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第五章　四　边　形
第19课时　平行四边形
课前循环练
（限时5分钟）
C
C
3. （广东真题）如图5-19-1，在菱形ABCD中，∠ADB与∠ABD的大小关系是 （ ）
A.∠ADB>∠ABD
B.∠ADB<∠ABD
C.∠ADB=∠ABD
D. 无法确定
图5-19-1
C
4. （广东真题）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_______
　 　.
5. （广东真题）如图5-19-2，PA，PB是☉O的切线，点A，B为切点，AC是☉O的直径，∠BAC=20°，则∠P的大小是　 　.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
40°
图5-19-2
①理解平行四边形的概念.
②探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
③理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
课标要求
对接教材 人教：八下第十八章　平行四边形
北师：八下第六章　平行四边形 　
考点梳理
考点复习
1.平行四边形的概念
两组对边分别　 　的四边形叫做平行四边形
平行
广东省对应考点例题
例1. 在 ABCD中，∠A=100°，则∠B=　 　.
80°
2.平行四边形的性质与判定
性质 判定
边 平行四边形的对边　 　 （1）两组对边分别　 　的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别　 　的四边形是平行四边形；
（3）一组对边　 　的四边形是平行四边形
角 平行四边形的对角　 　 两组对角　 　的四边形是平行四边形
对角
线 平行四边形的对角线_______
　 　 对角线　 　的四边形是平行四边形
对称性 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是　 　
平行且相等
平行
相等
平行且相等
相等
相等
互相
平分
互相平分
对角线的交点
例2. 如图5-19-3，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当点E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形？ （ ）
A. OE=OF　　　　
B. DF=BE
C. AE=CF　　　　
D.∠AEB=∠CFD
图5-19-3
B
3.平行四边形的面积
（1）平行四边形的面积=　 　.
（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积　 　.
（3）如果两条直线相互平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.平行线间的距离处处
　 　
底×高
相等
相等
例3. 如图5-19-4， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E，F，且AB=7，BC=4，∠BCD=30°，则 ABCD的面积为　 ，图中阴影部分的面积为　 　.
图5-19-4
14　
7
广东中考
（2022·广东题8，3分，平行四边形的性质）如图5-19-5，在 ABCD中，一定正确的是 （ ）
A. AD=CD
B. AC=BD
C. AB=CD
D. CD=BC
图5-19-5
C
高分击破
【典型考点】尺规作图；角平分线的性质；平行四边形的性质 得分点分析
1.如图5-19-6，在 ABCD中，∠A=60°.
（1）实践与操作：用尺规作图法过点B作∠ABC的平分线，交边CD于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
解：（1）如图5-19-7，BE即为所作. ······················3分（尺规作图得3分）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD=6，求△BCE的面积.
（2）如图5-19-7，过点B作BF⊥CD于点F.
··················4分（作辅助线得1分）
∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE.
··················5分（利用角平分线的定义得1分）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=6，AB∥CD，∠C=∠A=60°. ·······6分（利用平行四边形的性质得1分）
∴∠ABE=∠CEB.∴∠CEB=∠CBE.∴CE=BC=6. ············7分（求出CE的长得1分）
温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第19题，分值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！

【典型错例】论证不严谨
2. 如图5-19-8，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E，F. 求证：OE=OF.
图5-19-8
错解分析
错解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB.
∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠DEO=∠BFO=90°.
又∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴△DOE≌△BOF（AAS）.∴OE=OF.
剖析：要证明OE=OF，可证明这两条线段所在的三角形全等，那么相对应的两边就相等.错解中默认了E，O，F三点共线，而已知条件中并不能直接得出这个结论，因此E，O，F三点共线在证题过程中必须加以证明，否则就是错误的.
图5-19-8
【生长式训练】知识生长→变式创新
3. （中考创新，原创题）如图5-19-9，BD是 ABCD的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
知识种子：基本概念
（1）①若AM平分∠BAD，AD=3，AB=7，则CM=　 　；
②若AD=AM，∠ABC=65°，则∠ADB=　 　；
图5-19-9
4
40°
种子生长：平行四边形的判定与性质
（2）①求证：四边形CMAN是平行四边形；
①证明：∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即CM∥AN.
∴四边形CMAN是平行四边形.
图5-19-9
②若DE=4，FN=3，求BN的长；
图5-19-9
生长变式：图形变式
（3）如图5-19-10，连接AF，CE.
①求证：四边形AECF是平行四边形；
图5-19-10
图5-19-10
种子成树：综合创新
（4）如图5-19-11，BD是四边形ABCD的一条对角线，过A，C两点分别作AM⊥CD，CN⊥AB，垂足分别为M，N，AM，CN分别交BD于点E，F，连接CE，AF.已知四边形AECF是平行四边形，且DE=BF.
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
①证明：如答图5-19-1，连接AC交BD于点O.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF.
∵DE=BF，∴OE+DE=OF+BF，即OD=OB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
图5-19-11
答图5-19-1
答图5-19-1
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·贵州）如图5-19-12， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （ ）
A. AB=BC
B. AD=BC
C. OA=OB
D. AC⊥BD
图5-19-12
B
2. （2024·巴中）如图5-19-13， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4. 若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
图5-19-13
B
3. （2024·乐山）如图5-19-14，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 （ ）
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DO
D. AB∥DC，AD=BC
D
图5-19-14
4. （2024·辽宁）如图5-19-15， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为 （ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 16
图5-19-15
C
图5-19-16
B
二、填空题
6. （2024·济宁）如图5-19-17，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件　 　，使四边形ABCD是平行四边形.
图5-19-17
OB=OD（答案不唯一）
7. （2024·广州）如图5-19-18， ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3.若BA平分∠EBC，则DE=　 　.
图5-19-18
5
8. （2024·广安）如图5-19-19，在 ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 .
图5-19-19
三、解答题
9. （2024·湖北）如图5-19-20，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：BE=DF.
图5-19-20
10. （2024·大庆）如图5-19-21，在 ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
图5-19-21
（2）若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积.
答图5-19-2
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（教材改编）如图5-19-22，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B'处，连接AB'并延长交CD于点F.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
图5-19-22
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC.
∵E是AB边的中点，∴AE=BE.
由折叠的性质，得B'E=BE，∠CEB'=∠CEB.
∴AE=B'E.∴∠FAE=∠AB'E.
∵∠BEB'=∠CEB+∠CEB'=∠FAE+∠AB'E，∴2∠CEB=2∠FAE.
∴∠CEB=∠FAE.∴AF∥EC.∴四边形AECF是平行四边形.
（2）若AB=6，BC=4，求tan∠CB'F的值.
图5-19-22
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查平行四边形的基本概念、性质和判定方法，如平行四边形的判定、计算相关角度或边长等；强调与其他几何图形的综合运用，如与三角形、特殊四边形、圆等结合，也可能会与尺规作图相结合；还可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查.

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