资源简介

广东省湛江第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试（7月）数学试题
1．（2024高一下·湛江期末）已知，若为纯虚数，则（　　）
A． B．2 C．1 D．
2．（2024高一下·湛江期末）下列说法正确的是（　　）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
3．（2024高一下·湛江期末）某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
4．（2024高一下·湛江期末）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·湛江期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·湛江期末）如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为(　　)
A． B． C． D．
7．（2024高一下·湛江期末）如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·湛江期末）在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·湛江期末）今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（　　）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
10．（2024高一下·湛江期末）如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（　　）
A．圆锥的母线长为
B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
C．当三棱锥的体积最大时，
D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为
11．（2024高一下·湛江期末）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为钝角三角形
C．若O为的垂心，，则
D．若，则点O的轨迹经过的重心
12．（2024高一下·湛江期末）某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为　 　．
13．（2024高一下·湛江期末）已知，，则　 　．
14．（2024高一下·湛江期末）已知是球O的直径，，C，D是球面上两点，，，与平面所成的角为，则四面体的体积为　 　.
15．（2024高一下·湛江期末）已知向量，，．
（1）求在上的值域；
（2）求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程．
16．（2024高一下·湛江期末）某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
17．（2024高一下·湛江期末）如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的大小.
18．（2024高一下·湛江期末）在中，角的对边分别为，已知.
（1）若的内角平分线交于点，求的长；
（2）若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值.
19．（2024高一下·湛江期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
（1）设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
若为纯虚数，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则化简复数，结合纯虚数定义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，因为正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，故A错误；
对于B，因为底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，故B错误；
对于C，由棱柱的定义，故C正确；
对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用棱柱的定义判断出选项A、选项B和选项C；利用棱台的定义判断选项D，从而找出说法正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，
由，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.
故答案为：B.
【分析】由75%分位数的定义求解即可。
4．【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，；
在中，，
由图可知，易知，
在中，，
根据正弦定理可得：，
则.
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，再根据三角形内角和定理和平行线的性质可得角的度数，结合正弦定理得出CD的长.
5．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数的图象，可得，
所以，可得，
所以函数，
由，可得，
因为，可得只有当时满足题意，可得，
又因为，可得，所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意和正弦型函数的图象，则结合正弦型函数的图象的最高点的纵坐标得出A的值，再根据正弦型函数的最小正周期公式得出的值，结合代入法和五点对应法，从而得出的值，进而得出正弦型函数f(x)的解析式.
6．【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，
因为柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，
所以，放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的．
故答案为：A．
【分析】根据直三棱柱体积公式和已知条件，从而得出放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值．
7．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，，
则是异面直线CM与AE所成的角或其补角，
正方形中，，在中，，
，，
于是，
所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为.
故答案为：D
【分析】
取有中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
由余弦定理可得，
因为是斜三角形，所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
化简得，解得，
则，
设边的中点为，则，
因为，所以，
即为的中点，所以.
故答案为：A.
【分析】利用正、余弦定理转化得，对变形得，两边同平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式求解即可.
9．【答案】C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，因为小王和小张中奖相互独立，
则小王和小张都中奖的概率为，故A错误；
对于B，因为小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；
对于C，因为小王和小张中只有一个人中奖包括两种情况：
①小王中奖但小张没中奖；②小张中奖但小王没中奖.两者互斥，
故只有一个人中奖的概率为：，故C正确；
对于D，因为“小王和小张中至多有一个人中奖”的对立事件为“小王和小张都中奖”，
所以，小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用相互独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出小王和小张都中奖的概率和小王和小张都没有中奖的概率，则判断出选项A和选项B；利用互斥事件加法求概率公式、对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出小王和小张中只有一个人中奖的概率，则判断出选项C；利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出小王和小张中至多有一个人中奖的概率，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆锥的母线长为，故A正确；
对于B，因为平面，
则母线与底面所成的角等于，
所以，故B错误；
对于C，因为平面平面，且交线为，
则点在平面上的射影在线段上，
当是弧中点，时，点到平面的距离最大，
又因为面积为定值，此时三棱锥的体积最大，反之亦然，故C正确；
对于D，当时，，连接并延长交圆于，连接，
则，所以，则，
所以是异面直线与所成角或其补角，
则，，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和圆锥的结构特征，再结合线面角求解方法、异面直线的夹角求解方法、三棱锥的体积公式以及几何法求最值的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形五心；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
则，为等腰三角形，故A正确；
对于B，由，得，
整理得，则角是锐角，
不能确保为钝角三角形，故B错误；
对于C，由O为的垂心，得，
则，故C正确；
对于D，令边中点为，
由正弦定理得，则，
所以，因此点的轨迹是直线上，
又因为直线过的重心，所以点O的轨迹经过的重心，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用数量积定义和数量积的运算律，再结合三角形的垂心和重心的性质、正弦定理、两向量垂直数量积为0的等价关系、三角形的形状判断方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．【答案】30
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：依题意，抽取的粮食类的样本数为，
抽取的水果类的样本数为，
所以抽取的粮食类和水果类的样本数之和为30.
