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第十一章　解答题突破
第43课时　与圆有关的计算与证明
1. （2024·大庆节选）如图11-43-1，△ABC为☉O的内接三角形，AB为☉O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在☉O上.连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作☉O的切线交BP于点G.
（1）求证：AG∥CD；
图11-43-1
证明：（1）∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，∴AB⊥CD.
∵AB为☉O的直径，AG是切线，∴AG⊥AB. ∴AG∥CD.
（2）求证：PA2=PG·PB.
图11-43-1
2. （2024·贵州）如图11-43-2，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE.
（1）写出图中一个与∠DEC相等的角：　 ；
　图11-43-2
∠DCE（答案不唯一）　
（2）求证：OD⊥AB；
（2）证明：如答图11-43-1，连接OC.
∵PC与半圆相切于点C，
∴∠OCD=90°. ∴∠DCE+∠ACO=90°.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO.
∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC=∠AEO.
∴∠A+∠AEO=90°. ∴∠AOE=90°.
∴OD⊥AB.
答图11-43-1
　图11-43-2
（3）若OA=2OE，DF=2，求BP的长.
答图11-43-1
3. （2024·赤峰）如图11-43-3，△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC，☉O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接
CO并延长交AB于点M，交☉O于点D，过点E作EF∥CD，
交AC于点F.
（1）求证：EF是☉O的切线；
图11-43-3
（1）证明：如答图11-43-2，连接OE.
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°. ∴∠COE=2∠ABC=90°.
∵EF∥CD∴∠COE+∠OEF=180°.∴∠OEF=90°.
∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线.
答图11-43-2
答图11-43-2
4. （2024·广西）如图11-43-4，已知☉O是△ABC的外接圆，AB=AC. D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF.
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
图11-43-4
（2）求证：AF与☉O相切；
（2）证明：如答图11-43-3，连接AD.
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.
∴AD垂直平分BC. ∴AD经过圆心O.
由（1）知AF∥BC，∴DA⊥AF.
∵OA为☉O的半径，∴AF与☉O相切.
答图11-43-3
答图11-43-3
5. （2024·呼和浩特）如图11-43-5，△ACD内接于☉O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF=∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC.
（1）求证：DF是☉O的切线；
　图11-43-5
　答图11-43-4
　答图11-43-4
②求☉O的半径.
　答图11-43-4

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