资源简介

(共72张PPT)
第九章　综合与实践
第29课时　综合与实践
课前循环练
（限时5分钟）
1. （广东真题）下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是 （ ）
A. 80 L/h
B. 107.5 L/h
C. 105 L/h
D. 110 L/h
打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳
80 L/h 90 L/h 105 L/h 110 L/h 115 L/h
C
2. （广东真题）一副三角板如图9-29-1所示放置，斜边平行，则∠1的度数为 （ ）
A. 3.5° B. 10°
C. 15° D. 20°
图9-29-1
C
B
图9-29-2
2π
5. （广东真题）如图9-29-3，已知反比例函数的图象过A，B两点，点A的坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为　 　.
图9-29-3
（4，-7）
①在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程，感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题，逐步形成“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养.
②用数学的思维方法，运用数学与其他相关学科的知识，综合地、有逻辑地分析问题，经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决问题的过程，提升思维能力，逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养.
课标要求
③用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，经历用数学方法解决问题的过程，感悟科学研究的过程与方法，感受数学在与其他学科融合中所彰显的功效，积累数学活动经验，逐步形成“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养.
对接教材 人教：综合与实践分布在各年级上下册的数学活动和课题学习部分
北师：综合与实践分布在各年级上下册的综合与实践部分　
考点梳理
考点复习
1.数与代数的综合与实践问题
数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题，通过实践活动，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程，感悟从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用“数与式”“方程与不等式”和“函数”的相关知识解决相关的综合问题
广东省对应考点例题
例1. （2023·临沂改编）综合与实践
【问题情境】
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定
售价，小莹帮妈妈调查了
附近A，B，C，D，E五
家花卉店近期该种盆栽花
卉的售价与日销售量情况，
记录如下：
花卉店 售价/（元·盆-1） 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【数据整理】
（1）请将以上调查数据按照
一定顺序重新整理，填写在
下表中：
售价/（元·盆-1） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
日销售量/盆 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
18
20
22
26
30
54
50
46
38
30
花卉店 售价/（元·盆-1） 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【模型建立】
（2）分析数据的变化规律，求出日销售量y（盆）与售价x（元/盆）之间的函数关系式；
【拓广应用】
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得的利润最大？最大利润是多少？
②设每天获得的利润为w元.
由题意，得w=（x-15）（-2x+90）=-2x2+120x-1 350=-2（x-30）2+450.
∵-2<0，∴当x=30时，w取最大值为450.
答：售价定为30元/盆时，每天能够获得的利润最大，最大利润是450元.
（3）①由题意，得（x-15）（-2x+90）=400.解得x1=25，x2=35.
答：要想每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆.
2.图形与几何的综合与实践问题
通常以图形的操作探究为主要形式，综合图形的平移、折叠、旋转等图形变化，结合有关线段、角、三角形、四边形的知识，体现数学各部分之间、数学与生活、数学与其他学科之间的联系，考查几何猜想、画图、推理、证明与计算能力以及创新精神和实践能力
例2. （2024·宿迁节选）综合与实践
在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动.
【操作判断】
操作一：如图9-29-4①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图9-29-4②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图9-29-4③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF.
把正方形纸片展平，得图9-29-4④，折痕BE，BF与AC的交点分别为G，H.
（1）根据以上操作，得∠EBF=　 ；
图9-29-4
45°　
【探究证明】
（2）如图9-29-5①，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
图9-29-5
（2）解：△BFG为等腰直角三角形.证明如下.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=∠ACB=45°.
∵∠EBF=45°，∴∠GBF=∠GCF=45°.
∴G，B，C，F四点共圆.
∴∠BFG=∠ACB=45°. ∴∠BFG=∠EBF. ∴FG=BG.
又∵∠BGF=180°-∠BFG-∠EBF=90°，
∴△BFG为等腰直角三角形.
（3）如图9-29-5②，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB，CD，EF于点P，Q，M.求证：EM=MF.
图9-29-5
（3）证明：∵PQ⊥CD，∴∠PQF=90°.
在正方形ABCD中，∠D=90°，
∴∠PQF=∠D. ∴PQ∥AD. ∴∠PGB=∠AEB.
由折叠的性质，得∠AEB=∠BEF，∴∠PGB=∠BEF.
