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(共31张PPT)
第二章　方程（组）与不等式（组）
第6课时　分式方程及其应用
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为90，85，90，80，95，则这组数据的众数是 （ ）
A. 95 B. 90 C. 85 D. 80
2. （广东真题）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是 （ ）
A. 5 B. 6 C. 11 D. 16
B
C
C
x=1
5. （广东真题）如图2-6-1，A，B，C是☉O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　 　.
50°
①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
②掌握等式的基本性质；能解可化为一元一次方程的分式方程.
③能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
课标要求
对接教材 人教：八上第十五章　分式（15.3分式方程）
北师：八下第五章　分式与分式方程　
考点梳理
考点复习
1.分式方程的概念
分母中含有　 　的方程叫做分式方程

未知数

②③
分母为零
0
解：方程两边同乘x-2，得
2x=x-2+1.
解得x=-1.
检验：当x=-1时，x-2≠0.
∴原分式方程的解为x=-1.
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤和列整式方程解应用题的一般步骤一样，不同的是要检验两次，既要检验求出的解是否为原分式方程的解，又要检验是否符合题意
例3.某商场计划购进甲、乙两种玩具，已知甲种玩具的单价与乙种玩具的单价的和为40元，用900元购得甲种玩具的件数与用1 500元购得乙种玩具的件数相同，求甲种玩具的单价是多少元.
广东中考
D
2. （2023·广东题17，7分，分式方程的应用）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度.
3. （2021·广东题22，8分，分式方程的应用；二次函数的应用）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同. 在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润.
（2）由题意可知，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售［100-2（x-50）］盒.
∴y=（x-40）［100-2（x-50）］
=-2x2+280x-8 000
=-2（x-70）2+1 800.
∵-2<0，
∴当x<70时，y随x的增大而增大.
∴当x=65时，y有最大值，最大值为-2×（65-70）2+1 800=1 750（元）.
∴y关于x的函数解析式为y=-2x2+280x-8 000（50≤x≤65），最大利润为
1 750元.
高分击破
解：方程两边同乘（x+1）（x-1），得2+x（x+1）=（x+1）（x-1）.
·························································································2分（去分母得2分）
解得x=-3. ·······························································5分（解整式方程得3分）
检验：当x=-3时，（x+1）（x-1）≠0. ······························ 6分（检验得1分）
∴原分式方程的解是x=-3. ·········································· 7分（写出结果得1分）
温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第17题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米；
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍. 求建造这90个摊位的最大费用.
（2）设建A类摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B类摊位（90-a）个.
由题意，得y=5a×40+3（90-a）×30=110a+8 100.
∵110>0，∴y随a的增大而增大.
∵B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，
∴90-a≥3a.解得a≤22.5.
∵a为整数，∴当a取最大值22时，费用最大，最大费用为110×22+8 100=10 520（元）.
答：建造这90个摊位的最大费用为10 520元.
解：方程两边同乘x-3，得
2-x=-1-2（x-3）.
解得x=3.
检验：当x=3时，x-3=0，
∴x=3不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
错解分析
错解：方程两边同乘x-3，得
2-x=-1-2.
解得x=5.
∴原分式方程的解为x=5.
剖析：解分式方程需要去分母化为整式方程，方程的每一项都要乘最简公分母，错解的常数项漏乘了最简公分母；另外，求得分式方程的解也没有经过检验.
x=5
种子生长：增根问题
（2）若分式方程有增根，求m的值；
解：方程两边同乘x+2，得3=mx-3-2（x+2）.
整理，得（m-2）x=10.
∵分式方程有增根，∴x+2=0，即x=-2.
把x=-2代入（m-2）x=10，得-2（m-2）=10.
解得m=-3. ∴m的值为-3.
生长变式：求解变式
（3）若分式方程无解，求m的值；
解：由（2）知，分式方程化成整式方程为（m-2）x=10.
∴当m-2=0，即m=2时，分式方程无解；
当m-2≠0时，要使分式方程无解，则方程有增根，由（2）知m=-3.
综上所述，若分式方程无解，则m的值为2或-3.
种子成树：综合创新
（4）某公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，且用3 900元购买A型芯片的数量比用4 200元购买B型芯片的数量多30条. 求A，B型芯片的单价.
中考演练
（限时15分钟）
D
A
B
A
D
x=2
x=-1
-1
三、解答题
9. （2024·云南）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300 km，乘坐C型车比乘坐D型车少用2 h，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度.
10. （2024·自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动. 已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同. 求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
命题趋势
（限时 5 分钟）
（2024·赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3 km，且甲队单独修复60 km公路所需要的时间与乙队单独修复90 km公路所需要的时间相等.
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
（2）设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15-m）天.
由题意，得m≥2（15-m）.解得m≥10.
设两队修复公路w km.
由题意，得w=6m+9（15-m）=-3m+135.
∵-3<0，∴w随m的增大而减小.
∴当m=10时，w取得最大值，最多能修复公路-3×10+135=105（km）.
答：15天的工期，两队最多能修复公路105 km.
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查分式方程的基本概念和解法，如考查解分式方程的步骤及检验；强调分式方程的应用，可能会设置实际问题情境，如行程、工程、生产、销售等；可能会涉及分式方程的增根及无解情况的讨论，也可能出现与不等式、函数等知识结合的综合题型.

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