
所以平面CDF．
（2）如图1，连接AC与BD，设，连接EO，
图1 图2
则
因为，
所以， ，
又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且
所以平面ABCD．
所以四棱锥是正四棱锥．
（3）如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，
根据等边三角形性质可知，，
所以是二面角的平面角，
设该正八面体棱长为，
则，，
则在中，，
所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直．
18．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
即，
因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，
故，解得；
（2）解： 由的面积为，可得，则，
即，解得，
由余弦定理，可得，解得；
（3）解：因为，
所以，
设，因为，所以，
由（1）知，由余弦定理，
得，，
，
，
当时，取最小值；时，取最大值，
所以的取值范围是．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理、两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）由求出，再由余弦定理求解即可；
（3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法求解即可.
（1）由正弦定理得
，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
所以，
因为，所以，
故，解得；
（2）因为，所以，
即，所以，
又因为，即，
所以；
（3）因为，
所以，
设，因为，所以，
由（1）知，由余弦定理，
得，，
，
，
当时，取最小值；时，取最大值．
所以的取值范围是．
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
令，，可得，
因为，所以，由，可得；
由，得，解得，
因为，所以， 所以，
则 ，
即；
（2）证明：由（1）得，，
①中，令可得，，
即，所以函数为偶函数；
（3）证明：令得，，
即有，
从而可知，，
故，即，
所以函数是一个周期为的周期函数；
（4）证明：由（1）得，，
在中，
令，可得，
因为，所以，所以，又因为在上是减函数，
则函数在上有且仅有一个零点，
中，令，得，
所以在区间上有且仅有一个零点，
又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点，
，
所以在内的零点为和，
，，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，，
在上有4048个零点：
，，，，，，，
其中，．
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 根据函数值计算求余弦函数的参数值即可；
（2）利用偶函数定义证明即可；
（3） 利用周期定义证明即可；
（4）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式.
（1）因为， ①
令，可得，，
因为，所以，
由，得．
由，得，
解得．
因为，所以，
所以，则
，
所以．
解法二：因为，所以
．
．
因为，所以，
解得，或．
当时，，与已知矛盾，所以，
由，且，得
所以．
（2）由（1）得，，
①中，令可得，，
即，所以函数为偶函数；
（3）令得，，
即有，
从而可知，，
故，
即．
所以函数是一个周期为的周期函数．
（4）由（1）得，，
在中，
令，可得，
因为，所以，
所以，又因为在上是减函数，
所以在上有且仅有一个零点．
中，令，得．
所以在区间上有且仅有一个零点．
又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点．
，
所以在内的零点为和．
，，．
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，．
在上有4048个零点：
，，，，，，，
其中，．
1 / 1广东省番禺区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题
1．（2024高一下·番禺期末）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】在复平面内，复数对应的点位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数的几何意义求出复数所对点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限.
2．（2024高一下·番禺期末）设集合，，若，则（　　）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：依题意，a-2=0或2a-2=0
当a-2=0时，解得a =2，此时A ={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；
当2a-2=0时，解得a=1.此时A ={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得a-2=0或2a -2=0然后讨论求得a的值，再验证即可.
3．（2024高一下·番禺期末）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（　　）
A．8 B．7 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，
则，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和圆台的侧面积公式，从而得出圆台较小底面的半径.
4．（2024高一下·番禺期末）某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
年级 高一 高二 高三
抽样人数 36 34 30
平均身高
则该校高中学生的平均身高可估计为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可知：抽取的总人数为，各年级的频率依次为，
所以该校高中学生的平均身高可估计为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和加权平均数的计算公式，从而得出该校高中学生的平均身高的估计值.
5．（2024高一下·番禺期末）已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：的图象如图所示，
因为方程有3个实数解，
所以与的图象有3个不同的交点，
由图可知.
故答案为：A.
【分析】根据题意画出函数的图象，再将方程有3个实数解转化为与的图象有3个不同的交点，根据函数图象得出k的取值范围.
6．（2024高一下·番禺期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（　　）
A．A与B，A与，与B，与都相互独立
B．与是对立事件
C．
D．
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：A、由于两人射击的结果没有相互影响，则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确；
B、事件表示“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误；
C、，故C错误；
D、
，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据独立事件的定义以及乘法公式求解即可判断AC；由对立事件的定义、互斥事件的概率公式求解即可判断D.
7．（2024高一下·番禺期末）已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，
所以，则，
由.
