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第三章　函　　数
第12课时　二 次 函 数
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A. 2　　 B. 4　　　 C. 5　　　 D. 6
2. （广东真题）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点
B
D
图3-12-1
D
50°
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
课标要求
对接教材 人教：九上第二十二章　二次函数
北师：九下第二章　二次函数　
考点梳理
考点复习
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数，叫做二次函数

②④⑤
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
顶点坐标 _____________________
图象 a>0 a<0
开口方向 向上 向下
最值
增减性
减小
增大
增大
减小
例2.已知抛物线y=x2-2x-8.
（1）开口方向是　 　；
（2）对称轴是　 　，顶点坐标是　 　；
（3）与x轴的交点坐标是　 ；
（4）当x　 　时，y随x的增大而增大，当x　 　时，y随x的增大而减小；
（5）当x=　 　时，y有最　 　值为　 　.
向上
直线x=1
（1，-9）
（4，0），（-2，0）　
>1
<1
1
小
-9
3.抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的关系
（1）抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同，y=a（x-h）2+k是由y=ax2通过平移得到的，平移后的顶点坐标为　 .
（2）y=ax2的图象
y=a（x-h）2的图象
y=a（x-h）2+k的图象
（h，k）　
右
左
上
下
例3. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为　 .（写成一般式）
y=3x2+12x+11　
4.确定二次函数的解析式
（1）若已知抛物线上三个点的坐标，可设解析式为一般式：__________
　 ；
（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，可设解析式为顶点式：
　 ；
（3）若已知抛物线与x轴两个交点的横坐标，可设解析式为两点式：___
　 　
y=ax2+bx+c（a≠0）　
y=a（x-h）2+k（a≠0）　
y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）
例4. 在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3）.求过A，B，C三点的抛物线的解析式.
解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）.
将点（0，3）代入上式，得-3a=3.
解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.
5.二次函数的图象与各项系数之间的关系
代数式 作用 字母符号 图象的特征
a 决定开口方向 a>0 开口　 　
a<0 开口　 　
c 决定抛物线与y轴的交点坐标（0，c） c>0 交点在x轴上方
c=0 抛物线经过　 　
c<0 交点在x轴　 　
向上
向下
原点
下方
代数式 作用 字母符号 图象的特征
ab>0 对称轴在y轴左侧
b=0 对称轴是　 　
ab<0 对称轴在y轴　 　
b2-4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2-4ac>0 与x轴有两个交点
b2-4ac=0 与x轴有　 　交点
b2-4ac<0 与x轴　 　交点
y轴
右侧
一个
没有
例5. 如图3-12-2，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-3，0），其对称轴为直线x=-1.有下列结论：①abc<0；②a+b+c<0；③2a-b=0；④4ac-b2>0；⑤若P（-5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1>y2，则实数m的取值范围是-5A. 1个 　　　　
B. 2个
C. 3个　　 　　　　
D. 4个
图3-12-2
C
6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系
（1）二次函数与一元二次方程的关系
Δ=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0
的实数根情况 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴的交点情况
Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ=0 　 　 　
Δ<0 　 　 　 　
方程ax2+bx+c=0的根是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标
两个相等的实数根
一个交点　
没有实数根
没有交点
6.（2）二次函数与不等式的关系
①不等式ax2+bx+c>0的解集 抛物线y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
②不等式ax2+bx+c<0的解集 抛物线y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围
例6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3-12-3所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根：　 　；
（2）写出不等式ax2+bx+c>0的解集：　 　；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围：　 　；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，根据图象写出k的取值范围：　 　.
图3-12-3
x1=1，x2=3
1x>2
k<2
7.二次函数的应用
运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的关系，然后利用二次函数的图象和性质求解，从而获得实际问题的答案
例7. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为　 元时，才能使每天所获销售利润最大.
11
广东中考
1. （2024·广东题8，3分，二次函数的图象与性质）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y=x2的图象上，则 （ ）
A. y3>y2>y1 B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2 D. y3>y1>y2
A
2. （2023·广东题10，3分，二次函数图象上点的坐标特征）如图3-12-4，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 （ ）
A. -1 B. -2
C. -3 D. -4
图3-12-4
B
A
4. （2021·广东题12，4分，二次函数图象与几何变换）把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　.
y=2（x+1）2-2或y=2x2+4x
5. （2024·广东题20，9分，二次函数的应用）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美. 某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100 t. 市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50 t. 该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值. （题中“元”为人民币）
解法一：（求利润）设该果商定价为每吨x万元，每天的利润为w万元.
由题意，得w=（x-2）［100+50（5-x）］=-50（x-4.5）2+312.5.
∵-50<0，∴当x=4.5时，w有最大值，最大值为312.5.
答：该果商定价为每吨4.5万元时，每天的利润最大，最大值为312.5万元.
解法二：（求销售收入）设该果商定价为每吨x万元，每天的销售收入为w万元.
由题意，得w=x［100+50（5-x）］=-50（x-3.5）2+612.5.
∵-50<0，∴当x=3.5时，w有最大值，最大值为612.5.
答：该果商定价为每吨3.5万元时，每天的销售收入最大，最大值为612.5万元.
高分击破
【典型考点】二次函数综合题 得分点分析
1. （2022·广东）如图3-12-5，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB=4，点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标.

