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第四章　三　角　形
第13课时　线、角、相交线与平行线
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）下列式子是完全平方式的是 （ ）
A. a2+ab+b2 B. a2+2a+2
C. a2-2b+b2 D. a2+2a+1
D
2. （广东真题）如图4-13-1，AB∥CD，∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是 （ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
图4-13-1
B
3. （广东真题）如图4-13-2，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为 （ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
图4-13-2
D
4. （广东真题）如图4-13-3，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G.若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是　 　.
图4-13-3
4
5. （广东真题）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 　.
（1）点、线、面、角
①通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念.
②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.
③掌握基本事实：两点确定一条直线.
④掌握基本事实：两点之间线段最短.
课标要求
⑤理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.
⑥理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差.
⑦了解角平分线的概念.
（2）相交线与平行线
①理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质.
②理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线.
③掌握基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
④理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
⑤识别同位角、内错角、同旁内角.
⑥理解平行线的概念.
⑦掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
⑧掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
⑨探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.
⑩掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. *了解定理的证明.
探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.
能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
了解平行于同一条直线的两条直线平行.
（3）定义、命题、定理
①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.
②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式.
④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
⑤通过实例体会反证法的含义.
对接教材 人教：七上第四章　几何图形初步；七下第五章　相交线与平行线
北师：七上第四章　基本平面图形；七下第二章　相交线与平行线；
八上第七章　平行线的证明 　
考点梳理
考点复习
1.直线、射线与线段
（1）直线　 　端点，射线有1个端点，线段有　 　个端点.
（2）经过　 　有且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.
（3）两点之间的所有连线中，　 　最短，简述为两点之间线段最短.
（4）两点之间线段的　 　，叫做这两点之间的距离
没有
2
两点
线段
长度
广东省对应考点例题
例1.（1）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，其依据的数学原理是　 　；
（2）如图4-13-4，从公园甲到公园乙的三条路线中，最短的是　 　（填序号），这是因为　 　.
图4-13-4
两点确定一条直线
③
两点之间线段最短
2.角的相关概念
（1）由两条具有公共端点的　 　所组成的图形叫做角.两条射线的公共端点是这个角的顶点.
（2）按照角的大小，角可分为锐角、　 　、　 　、平角和周角.
（3）1周角=2平角=4直角=360°.
（4）1°=60'，1'=60″.
射线
直角
钝角
（5）余角、补角：
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，同角或等角的余角
　 　；如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，同角或等角的补角　 　
相等
相等
例2.（1）如图4-13-5，O是角的顶点，用三种不同的方法表示这个角为
　 　，　 　，　 　；
图4-13-5
∠AOB
∠1
∠O
（2）计算：13.17°=　 　°　 　'　 　″；
（3）若∠A=35°，则∠A的余角为　 　，∠A的补角为　 　；
（4）如图4-13-6，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18'，则∠AOC的度数为　 　.
图4-13-6
13
10
12
55°
145°
150°42'
3.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个　 　的角，这条射线叫做这个角的平分线
例3. 如图4-13-7，已知O是直线AB上一点，∠1=50°，OF平分∠BOE，则∠2的度数为　 　.
图4-13-7
相等
65°
4.对顶角
对顶角　 　.互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不一定是对顶角
例4. 如图4-13-8是对顶角量角器，用它测量角的原理是　 .
图4-13-8
相等
对顶角相等　
5.垂直的性质
（1）在同一平面内，过一点　 一条直线与已知直线垂直.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，　 　最短
例5.如图4-13-9，村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据的数学原理是　 　.
　图4-13-9
有且只有　
垂线段
垂线段最短
6.三线八角（如图4-13-10）
（1）同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与　 　，∠3与　 　.
（2）内错角：∠2与　 　，∠3与∠5.
（3）同旁内角：∠3与∠8，∠2与　 　
图4-13-10
∠8
∠7
∠8
∠5
例6.如图4-13-11，同位角有　 　对，内错角有　 　 对，同旁内角有
　 　对.
