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广西壮族自治区崇左市2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024七下·崇左期末）下列四个实数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．
2．（2024七下·崇左期末）下列说法正确的是（　　）
A．－4的平方根是－2 B．－8的立方根是±2
C．负数没有立方根 D．－1的立方根是－1
3．（2024七下·崇左期末）若实数x和y满足，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·崇左期末）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到.已知，则用科学记数法表示是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·崇左期末）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）
A．垂直的定义 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
6．（2024七下·崇左期末）如图，用不等式表示数轴上所示不等式组的解集，正确的是（　　）
A．或 B．或
C． D．
7．（2024七下·崇左期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·崇左期末）若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
9．（2024七下·崇左期末）如图，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·崇左期末）下列命题中，真命题的个数有（　　）
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；是的立方根；带根号的数都是无理数；所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2024七下·崇左期末）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024七下·崇左期末）如图，已知，平分，平分．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024七下·崇左期末）要使分式有意义，则的取值范围为　 　．
14．（2024七下·崇左期末）4的算术平方根是　 　．
15．（2024七下·崇左期末）分解因式： 　 　．
16．（2024七下·崇左期末）若，，则　 　．
17．（2024七下·崇左期末）若二次三项式可分解为，则=　 　．
18．（2024七下·崇左期末）将一个矩形纸片按如图折叠，若则的度数是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024七下·崇左期末）计算：
（1）．
（2）．
20．（2024七下·崇左期末）先化简再求值：，其中．
21．（2024七下·崇左期末）解不等式组，并把解的结果在数轴上表示出来．
22．（2024七下·崇左期末）如图是每个小正方形的边长都是1的网格，请画图并计算：
（1）平移使点A移到点B的位置，请画出平移后的，其中点A、B、C的对应点分别为点B、D、E．
（2）求的面积．
23．（2024七下·崇左期末）已知，如图，分别平分与，且，求证：．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：分别平分与（已知），
（______），
（______），
（______），
（______），
______（______），
（______），
（______）．
24．（2024七下·崇左期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，且平分．若，求的度数．
25．（2024七下·崇左期末）某种植基地准备用80公顷的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20天完工．求工程队原计划每天建多少公顷大棚．
26．（2024七下·崇左期末）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，且分别交射线于点C、D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、，是有理数，故本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】A、-4没有平方根，A不符合题意；
B、-8的立方根是-2，B不符合题意；
C、负数有立方根；C不符合题意；
D. －1的立方根是－1；D符合题意；
故答案为D.
【分析】利用平方根，立方根计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；
B、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；
C、∵，∴，故该选项正确，符合题意；
D、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m.
故答案为：C.
【分析】根据1nm=10-9m可得：28nm=28×10-9m，然后表示为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短
故答案为：C。
【分析】根据垂线段最短的含义进行作答即可。
6．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图示可看出，从出发向右画出的折线且表示的点是空心圆，表示；
从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆，表示．
所以这个不等式组为
故答案为：D．
【分析】根据不等式的解集表示与3之间的部分，其中不包含，而包含3即可求解．
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能合并，故不符合题意；
B.，原选项计算错误，故不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.，原选项计算错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法及积的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
8．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意：，
则分式的值不变，
故答案为：B．
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若，则，不能判定，不符合题意；
B、若，则，不能判定，不符合题意；
C、若，则，符合题意；
D、若，不能判定，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；平行公理及推论；真命题与假命题；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴错误；
在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴错误；
是的立方根，∴错误；
带根号的不一定是无理数，如是有理数，∴错误；
∵实数与数轴上的点是一一对应的关系，∴正确；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定和公理、立方根的计算方法、无理数的定义及数轴与实数的关系逐项分析判断即可.
11．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：把两个方程相减，
可得，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：C．
【分析】先利用加减消元法求出，再结合x与y的和不大于5，可得，最后求出k的取值范围即可.
12．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过E作，过F作，先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后求出即可.
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则分母，
即．
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
14．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
16．【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：9．
【分析】利用完全平方公式及变式求出，可得，再将其代入计算即可.
17．【答案】﹣4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵可分解为，
∴
，
则，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
18．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；补角；两直线平行，内错角相等
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负整式指数幂和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可.
20．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
21．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴这个不等式组无解；
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
22．【答案】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
23．【答案】证明：分别平分与（已知），
（角平分线的定义），
（已知），
（等量代换），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】利用角平分线的定义、平行线的判定和性质及推理步骤分析求解即可.
24．【答案】解：，
，
又∵平分，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
25．【答案】解：设工程队原计划每天修x公顷，则实际每天修公顷，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解．
答：工程队原计划每天修公顷.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设工程队原计划每天修x公顷，则实际每天修公顷，根据“ 结果提前20天完工 ”列出方程，再求解即可.
26．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，分别平分，，
∴，，
∴.
