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广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·海珠期末）在中，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·海珠期末）下列的表述中，正确的是（　　）
A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直
B．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行
C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
3．（2024高一下·海珠期末）若两个非零向量的夹角为，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·海珠期末）有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（　　）
A．数据的标准差不小于数据的标准差
B．数据的中位数与数据的中位数相等
C．若数据的方差为m，则数据的方差为
D．若数据的极差为d，则数据的极差为
5．（2024高一下·海珠期末）为了得到的图象，只需把图象上所有的点（　　）
A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
6．（2024高一下·海珠期末）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·海珠期末）设，，且，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·海珠期末）通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
9．（2024高一下·海珠期末）已知向量，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是
10．（2024高一下·海珠期末）已知复数，，则下列说法中正确的是（　　）．
A． B．若，则
C．若，则 D．
11．（2024高一下·海珠期末）在正三棱柱中，已知动点P满足，，且，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则三棱锥的体积是定值
B．若，则三棱锥的体积是定值
C．若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的
D．若，则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是
12．（2024高一下·海珠期末）已知复数z满足，则　 　．
13．（2024高一下·海珠期末）某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：
　 课后阅读时长平均数（小时） 方差
男生组 25 1
女生组 26 1.1
则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为　 　小时，方差为　 　．
14．（2024高一下·海珠期末）已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为　 　．
15．（2024高一下·海珠期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点A到平面的距离．
16．（2024高一下·海珠期末）一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：
分组 频数 频率
10 0.1
x 0.15
20 0.2
30 y
15 0.15
5 0.05
5 0.05
合计 100 1.00
（1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；
（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．
17．（2024高一下·海珠期末）已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．
（1）甲船航行3小时到达C处，求AC；
（2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．
18．（2024高一下·海珠期末）在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成夹角的正弦值.
19．（2024高一下·海珠期末）如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．
（1）若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；
（2）在中，记的对边分别为a，b，c，且满足
①求证：；
②求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
2．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直，
而过该垂线的面有无数个，
根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A错误；
对于B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B正确；
对于C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，
而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直，
所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C错误；
对于D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，
而过所作直线的平面有无数个，
所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直和线面垂直的定义，则可判断选项A；由平面概念判断出选项B；由线面垂直定义判断出选项C；“由过直线外一点只能作出一条直线与该直线平行”和“过所作直线的平面有无数个“，则可判断出选项D， 从而找出正确的选项.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由可得，再根据数量积求向量夹角公式和数量积运算律，从而得出的值.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A， 因为，
所以根据标准差的意义可知数据的标准差小于等于数据的标准差，
故A错误；
对于B，根据中位数定义可知，
数据的中位数与数据的中位数是相同数据所得，
所以两组数据中位数相等，故B正确；
对于C，若数据的方差为m，
由方差性质得数据的方差为，故C错误；
对于D，由题意数据的极差为，
所以数据的极差为，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意和标准差的意义，则可判断出选项A；根据中位数定义判断出选项B；由方差性质可判断出选项C；根据极差定义计算判断出选项D，从而找出正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据正弦型函数的图象平移变换，
将先向左平移个单位长度可得，
再将所得曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦函数的图象变换，从而找出正确的选项.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以O为BC边中点，
所以为外接圆的直径，且（为外接圆半径），
又因为，
所以，
所以，
则在上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意得出为的外接圆的直径，利用勾股定理得出，再根据数量积求投影向量的公式，从而得出在上的投影向量.
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
即．
又，，
所以，即
或，即（舍去）．
故答案为：.
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，两角和的正弦公式.根据同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即可求得.
8．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：桶的下底面面积为，
上底面面积，
桶中水水面与底面距离为，
设水面半径为，桶的轴截面图形，如图所示：
则，，
由，可得，
则水面半径为，
桶中水水面面积为，
连续24小时的桶中水的体积为，
即24小时内降水在平地上积水厚度为，
故当天的降雨等级是中雨.
故答案为：B.