图4-13-11
6
4
4
7.平行线的判定与性质（如图4-13-12）
（1）同位角　 　 两直线平行.
判定：∵∠1=∠2，∴l1∥l2.
性质：∵l1∥l2，∴∠1=∠2.
（2）内错角相等 两直线　 　.
判定：∵∠2=∠3，∴l1∥l2.
性质：∵l1∥l2，∴∠2=∠3.
（3）同旁内角　 　 两直线平行.
判定：∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2.
性质：∵l1∥l2，∴∠2+∠4=180°
图4-13-12
相等
平行
互补
例7.如图4-13-13，填空：
（1）若∠A=∠3，则　 　∥　 　；
（2）若∠2=∠E，则　 　∥　 　；
（3）若∠A+∠ABE=180°，则　 　∥　 　；
（4）若BD∥CE，则∠DBC=　 　；
（5）若AD∥BE，则∠D=　 ；
（6）若BD∥CE，则∠DBC+∠4=　 　.
图4-13-13
AD
BE
BD
CE
AD
BE
∠5
　∠2
180°
例8.如图4-13-14，已知AB∥CD，求证：∠BED=∠B+∠D.（完成证明过程）
证明：过点E作EF∥AB.
∴∠1=　 　.
∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（　 　）.
∴∠2=　 　.
∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.
图4-13-14
∠B
平行于同一条直线的两条直线平行
∠D
8.平行公理
（1）过直线外一点，　 　一条直线与这条直线平行.
（2）平行于同一条直线的两条直线　 　
有且只有
平行　
9.定义、命题、定理
（1）对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，即给出它们的
　 　.
（2）判断一件事情的句子，叫做　 　.每个命题都由题设（或条件）和　 　两部分组成.正确的命题称为　 　，不正确的命题称为
　 　.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为　 　.
定义
命题
结论
真命题
假命题
反例
（3）题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的　 　.
（4）公认的真命题称为公理.除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为　 　，经过证明的　 　命题称为定理.
（5）证明方法：综合法、分析法、反证法等
逆命题
证明
真
两个角相等
这两个角是同位角
-2
（答案不唯一）　
如果两个角相等，那么这两个角是
对顶角
假
a≥0
广东中考
1. （2022·广东题4，3分，平行线的性质）如图4-13-15，直线a∥b，∠1=40°，则∠2= （ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
图4-13-15
B
2. （2023·广东题4，3分，平行线的性质）如图4-13-16，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD= （ ）
A. 43° B. 53°
C. 107° D. 137°
图4-13-16
D
3. （2024·广东题4，3分，平行线的判定与性质）如图4-13-17，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为 （ ）
A. 120° B. 90°
C. 60° D. 30°
图4-13-17
C
高分击破
【典型考点】平行线的判定与性质 得分点分析
1. （人教七下P20第2题改编）如图4-13-18，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠BDE=140°，∠B=40°，∠AED=60°.
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
解：（1）DE∥BC. ···············1分（判断出DE∥BC得1分）
理由：∵∠BDE=140°，∠B=40°，
∴∠B+∠BDE=180°. ···············2分（计算同旁内角的和得1分）
∴DE∥BC. ···············4分（利用“同旁内角互补，两直线平行”得2分）
（2）求∠C的度数.
（2）∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED. ···············6分（利用“两直线
平行，同位角相等”得2分）
∵∠AED=60°，
∴∠C=60°. ··············· 7分（等量代换得1分）
温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第17题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】在平行线的判定与性质的运用过程中，不能正确找出对应的同位角、内错角或同旁内角
2. 如图4-13-19，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN. 若AB∥CD，则EG和FH是否平行？请说明理由.
图4-13-19

【生长式训练】知识生长→变式创新
3. （中考创新，原创题）如图4-13-20，已知直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F，且EM∥FN.