故答案为：30.
【分析】根据已知条件和分层抽样的抽样比，从而计算得出抽取的粮食类和水果类的样本数之和.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
由，得，整理得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式，则根据得出角的值.
14．【答案】2
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为球O的半径为2，，为等边三角形，
取中点H，连接，如图所示，
则，
由与，平面，，
所以平面，平面，
则平面平面，平面平面，
故即与平面所成线面角，则，
又因为，
所以.
故答案为：2.
【分析】取中点H，由已知条件可证平面平面，从而得出，解得，再由和三棱锥的体积公式，从而得出四面体的体积.
15．【答案】（1）解：依题意得：，
当时，，
则，
所以的值域为.
（2）解：由，得，
所以函数图象的对称中心坐标为；
由，得，
所以函数图象的对称轴方程为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示结合二倍角的余弦公式以及辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用x的取值范围和不等式的基本性质，结合换元法和正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在上的值域.
（2）由（1）中函数的解析式结合换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出正弦型函数图象的对称中心坐标和对称轴方程．
（1）依题意，，
当时，，则，
所以的值域为.
（2）由，得，
所以函数图象的对称中心坐标为；
由，得，
所以函数图象的对称轴方程为.
16．【答案】解：（1）由题意可知：被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）全体男生身高的平均数为： ，
设全体男生身高的中位数为，因为第1组对应的频率为0.20，第2组对应的频率为0.28，
所以，则，解得；
（3）第5组有人，记为，，，，同理第6组有2人记为，，
基本事件包括：、、、、、、、、、、、、
、、，共15种，
选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有、、、、、、、、共9种，则所求概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率即可；
（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数即可；
（3）利用列举法，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式求解即可.
17．【答案】（1）证明：平面，平面，
，
在中，，
由正弦定理得，则，
，又，平面，
平面，又分别为棱PC，PB的中点，
，则平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：如图，取中点，连接，
因为为PB的中点，，，
又因为平面，平面，
又因为平面，，
由（1）知，，
平面，，
平面，
又因为平面，，
则即为二面角的平面角，
设，则，
，
，
所以，在直角三角形中，
，
，
所以二面角的大小为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由平面可得，在中，，由正弦定理可得，从而得出平面，再由证出平面平面.
（2）取中点，连接，再结合中位线定理和平面，从而可得平面，进而可得为二面角的平面角，再由棱长关系和正切函数的定义得出的值，从而得出二面角的大小.
（1）平面，平面，
，
在中，，
由正弦定理，则，
，又，平面，
平面，又分别为棱PC，PB的中点，
，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）如图，取中点，连接，
又为PB的中点，，，
由平面，平面，
又平面，，
由（1）知，，
平面，，
平面，又平面，，
则即为二面角的平面角，
设，则，，
，
所以在直角三角形中，
，，
即二面角的大小为.
18．【答案】（1）解：因为是内角的平分线，
所以，
因为，
所以
则，
解得.
（2）解：因为的外接圆半径为2，，
所以，，
又因为与的内角平分线相交于点，
所以，则，
在中，由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以，
所以，，
当且仅当等号成立，
所以的最大值为4.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和，再结合三角形的面积公式得出CD的长.
（2）根据与的内角平分线相交于点，从而可得的值，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
（1）
因为是内角的平分线，所以，
因为，所以，
即，
解得；
（2）
因为的外接圆半径为2，，
所以，，
因为与的内角平分线相交于点，
所以，即，
在中，由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以，
所以，，当且仅当等号成立，
所以的最大值为4.
19．【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又因为，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
又因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
则为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又因为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，由题意可得，再利用线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）在平面中，过点C作射线，从而可得为二面角的平面角，过点作，从而可得平面，则即为直线和平面所成的角，再解三角形得出直线和平面所成角的正弦值.