【分析】计算出水桶桶中水的体积，除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，解得，故A错误；
对于B，因为，
所以，解得，故B正确；
对于C，由题意得，解得，故C正确；
对于D，若向量的夹角为钝角，
则且不反向共线，
则且，
解得且，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件计算出，再利用向量的模长公式列出方程，从而求出的值，则判断出选项A；根据已知条件和向量模长公式列出方程，从而解方程得出m的值，则判断出选项B；根据向量平行的坐标表示，从而列出方程求出m的值，则判断出选项C；利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得到且不反向共线，进而得到不等式，则得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】向量加法的三角形法则；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、设复数、对应的点分别为、，
则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得：
，故A正确；
B、当时，满足，但可为任意复数，即与不一定相等，故B错误；
C、设复数、， 则，故，
但不满足，故C错误；
D、设，，故，
则，因为，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断A；举反例即可判断BC；设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面所成的角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，若，则，
所以，
所以，所以点在上，
因为，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值，
又因为为定值，
所以为定值，故A正确；
对于B，若，则，
所以，所以，
所以点在上，
所以点到平面的距离不是定值，
因为为定值，
所以不是定值，故B错误；
对于C，若，
则点为的中点，
所以故C正确；
对于D，若，
则三点共线，所以点在上，
取的中点，连接，
则，
因为平面，平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
所以即为直线AP与平面所成角的平面角，
设正三棱柱的棱长为，则，
又因为，
要使最大，则要最大，则最小，
当时，最小，
此时，
此时，
所以，
则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件易得点在线段上，再根据棱锥的体积公式判断出选项A；利用已知条件易得点在上，再根据棱锥的体积公式判断出选项B；由题意得点为的中点，再根据棱锥的体积公式和棱柱的体积公式，则可判断选项C；由题意可得点在上，取的中点，连接，再结合线面垂直的判定定理证出直线平面，则为直线AP与平面所成角的平面角，再结合正弦函数的定义得出直线AP与平面所成角的正弦值的最大值，则可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据复数的乘除法运算法则求出复数z，再根据复数的模的求解公式，从而得出复数z的模.
13．【答案】25.6；1.3
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：该班学生这个月的课后阅读时长平均数为，
方差为.
故答案为：25.6；1.3.
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，再结合平均数公式和方差公式，从而得出该班学生这个月的课后阅读时长平均数和方差.
14．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：取的中点，
则，
因为，
所以，
所以，
又因为为公共端点，所以三点共线，
所以点在边的中线上，且，
同理点在边的中线上，则点为的重心，
所以，
因为，
所以点为的外心，
则为中垂线的交点，
所以，
则
所以，
又因为，所以，
则，所以，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合，从而求出，再根据求出的值，进而得出边BC的长.
15．【答案】（1）证明：由正方体性质可知，且，
故，
又因为点E，P分别为，的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
（2）解：设点A到平面的距离为，
由题意可得，
所以，
由正方体性质平面，平面，
所以，
所以，
所以
又因为，
所以，
则点A到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用正方体的结构特征和中点的性质，从而证出四边形是平行四边形，进而得出，再结合线线平行证出直线平面.
（2）由已知条件和，再结合三棱锥的体积公式得出点A到平面的距离.
（1）由正方体性质可知，且，故，
又因为点E，P分别为，的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以直线平面.
（2）设点A到平面的距离为，
由题，
故，
又由正方体性质平面，平面，
所以，所以，
所以，
又，故，即点A到平面的距离为.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，频率分布直方图如图所示：
（2）解：因为
所以，这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2.
（3）解：因为第40百分位数为，
所以，应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率与频数的关系，从而得出的值，再把频率除以组距可画出频率分布直方图.
（2）根据已知条件和频率分布直方图求平均数公式，从而估计出这100所加盟店去年销售总额的平均数.
（3）根据已知条件和频率分布直方图求百分位数的方法，从而得出应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
（1），频率分布直方图如图所示，
（2），
故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2.
（3）第40百分位数为，故应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
17．【答案】（1）解：由题意得，
海里，海里，，
在中，由余弦定理得：
，
所以，(海里).
（2）解：甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：
如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，
连接，过点A作 交于点F，
在中，(海里)，
在中， (海里)，，
由余弦定理得：
所以(海里)，
所以，
因此甲船能沿方向航行前往救援.
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中结合已知条件和余弦定理，从而得出AC的长.
（2）先根据题中所给的条件作图，在中，由得出的长，在中，先根据余弦定理得出的长，再利用等面积法和三角形的面积公式，从而得出的，进而判断出甲船能沿方向航行前往救援.
（1）由题意得，海里，海里，，
在中，由余弦定理得 ，
所以，(海里).