故答案为：D
【分析】利用平面向量的数量积进行计算即可求出 的取值范围 。
8．（2024高一下·番禺期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中，
①平面EFG
②平面平面
③所有点P在直线上
④BP与所成的角为，则的最小值是
正确命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，
所以平面EFG，所以①正确，
对于②，连接，
因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点，
所以∥，∥，
因为∥，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为，平面，
所以平面平面，所以②正确，
对于③，由①②知平面平面，平面EFG，
所以平面，
因为平面平面，点P为底面上任意一点，
所以所有点P在上，所以③错误，
对于④，因为∥，所以为BP与所成的角，
因为平面，平面，
所以，所以，
由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为，
所以的最小值为，则的最小值是，所以④正确.
故答案为：C.
【分析】根据直线BP与平面EFG无公共点判断出序号①；根据面面平行的判定定理结合正方体的性质判断出序号②；结合①②结合面面平行的性质定理和线面平行的性质定理，再结合点与直线的位置关系分析判断序号③；利用线线平行得出为BP与所成的角，利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合③可知点P在上，则当为的中点时得出的最小值，再根据正切函数的定义得出的最小值，从而得出的最小值，则判断出序号④，从而找出正确的命题个数.
9．（2024高一下·番禺期末）下列不等式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递减，因为，
所以，故A错误；
B、函数在上单调递减，且，，故B正确；
C、函数在上单调递增，且，则，
因为，所以，故C正确；
D、函数在上单调递增，且，
，，，
因为在上单调递增，，
，，
，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐项分析判断即可.
10．（2024高一下·番禺期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数中位数<平均数
D．图（3）的平均数中位数众数
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、图（1）的分布直方图是对称的，则平均数=中位数=众数，故A正确；
BC、图（2）呈右拖尾，则众数最小，平均数大于中位数，故B错误，C正确；
D、图（3）呈左拖尾，众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断即可.
11．（2024高一下·番禺期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（　　）
A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形
B．鳖臑的四个面均为直角三角形
C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍
D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
【答案】B,C,D
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，如图，
由题意可知平面，平面，
所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误，
对于B，如图，由题意可知平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确，
对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则，
所以阳马的体积，鳖臑的体积，
所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确，
对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，
且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点，
所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体，
所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据阳马的定义结合线面垂直的判定定理和性质定理，则判断出选项A；根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质定理，则判断出选项B；根据棱锥的体积公式结合已知条件，则判断出选项C；根据堑堵、阳马与鳖臑的定义判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·番禺期末）对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则第50百分位数是　 　．
【答案】5
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，
所以第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数.
故答案为：5.
【分析】根据已知条件和百分位数的定义，从而得出这组数据的第50百分位数.
13．（2024高一下·番禺期末）已知 是方程 的一个根，则 　 　
【答案】14
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 是关于 方程 的一个根，
也是关于 方程 的一个根，
，
，
解得 ， ，
故答案为：14
【分析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可求出。
14．（2024高一下·番禺期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，所以，解得，
又因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
令（），
因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，
且，则，得，
综上，，即a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而求的取值范围即可.
15．（2024高一下·番禺期末）已知向量，，．
（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
【答案】解：（1）因为，，，
所以，
因为、、三点共线，所以，
所以，解得.
（2）①若为直角，则，
所以，解得；
②若为直角，则，
所以，解得；
③若为直角，则，
所以，
则，因为，所以方程无解；
综上可得，当或时，为直角三角形.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先求出，，的坐标，依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算得出m的值.
（2）对直角分三种情况讨论，若为直角，则，所以，从而求出m的值；若为直角，则，所以，从而得出m的值；若为直角，则，所以，从而得出m的值，综上所述，当或时，为直角三角形.
16．（2024高一下·番禺期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：
10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8
经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．
（1）求这组样本平均数和方差；
（2）从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率；
（3）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由．
【答案】（1）解：因为，
所以样本方差为：
.
（2）解：用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品，
用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品，
则该试验的样本空间可表示为：
，
共有15个样本点，
设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果，
则，
所以，
则两件均为一等品的概率为．
（3）解：因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分，
所以估计改进后生产的产品评分的平均数，
所以可以认为这6件产品平均等级为一等品，
因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品，
所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和平均数公式、方差公式，从而得出这组样本平均数和方差.
（2）由列举法结合古典概率公式，从而得出这两件均为一等品的概率.
