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第四章　三　角　形
第15课时　等腰三角形、等边三角形、直角三角形
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）关于x的方程2（x-1）-a=0的根是3，则a的值为（ ）
A. 4 B. -4 C. 5 D. -5
A
图4-15-1
D
3. （广东真题）下列说法正确的是 （ ）
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 等腰三角形是轴对称图形，也是中心对称图形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 有两边平行的四边形是梯形
C
图4-15-2
30°
10
①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
②理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
课标要求
③探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
④探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
⑤理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
对接教材 人教：八上第十三章　轴对称（13.3等腰三角形）；八下第十七章　勾股定理
北师：八上第一章　勾股定理；八下第一章　三角形的证明 　
考点梳理
广东省对应考点例题
例1. 如图4-15-3，AB=AC，AD=BD=DE=CE=AE，则图中共有　 　个等腰三角形，有　 　个等边三角形.
图4-15-3
4
1
考点复习
1.等腰三角形的概念
有　 　相等的三角形是等腰三角形
两边
2.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两条腰　 　，两个底角　 　，简称等边对等角.
（2）等腰三角形顶角的　 　、底边上的　 　及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”.
（3）等腰三角形是轴对称图形，有　 　条对称轴
相等
相等
平分线
中线
1
例2. 如图4-15-4，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，BC=8 cm，则BD=　 　cm.
　图4-15-4
4
3.等腰三角形的判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.
（2）有两个　 　相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边
角
例3. 如图4-15-5，AD是△ABC的边BC上的高，添加一个条件使△ABC是等腰三角形：　 　.（写一个即可）
图4-15-5
BD=CD（答案不唯一）
4.等边三角形的性质
（1）等边三角形的三条边都　 　，每个角都等于　 　.
（2）等边三角形是轴对称图形，有　 　条对称轴
相等
60°
3
例4. 如图4-15-6，△ABC是等边三角形，边长为2，AD⊥BC，则∠B=
　 　，∠BAD=　 　，BD=　 　，△ABC的周长为　 　.
　图4-15-6
60°
30°
1
6
5.等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）有一个角等于60°的　 　是等边三角形.
（4）有两个角等于　 　的三角形是等边三角形
等腰三角形
60°
例5. 在△ABC中，如果AB=AC，　 （只添加一个条件），则△ABC为等边三角形.
BC=AB（答案不唯一）　
6.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角　 　.
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　.
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于　 .
（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于　 　.（解答题需证明使用）
（5）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的　 　
互余
一半
斜边的一半　
30°
平方
例6. （1）如图4-15-7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.若AC=2BC，则
∠A=　 ；若D为斜边AC的中点，且AC=5，则BD=　　　；
30°
图4-15-7
（2）如图4-15-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=4，则∠EAC=　 　，AC=　 　；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则AB的长是 　.
图4-15-8
60°
2
7.直角三角形的判定
（1）有一个角是　 　的三角形是直角三角形.
（2）有两个角　 　的三角形是直角三角形.
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
（4）如果三角形一边上的　 　等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（解答题需证明使用）
90°
互余
中线
例7. （1）如图4-15-9，已知P是射线ON上一动点（即点P可在射线ON上运动），若∠AON=30°，则当∠A=　 时，△AOP是直角三角形；
图4-15-9
60°或90°　
（2）如图4-15-10，在△ABC中，AD=DC=BD，则∠ABC=　 　.
图4-15-10
90°
8.角平分线的性质与判定
（1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离　 　.
（2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离　 　的点在这个角的平分线上
相等
相等
例8. 如图4-15-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，AB=6，则△ABD的面积为　 　.
图4-15-11
6
9.线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
（2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____
　 　.
（3）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____
　 　上
相等
垂直平分线
例9. 如图4-15-12，在△ABC中，边AB的中垂线分别交BC，AB于点D，E，AE=3 cm，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是　 　cm.
图4-15-12
15
广东中考
1. （2020·广东题17，4分，直角三角形斜边上的中线；点与圆的位置关系）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉. 把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图4-15-13.∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E
为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2. 在此滑
动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　 　.
图4-15-13
2. （2021·广东题20，6分， 解直角三角形；线段垂直平分线的性质）如图4-15-14，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.
（1）若AE=1，求△ABD的周长；
图4-15-14
解：（1）作图如答图4-15-1，连接BD.
∴BD=CD.
∵AB=CE，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=CE+AD+CD=AE=1.
答图4-15-1
答图4-15-1
高分击破
【典型考点】等腰三角形的判定 得分点分析
1. （2020·广东）如图4-15-15，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.
图4-15-15

温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】等腰三角形性质的综合运用漏解
2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角形顶角的度数.
