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（8）平面解析几何-2025届高考数学二轮复习小题练
1.已知，，，则过点C且与线段平行的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知直线，直线，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则( )
A. B.1 C. D.
4.已知动圆C与圆外切，同时与圆内切，则动圆C的圆心轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.设直线与双曲线相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线，的斜率分别为，若C的离心率为，则( )
A.3 B.1 C.2 D.
6.如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦的中点到y轴距离的最小值为( )
A.p B. C. D.
8.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可以为线段AB中点的是( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知圆，直线，则( )
A.当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
B.圆C与圆恰有三条公切线
C.直线l恒过定点
D.直线l与圆C有两个交点
10.（多选）已知曲线，，则下列说法正确的是( )
A.若，则曲线C表示两条直线
B.若，则曲线C是椭圆
C.若，则曲线C是双曲线
D.若，则曲线C的离心率为
11.（多选）双曲线的左、右焦点分别为，，P，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则( )
A.点P必落在第四象限
B.
C.
D.是双曲线C的一条渐近线
12.（多选）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于，（A在第一象限）两点，则下列说法正确的是( )
A.抛物线方程为
B.弦长为4
C.
D.过点A作准线的垂线，垂足为，则，O，B三点共线
13.若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为________.
14.已知直线被动圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为__________.
15.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与C的左，右两支分别交于A，B两点，若，，则__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，，，所以，则所求直线的斜率为，所以过点C且与线段平行的直线方程为，即.故选：B
2.答案：D
解析：因为直线的斜率，且，可知直线的斜率，所以的倾斜角为.故选：D.
3.答案：C
解析：圆化为标准方程为，则圆心为，半径，由题意得，解得.故选：C.
4.答案：A
解析：设圆圆心且与圆C切于点P，圆圆心与圆C切于点Q，由题意得，，其中，所以，由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以，为焦点的椭圆，设，则，，解得：，，故动圆圆心C的轨迹方程为.故选：A
5.答案：B
解析：由题意可知点A，B关于原点对称，设，，，则有，，A，B，P都在双曲线上，有，，两式相减得，则，得，即，又由，则.故选：.
6.答案：B
解析：以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h（单位：cm），
则，，于是，解得，故该抛物线的焦点到准线的距离为.故选：B
7.答案：B
解析：
如图，设弦的中点为M，抛物线C的准线为，焦点为F，过点A作于点E，过点M作于点H，过点B作于点G，则，连接，，则有，当直线过点F时取等号，所以，则，即弦的中点到y轴距离的最小值为.故选：B.
8.答案：D
解析：由双曲线方程知，，则其渐近线方程为.观察选项知，四个点均在双曲线外，点A，B分别在双曲线的两支上，.设，，则作差得，则.
对于A，则，，A不满足题意.
对于B，则，，B不满足题意.
对于C，则，C不满足题意.
对于D，则，则直线AB的方程为，即.由消去y，得，，且，直线AB与双曲线的两支分别相交，D满足题意.故选D.
9.答案：BCD
解析：对于A，当时，直线，圆心到直线的距离为，
而圆C半径为6，因此只有4个点到直线l的距离等于1，故A错误；
对于B，圆的方程化为，其圆心为，半径为4，两圆的圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，故B正确；
对于C，直线l的方程为，由，，直线l恒过定点，故C正确；
对于D，，即定点在圆C内，则直线l与圆C相交且有两个交点，故D正确；故选：BCD.
10.答案：ACD
解析：若，则，此时曲线表示两条直线，故A正确；
因为，所以，若，则曲线可化为，当时，曲线C表示圆，当时，曲线C表示椭圆，故B错误；
因为，所以，若，则曲线C表示双曲线，故C正确；
若，又，所以，，则曲线C为，故曲线C为等轴双曲线，离心率为，故D正确.故选ACD.
11.答案：AC
解析：
对于A，如图，直线的斜率为2，且是直角三角形，故点P必落在第四象限，故A正确；
对于B，由题可知，，设，则，则，故，故В错误；
对于C，如B项所设，得，则，，，即，由双曲线的定义可得：，则，故，即C正确；
对于D，由上分析，双曲线的方程为，所以双曲线C的渐近线方程为，故D错误.故选：AC.
12.答案：ACD
解析：抛物线的焦点F的坐标为，因为直线过抛物线的焦点F，所以，故，所以抛物线的方程为，A正确；
联立，消x得，方程的判别式，因为直线与抛物线相交于，（A在第一象限）两点，故，为方程的两根，且，所以，，C正确；
所以，B错误；
因为抛物线的准线方程为，所以的坐标为，点O的坐标为，所以，，又，所以，所以，O，B三点共线，D正确；
故选：ACD.
13.答案：
解析：由得，，圆心，半径，所以，又，所以圆心C到直线l的距离为，解得，
故答案为：.
14.答案：
解析：，即，由解得即直线l过定点，动圆的圆心为，半径为，动圆圆心C在定直线上，要使直线l被截得的弦长为定值，则动点C到l的距离为定值，则，故l的斜率为2，故直线l的方程为，即.
15.答案：
解析：由双曲线定义：，即，，
又，，∴，，故答案为：.

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