（2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：
如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F，
在中，(海里)，
在中， (海里)，， 由余弦定理得
，
所以(海里)，
所以，
因此甲船能沿方向航行前往救援.
18．【答案】（1）证明：底面为矩形，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又因为侧面为正三角形，是的中点，所以，
又因为，平面，
所以平面；
（2）解：取中点，连接，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，则，，，，则，
，平面的一个法向量是，
因为与平面所成角的正弦值为.，
所以，解得（负值舍去），
，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
（3）解：由（2）知，设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
即为平面的一个法向量，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，
设平面与平面所成夹角为，
则，从而．
所以平面与平面所成夹角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）取中点，证明平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角求得的长，再由线线角的空间向量法求解即可；
（3）由二面角的空间向量法求得余弦值再转化为正弦值即可．
（1）底面为矩形，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又侧面为正三角形，是的中点，所以，
又，平面，
所以平面；
（2）取中点，连接，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，则，，，，则，
，平面的一个法向量是，
因为与平面所成角的正弦值为.，
所以，解得（负值舍去），
，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
（3）由（2）知，设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，
设平面与平面所成夹角为，
则，从而．
所以平面与平面所成夹角的正弦值为．
19．【答案】（1）解：设，
在中，，
由余弦定理得，
，
当时，.
（2）①证明：在中，
由余弦定理得，
所以，
由正弦定理得，
，
，
因为
所以，
则.
②设，
则
由正弦定理可得，
所以，
所以
.
当时，
的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设三角形边长和角，利用余弦定理和三角形面积与四边形面积的关系式，从而把四边形ABFD的面积转化为函数，再利用辅助角公式结合正弦型函数的求最值的方法，从而求出四边形ABFD面积的最大值.
（2）①利用已知条件结合余弦定理和正弦定理，从而求出边的关系，进而证出角的关系，即证出.
②利用正弦定理边化角，从而把分式化简，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）设，
在中，由余弦定理得，
，
当时，.
（2）①在中，由余弦定理，
所以，
再由正弦定理得，
，
，
，
，
所以，.
②设，则
由正弦定理可得，所以，
所以
.
当时，的最小值为.
1 / 1广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·海珠期末）在中，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
2．（2024高一下·海珠期末）下列的表述中，正确的是（　　）
A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直
B．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行
C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直，
而过该垂线的面有无数个，
根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A错误；
对于B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B正确；
对于C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，
而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直，
所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C错误；
对于D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，
而过所作直线的平面有无数个，
所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直和线面垂直的定义，则可判断选项A；由平面概念判断出选项B；由线面垂直定义判断出选项C；“由过直线外一点只能作出一条直线与该直线平行”和“过所作直线的平面有无数个“，则可判断出选项D， 从而找出正确的选项.
3．（2024高一下·海珠期末）若两个非零向量的夹角为，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由可得，再根据数量积求向量夹角公式和数量积运算律，从而得出的值.
4．（2024高一下·海珠期末）有一组从小到大排列的样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，，则（　　）
A．数据的标准差不小于数据的标准差
B．数据的中位数与数据的中位数相等
C．若数据的方差为m，则数据的方差为
D．若数据的极差为d，则数据的极差为
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A， 因为，
所以根据标准差的意义可知数据的标准差小于等于数据的标准差，
故A错误；
对于B，根据中位数定义可知，
数据的中位数与数据的中位数是相同数据所得，
所以两组数据中位数相等，故B正确；
对于C，若数据的方差为m，
由方差性质得数据的方差为，故C错误；
对于D，由题意数据的极差为，
所以数据的极差为，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意和标准差的意义，则可判断出选项A；根据中位数定义判断出选项B；由方差性质可判断出选项C；根据极差定义计算判断出选项D，从而找出正确的选项.
5．（2024高一下·海珠期末）为了得到的图象，只需把图象上所有的点（　　）
A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据正弦型函数的图象平移变换，
将先向左平移个单位长度可得，
再将所得曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦函数的图象变换，从而找出正确的选项.
6．（2024高一下·海珠期末）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，所以O为BC边中点，
所以为外接圆的直径，且（为外接圆半径），
又因为，
所以，
所以，
则在上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意得出为的外接圆的直径，利用勾股定理得出，再根据数量积求投影向量的公式，从而得出在上的投影向量.
7．（2024高一下·海珠期末）设，，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
即．
又，，
所以，即
或，即（舍去）．
故答案为：.