（3）根据平均数公式得出改进后生产的产品评分的平均数，再由平均数的定义判断出新样本平均等级不一定是一等品.
（1），
样本方差为
，
（2）用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品，
用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品，
则该试验的样本空间可表示为
共有15个样本点．
设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果，
即．
所以．
即两件均为一等品的概率为．
（3）因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分，
所以估计改进后生产的产品评分的平均数，
所以可以认为这6件产品平均等级为一等品.
因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品，
所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．
17．（2024高一下·番禺期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形．
（1）证明：平面CDF；
（2）证明：四棱锥是正四棱锥；
（3）试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
【答案】（1）证明：由题意可知，对角面AFCE是正方形，
所以，
又因为平面CDF，平面CDF，
所以平面CDF．
（2）证明：如图1，连接AC与BD，设，连接EO，
图1
则
因为，
所以， ，
因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且，
所以平面ABCD，
所以四棱锥是正四棱锥．
（3）解：如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，
图2
根据等边三角形性质可知，，
所以是二面角的平面角，
设该正八面体棱长为，
则，，
在中，，
所以，
所以平面ABE与平面BCE不垂直．
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，再由线面平行的判定定理证出平面CDF.
（2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意结合等腰三角形的性质可得， ，再由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而证出四棱锥是正四棱锥.
（3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，所以是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，从而表示出，再利用勾股定理的逆定理分析判断出平面ABE与平面BCE不垂直．
（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形，
所以，
又因为平面CDF，平面CDF，
所以平面CDF．
（2）如图1，连接AC与BD，设，连接EO，
图1 图2
则
因为，
所以， ，
又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且
所以平面ABCD．
所以四棱锥是正四棱锥．
（3）如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，
根据等边三角形性质可知，，
所以是二面角的平面角，
设该正八面体棱长为，
则，，
则在中，，
所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直．
18．（2024高一下·番禺期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且．
（1）求A的大小；
（2）若，的面积为，求a，b；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
即，
因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，
故，解得；
（2）解： 由的面积为，可得，则，
即，解得，
由余弦定理，可得，解得；
（3）解：因为，
所以，
设，因为，所以，
由（1）知，由余弦定理，
得，，
，
，
当时，取最小值；时，取最大值，
所以的取值范围是．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理、两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）由求出，再由余弦定理求解即可；
（3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法求解即可.
（1）由正弦定理得
，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
所以，
因为，所以，
故，解得；
（2）因为，所以，
即，所以，
又因为，即，
所以；
（3）因为，
所以，
设，因为，所以，
由（1）知，由余弦定理，
得，，
，
，
当时，取最小值；时，取最大值．
所以的取值范围是．
19．（2024高一下·番禺期末）已知函数的定义域为，且，．
（1）若，求A与；
（2）证明：函数是偶函数；
（3）证明函数是周期函数；
（4）若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且．
【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
令，，可得，
因为，所以，由，可得；
由，得，解得，
因为，所以， 所以，
则 ，
即；
（2）证明：由（1）得，，
①中，令可得，，
即，所以函数为偶函数；
（3）证明：令得，，
即有，
从而可知，，
故，即，
所以函数是一个周期为的周期函数；
（4）证明：由（1）得，，
在中，
令，可得，
因为，所以，所以，又因为在上是减函数，
则函数在上有且仅有一个零点，
中，令，得，
所以在区间上有且仅有一个零点，
又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点，
，
所以在内的零点为和，
，，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，，
在上有4048个零点：
，，，，，，，
其中，．
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 根据函数值计算求余弦函数的参数值即可；
（2）利用偶函数定义证明即可；
（3） 利用周期定义证明即可；
（4）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式.
（1）因为， ①
令，可得，，
因为，所以，
由，得．
由，得，
解得．
因为，所以，
所以，则
，
所以．
解法二：因为，所以
．
．
因为，所以，
解得，或．
当时，，与已知矛盾，所以，
由，且，得
所以．
（2）由（1）得，，
①中，令可得，，
即，所以函数为偶函数；
（3）令得，，
即有，
从而可知，，
故，
即．
所以函数是一个周期为的周期函数．
（4）由（1）得，，
在中，
令，可得，
因为，所以，
所以，又因为在上是减函数，
所以在上有且仅有一个零点．
中，令，得．
所以在区间上有且仅有一个零点．
又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点．
，
所以在内的零点为和．
，，．
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，．
在上有4048个零点：
，，，，，，，
其中，．
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