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（7）空间向量与立体几何-2025届高考数学二轮复习小题练
1.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2.若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A.l至少与a，b中一条相交
B.l至多与a，b中一条相交
C.l至少与a，b中一条平行
D.l必与a，b中一条相交，与另一条平行
3.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线m，n，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，，则
D.若，且，则
4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
6.已知直四棱柱的底面为梯形，，，，若平面，则( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知多面体中，底面是边长为2的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）如图所示，在长方体中，若，E、F分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是( )
A.EF与垂直
B.EF与所成的角大小为
C.EF与平面所成角大小为
D.直线EF与平面平行
10.（多选）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则( )
A. B. C. D.平面
11.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E、F、G分别是、、的中点.则下列结论正确的是( )
A.平面
B.平面
C.平面与平面夹角的余弦值为
D.若动直线与直线夹角为，且与平面交于点M，则点M的轨迹构成的图形的面积为.
12.（多选）在正方体中，下列四个选项中正确的有( )
A.直线平面
B.每条棱所在直线与平面所成的角都相等
C.平面平面
D.直线平面
13.小明同学在吃完早餐以后，又在冷食店购买了某型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为圆锥形脆皮蛋卷桶，则下部脆皮蛋卷桶的面积为________________.
14.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线平面，直线平面，给出下列说法：①“”是“”的必要条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充要条件；④“”是“”的充分条件.其中所有正确说法的序号是__________.
15.如图，直线在平面内，点C在平面外，直线与的夹角为，直线与平面所成的角为交.若平面与平面所成角的大小为，且，则的值为________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题可知圆锥的底面半径，母线长，高，圆锥的体积为.故选：A.
2.答案：A
解析：因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.
若l与a、b都不相交，则，，，与a、b异面矛盾，故A对；
当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.故选：A.
3.答案：B
解析：选项A，若，，，则n与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错；
选项B，若，，，则直线m，n的方向向量分别是平面，的法向量，两平面垂直，即为它们的法向量垂直，则，B正确；
选项C，若，，，，则可能有，也可能，相交，C错；
选项D，若，且，则或，D错.故选：B.
4.答案：A
解析：由题可知，，向量在向量上的投影向量为.故选：A.
5.答案：C
解析：设平面的法向量为，则，则，则点S到平面的距离为，又，，则点B到直线的距离为，则，故三棱锥的体积为.故选：C
6.答案：C
解析：如图，因为四棱柱为直四棱柱，，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，故易知，故，则，解得，则.故选C.
7.答案：B
解析：如图，
设的外心为M，过M作底面的垂线，使，则O为三棱锥的外接球的球心，在中，由3，，7，得，故，设的外接圆的半径为r，则，，.三棱锥外接球的表面积为.故选：B
8.答案：C
解析：以点A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，
，可得，所以，，，所以，可得.故选：C.
9.答案：ACD
解析：如图所示：
A.连接，，则，由平面，平面，则，所以，故A正确；
B.由选项A知：EF与所成的角为，因为长度不定，所以EF与所成的角不确定，故错误；
C.易知平面，则平面，所以EF与平面所成角大小为，故正确；
D.由选项A知：，且平面，平面，所以直线EF与平面平行，故正确，故选：ACD
10.答案：CD
解析：取的中点O，连接，，由题意可知，因为平面，且平面，可得，，则，，即，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，可得，，，，设平面的法向量，则，令，则，，可得，
对于选项A：因为，即，不相互垂直，故A错误；
对于选项B：因为，即，不相互平行，故B错误；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：因为，所以平面，故D正确；故选：CD.
11.答案：ABD
解析：以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，，，；
，，设是平面的一个法向量，则，令可得，，即.
对于A，，因为，且平面，所以平面，A正确；
对于B，，因为，所以平面，B正确；
对于C，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，C不正确；
对于D，设到平面的距离为d，，，由B可知平面，设平面，因为直线与直线夹角为，所以点M的轨迹是平面内，以O为圆心的圆，设圆的半径为r，则，则，所以点M的轨迹构成的图形的面积为，D正确.故选：ACD.
12.答案：ABD
解析：设正方体的棱长为1，如图，因为平面，又平面，直线，所以直线平面，故A正确；
在三棱锥中，，，所以三棱锥为正三棱锥，故，，与平面所成的角均相等，又正方体的其他棱均与，，中的一条棱平行，所以每条棱所在直线与平面所成的角都相等，故B正确；
连接交于点E，连接，，因为，均为等边三角形，所以，，所以为二面角的平面角，又，，所以，所以C错误；
由，，，平面，得平面，因为平面，所以，同理，，平面，所以直线平面，故D正确.故选：ABD.
13.答案：
解析：设球的半径为，，由已知可得，，解得，则可知下半部分为高为，底面半径为的圆锥，所以，圆锥的母线，所以，下部脆皮蛋卷桶的面积为即圆锥侧面的面积为.故答案为：.
14.答案：①
解析：对于①，由“”能推出“”，但由“”不能推出“”，所以①正确.对于②，由“”不能推出“”，所以②不正确.对于③，由“”不能推出“”，还可能相交，所以③不正确.对于④，由“”不能推出“”，所以④不正确.
15.答案：/0.6
解析：过点C作，且交于点O，过点O作，且交于E，
则直线AC与平面所成的角为，所以，不妨设，易得，则，又平面ABC与平面所成角为，
，则，则，中，，代入，可求得，故答案为：.

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