∵∠BGF=90°，∴∠PGB+∠MGF=90°，∠BEF+∠MFG=90°.
∴∠MGF=∠MFG. ∴MG=MF.
∵∠PGB=∠EGM，∠PGB=∠BEF，
∴∠BEF=∠EGM. ∴EM=GM. ∴EM=MF.
3.统计与概率的综合与实践问题
在社会生活和科学技术的真实情境中，通过综合与实践活动结合抽样与数据分析等，综合地、有逻辑地分析问题，经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决统计与概率的综合问题
例3. （2023·德州）综合与实践
某校劳动实践小组为了解全校1 800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
××学校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题 ××学校学生参与家务劳动情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生
数据
的收
集、
整理
与描
述 第
一
项 你日常家务劳动的参与程度是（单选）
A.天天参与
B.经常参与
C.偶尔参与
D.几乎不参与
图9-29-6
第
二
项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选）
E.扫地抹桌
F.厨房帮厨
G.整理房间
H.洗晒衣服
图9-29-7
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生有　 　人；
（2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
200
（3）估计该校1 800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
（3）1 800×83%=1 494（人）.
答：估计该校1 800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1 494人.
（4）如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议.
（4）同学们可在家多帮助父母扫地抹桌和洗晒衣服.（答案不唯一，合理即可）
广东中考
1. （2023·广东题20，9分，正方形的性质；等腰直角三角形的判定与性质）综合与实践
图9-29-8
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图9-29-8①，将正方形
纸板的边长三等分，画出九个相
同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图9-29-8②，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
（2）证明（1）中你发现的结论.
答图9-29-1
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（1）解：∠ABC=∠A1B1C1.
2. （2024·广东题21，9分，圆锥的计算；展开图折叠成几何体）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图9-29-9①所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
图9-29-9
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图9-29-9②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图9-29-9①所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明；
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积. （结果保留π）
高分击破
【典型考点】综合与实践 得分点分析
图9-29-10
1. （2024·通辽）综合与实践
【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞（如图9-29-10）.
【模型建立】
（1）如图9-29-11①，从花折伞中抽象出“牵形图”，AM=AN，DM=DN.求证：∠AMD=∠AND；
图9-29-11
【模型应用】
（2）如图9-29-11②，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程；（注：只需选择一种情况作答）
图9-29-11
（2）解：选择①为条件，②为结论. （选择②为条件，①为结论亦可证明）
证明：如图9-29-12，在AC取点N，使AN=AM，连接DN.
∵AD平分∠MAC，∴∠DAM=∠DAN.
又∵AD=AD，∴△ADM≌△ADN（SAS）. ························ 3分（利用全等三角形的判定得1分）
∴ND=MD，∠AND=∠AMD=2∠C. ························4分（利用全等三角形的性质得1分）
∵∠AND=∠CDN+∠C，∴∠CDN=∠C. ∴ND=NC. ∴MD=NC.
∵AC=AN+NC，∴AC=AM+MD. ··············5分（等量代换得1分）
图9-29-12
图9-29-13
温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第21小题，分值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】考虑问题不全面
2. （跨学科融合）在数学活动课上，同学们了解了杠杆原理，即动力×动力臂=阻力×阻力臂（支点：杠杆绕着转动的固定点；动力：使杠杆转动的力；阻力：阻碍杠杆转动的力；动力臂：从支点到动力作用线的距离；阻力臂：从支点到阻力作用线的距离）. 如图9-29-14，现有一个直角棒ABO自重不计，可绕O点自由旋转. 已知AB=30 cm，OB=40 cm，现在OB的中点C悬挂重为G=50 N的物体，则在A点至少需要多大的力才能使杠杆平衡（OB保持水平）？
图9-29-14
图9-29-14
答图9-29-2

图9-29-15
知识种子：基本概念
（1）若单摆细线的长度为40 cm，则小球来回摆
动一次所用的时间为 　s；
种子生长：实践探究
（2）如图9-29-16，OA表示小球静止时的位置，当小球摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，过点C作CE⊥OA于点E.
