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广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高一下学期期末热身考试数学试卷
1．（2024高一下·顺德期末）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·顺德期末）对于任意的平面向量，下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，且，则
C．
D．在上的投影向量为
3．（2024高一下·顺德期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·顺德期末）在中，角的对边分别为，向量，，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．（2024高一下·顺德期末）已知一组正数的方差为，则另一组数据，的平均数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2024高一下·顺德期末）正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·顺德期末）如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·顺德期末）如图，在直角坐标系内，角的终边与单位圆交于点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·顺德期末）在中，角的对边分别为，则（ ）
A．若，则恰有1解
B．若，则为直角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，则
10．（2024高一下·顺德期末）如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（ ）
A．年营业额逐年增加
B．2022年的净利润超过年净利润的总和
C．年营业额的增长率最大的是2022年
D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元
11．（2024高一下·顺德期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
12．（2024高一下·顺德期末）如图所示，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为 .
13．（2024高一下·顺德期末）如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为 ．
14．（2024高一下·顺德期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
15．（2024高一下·顺德期末）在中，角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围.
16．（2024高一下·顺德期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
17．（2024高一下·顺德期末）已知向量，函数，．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
18．（2024高一下·顺德期末）如图，四边形与均为菱形，，，，记平面与平面的交线为．
（1）证明：；
（2）证明：平面平面；
（3）记平面与平面夹角为，若正实数，满足，，证明：．
19．（2024高一下·顺德期末）定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即．
（1）证明：“”是“”的充分不必要条件；
（2）若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、 若且， 当时，不能得出，故A错误；
B、 若，则，且，
即，不能推出，故B错误；
C、根据向量数量积不满足结合律，故C错误；
D、在上的投影向量为，故D正确．
故答案为：D.
【分析】若时，不共线时，得不出即可判断A；根据向量数量积，不能得出即可判断B；根据数量积的定义即可判断C；
根据投影向量的定义即可判断D．
3．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合诱导公式、余弦二倍角公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
若，则，即，
由正弦定理可知，即，
因为，且，所以或，所以或，
则是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据向量垂直的坐标表示求得，由正弦定理结合正弦的二倍角的公式求得，再根据为三角形的内角可得或判断即可.
5．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由正数的方差为， 可得，
则数据的平均数为．
故答案为：B．
【分析】根据方差计算公式可得，再求数据平均数即可.
6．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，再取的中点，连接，如图所示：
因点是的中点，所以，所以，
又因点是的中点，所以，则，
即直线与直线所成角即直线与直线所成角，
不妨设正方体棱长为4，在中，，
由余弦定理，，
即直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在中，利用余弦定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：连接和交于点，如图所示：
因为，，所以，，
又因为和为平面内相交直线，所以平面，所以为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，
所以正八面体的棱长为，
所以，
则．
故答案为：B．
【分析】连接和交于点，根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，再根据球的体积公式求解即可．
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，则，
由诱导公式可得，则，
即点的横坐标为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦值的定义，结合诱导公式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、 若，由正弦定理，可得，
因为，所以有两解，故A错误；
B、若，则，即，
因为，所以，则，故B正确；
C、若，则，
即，则，即，为钝角，故C错误；
D、 若， 由余弦定理，可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
则，又因为，且，
所以，即，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由正弦定理，求得两解即可判断A；化简得到即可判断B；由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得即可判断C；由正弦定理结合余弦定理，求得，即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】等比数列的前n项和；频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：A、由统计图可知：2019年的营业额低于2018年，故A错误；
B、2022年的净利润为166.2亿元，年的净利润的总和为（亿元），，故B正确；
C、年营业额的增长率最大的是2022年，故C正确；
D、设2023年第一季度的净利润为亿元，则第四季度的净利润为，
则，得，
故2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据统计图中营业额即可判断A；计算年总利润和2022净利润比较即可判断B；根据图中增长率大小即可判断C；根据等比数列求和公式即可判断D.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
直三棱柱中，，
为正方形，，
，平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；
设，，，
，
，
，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；
当是的中点时，，，，
，
，，
，设点到平面的距离为，由，
得，，
直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，
则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用线面垂直去求证出线线垂直，进行判断选项A；利用等体积法，根据底面积和高求解出体积，即可判断选项B；将变成求点和点到点的距离之和，接着进行计算化简，即可判断选项C；利用构造直角三角形求截面半径，求出体积即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由，，可得的面积为，则.
