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(共50张PPT)
第六章　圆
第22课时　与圆有关的位置关系
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）已知函数y=ax+b经过（1，3），（0，-2），则a-b= （ ）
A. -1 B. -3 C. 3 D. 7
2. （广东真题）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是 （ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
D
D
3. （广东真题）已知梯形的上底边长是6 cm，它的中位线长是8 cm，则它的下底边长是 （ ）
A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 14 cm
4. （广东真题）已知直线y=kx+b，若k+b=-5，kb=6，则该直线不经过第
　 象限.
5. （广东真题）桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不慎遗失了其中2个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸
到白球的概率为 .
一　
B
①探索并掌握点与圆的位置关系.
②了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念.
③*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等.
④了解三角形的内心与外心.
课标要求
对接教材 人教：九上第二十四章　圆
北师：九下第三章　圆　
考点梳理
考点复习
1.点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆外 d　 　r；
点在圆上 d　 　r；
点在圆内 d　 　r
>
=
<
广东省对应考点例题
例1. 已知☉O的半径是4，OP=3，则点P与☉O的位置关系是 （ ）
A.点P在圆内　　　 B.点P在圆上
C.点P在圆外　　　　 D.不能确定
A
2.直线与圆的位置关系
设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线l和☉O相离 　 　；
直线l和☉O相切 　 　；
直线l和☉O相交 　 　
d>r
d=r
d例2. 已知☉O的半径为5，直线l上有一点P满足PO=5，则直线l与☉O的位置关系是 （ ）
A.相切　　 B.相离
C.相离或相切 D.相切或相交
D
3.切线的概念
直线和圆有　 　的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点
例3. 下列关于圆的切线的说法正确的是 （ ）
A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
唯一
D
图6-22-1
B
垂直
5.切线的判定
（1）定义判定法：和圆有　 　公共点的直线是圆的切线.
（2）数量判定法：圆心到直线的距离等于　 　的直线是圆的切线.
（3）定理判定法：过半径外端且　 　于这条半径的直线是圆的切线.
（4）切线的证明方法：
①直线和圆公共点已知时，连接半径，证半径与直线垂直；
②直线和圆公共点未知时，作垂直，证垂线段与半径相等
唯一
半径
垂直
例5. 如图6-22-2，Rt△ABC内接于☉O，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P.求证：PC是☉O的切线.
图6-22-2
证明：如答图6-22-1，连接OC.
∵ED⊥AB，∴∠A+∠AED=90°.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO.
又∵∠ECP=∠AED，
∴∠ACO+∠ECP=90°，即∠OCP=90°.
∴OC⊥PC.∴PC是☉O的切线.
答图6-22-1
6.切线长
（1）切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____
　 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
相等　
例6. 如图6-22-3，PA，PB是☉O的切线，切点分别是A，B，若∠AOB=120°，OA=1，则AP的长为 　.
图6-22-3
7.三角形的内心和外心
（1）三角形的内心：与三角形各边都　 　的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条　 　的交点，叫做三角形的内心.
（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边　 　的交点，叫做三角形的外心
相切
角平分线
垂直平分线
例7. 如图6-22-4，在△ABC中.
（1）若点I是△ABC的内心，∠A=70°，则∠BIC=　 　；
（2）若点I是△ABC的外心，∠A=66°，则∠BIC=　 　.
　图6-22-4
125°
132°
广东中考
（2023·广东题22，12分，圆的切线性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；勾股定理；解直角三角形及其应用）综合探究
如图6-22-5①，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'. 连接AA'交BD于点E，连接CA'.
　图6-22-5
（1）求证：AA'⊥CA'；
（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A'，
∴AE=A'E，AA'⊥BD.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC.
∴OE是△ACA'的中位线.
∴OE∥A'C.∴AA'⊥CA'.
　图6-22-5
答图6-22-2
答图6-22-2
②如图6-22-5③，☉O与CA'相切，AD=1，求☉O的面积.
②解：如答图6-22-3，设CA'与☉O相切于点N，连接ON.∴ON⊥CA'，ON=OE.
∵AA'⊥CA'，AA'⊥BD，∴∠ONA'=∠A'=∠A'EO=90°.
∴四边形A'EON是矩形.
又∵ON=OE，∴四边形A'EON是正方形.∴A'E=ON=OE.
设☉O的半径为r，则A'E=OE=r.∴AE=A'E=r.
答图6-22-3
答图6-22-3
高分击破
【典型考点】圆的切线判定；圆与三角函数 得分点分析
1. （2023·烟台）如图6-22-6，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，☉O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG=GD.
图6-22-6
（1）求证：AB是☉O的切线；
（1）证明：如图6-22-7，连接OA，则OA=OF.
∴∠OAF=∠OFA. ··················1分（利用等边对等角得1分）
∵AG=GD，
∴OF⊥AD，即∠AGF=90°. ·················· 2分（利用垂径定理的推论得1分）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAE=∠DAE. ······························3分（利用菱形的性质得1分）
∴∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°，即OA⊥AB.
又∵OA是☉O半径，
∴AB是☉O的切线. ············································· 4分（利用切线的判定得1分）
图6-22-7
（2）已知☉O的半径与菱形的边长之比为5∶8，求tan∠ADB的值.