（1）连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
1 / 1广东省湛江第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试（7月）数学试题
1．（2024高一下·湛江期末）已知，若为纯虚数，则（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
若为纯虚数，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则化简复数，结合纯虚数定义求解即可.
2．（2024高一下·湛江期末）下列说法正确的是（　　）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，因为正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，故A错误；
对于B，因为底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，故B错误；
对于C，由棱柱的定义，故C正确；
对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用棱柱的定义判断出选项A、选项B和选项C；利用棱台的定义判断选项D，从而找出说法正确的选项.
3．（2024高一下·湛江期末）某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，
由，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.
故答案为：B.
【分析】由75%分位数的定义求解即可。
4．（2024高一下·湛江期末）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，；
在中，，
由图可知，易知，
在中，，
根据正弦定理可得：，
则.
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，再根据三角形内角和定理和平行线的性质可得角的度数，结合正弦定理得出CD的长.
5．（2024高一下·湛江期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数的图象，可得，
所以，可得，
所以函数，
由，可得，
因为，可得只有当时满足题意，可得，
又因为，可得，所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意和正弦型函数的图象，则结合正弦型函数的图象的最高点的纵坐标得出A的值，再根据正弦型函数的最小正周期公式得出的值，结合代入法和五点对应法，从而得出的值，进而得出正弦型函数f(x)的解析式.
6．（2024高一下·湛江期末）如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，
因为柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，
所以，放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的．
故答案为：A．
【分析】根据直三棱柱体积公式和已知条件，从而得出放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值．
7．（2024高一下·湛江期末）如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，，
则是异面直线CM与AE所成的角或其补角，
正方形中，，在中，，
，，
于是，
所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为.
故答案为：D
【分析】
取有中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦.
8．（2024高一下·湛江期末）在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
由余弦定理可得，
因为是斜三角形，所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
化简得，解得，
则，
设边的中点为，则，
因为，所以，
即为的中点，所以.
故答案为：A.
【分析】利用正、余弦定理转化得，对变形得，两边同平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式求解即可.
9．（2024高一下·湛江期末）今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（　　）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
【答案】C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，因为小王和小张中奖相互独立，
则小王和小张都中奖的概率为，故A错误；
对于B，因为小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；
对于C，因为小王和小张中只有一个人中奖包括两种情况：
①小王中奖但小张没中奖；②小张中奖但小王没中奖.两者互斥，
故只有一个人中奖的概率为：，故C正确；
对于D，因为“小王和小张中至多有一个人中奖”的对立事件为“小王和小张都中奖”，
所以，小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用相互独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出小王和小张都中奖的概率和小王和小张都没有中奖的概率，则判断出选项A和选项B；利用互斥事件加法求概率公式、对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出小王和小张中只有一个人中奖的概率，则判断出选项C；利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出小王和小张中至多有一个人中奖的概率，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2024高一下·湛江期末）如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（　　）
A．圆锥的母线长为
B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
C．当三棱锥的体积最大时，
D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为
【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为圆锥的母线长为，故A正确；
对于B，因为平面，
则母线与底面所成的角等于，
所以，故B错误；
对于C，因为平面平面，且交线为，
则点在平面上的射影在线段上，
当是弧中点，时，点到平面的距离最大，
又因为面积为定值，此时三棱锥的体积最大，反之亦然，故C正确；
对于D，当时，，连接并延长交圆于，连接，
则，所以，则，
所以是异面直线与所成角或其补角，
则，，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和圆锥的结构特征，再结合线面角求解方法、异面直线的夹角求解方法、三棱锥的体积公式以及几何法求最值的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
11．（2024高一下·湛江期末）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为钝角三角形
C．若O为的垂心，，则
D．若，则点O的轨迹经过的重心
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形五心；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
则，为等腰三角形，故A正确；
对于B，由，得，
整理得，则角是锐角，
不能确保为钝角三角形，故B错误；
对于C，由O为的垂心，得，
则，故C正确；
对于D，令边中点为，
由正弦定理得，则，
所以，因此点的轨迹是直线上，
又因为直线过的重心，所以点O的轨迹经过的重心，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用数量积定义和数量积的运算律，再结合三角形的垂心和重心的性质、正弦定理、两向量垂直数量积为0的等价关系、三角形的形状判断方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．（2024高一下·湛江期末）某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为　 　．
【答案】30
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：依题意，抽取的粮食类的样本数为，
抽取的水果类的样本数为，
所以抽取的粮食类和水果类的样本数之和为30.
