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（2）函数与导数-2025届高考数学二轮复习小题练
1.已知函数，则此函数是( )
A.偶函数，且在区间上单调递减
B.偶函数，且在区间上单调递增
C.奇函数，且在区间上单调递减
D.奇函数，且在区间上单调递增
2.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与曲线相切，则实数a的值为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
5.设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在R上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知，若，恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A.150 B.200 C.250 D.300
9.（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有( )
A.函数为偶函数 B.函数的定义域为
C.函数的值域为 D.在其定义域上单调递增
10.（多选）已知函数，下列说法正确的是( )
A.有3个零点
B.的图象关于点对称
C.既有极大值又有极小值
D.经过点且与的图象相切的直线有2条
11.（多选）下列结论中，正确的是( )
A.函数是偶函数
B.是偶函数
C.若，则
D.函数（且）的图象必过定点
12.（多选）函数（，且）恰有两个零点，则a可以是( )
A.2 B. C. D.
13.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价b的取值范围应是________.
14.点M，N分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为___________.
15.已知函数，函数，若恒有，则a的取值范围为________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为函数，定义域为R，，所以是奇函数，因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减，故选：C.
2.答案：B
解析：因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称，又因为函数为奇函数，所以，令，则，故函数的图象关于点对称，又因为函数为奇函数，且的定义域为R，所以，即，所以，其他三个选项无法得出结果.故选：B.
3.答案：C
解析：，，，故.故选：C.
4.答案：A
解析：设切点为，易知，则，解得，故选：A
5.答案：B
解析：依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，
从而得，又在上递增，所以.故选：B.
6.答案：C
解析：是定义在R上的函数，且有，当时，，则时，，则，时，，，时，，，
时，，，画出函数与函数的图象，
由图象可知方程的根的个数为3.故选：C.
7.答案：A
解析：令函数在上单调递减，且，则，即，而，于是，令，求导得，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，因此，所以，即.故选：A
8.答案：D
解析：由题意得，总利润为，当时，，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则时，；当时，，函数单调递减，所以，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大.故选：D.
9.答案：BCD
解析：设，由的图象经过点，得，解得，所以.
选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误；
选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确；
选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确；
选项D，由在上是增函数，D正确.故选：BCD.
10.答案：ACD
解析：，令，得，或，
所以有3个零点，A正确.
所以的图象关于点对称，B错误.
，令，，记方程的两个根为，（），
易知在，上单调递增，在上单调递减，所以既有极大值又有极小值，C正确.
设切线与的图象相切于点，，所以切线方程为.因切线经过切点，所以，整理得，该方程有两个解，所以经过点且与的图象相切的直线有2条，D正确，故选：ACD
11.答案：ACD
解析：的定义域为，且，所以函数为偶函数，故A正确；
函数的定义域为R，且，所以函数为奇函数，故B不正确；
当时，为单调递增函数，由，得，故C正确；
因为（且），所以函数（且）的图象必过定点，故D正确.故选：ACD.
12.答案：CD
解析：令，即，因为函数恰有两个零点，则函数和有2个交点.当时，画出函数，的图象，如下图：
由图可知，要使函数和有2个交点，则，解得；
当时，画出函数，的图象，如下图：
由图可知，要使函数和有2个交点，则，解得，不符合题意.综上所述，a的取值范围为.故选：CD.
13.答案：
解析：设总利润y元，因为每个售价为b元，则根据题意可得，
现在商家的售价为90元，将其代入解析式得：，
要使商家总利润有所增加，则要满足，即，则，
所以，解得，所以售价b的取值范围应是.故答案为：.
14.答案：
解析：设是的切线，切点为，则解得则，则的最小值即为两平行线与间的距离，即.
15.答案：
解析：因为，即，即，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故答案为：.

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