（2）解：与之间的数量关系不变，；
理由：∵，
∴，．
又∵平分，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∵，分别平分，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出，利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）利用平行线的性质可得，，再利用角平分线的定义及等量代换可得；
（3）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后利用角平分线的定义可得．
1 / 1广西壮族自治区崇左市2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024七下·崇左期末）下列四个实数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、，是有理数，故本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2024七下·崇左期末）下列说法正确的是（　　）
A．－4的平方根是－2 B．－8的立方根是±2
C．负数没有立方根 D．－1的立方根是－1
【答案】D
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】A、-4没有平方根，A不符合题意；
B、-8的立方根是-2，B不符合题意；
C、负数有立方根；C不符合题意；
D. －1的立方根是－1；D符合题意；
故答案为D.
【分析】利用平方根，立方根计算求解即可。
3．（2024七下·崇左期末）若实数x和y满足，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；
B、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；
C、∵，∴，故该选项正确，符合题意；
D、∵，∴，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．（2024七下·崇左期末）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到.已知，则用科学记数法表示是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m.
故答案为：C.
【分析】根据1nm=10-9m可得：28nm=28×10-9m，然后表示为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可.
5．（2024七下·崇左期末）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）
A．垂直的定义 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短
故答案为：C。
【分析】根据垂线段最短的含义进行作答即可。
6．（2024七下·崇左期末）如图，用不等式表示数轴上所示不等式组的解集，正确的是（　　）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图示可看出，从出发向右画出的折线且表示的点是空心圆，表示；
从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆，表示．
所以这个不等式组为
故答案为：D．
【分析】根据不等式的解集表示与3之间的部分，其中不包含，而包含3即可求解．
7．（2024七下·崇左期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能合并，故不符合题意；
B.，原选项计算错误，故不符合题意；
C.，计算正确，符合题意；
D.，原选项计算错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法及积的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
8．（2024七下·崇左期末）若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意：，
则分式的值不变，
故答案为：B．
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
9．（2024七下·崇左期末）如图，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若，则，不能判定，不符合题意；
B、若，则，不能判定，不符合题意；
C、若，则，符合题意；
D、若，不能判定，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
10．（2024七下·崇左期末）下列命题中，真命题的个数有（　　）
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；是的立方根；带根号的数都是无理数；所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；平行公理及推论；真命题与假命题；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴错误；
在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴错误；
是的立方根，∴错误；
带根号的不一定是无理数，如是有理数，∴错误；
∵实数与数轴上的点是一一对应的关系，∴正确；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定和公理、立方根的计算方法、无理数的定义及数轴与实数的关系逐项分析判断即可.
11．（2024七下·崇左期末）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：把两个方程相减，
可得，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：C．
【分析】先利用加减消元法求出，再结合x与y的和不大于5，可得，最后求出k的取值范围即可.
12．（2024七下·崇左期末）如图，已知，平分，平分．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过E作，过F作，先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后求出即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024七下·崇左期末）要使分式有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，则分母，
即．
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
14．（2024七下·崇左期末）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
15．（2024七下·崇左期末）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
16．（2024七下·崇左期末）若，，则　 　．
【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：9．
【分析】利用完全平方公式及变式求出，可得，再将其代入计算即可.
17．（2024七下·崇左期末）若二次三项式可分解为，则=　 　．
【答案】﹣4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵可分解为，
∴
，
则，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
18．（2024七下·崇左期末）将一个矩形纸片按如图折叠，若则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；补角；两直线平行，内错角相等
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024七下·崇左期末）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；负整数指数幂；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负整式指数幂和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可.
20．（2024七下·崇左期末）先化简再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
21．（2024七下·崇左期末）解不等式组，并把解的结果在数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴这个不等式组无解；
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
22．（2024七下·崇左期末）如图是每个小正方形的边长都是1的网格，请画图并计算：
（1）平移使点A移到点B的位置，请画出平移后的，其中点A、B、C的对应点分别为点B、D、E．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
23．（2024七下·崇左期末）已知，如图，分别平分与，且，求证：．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：分别平分与（已知），
（______），
（______），
（______），
（______），
______（______），
（______），
（______）．
【答案】证明：分别平分与（已知），
（角平分线的定义），
（已知），
（等量代换），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】利用角平分线的定义、平行线的判定和性质及推理步骤分析求解即可.
24．（2024七下·崇左期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，且平分．若，求的度数．
【答案】解：，
，
又∵平分，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
25．（2024七下·崇左期末）某种植基地准备用80公顷的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20天完工．求工程队原计划每天建多少公顷大棚．
【答案】解：设工程队原计划每天修x公顷，则实际每天修公顷，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解．
答：工程队原计划每天修公顷.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设工程队原计划每天修x公顷，则实际每天修公顷，根据“ 结果提前20天完工 ”列出方程，再求解即可.
26．（2024七下·崇左期末）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合），，分别平分和，且分别交射线于点C、D．
（1）求的度数．
（2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使时，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，分别平分，，
∴，，
∴.
（2）解：与之间的数量关系不变，；
理由：∵，
∴，．
又∵平分，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∵，分别平分，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出，利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）利用平行线的性质可得，，再利用角平分线的定义及等量代换可得；
（3）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后利用角平分线的定义可得．
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