故答案为：30.
【分析】根据已知条件和分层抽样的抽样比，从而计算得出抽取的粮食类和水果类的样本数之和.
13．（2024高一下·湛江期末）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
由，得，整理得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式，则根据得出角的值.
14．（2024高一下·湛江期末）已知是球O的直径，，C，D是球面上两点，，，与平面所成的角为，则四面体的体积为　 　.
【答案】2
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为球O的半径为2，，为等边三角形，
取中点H，连接，如图所示，
则，
由与，平面，，
所以平面，平面，
则平面平面，平面平面，
故即与平面所成线面角，则，
又因为，
所以.
故答案为：2.
【分析】取中点H，由已知条件可证平面平面，从而得出，解得，再由和三棱锥的体积公式，从而得出四面体的体积.
15．（2024高一下·湛江期末）已知向量，，．
（1）求在上的值域；
（2）求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程．
【答案】（1）解：依题意得：，
当时，，
则，
所以的值域为.
（2）解：由，得，
所以函数图象的对称中心坐标为；
由，得，
所以函数图象的对称轴方程为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示结合二倍角的余弦公式以及辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用x的取值范围和不等式的基本性质，结合换元法和正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在上的值域.
（2）由（1）中函数的解析式结合换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出正弦型函数图象的对称中心坐标和对称轴方程．
（1）依题意，，
当时，，则，
所以的值域为.
（2）由，得，
所以函数图象的对称中心坐标为；
由，得，
所以函数图象的对称轴方程为.
16．（2024高一下·湛江期末）某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
【答案】解：（1）由题意可知：被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）全体男生身高的平均数为： ，
设全体男生身高的中位数为，因为第1组对应的频率为0.20，第2组对应的频率为0.28，
所以，则，解得；
（3）第5组有人，记为，，，，同理第6组有2人记为，，
基本事件包括：、、、、、、、、、、、、
、、，共15种，
选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有、、、、、、、、共9种，则所求概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率即可；
（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数即可；
（3）利用列举法，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式求解即可.
17．（2024高一下·湛江期末）如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的大小.
【答案】（1）证明：平面，平面，
，
在中，，
由正弦定理得，则，
，又，平面，
平面，又分别为棱PC，PB的中点，
，则平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：如图，取中点，连接，
因为为PB的中点，，，
又因为平面，平面，
又因为平面，，
由（1）知，，
平面，，
平面，
又因为平面，，
则即为二面角的平面角，
设，则，
，
，
所以，在直角三角形中，
，
，
所以二面角的大小为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由平面可得，在中，，由正弦定理可得，从而得出平面，再由证出平面平面.
（2）取中点，连接，再结合中位线定理和平面，从而可得平面，进而可得为二面角的平面角，再由棱长关系和正切函数的定义得出的值，从而得出二面角的大小.
（1）平面，平面，
，
在中，，
由正弦定理，则，
，又，平面，
平面，又分别为棱PC，PB的中点，
，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）如图，取中点，连接，
又为PB的中点，，，
由平面，平面，
又平面，，
由（1）知，，
平面，，
平面，又平面，，
则即为二面角的平面角，
设，则，，
，
所以在直角三角形中，
，，
即二面角的大小为.
18．（2024高一下·湛江期末）在中，角的对边分别为，已知.
（1）若的内角平分线交于点，求的长；
（2）若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值.
【答案】（1）解：因为是内角的平分线，
所以，
因为，
所以
则，
解得.
（2）解：因为的外接圆半径为2，，
所以，，
又因为与的内角平分线相交于点，
所以，则，
在中，由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以，
所以，，
当且仅当等号成立，
所以的最大值为4.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和，再结合三角形的面积公式得出CD的长.
（2）根据与的内角平分线相交于点，从而可得的值，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
（1）
因为是内角的平分线，所以，
因为，所以，
即，
解得；
（2）
因为的外接圆半径为2，，
所以，，
因为与的内角平分线相交于点，
所以，即，
在中，由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以，
所以，，当且仅当等号成立，
所以的最大值为4.
19．（2024高一下·湛江期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
（1）设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又因为，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
又因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
则为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又因为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，由题意可得，再利用线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）在平面中，过点C作射线，从而可得为二面角的平面角，过点作，从而可得平面，则即为直线和平面所成的角，再解三角形得出直线和平面所成角的正弦值.
（1）连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
1 / 1

展开更多......

收起↑