故答案为：.
【分析】根据直观图和原图的面积关系求解即可.
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 在中，，，
则，，
当时，，因为，，
所以平面，，则，
，
则三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，则由等体积法可得：，解得，
故内切球的表面积．
故答案为：.
【分析】设内切球半径为，三棱锥表面积为，根据三棱锥体积求出，再由球的表面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
可得，
则，
因为，所以，
又因为，所以或，
即或，即或.
若，则，则无意义，故.
又，所以，即.
因为，所以，，，
所以，解得，故.
由正弦定理可得
，
令，则.
设，
由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以，即.
故答案为：.
【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故，由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质求解即可.
15．【答案】解：（1），由正弦定理可得，
则，即，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2），且，由余弦定理可得，
因为三角形为锐角三角形，所以且，解得，
则面积.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简求B的值即可；（2）由题意，结合余弦定理求得，再求面积的取值范围即可.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积之和为1可得：，
解得；
（2）解：因为成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，故为84；
（3）解：由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
，
，
则两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据求解即可；
（3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式求解即可.
（1）由频率之和为1得，
解得．
（2）因为成绩落在内的频率为
落在内的频率为
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，
故为84.
（3）由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
故．
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
17．【答案】（1）解：向量，
则，
当时，函数，
则；
（2）解：因为，所以，
则，
即，
令，则，
则，对称轴，
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）；
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）；
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数；
（3）解：令，解得或，
由题意可知：方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积，结合两角和的余弦公式化简函数，再求值即可；
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；
（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质求解即可．
（1），
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），
③当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数．
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．
18．【答案】（1）证明：因为为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以；
（2）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为为菱形，所以，为中点，
因为，所以，
又因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）证明：因为为菱形，，，所以，，
又因为为菱形，所以，
因为，，所以，所以，所以，即，
又因为，平面，，所以平面，
又由（1）知，所以平面，
所以即为平面与平面的夹角，
在直角中，，所以，
所以平面与平面夹角的大小为，
因为，所以，
两式相加得，，
下面证明：①；②；且等号不同时取；
因为
当且仅当时取等号，所以，
同理，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以.
【知识点】基本不等式；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过线面平行的性质定理进行转化证明即可；
（2）通过图形关系证明，，然后得到线面垂直，再证明面面垂直即可；
（3）首先通过几何图形关系得到即为平面与平面的夹角，得到角度后，通过基本不等式转化证明即可.
（1）因为为菱形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以.
（2）连接交于点，连接，
因为为菱形，所以，为中点，
因为，所以，
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面
（3）因为为菱形，，，
所以，，
又因为为菱形，所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
又因为，平面，，所以平面，
又由（1）知，所以平面，
所以即为平面与平面的夹角，
在直角中，，所以，
所以平面与平面夹角的大小为，
因为，所以，
两式相加得，，
下面证明：①；②；且等号不同时取；
法一：基本不等式
因为
当且仅当时取等号，所以，
同理（当且仅当取等号）
所以，即，
所以
法二：三元均值不等式
当且仅当时取等号，所以，
同理（当且仅当取等号）
所以，即，
所以.
19．【答案】（1）证明：，则，即，
则，即，
同理可得，，
则成立，
取，则为等腰直角三角形的三边，
但，，不能为三角形的三边，
故推不出，
故“”是“”的充分不必要条件；
（2）解：①，则，即，
又因为，所以，
而均为三角形内角，则，
记，
则；
②由，可得，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
同理得，，
x，y，z可组成三角形，则.
【知识点】充分条件；必要条件；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边证明充分性，再举反例说明推不出即可；
（2）①将代入，通过移项平方得出和的余弦值，进而得到正弦值，再利用三角形面积公式即可得到面积比；
②通过移项平方得到，再通过得出，同理可得出，，再根据满足三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边即可得出.
（1），则，即，
∴，即，
同理可得，，
则成立，
取，则为等腰直角三角形的三边，
但，，不能为三角形的三边，
故推不出，
∴“”是“”的充分不必要条件．
（2）①，则，
∴，
又因为，∴，
而均为三角形内角，∴，
记，
∴；
②由，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
同理得，，
∴x，y，z可组成三角形，∴.