知识种子：基本概念
（1）①若∠AEG=∠CFE，则直线AB与CD的位置关系是 　 　；
②若∠NFE=60°，则∠MEF的度数为　 ；
图4-13-20
AB∥CD
60°　
种子生长：平行线的判定与性质
（2）若EM平分∠BEF，FN平分∠CFE.
①求证：AB∥CD；
①证明：∵EM∥FN，∴∠MEF=∠NFE.
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠BEF=2∠MEF，∠CFE=2∠NFE.
∴∠BEF=∠CFE.∴AB∥CD.
图4-13-20
②若∠AEF=46°，求∠NFE的度数；
图4-13-20
生长变式：图形变式
（3）如图4-13-21，若EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠EMF.求证：AB∥CD；
证明：∵EM平分∠AEF，∴∠AEM=∠FEM.
又∵∠FEM=∠EMF，∴∠AEM=∠EMF.
∴AB∥CD.
图4-13-21
种子成树：综合创新
（4）在（3）的条件下，若G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β.试判断α与β的数量关系，并说明理由.
图4-13-21
图4-13-21
答图4-13-1

答图4-13-2
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·重庆）如图4-13-22，AB∥CD，∠1=65°，则∠2的度数是
（ ）
A. 105° B. 115°
C. 125° D. 135°
图4-13-22
B
2. （2024·兰州）如图4-13-23，小明在地图上量得∠1=∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是 （ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 对顶角相等
图4-13-23
B
3. （2024·湖北）如图4-13-24，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通.若∠1=120°，则∠2的度数是 （ ）
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
B
4. （2024·赤峰）将一副三角尺（厚度不计）按如图4-13-25所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为 （ ）
A. 100° B. 105°
C. 115° D. 120°
B
5. （2024·深圳，跨学科融合）如图4-13-26，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为 （ ）
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
B
二、填空题
6. （2024·广西）已知∠1与∠2为对顶角，∠1=35°，则∠2=　 　°.
7. （2024·宿迁）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是___________
　 .
35
同位角
相等，两直线平行　
8. （2024·连云港）如图4-13-27，直线a∥b，直线l⊥a，∠1=120°，则∠2=　 　°.
30
三、解答题
9. （2024·自贡）如图4-13-28，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C.
（1）求证：∠BDF=∠A；
（1）证明：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED.
∵∠EDF=∠C，∴∠AED=∠EDF.
∴DF∥AC.∴∠BDF=∠A.
（2）若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
（2）解：△ABC是等腰直角三角形.
【提示】∵∠A=45°，∠BDF=∠A，∴∠BDF=45°.
∵DF平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDF=90°.
∵DE∥BC，∴∠BDE+∠B=180°.
∴∠B=180°-∠BDE=90°.∴△ABC是直角三角形.
又∵∠C=180°-∠A-∠B=45°，∴∠A=∠C.∴BA=BC.
∴△ABC是等腰直角三角形.
10. （2022·武汉）如图4-13-29，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=80°.
（1）求∠BAD的度数；
（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=80°，∴∠BAD=180°-∠B=100°.
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD=50°. 求证：AE∥DC.

命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（教材创新改编）如图4-13-30，已知直线DE∥AB.
（1）尺规作图：过点B作BM∥AD，交DE于点C；（不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）如答图4-13-3，BM即为所作.
答图4-13-3
（2）在（1）的条件下，请写出图中以点C为顶点且与∠A相等的角，并说明理由.
（2）图中以点C为顶点且与∠A相等的角
有∠MCE，∠DCB.
理由：∵DE∥AB，∴∠DCB=∠MBN.
由（1）作图可知∠A=∠MBN，∴∠DCB=∠A.
∵∠MCE=∠DCB，∴∠MCE=∠DCB=∠A.
答图4-13-3
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查线、角、相交线与平行线的基本概念，如对顶角、同位角、内错角、同旁内角等；强调平行线的判定与性质，可能会结合三角形、四边形、平面直角坐标系等知识考查，也可能会结合现实背景或跨学科背景进行考查；还可能会考查创新题型，如考查与直尺或三角尺结合、与尺规作图结合等.

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