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(共18张PPT)
微专题三　旋 转 问 题
模型一　旋转与等边（等腰直角）三角形
图示


特征 P是△ABC内一点，△ABP绕点A旋转，使AB与AC重合
条件 P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转60° P是等腰直角三角形ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转90°
结论 △APP'是等边三角形 △APP'是等腰直角三角形
图W-3-1
答图W-3-1
例2. （教材改编）如图W-3-2，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB=135°，将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'. 判断AP，BP，CP三条线段的数量关系，并说明理由.
图W-3-2
解：CP2=BP2+2AP2.
理由如下：
由旋转的性质，得AP'=AP，∠PAP'=∠BAC=90°，CP'=BP，∠AP'C=∠APB=135°.
∴△APP'是等腰直角三角形.
∴∠APP'=∠AP'P=45°，PP'2=AP2+AP'2=2AP2.
∴∠PP'C=∠AP'C-∠AP'P=90°. ∴△CPP'是直角三角形.
∴CP2=CP'2+PP'2=BP2+2AP2.
1. 如图W-3-3，在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'.
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
图W-3-3
解：（1）BP'=CP.
证明如下：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°. ∴∠BAP+∠CAP=60°.
∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，
∴AP'=AP，∠PAP'=60°. ∴∠BAP'+∠BAP=60°. ∴∠BAP'=∠CAP.
∴△ABP'≌△ACP（SAS）. ∴BP'=CP.
（2）当∠BPC=120°时，求∠P'BP的度数.
（2）当∠BPC=120°时，则∠CBP+∠BCP=
180°-∠BPC=60°.
∵△ABP'≌△ACP，∴∠ABP'=∠ACP.
∴∠P'BP=∠ABP'+∠ABP=∠ACP+∠ABP=
60°-∠BCP+60°-∠CBP=120°-（∠CBP+
∠BCP）=60°.
图W-3-3
2. （教材改编）如图W-3-4，已知P是正方形ABCD内一点，以点B为中心，将△ABP顺时针旋转90°，使点A与点C重合，这时点P旋转到点G.
（1）请你猜想△PBG的形状，并说明理由；
图W-3-4
解：（1）△PBG是等腰直角三角形.
理由如下：由旋转的性质，得BG=BP，∠PBG=∠ABC=90°.
∴△PBG为等腰直角三角形.
图W-3-4
模型二　旋转中的半角模型
常见模型 正方形中的半角模型 等腰直角三角形中的半角模型
图示
常见模型 正方形中的半角模型 等腰直角三角形中的半角模型
特征 △ADF绕点A顺时针
旋转90°得到△ABG
构造△ABG≌△ADF △ABE绕点A逆时针
旋转90°得到△ADG
构造△ADG≌△ABE △ACE绕点A顺时针
旋转90°得到△ABF
构造△ABF≌△ACE △ABD绕点A逆时针
旋转90°得到△ACF
构造△ACF≌△ABD
常见模型 正方形中的半角模型 等腰直角三角形中的半角模型
条件 在正方形ABCD中，
∠EAF=45° 在正方形ABCD中，
∠EAF=45° 在等腰直角三角形ABC
中，∠BAC=90°，
∠DAE=45° 在等腰直角三角形ABC
中，∠BAC=90°，
∠DAE=45°
结论 EF=BE+DF EF=DF-BE BD2 +CE2=DE2 BD2 +CE2=DE2
例3. （教材改编）如图W-3-5，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF=45°.
（1）求证：EF=DF+BE；
　图W-3-5

答图W-3-3
　图W-3-5
3. （教材改编）在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边所在直线上的动点，且∠EAF=45°.
（1）如图W-3-6①，如果E，F分别是射线CB，DC上的动点，且∠EAF=45°，请写出EF，BE，DF之间的数量关系并证明；
　图W-3-6
答图W-3-4
（2）如图W-3-6②，如果E，F分别是射线BC，CD上的动点，且∠EAF=45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是　 . （不要求证明）
EF=BE-DF　
　图W-3-6
4. 如图W-3-7，已知等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点D，E在边BC上（点D在点E左侧），且∠DAE=45°. 求证：（1）△ABE∽△DAE；
证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°.
∴∠DAE=∠ABE.
又∵∠AEB=∠DEA，∴△ABE∽△DAE.
图W-3-7
（2）DE2=BD2+EC2.
答图W-3-5

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