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第四章　三　角　形
第17课时　相似三角形
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）坐标平面内下列各点中，在x轴上的点是 （ ）
A. （0，3） B. （-3，0）
C. （-1，2） D. （-2，-3）
B
2. （广东真题）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、
后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图4-17-1是一个
正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个
正方体的后面是 （ ）
A. 0 B. 6
C. 快 D. 乐
图4-17-1
B
图4-17-2
C
4. （广东真题）如图4-17-3，菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长为　 　.
图4-17-3
52
图4-17-4
36°
①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
②通过具体实例认识图形的相似. 了解相似多边形和相似比.
③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. *了解相似三角形判定定理的证明.
课标要求
⑤了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
⑧在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的.
对接教材 人教：九下第二十七章　相似
北师：九上第四章　图形的相似　
考点梳理
ad=bc　
图4-17-5
C


C
3.相似三角形
三角分别　 　、三边　 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做　 　
例3. 已知△ABC∽△ACD，若AB=5，AC=4，则AD= 　.
相等
成比例　
相似比
4.相似三角形的判定
（1）两角分别　 　的两个三角形相似.
（2）两边　 　且夹角　 　的两个三角形相似.
（3）三边　 的两个三角形相似.
（4）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
相等
成比例
相等
成比例　
例4. 如图4-17-6，P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，请从图中找出两对相似三角形：________________________________
　 .
图4-17-6
　△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP
（答案不唯一）
5.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于
　 　.
（2）相似三角形的周长比等于　 ，面积比等于　 　
相似比
相似比
相似比的平方
6.相似多边形
各角分别　 　、各边　 的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做　 　
相等
成比例　
相似比
例6. 如图4-17-7所示的两个四边形相似，则x+y=　 　，α=　 　.
图4-17-7
63
85°
7.相似多边形的性质
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比等于相似比.
（2）相似多边形的周长比等于　 　，面积比等于_____________
例7. 已知正方形ABCD的面积为9 cm2，正方形A1B1C1D1的面积为16 cm2，则两个正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的相似比为　 　.
相似比
相似比的平方
3∶4
8.图形的位似
（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比.
（2）位似图形的性质
①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于　 　；
②位似图形的对应角　 ，对应边　 ；
③位似图形的对应线段　 （或在同一条直线上）；
相似比
相等　
成比例　
平行　
④在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形　 　，位似中心是
　 　，它们的相似比为 　
位似
坐标原点
例8. 如图4-17-8，在边长为1的正方形网格中，有一个△ABC，已知A，B，C三点的坐标分别是A（1，0），B（2，-1），C（3，1）.
（1）请在网格图形中画出平面直角坐标系；
图4-17-8
答图4-17-1
解：（1）如答图4-17-1.
（2）以原点O为位似中心，将△ABC放大2倍，画出放大后的△A'B'C'；（画一个即可）
（3）写出△A'B'C'各顶点的坐标：A’　 　 ，B’　 　，
C’　 　.
答图4-17-1
（-2，0）
（-4，2）
（-6，-2）
解：（2）如答图4-17-1.
广东中考
1. （2023·广东题6，3分，黄金分割）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献. 优选法中有一种0.618法应用了 （ ）
A. 黄金分割数
B. 平均数
C. 众数
D. 中位数
A
2. （2023·广东题15，3分，相似三角形的判定与性质）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图4-17-9），则图中阴影部分的面积为　 　.
图4-17-9
15
3. （2024·广东题22节选，4分，相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理）如图4-17-10，在△ABC中（AB图4-17-10
证明：如答图4-17-2，连接AA'.
∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD
的中线，
∴AD=BD，A'F=BF.
∴DF是△AA'B的中位线.∴AA'=2DF.
答图4-17-2
答图4-17-2
高分击破
【典型考点】相似三角形的判定与性质 得分点分析
1. （2024·上海节选）如图4-17-11，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.求证：AD2=DE·DC.
图4-17-11

图4-17-11
温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第18题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】相似三角形中的分类讨论
2. 如图4-17-12，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在边AC上，且AD=2，在AB上是否存在一点E，使得以A，D，E为顶点的
三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件
的AE的长；若不存在，请说明理由.
图4-17-12
答图4-17-3
答图4-17-4
图4-17-13
【生长式训练】知识生长→变式创新
3. （中考创新，原创题）如图4-17-14，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上.
知识种子：基本概念
（1）若DE∥AB，DE=6，AB=10，CE=3，则AE=　 　；
图4-17-14
2
种子生长：相似三角形的判定与性质
（2）在（1）的条件下，若∠B=∠CAD.
①求证：△ABD∽△DAE；
①证明：∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE.
又∵∠B=∠CAD，∴△ABD∽△DAE.
图4-17-14
②求AD的长；
图4-17-14
生长变式：图形变式
（3）若AB=AC，∠B=∠ADE.求证：AB·CE=BD·CD；
图4-17-14
种子成树：综合创新
（4）如图4-17-15，若∠B=∠ADE=2∠C，AB=8，BC=10，且BD=CE，求BD的长.
图4-17-15
解：如答图4-17-5，延长CB到点G，使GB=AB=8，
则∠G=∠BAG.
∴∠ABC=∠G+∠BAG=2∠G，
CG=GB+BC=18.
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠G=∠C.∴AG=AC.
答图4-17-5
答图4-17-5
答图4-17-5
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·重庆）若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是 （ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
D
2. （2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为 （ ）
图4-17-16
D
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
3. （2024·哈尔滨）如图4-17-17，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F. 若AE∶BE=1∶2，DF=3，则FC的长为（ ）
A. 6　　　　　 B. 3　　　　
C. 5　　　　 D. 9
图4-17-17
A
图4-17-18
B
图4-17-19
D
二、填空题
6. （2024·滨州）如图4-17-20，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上. 添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是__________________
　 . （写出一种情况即可）
图4-17-20
　∠ADE=∠C
（答案不唯一）
图4-17-21
8. （2024·重庆）如图4-17-22，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF=　 　.
图4-17-22
3
三、解答题
9. （2024·广州）如图4-17-23，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2. 求证：△ABE∽△ECF.
图4-17-23
10. （2024·临夏州节选）如图4-17-24，在矩形ABCD中，E为AD边上不与端点重合的一动点，F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF.
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
图4-17-24
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.
∵∠ABE=∠DAF，
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°.
∴AF⊥BE.
图4-17-24
答图4-17-6

命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（原创题）如图4-17-25，在△ACB中，射线AF平分∠CAB，D，F是射线AF上两点，CD=CE，BE=BF.
（1）求证：AE2=AD·AF；
图4-17-25
图4-17-25

图4-17-25
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查相似三角形的基本概念、性质和判定方法，如通过具体图形判断三角形相似的条件、利用相似三角形的判定方法进行证明、利用相似三角形的性质进行计算等；强调与其他几何知识的综合运用，可能与四边形、圆等结合；可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查；还可能会结合实际生活情境进行考查.

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