1 / 1广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高一下学期期末热身考试数学试卷
1．（2024高一下·顺德期末）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．（2024高一下·顺德期末）对于任意的平面向量，下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，且，则
C．
D．在上的投影向量为
【答案】D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、 若且， 当时，不能得出，故A错误；
B、 若，则，且，
即，不能推出，故B错误；
C、根据向量数量积不满足结合律，故C错误；
D、在上的投影向量为，故D正确．
故答案为：D.
【分析】若时，不共线时，得不出即可判断A；根据向量数量积，不能得出即可判断B；根据数量积的定义即可判断C；
根据投影向量的定义即可判断D．
3．（2024高一下·顺德期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合诱导公式、余弦二倍角公式求解即可.
4．（2024高一下·顺德期末）在中，角的对边分别为，向量，，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
若，则，即，
由正弦定理可知，即，
因为，且，所以或，所以或，
则是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据向量垂直的坐标表示求得，由正弦定理结合正弦的二倍角的公式求得，再根据为三角形的内角可得或判断即可.
5．（2024高一下·顺德期末）已知一组正数的方差为，则另一组数据，的平均数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由正数的方差为， 可得，
则数据的平均数为．
故答案为：B．
【分析】根据方差计算公式可得，再求数据平均数即可.
6．（2024高一下·顺德期末）正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，再取的中点，连接，如图所示：
因点是的中点，所以，所以，
又因点是的中点，所以，则，
即直线与直线所成角即直线与直线所成角，
不妨设正方体棱长为4，在中，，
由余弦定理，，
即直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在中，利用余弦定理求解即可.
7．（2024高一下·顺德期末）如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：连接和交于点，如图所示：
因为，，所以，，
又因为和为平面内相交直线，所以平面，所以为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，
所以正八面体的棱长为，
所以，
则．
故答案为：B．
【分析】连接和交于点，根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，再根据球的体积公式求解即可．
8．（2024高一下·顺德期末）如图，在直角坐标系内，角的终边与单位圆交于点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：设，则，
由诱导公式可得，则，
即点的横坐标为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦值的定义，结合诱导公式求解即可.
9．（2024高一下·顺德期末）在中，角的对边分别为，则（ ）
A．若，则恰有1解
B．若，则为直角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，则
【答案】B,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、 若，由正弦定理，可得，
因为，所以有两解，故A错误；
B、若，则，即，
因为，所以，则，故B正确；
C、若，则，
即，则，即，为钝角，故C错误；
D、 若， 由余弦定理，可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
则，又因为，且，
所以，即，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由正弦定理，求得两解即可判断A；化简得到即可判断B；由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得即可判断C；由正弦定理结合余弦定理，求得，即可判断D.
10．（2024高一下·顺德期末）如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（ ）
A．年营业额逐年增加
B．2022年的净利润超过年净利润的总和
C．年营业额的增长率最大的是2022年
D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元
【答案】B,C
【知识点】等比数列的前n项和；频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：A、由统计图可知：2019年的营业额低于2018年，故A错误；
B、2022年的净利润为166.2亿元，年的净利润的总和为（亿元），，故B正确；
C、年营业额的增长率最大的是2022年，故C正确；
D、设2023年第一季度的净利润为亿元，则第四季度的净利润为，
则，得，
故2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】根据统计图中营业额即可判断A；计算年总利润和2022净利润比较即可判断B；根据图中增长率大小即可判断C；根据等比数列求和公式即可判断D.
11．（2024高一下·顺德期末）在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
直三棱柱中，，
为正方形，，
，平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；
设，，，
，
，
，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；
当是的中点时，，，，
，
，，
，设点到平面的距离为，由，
得，，
直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，
则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用线面垂直去求证出线线垂直，进行判断选项A；利用等体积法，根据底面积和高求解出体积，即可判断选项B；将变成求点和点到点的距离之和，接着进行计算化简，即可判断选项C；利用构造直角三角形求截面半径，求出体积即可判断选项D.
12．（2024高一下·顺德期末）如图所示，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为 .
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由，，可得的面积为，则.
故答案为：.
【分析】根据直观图和原图的面积关系求解即可.
13．（2024高一下·顺德期末）如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 在中，，，
则，，
当时，，因为，，
所以平面，，则，
，
则三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，则由等体积法可得：，解得，
故内切球的表面积．
故答案为：.
【分析】设内切球半径为，三棱锥表面积为，根据三棱锥体积求出，再由球的表面积公式求解即可.
