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第十一章　解答题突破
第42课时　与三角形和四边形有关的计算与证明
1. （2024·德州）如图11-42-1， ABCD中，对角线AC平分∠BAD.
（1）求证： ABCD是菱形；
图11-42-1
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠DAC=∠BCA.
又∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC.
∴∠BCA=∠BAC. ∴AB=BC. ∴ ABCD是菱形.
（2）若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长.（参考数据：
sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
答图11-42-1
2. （教材改编）如图11-42-2，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD，AE，它们相交于点F，且∠BDA=∠BAE.
（1）求证：BE2=EF·AE；
图11-42-2
（2）若BE=4，EF=2，DF=8，求AB的长.
图11-42-2
3. （教材改编）如图11-42-3，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点，连接OE并延长到点F，使EF=EO，连接DF，CF.
（1）求证：四边形DOCF是矩形；
图11-42-3
（1）证明：∵E为CD的中点，∴EC=ED.
∵EF=EO，∴四边形DOCF是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD. ∴∠DOC=90°.
∴四边形DOCF是矩形.
图11-42-3
4. （2024·云南）如图11-42-4，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
　图11-42-4
答图11-42-2
（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长.
答图11-42-2
5. （2024·青岛）如图11-42-5，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
　图11-42-5
（1）证明：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（AAS）. ∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
　图11-42-5
6. （2023·烟台）如图11-42-6，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE.
（1）如图11-42-6①，求证：DE=BF；
图11-42-6
（1）证明：∵△ACD，△BCE分别是以AC，
BC为底边的等腰三角形，
∴∠A=∠DCA=∠ADC，AD=CD，∠ECB=
∠CBE=∠CEB，CE=BE.
∵∠A=∠CBE，∴∠A=∠ECB，∠ADC=∠CEB. ∴AD∥CE.
∴∠ADC=∠DCE. ∴∠DCE=∠CEB.
∵EF=AD，∴CD=EF.∴△DCE≌△FEB（SAS）. ∴DE=BF.
（2）如图11-42-6②，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长.
答图11-42-3

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