图6-22-7
温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第21题，分值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】混淆切线的证明方法
2. 如图6-22-8，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，∠A=60°，点E在AB延长线上，BE=OB.过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D.求证：DE是☉O的切线.
图6-22-8
答图6-22-4
错解分析
错解：如图6-22-9，设DE与☉O的公共点为F，连接OF，OC.
∵OA=OB，OB=BE，∴AB=OE.
∵∠A=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形. ∴AC=OA=OF.
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=30°.
∵DE⊥AC，即∠D=90°，∴∠E=30°.∴∠E=∠ABC.
∴△OEF≌△ABC.∴∠OFE=∠ACB=90°，即OF⊥DE.
∴DE是☉O的切线.
图6-22-9
剖析：该解题过程的错误在于混淆了切线的证明方法，以及运用“SSA”证明三角形全等.切线的证明方法通常有两种，一是“连半径，证垂直”；二是“作垂直，证半径”.本题未说明DE与☉O有公共点，故应该用第二种证明方法.
【生长式训练】知识生长→变式创新
3. （中考创新，原创题）在△ABC中，∠ACB=90°.
知识种子：基本概念
（1）如图6-22-10，☉O为△ABC的内切圆，三角形的三边分别与☉O切于点D，E，F.若AF=2，CE=1，BD=3，则：
①△ABC的周长为　 　；
②☉O的面积为　 ；
　图6-22-10
12
π　
种子生长：切线的判定与性质
（2）如图6-22-11，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E.以AD上的点O为圆心，OD为半径作☉O，☉O恰好过点E.
①求证：AC是☉O的切线；
图6-22-11
①证明：如答图6-22-5，连接OE，则OE=OD.∴∠OED=∠ODE.
∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ODE.∴∠OED=∠CDE.∴OE∥CD.
∵∠ACB=90°，∴CD⊥AC.∴OE⊥AC.
又∵OE是☉O的半径，∴AC是☉O的切线.
答图6-22-5
答图6-22-5
生长变式：图形变式
（3）如图6-22-12，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作☉O，直线AO交☉O于点D，E.
①求证：AB是☉O的切线；
图6-22-12
①证明：如答图6-22-6，过点O作OF⊥AB于点F.
∵∠ACB=90°，∴OC⊥AC.
∵AO平分∠BAC，∴OF=OC，即OF为☉O的半径.
又∵OF⊥AB，∴AB是☉O的切线.
答图6-22-6
种子成树：综合创新
（4）在（3）的条件下，若☉O的半径为6，求AB的长.
图6-22-12
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·山西）如图6-22-13，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD. 若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ）
A. 30° B. 40°
C. 45° D. 50°
图6-22-13
D
图6-22-14
A
3. （2024·泸州）如图6-22-15，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上.若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E= （ ）
A. 56° B. 60°
C. 68° D. 70°
图6-22-15
C
4. （2023·聊城）如图6-22-16，点O是△ABC外接圆的圆心，
点I是△ABC的内心，连接OB，IA. 若∠CAI=35°，则
∠OBC的度数为 （ ）
A. 15° B. 17.5°
C. 20° D. 25°
图6-22-16
C
5. （2024·上海）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以点A，B，P为圆心画圆，☉A半径为1，☉B半径为2，☉P半径为3.若☉A与☉P内切，☉P与☉B的关系是 （ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离
B
二、填空题
6. （2024·徐州）如图6-22-17，AB是☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD与☉O相切于点D.若∠C=20°，则∠CAD=　 .
图6-22-17
35°　
7. （2024·包头）如图6-22-18，四边形ABCD是☉O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB. 若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为　 　.
图6-22-18
105°
8. （2023·河南）如图6-22-19，PA与☉O相切于点A，PO交☉O于点B，点
C在PA上，且CB=CA.若OA=5，PA=12，则CA的长为 　.
图6-22-19
图6-22-20
（2）若OA=3，BD=2，求△OCD的面积.
图6-22-20
10. （2024·通辽）如图6-22-21，在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD.
（1）求证：∠ABC=2∠ACD；
（1）证明：如答图6-22-7，连接OD.
∵OD=OC，∴∠ODC=∠ACD.
∴∠AOD=∠ODC+∠ACD=2∠ACD.
∵AB为☉O的切线，∴OD⊥AB.
∴∠ADO=∠ACB=90°.
∴∠A+∠AOD=∠A+∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠AOD. ∴∠ABC=2∠ACD.
答图6-22-7
图6-22-21
（2）若AC=8，BC=6，求☉O的半径.
答图6-22-7
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（2023·广东改编，综合探究）如图6-22-22，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O在对角线BD上（不与点B，D重合），以点O为圆心，OB为半径作☉O交BD于点E.
（1）求sin∠ABD的值；
图6-22-22
（2）若☉O经过点A，求☉O的面积；
答图6-22-8
（3）连接AC，若☉O与△ACD的边所在直线相切，求OB的长.
答图6-22-9
答图6-22-10
答图6-22-11
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查圆与直线的位置关系，如切线的判定、切线的性质等；强调与三角形、四边形等几何图形的综合运用，可能涉及三角形的相似、三角形的全等、三角函数等知识；还可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查.

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