解：①如答图4-15-2，当等腰三角形ABC为锐角三角形时，
∵∠ABD=50°，BD⊥AC，
∴∠A=90°-∠ABD=40°.
∴此时三角形的顶角为40°；
答图4-15-2
②如答图4-15-3，当等腰三角形ABC为钝角三角形时，
∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°.
∵∠ABD=50°，∴∠BAC=∠ABD+∠BDA=140°.
∴此时三角形的顶角为140°.
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为40°或140°.
答图4-15-3
错解分析
错解：如图4-15-16，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高.
由题意知∠ABD=50°，
∴∠A=90°-∠ABD=40°. ∴该等腰三角形顶角的度数为40°.
剖析：该解答过程的错误在于直接默认等腰三角形是锐角三角形，忽视了还有钝角三角形的情况.本题要进行分类讨论，分等腰三角形的顶角是锐角和等腰三角形的顶角是钝角两种情况，再分别解答.
图4-15-16
【生长式训练】知识生长→变式创新
3. （中考创新，原创题）如图4-15-17，△ACB和△DCE均是顶角为40°的等腰三角形，AB，DE分别是底边，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上.
知识种子：基本概念
（1）填空：∠BAC=　 ，∠ADC=　 ；
图4-15-17
70°
110°
种子生长：等腰三角形的性质
（2）求证：AD=BE；
图4-15-17
生长变式：图形变式
（3）如图4-15-18，若△ACB和△DCE均是等边三角形，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上.
①求∠AEB的度数；
图4-15-18
①∵∠CDE=60°，点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180°-∠CDE=120°.
∴∠BEC=∠ADC =120°.
∵∠CED=60°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
图4-15-18
②AE=BE+CE.
理由：∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=CE，
∴AE=BE+CE.
图4-15-18
②求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
种子成树：综合创新
（4）如图4-15-19，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE的边DE上的高.
图4-15-19
图4-15-19
①求∠AEB的度数；
②AE= BE+2CM.
理由：∵CM为△DCE的边DE上的高，∴CM⊥DE.
又∵CD=CE，∴DM=EM.
∵∠DCE=90°，∴DE=2CM.
∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=2CM，∴AE=BE+2CM.
图4-15-19
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·青海）如图4-15-20，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是 （ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
图4-15-20
C
2. （2024·兰州）如图4-15-21，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB= （ ）
A. 100° B. 115°
C. 130° D. 145°
B
图4-15-21
图4-15-22
A
4. （2024·凉山州）如图4-15-23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm，则AC+BC= （ ）
A. 25 cm B. 45 cm
C. 50 cm D. 55 cm
图4-15-23
C
图4-15-24
C
二、填空题
6. （2023·丽水）如图4-15-25，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB. 若AB=4，则DC的长是　 　.
图4-15-25
4
7. （2024·重庆）如图4-15-26，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC=2，则AD的长度为　 　.
图4-15-26
2
8. （2023·随州）如图4-15-27，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD=　 　.
图4-15-27
5
三、解答题
9. （2024·宜宾）如图4-15-28，D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD=CE，BE与AD交于点F. 求证：AD=BE.
图4-15-28
10. （2022·温州）如图4-15-29，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
（1）求证：∠EBD=∠EDB；
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD.
∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB. ∴∠EBD=∠EDB.
　图4-15-29
（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.
（2）解：CD=ED.
理由：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC. ∴∠ADE=∠AED.
∴AD=AE. ∴AC-AD=AB-AE，即CD=BE.
由（1）知∠EBD=∠EDB，∴BE=ED. ∴CD=ED.
　图4-15-29
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（教材改编）如图4-15-30，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F是线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于点G，连接CG.
（1）若D是AC的中点，求证：AC=2AB；
证明：（1）如答图4-15-4，连接BD.
∵DE是边BC的垂直平分线，∴DB=DC.
∵BF⊥AC，F是AD的中点，∴AB=DB.
∴AB=DC.
又∵D是AC的中点，∴AC=2DC=2AB.
图4-15-30
答图4-15-4
（2）若∠ACB=30°，求证：△BGC为等边三角形.
（2）∵DE是边BC的垂直平分线，
∴BG=CG.
∴△BGC为等腰三角形.
∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°.
∵∠ACB=30°，
∴∠GBC=90°-∠ACB=60°.
∴△BGC为等边三角形.
图4-15-30
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查等腰三角形、等边三角形、直角三角形的基本概念、性质和判定方法；注重考查角平分线、垂直平分线的性质，可能会结合尺规作图一起考查；强调与其他知识点的综合考查，如与三角形的全等、相似、三角函数、圆等结合；还可能会结合实际生活情境进行考查.

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