温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第22题，分值一般为13分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型考点】二次函数的应用
2. （2024·烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”. 康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售. 根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆. 公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元. 设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【典型错例】在二次函数的应用中，忽略自变量的取值范围
3. 用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长8 m，则这个养鸡场的最大面积为 （ ）
A. 36 m2　　
B. 64 m2
C. 72 m2　　
D. 96 m2
B
图3-12-7
（-2，0）
（4，0）
（0，-4）
种子生长：等角问题
（2）抛物线上是否存在点M，使∠BCM=∠ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
图3-12-7

答图3-12-1
生长变式：角度变式
（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点N，使∠BCN=15°？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在.
如答图3-12-2，设点N为第一象限内的抛物线上的一点，且∠BCN=15°，CN与x轴交于点D.
答图3-12-2
图3-12-7
答图3-12-2
种子成树：综合创新
（4）如图3-12-8，若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A，B，D的圆与DF交于点E，求△ABE的面积.
图3-12-8

答图3-12-3
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2023·兰州）已知二次函数y=-3（x-2）2-3，下列说法正确的是
（ ）
A. 对称轴为直线x=-2 B. 顶点坐标为（2，3）
C. 函数的最大值是-3 D. 函数的最小值是-3
C
3. （2024·天津，跨学科融合）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（m）与小球的运动时间t（s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）. 有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中，正确结论的个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
2. （2024·包头）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为 （ ）
A. y=（x+1）2-3 B. y=（x+1）2-2
C. y=（x-1）2-3 D. y=（x-1）2-2
A
4. （2024·贵州）如图3-12-9，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为（-1，4），则下列说法正确的是 （ ）
A. 二次函数图象的对称轴是直线x=1
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当x<-1时，y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
图3-12-9
D
图3-12-10
B
二、填空题
6. （2024·滨州）将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为　 　.
7. （2024·宁夏）若二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是　 .
（1，2）
8. （2024·辽宁）如图3-12-11，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为　 　.
图3-12-11
4
三、解答题
9. （2023·宿迁）某商场销售A，B两种商品，每件进价均为20元. 调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元.
（1）求A，B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种的商品售价不低于B种商品的售价. 设A种商品降价m元，如果A，B两种商品的销售量相同，那么当m取何值时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
（2）∵A种的商品售价不低于B种商品的售价，∴30-m≥24. 解得m≤6.
设总利润为w元.
由题意，得w=（30-m-20）（40+10m）+（24-20）（40+10m）
=-10（m-5）2+810.
∵-10<0，且m≤6，
∴当m=5时，w有最大值，最大值为810.
答：当m=5时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元.
图3-12-12
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，求BC边上的高PN的值.
图3-12-12
答图3-12-4
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（综合运用）【问题背景】
如图3-12-13，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中
-3图3-12-13
【构建联系】
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图3-12-13①，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形，当矩形DEFG的周长为9时，求m的值；
图3-12-13
（3）如图3-12-13②，作DE的中垂线MQ交AB于点M，交DE于点Q，在MQ延长线上取点N，使QN=4MQ，求点N到y轴的最远距离.
图3-12-13
图3-12-13
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查二次函数的基本概念、图象与性质，如对称轴、顶点坐标、最值、图象的平移等；强调二次函数与其他数学知识的综合运用，可能与方程、不等式、其他函数、几何图形等综合考查；注重与实际问题的紧密结合，可能会出现经济、科技、生活等多个领域的实际情境.

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