若OB与OC恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），且BD=8 cm，ED=7 cm，求单摆细线的长度；
图9-29-16
图9-29-16
生长变式：探究变式
（3）如图9-29-17，一次单摆实验过程中，摆到OB的位置时俯角为30°，摆到OC的位置时俯角为60°. 若OA⊥FG，点B比点C高7 cm，求单摆细线的长度；
图9-29-17
图9-29-17
种子成树：综合创新
（4）如图9-29-18，在点O正下方的P处有一枚钉子. 某学生进行单摆运动实验，从点B出发，在右侧达到最高点C，在点O测得点B的俯角是45°，点C的俯角是60°，在点C测得点P的仰角是45°. 若OA⊥FG，OP的长为4 cm，求单摆细线的长度.
图9-29-18
答图9-29-3
中考演练
（限时15分钟）
一、选择题
1. （2024·淄博）如图9-29-19，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35 m. 又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°，则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
图9-29-19
A
C
3. （2024·长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图9-29-20所示，则∠α的大小为 （ ）
A. 54° B. 60°　
C. 70°　 D. 72°
图9-29-20
D
图9-29-21
C
5. （2024·大庆）如图9-29-22，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上. 则下列判断正确的是 （ ）
A. 纸带①、②的边线都平行
B. 纸带①、②的边线都不平行
C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
图9-29-22
D
二、填空题
6. （2024·陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图9-29-23，将0，-2，-1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是_____
　 　. （写出一个符合题意的数即可）
图9-29-23
0（答案不唯一）
7. （2024·雅安）如图9-29-24是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H=
　 .
①杯子底部到杯沿底边的高h；
②杯口直径D；
③杯底直径d；
④杯沿高a.
图9-29-24
h+an　
图9-29-25
2或3
三、解答题
9. （2024·遂宁）综合与实践
遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
××小组关于××学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
数据的整理与描述
景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他
图9-29-26
数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为　 　，扇形统计图中，m=
　 　，“B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是　 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为1 800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A，B，C，D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.
100
10
72°　
解：（2）出游景点C的有100×10%=10（人），
补全条形统计图如答图9-29-4.
答图9-29-4
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为1 800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；

答图9-29-5
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A，B，C，D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.
10. （2024·济宁）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图9-29-27①，矩形ABCD中，AB>AD且AB足够长）进行探究活动.
【动手操作】
如图9-29-27②，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平.
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平.
图9-29-27
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确. 若
正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由；
（1）解：甲、乙两同学的结论都正确. 证明如下.
①∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=90°.
由折叠的性质，得∠AEF=∠D=90°，AD=AE，
∴四边形AEFD是正方形. 故甲同学的结论正确.
图9-29-27
答图9-29-6
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作.
如图9-29-27③，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平.
第五步，连接FM交GP于点N.
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN·AM=GN·AD.
图9-29-27
答图9-29-7
（2）请证明这个结论.
命题趋势
（ 限时 5 分钟）
（2023·广西，跨学科融合）综合与实践
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”. 某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.
【知识背景】如图9-29-28，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）·l=M·（a+y），其中秤盘质量m0 g，重物质量m g，秤砣质量M g，秤纽与秤盘的水平距离为l cm，秤纽与零刻线的水平距离为a cm，秤砣与零刻线的水平距离为y cm.
【方案设计】目标：设计简易杆秤. 设定
m0=10，M=50，最大可称重物质量为
1 000 g，零刻线与末刻线的距离定为
50 cm.
图9-29-28
任务一：确定l和a的值.
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
解：（1）由题意，得m=0，y=0.
∵m0=10，M=50，∴10l=50a. 整理，得l=5a.
图9-29-28
（2）当秤盘放入质量为1 000 g的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）由题意，得m=1 000，y=50.
∵m0=10，M=50，∴（10+1 000）l=50（a+50）.
整理，得101l-5a=250.
图9-29-28
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
图9-29-28
任务二：确定刻线的位置.
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
图9-29-28
（5）从零刻线开始，每隔100 g在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.
图9-29-28
命题解读：根据最新课程标准和近三年中考命题动向，预测2025年中考命题方向可能注重与现实情境的紧密联系，在社会生活和科学技术的真实情境中，用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，如设计或制作物品、探索数学关系、性质或规律等；强调跨学科融合，综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题；可能会加强对学生动手操作能力和空间想象能力的考查.

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