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，两角和的正弦公式.根据同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即可求得.
8．（2024高一下·海珠期末）通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：桶的下底面面积为，
上底面面积，
桶中水水面与底面距离为，
设水面半径为，桶的轴截面图形，如图所示：
则，，
由，可得，
则水面半径为，
桶中水水面面积为，
连续24小时的桶中水的体积为，
即24小时内降水在平地上积水厚度为，
故当天的降雨等级是中雨.
故答案为：B.
【分析】计算出水桶桶中水的体积，除以水桶上底面面积即可得24小时内降水在平地上积水厚度求解即可.
9．（2024高一下·海珠期末）已知向量，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若向量的夹角为钝角，则m的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，解得，故A错误；
对于B，因为，
所以，解得，故B正确；
对于C，由题意得，解得，故C正确；
对于D，若向量的夹角为钝角，
则且不反向共线，
则且，
解得且，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件计算出，再利用向量的模长公式列出方程，从而求出的值，则判断出选项A；根据已知条件和向量模长公式列出方程，从而解方程得出m的值，则判断出选项B；根据向量平行的坐标表示，从而列出方程求出m的值，则判断出选项C；利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得到且不反向共线，进而得到不等式，则得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高一下·海珠期末）已知复数，，则下列说法中正确的是（　　）．
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】A,D
【知识点】向量加法的三角形法则；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、设复数、对应的点分别为、，
则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得：
，故A正确；
B、当时，满足，但可为任意复数，即与不一定相等，故B错误；
C、设复数、， 则，故，
但不满足，故C错误；
D、设，，故，
则，因为，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断A；举反例即可判断BC；设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断D.
11．（2024高一下·海珠期末）在正三棱柱中，已知动点P满足，，且，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则三棱锥的体积是定值
B．若，则三棱锥的体积是定值
C．若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的
D．若，则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面所成的角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，若，则，
所以，
所以，所以点在上，
因为，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值，
又因为为定值，
所以为定值，故A正确；
对于B，若，则，
所以，所以，
所以点在上，
所以点到平面的距离不是定值，
因为为定值，
所以不是定值，故B错误；
对于C，若，
则点为的中点，
所以故C正确；
对于D，若，
则三点共线，所以点在上，
取的中点，连接，
则，
因为平面，平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
所以即为直线AP与平面所成角的平面角，
设正三棱柱的棱长为，则，
又因为，
要使最大，则要最大，则最小，
当时，最小，
此时，
此时，
所以，
则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件易得点在线段上，再根据棱锥的体积公式判断出选项A；利用已知条件易得点在上，再根据棱锥的体积公式判断出选项B；由题意得点为的中点，再根据棱锥的体积公式和棱柱的体积公式，则可判断选项C；由题意可得点在上，取的中点，连接，再结合线面垂直的判定定理证出直线平面，则为直线AP与平面所成角的平面角，再结合正弦函数的定义得出直线AP与平面所成角的正弦值的最大值，则可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高一下·海珠期末）已知复数z满足，则　 　．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据复数的乘除法运算法则求出复数z，再根据复数的模的求解公式，从而得出复数z的模.
13．（2024高一下·海珠期末）某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：
　 课后阅读时长平均数（小时） 方差
男生组 25 1
女生组 26 1.1
则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为　 　小时，方差为　 　．
【答案】25.6；1.3
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：该班学生这个月的课后阅读时长平均数为，
方差为.
故答案为：25.6；1.3.
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，再结合平均数公式和方差公式，从而得出该班学生这个月的课后阅读时长平均数和方差.
14．（2024高一下·海珠期末）已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：取的中点，
则，
因为，
所以，
所以，
又因为为公共端点，所以三点共线，
所以点在边的中线上，且，
同理点在边的中线上，则点为的重心，
所以，
因为，
所以点为的外心，
则为中垂线的交点，
所以，
则
所以，
又因为，所以，
则，所以，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合，从而求出，再根据求出的值，进而得出边BC的长.
15．（2024高一下·海珠期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为，的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明：由正方体性质可知，且，
故，
又因为点E，P分别为，的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
（2）解：设点A到平面的距离为，
由题意可得，
所以，
由正方体性质平面，平面，
所以，
所以，
所以
又因为，
所以，
则点A到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用正方体的结构特征和中点的性质，从而证出四边形是平行四边形，进而得出，再结合线线平行证出直线平面.
