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第十一章　解答题突破
第37课时　尺 规 作 图
1. （2024·新疆）如图11-37-1，已知 ABCD.
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
图11-37-1
（1）解：如答图11-37-1，AE即为所作.
答图11-37-1
（2）在（1）的条件下，求证：△ADE是等腰三角形.
（2）证明：∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠BAE=∠DEA.
∴∠DAE=∠DEA.
∴DA=DE.
∴△ADE是等腰三角形.
答图11-37-1
2. （2024·广西）如图11-37-2，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC.
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）
图11-37-2
答图11-37-2
解：（1）如答图11-37-2，直线DE即为所作.
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB=8，求BE的长.
答图11-37-2
3. （2024·宁夏）如图11-37-3，在△ABC中，D是边BC的中点，以AB为直径的☉O经过点D，P是边AC上一点（不与点A，C重合）.请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.
（1）过点A作一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）在边AB上找一点P'，使得BP'=CP.
图11-37-3
解：（1）如答图11-37-3，直线AD即为所作.
（2）如答图11-37-3，点P'即为所作.
答图11-37-3
4. （2024·江西）如图11-37-4，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）如图11-37-4①，过点B作AC的垂线；
图11-37-4
解：（1）如答图11-37-4，直线BD即为所作.
答图11-37-4
（2）如图11-37-4②，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线.
图11-37-4
（2）如答图11-37-5，直线BF即为所作.
答图11-37-5
5. （2023·滨州）（1）如图11-37-5，已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C=90°，CA=m，CB=n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图11-37-5
答图11-37-6
（1）解：如答图11-37-6，Rt△ABC即为所作.
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
答图11-37-6
6. （2024·福建改编）如图11-37-6，已知直线l1∥l2.
（1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图11-37-6
解：（1）如答图11-37-7，直线l即为所作.
答图11-37-7
（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且当∠BAC=90°，AB=AC时，求△ABC的面积.
答图11-37-8
7. （2023·绥化）如图11-37-7，P是☉O外一点.
（1）尺规作图：过点P作出☉O的两条切线PE，PF，切点分别为点E，F；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
图11-37-7
解：（1）如答图11-37-9，PE，PF即为所作.
答图11-37-9
（2）在（1）的条件下，若点D在☉O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF=30°，求∠EDF的度数.
答图11-37-9
8. （2023·无锡）如图11-37-8，已知∠APB，M是PB上的一个定点.
（1）尺规作图：作☉O，使得☉O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（保留作图痕迹，不写作法）
图11-37-8
解：（1）如答图11-37-10，☉O即为所作.
答图11-37-10
答图11-37-10

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