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第三章　函　　数
第9课时　平面直角坐标系与函数
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）
A
2. （广东真题）下列等式正确的是 （ ）
A. （-1）-3=1 B. （-4）0=1
C. （-2）2×（-2）3=-26 D. （-5）4÷（-5）2=-52
B
3. （广东真题）如图3-10-1，在 ABCD中，下列说法一定正确的是
（ ）
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB=BC
图3-10-1
C
4. （广东真题）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sin A=
　.
5. （广东真题）如图3-10-2，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E'位置，则四边形ACE'E的形状是　 　.
图3-10-2
平行四边形
①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
②能画一次函数的图象，根据图象和函数表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数.
③体会一次函数与二元一次方程的关系.
④能用一次函数解决简单实际问题.
课标要求
对接教材 人教：八下第十九章　一次函数
北师：八上第四章　一次函数　
考点梳理
考点复习
1.一次函数与正比例函数
（1）一次函数：形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
（2）正比例函数：在一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中，当
　 　时，它是一个正比例函数，即正比例函数是一种特殊的
　 　
b=0
一次函数
①②
②
2.一次函数的图象与性质
函数 系数取值 图象 经过的象限 函数的性质
y=kx
（k≠0） k>0
一、三 y随x的增大而增大
k<0
①　 　 y随x的增大而减小
二、四
函数 系数取值 图象 经过的象限 函数的性质
y=kx+b
（k≠0） k>0
b>0 一、二、三 y随x的增大而
④　 　
k>0
b<0 ②　 　
k<0
b>0 一、二、四 y随x的增大而
⑤　 　
k<0
b<0 ③　 　
一、三、四
增大
二、三、四
减小

例2. （1）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=kx+k的图象大致是 （ ）
A
（2）已知函数y=-2x+3.
①该函数图象经过第　 象限，y随x的增大而　 ；
②该函数图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为
　 ；
③将该函数图象向左平移2个单位长度，可得直线　 ；将该函数图象向下平移6个单位长度，可得直线　 .
一、二、四
减小
（0，3）
y=-2x-1　
y=-2x-3　
3.用待定系数法确定一次函数的解析式
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
（1）设：设出一次函数解析式的一般形式y=kx+b；
（2）列：将已知点的坐标代入函数解析式，得到方程（组）；
（3）解：解方程（组），求出待定系数的值，写出一次函数的解析式
例3. 已知一次函数的图象经过A（-2，-3），B（1，3）两点，求这个一次函数的表达式.
（3）与一元一次不等式的关系：
①从“数”上看：不等式kx+b>0的解集 一次函数y=kx +b中，y>0时x的取值范围；不等式kx+b<0的解集 一次函数y=kx+b中，y<0时x的取值范围.
②从“形”上看：不等式kx+b>0的解集 一次函数y=kx+b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围；不等式kx+b<0的解集 一次函数y=kx +b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标的取值范围
x=2　
（3）如图3-10-3，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则不等式kx+b>0的解集是　 .
图3-10-3
x<2　
5.一次函数的应用
解一次函数应用题的一般步骤：
（1）找出问题中的变量和常量及它们之间的函数关系；
（2）列一次函数表达式表示它们之间的关系；
（3）应用一次函数的图象及性质解题；
（4）检验结果的合理性，检验是否符合实际意义
例5. （跨学科融合）一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.弹簧总长y（cm）关于所挂物体质量x（kg）的函数图象如图3-10-4所示，则图中a的值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
图3-10-4
A
广东中考
1. （2024·广东题10，3分，一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是
（ ）
B
2. （2023·广东题16〈2〉，5分，待定系数法求一次函数解析式）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式.
高分击破
【典型考点】待定系数法求一次函数的解析式 得分点分析
1. （教材改编）已知一次函数的图象经过点（4，-9）和点（6，3）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）求这个函数的图象与x轴的交点坐标.

温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第17题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
图3-10-5

（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速. （此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h）
图3-10-5

【典型错例】不会用绝对值表示距离和忽视分类讨论，导致漏解
3. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b过点A（-6，0），且与y轴交于点B，直线与两坐标轴围成的△AOB的面积为12，求直线的表达式.

图3-10-6
（6，0）
（0，3）
图3-10-7
图3-10-7
生长变式：面积变式
（3）在（2）的条件下，若P是直线CD上的一个动点，当S△PBM=20时，求点P的坐标；
图3-10-7
种子成树：综合创新
（4）在（2）的条件下，F为直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以BF为一边，以B，D，F，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
图3-10-7
图3-10-7
图3-10-7
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·兰州）一次函数y=2x-3的图象不经过 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. （2024·山西）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y=3x的图象上，若x1A. y1>y2 B. y1B
B
A
4. （2024·山西，跨学科融合）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为 （ ）
A. y=7.5x+0.5
B. y=7.5x-0.5
C. y=15x
D. y=15x+45.5
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A
图3-10-8
A
二、填空题
6. （2024·长春）已知直线y=kx+b（k，b是常数）经过点（1，1），且y随x的增大而减小，则b的值可以是　 . （写出一个即可）
2（答案不唯一）　
7. （2024·扬州）如图3-10-9，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为
　 　.
图3-10-9
x=-2
8. （2024·凉山州）如图3-10-10，一次函数y=kx+b的图象经过A（3，6），B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为　　.
图3-10-10
9
三、解答题
9. （2024·北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y=-kx+3的图象交于点（2，1）.
（1）求k，b的值；
（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y=-kx+3的值，直接写出m的取值范围.
（2）m的取值范围是m≥1.
【提示】∵k=1，b=-1，
∴两函数的解析式分别为y=x-1，y=-x+3.
在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象如答图3-10-1.
∵当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx的值大于函数y=x-1和y=-x+3的值，
∴当x>2时，函数y=mx的图象在函数y=x-1和y=-x+3图象的上方.
∴m的取值范围是m≥1.
答图3-10-1
10. （2024·广安）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境. 已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
（1）求A，B两种花卉的单价；
（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用.
（2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉（10 000-m）株.
由题意，得m≤4（10 000-m）. 解得m≤8 000.
设总费用为w元.
则w=3m+5（10 000-m）=-2m+50 000. ∵-2<0，∴w随m的增大而减小.
∴当m=8 000时，w的值最小，w最小=-2×8 000+50 000=34 000.
此时10 000-m=2 000.
答：当采购A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少费用为34 000元.
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（2024·吉林）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究. 第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流. 下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】图3-10-11①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观. 榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图3-10-11②所示. 板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量. 设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x（mm），凳面的宽度为y（mm），记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】如图3-10-11③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：
图3-10-11
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，请说明理由；
图3-10-11
（2）当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
（2）把y=213代入y=5x+33，得5x+33=213. 解得x=36.
∴当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36 mm.
图3-10-11
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重考查一次函数的基本概念、图象与性质，如求函数的表达式、与坐标轴的交点等；强调与实际情境结合，可能出现购物、运输、交通等实际情境，还可能出现跨学科的情境；可能会与几何图形、方程、不等式等知识综合考查.

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