（2）由已知条件和，再结合三棱锥的体积公式得出点A到平面的距离.
（1）由正方体性质可知，且，故，
又因为点E，P分别为，的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以直线平面.
（2）设点A到平面的距离为，
由题，
故，
又由正方体性质平面，平面，
所以，所以，
所以，
又，故，即点A到平面的距离为.
16．（2024高一下·海珠期末）一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：
分组 频数 频率
10 0.1
x 0.15
20 0.2
30 y
15 0.15
5 0.05
5 0.05
合计 100 1.00
（1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；
（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；
（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．
【答案】（1）解：因为，
所以，频率分布直方图如图所示：
（2）解：因为
所以，这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2.
（3）解：因为第40百分位数为，
所以，应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率与频数的关系，从而得出的值，再把频率除以组距可画出频率分布直方图.
（2）根据已知条件和频率分布直方图求平均数公式，从而估计出这100所加盟店去年销售总额的平均数.
（3）根据已知条件和频率分布直方图求百分位数的方法，从而得出应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
（1），频率分布直方图如图所示，
（2），
故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2.
（3）第40百分位数为，故应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号.
17．（2024高一下·海珠期末）已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．
（1）甲船航行3小时到达C处，求AC；
（2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，
海里，海里，，
在中，由余弦定理得：
，
所以，(海里).
（2）解：甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：
如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，
连接，过点A作 交于点F，
在中，(海里)，
在中， (海里)，，
由余弦定理得：
所以(海里)，
所以，
因此甲船能沿方向航行前往救援.
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中结合已知条件和余弦定理，从而得出AC的长.
（2）先根据题中所给的条件作图，在中，由得出的长，在中，先根据余弦定理得出的长，再利用等面积法和三角形的面积公式，从而得出的，进而判断出甲船能沿方向航行前往救援.
（1）由题意得，海里，海里，，
在中，由余弦定理得 ，
所以，(海里).
（2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：
如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F，
在中，(海里)，
在中， (海里)，， 由余弦定理得
，
所以(海里)，
所以，
因此甲船能沿方向航行前往救援.
18．（2024高一下·海珠期末）在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成夹角的正弦值.
【答案】（1）证明：底面为矩形，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又因为侧面为正三角形，是的中点，所以，
又因为，平面，
所以平面；
（2）解：取中点，连接，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，则，，，，则，
，平面的一个法向量是，
因为与平面所成角的正弦值为.，
所以，解得（负值舍去），
，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
（3）解：由（2）知，设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
即为平面的一个法向量，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，
设平面与平面所成夹角为，
则，从而．
所以平面与平面所成夹角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）取中点，证明平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角求得的长，再由线线角的空间向量法求解即可；
（3）由二面角的空间向量法求得余弦值再转化为正弦值即可．
（1）底面为矩形，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又侧面为正三角形，是的中点，所以，
又，平面，
所以平面；
（2）取中点，连接，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，则，，，，则，
，平面的一个法向量是，
因为与平面所成角的正弦值为.，
所以，解得（负值舍去），
，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
（3）由（2）知，设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，
设平面与平面所成夹角为，
则，从而．
所以平面与平面所成夹角的正弦值为．
19．（2024高一下·海珠期末）如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．
（1）若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；
（2）在中，记的对边分别为a，b，c，且满足
①求证：；
②求的最小值．
【答案】（1）解：设，
在中，，
由余弦定理得，
，
当时，.
（2）①证明：在中，
由余弦定理得，
所以，
由正弦定理得，
，
，
因为
所以，
则.
②设，
则
由正弦定理可得，
所以，
所以
.
当时，
的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设三角形边长和角，利用余弦定理和三角形面积与四边形面积的关系式，从而把四边形ABFD的面积转化为函数，再利用辅助角公式结合正弦型函数的求最值的方法，从而求出四边形ABFD面积的最大值.
（2）①利用已知条件结合余弦定理和正弦定理，从而求出边的关系，进而证出角的关系，即证出.
②利用正弦定理边化角，从而把分式化简，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）设，
在中，由余弦定理得，
，
当时，.
（2）①在中，由余弦定理，
所以，
再由正弦定理得，
，
，
，
，
所以，.
②设，则
由正弦定理可得，所以，
所以
.
当时，的最小值为.
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