14．（2024高一下·顺德期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
可得，
则，
因为，所以，
又因为，所以或，
即或，即或.
若，则，则无意义，故.
又，所以，即.
因为，所以，，，
所以，解得，故.
由正弦定理可得
，
令，则.
设，
由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以，即.
故答案为：.
【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故，由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质求解即可.
15．（2024高一下·顺德期末）在中，角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围.
【答案】解：（1），由正弦定理可得，
则，即，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2），且，由余弦定理可得，
因为三角形为锐角三角形，所以且，解得，
则面积.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简求B的值即可；（2）由题意，结合余弦定理求得，再求面积的取值范围即可.
16．（2024高一下·顺德期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积之和为1可得：，
解得；
（2）解：因为成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，故为84；
（3）解：由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
，
，
则两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据求解即可；
（3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式求解即可.
（1）由频率之和为1得，
解得．
（2）因为成绩落在内的频率为
落在内的频率为
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，
故为84.
（3）由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
故．
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
17．（2024高一下·顺德期末）已知向量，函数，．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：向量，
则，
当时，函数，
则；
（2）解：因为，所以，
则，
即，
令，则，
则，对称轴，
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）；
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）；
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数；
（3）解：令，解得或，
由题意可知：方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积，结合两角和的余弦公式化简函数，再求值即可；
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；
（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质求解即可．
（1），
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），
③当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数．
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．
18．（2024高一下·顺德期末）如图，四边形与均为菱形，，，，记平面与平面的交线为．
（1）证明：；
（2）证明：平面平面；
（3）记平面与平面夹角为，若正实数，满足，，证明：．
【答案】（1）证明：因为为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以；
（2）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为为菱形，所以，为中点，
因为，所以，
又因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）证明：因为为菱形，，，所以，，
又因为为菱形，所以，
因为，，所以，所以，所以，即，
又因为，平面，，所以平面，
又由（1）知，所以平面，
所以即为平面与平面的夹角，
在直角中，，所以，
所以平面与平面夹角的大小为，
因为，所以，
两式相加得，，
下面证明：①；②；且等号不同时取；
因为
当且仅当时取等号，所以，
同理，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以.
【知识点】基本不等式；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过线面平行的性质定理进行转化证明即可；
（2）通过图形关系证明，，然后得到线面垂直，再证明面面垂直即可；
（3）首先通过几何图形关系得到即为平面与平面的夹角，得到角度后，通过基本不等式转化证明即可.
（1）因为为菱形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以.
（2）连接交于点，连接，
因为为菱形，所以，为中点，
因为，所以，
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面
（3）因为为菱形，，，
所以，，
又因为为菱形，所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
又因为，平面，，所以平面，
又由（1）知，所以平面，
所以即为平面与平面的夹角，
在直角中，，所以，
所以平面与平面夹角的大小为，
因为，所以，
两式相加得，，
下面证明：①；②；且等号不同时取；
法一：基本不等式
因为
当且仅当时取等号，所以，
同理（当且仅当取等号）
所以，即，
所以
法二：三元均值不等式
当且仅当时取等号，所以，
同理（当且仅当取等号）
所以，即，
所以.
19．（2024高一下·顺德期末）定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即．
（1）证明：“”是“”的充分不必要条件；
（2）若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．
【答案】（1）证明：，则，即，
则，即，
同理可得，，
则成立，
取，则为等腰直角三角形的三边，
但，，不能为三角形的三边，
故推不出，
故“”是“”的充分不必要条件；
（2）解：①，则，即，
又因为，所以，
而均为三角形内角，则，
记，
则；
②由，可得，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
同理得，，
x，y，z可组成三角形，则.
【知识点】充分条件；必要条件；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边证明充分性，再举反例说明推不出即可；
（2）①将代入，通过移项平方得出和的余弦值，进而得到正弦值，再利用三角形面积公式即可得到面积比；
②通过移项平方得到，再通过得出，同理可得出，，再根据满足三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边即可得出.
（1），则，即，
∴，即，
同理可得，，
则成立，
取，则为等腰直角三角形的三边，
但，，不能为三角形的三边，
故推不出，
∴“”是“”的充分不必要条件．
（2）①，则，
∴，
又因为，∴，
而均为三角形内角，∴，
记，
∴；
②由，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
同理得，，
∴x，y，z可组成三角形，∴.
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