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广西壮族自治区梧州市2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
1．（2024七下·梧州期末）下列数是无理数的是（　　）
A． B． C．1.0101001 D．
2．（2024七下·梧州期末）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·梧州期末）古人常说的“一刹那"大约是小时．用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·梧州期末）如图，直线与相交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·梧州期末）要使分式有意义，则x应满足（　　）
A． B． C．且 D．
6．（2024七下·梧州期末）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（　　）
A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间
C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧
7．（2024七下·梧州期末）分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·梧州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·梧州期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·梧州期末）一个正方形按如图所示的方式分割成若干个正方形和长方形，据此，下列四个等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024七下·梧州期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024七下·梧州期末）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
13．（2024七下·梧州期末）4的平方根是 　 　
14．（2024七下·梧州期末）已知关于x的方程 =3的解是正数，则m的取值范围为　 　.
15．（2024七下·梧州期末）因式分解： 　 　.
16．（2024七下·梧州期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有　 　本．
17．（2024七下·梧州期末）的小数部分是，小数部分是，则　 　．
18．（2024七下·梧州期末）在中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是　 　．
19．（2024七下·梧州期末）（1）计算；
（2）计算；
（3）利用乘法公式计算；
（4）计算．
20．（2024七下·梧州期末）先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
21．（2024七下·梧州期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
22．（2024七下·梧州期末）解下列不等式（组）
（1）；
（2）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
23．（2024七下·梧州期末）正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A变换为点D，点分别是的对应点．
（1）请画出平移后的，并求的面积；
（2）若连接，则与的关系是_______；
（3）点M为方格纸上的格点（异于点A），若，则图中画出一个满足条件的格点M．
24．（2024七下·梧州期末）如图1，于点C，．
（1）求证：；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接．则三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．
25．（2024七下·梧州期末）端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进两类粽1100个，购买A粽子与购买B粽子的费用相同，已知A粽子的单价是B粽子单价的倍．
（1）求两类粽子的单价各是多少？（列方程求解）
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买两类粽子共2600个，已知两类粽子的进价不变，求A粽子最多能购进多少个？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是整数，不是无理数，故不符合题意；
B、，是分数，不是无理数，故不符合题意；
C、1.0101001是有限小数，不是无理数，故不符合题意．
D、是无理数，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：A．表示2不小于2，正确，故本选项不符合题意；
B．表示-1不大于0，正确，故本选项不符合题意；
C．表示100远大于1，正确，故本选项不符合题意；
D．表示-2远小于-99，错误，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题干中的定义及表示方法逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵和是对顶角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据对等角相等得到，结合已知，即可得出，解答即可.
5．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b， ，a，
∴，即，
∴，
∴原点在B点的左侧．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上左边的数字小于右边的数字，可知，即可得出，由此便可判断原点的位置.
7．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．原式=2a3，不符合题意；
B．原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C．原式=a6，符合题意；
D．原式=a10，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项的计算方法、完全平方公式、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，
，故不符合题意；
B、当时，无法判断，故符合题意；
C、∵，
∴，故不符合题意；
D、∵，
∴，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的判定定理注意判断即可解题．
10．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：大正方形的边长为，面积为，
也可以看作是三个小正方形和6个小长方形的面积和，
即，
故，，
故答案为：D．
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积，从而可得答案.
11．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米，
顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，
∴．
故答案为：C．
【分析】先求出顺水和逆水是的速度，再结合“ 逆流而上返回A是需要不到5小时 ”列出不等式即可.
12．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，再结合，从而可得．
13．【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．【答案】m<6且m≠4
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解关于 的方程 得 ，
，解得 ，
方程的解是正数，
且 ，
解这个不等式得 且 .
故答案为： 且 .
【分析】首先求出关于 的方程 的解，然后根据解是正数，再解不等式求出 的取值范围.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
16．【答案】21
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设共有x人，则这些书有本，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴，
∴，
∴这些书有21本．
故答案为：21．
【分析】设共有x人，则这些书有本，根据“ 如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本 ”列出不等式组，再求解即可.
17．【答案】1
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
的整数部分为2
的小数部分为
的整数部分为8
的小数部分为
故答案为：1．
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可.
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶
∵
∴，
∴，
∴，
当点D与点A重合时，取的最大值为4，
∴的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用等面积法求出，可得CD的最小值，再求出当点D与点A重合时，取的最大值为4，最后求解即可.
19．【答案】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式；有理数的乘方法则；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）先利用积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法化简，再计算即可；
（3）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可；
（4）利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
20．【答案】解：
，
∵当和时，会使分式分母，原式没有意义，
当时，会使原式的除式，原式无意义，
∴从中选取一个整数，只能选，则原式．
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
21．【答案】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解.
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
22．【答案】（1）解：
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，.
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
（1）解：
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
23．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
的面积为；
（2）平行且相等
（3）解：如图所示，点、、、即为所求，共有4个．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由平移的性质知这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并利用割补法求出△DEF的面积即可；（2）利用平移的性质分析求解即可；（3）利用三角形的面积并结合网格分析求解即可.
（1）解：如图所示，即为所求，
的面积为；
（2）解：由平移的性质知这两条线段之间的关系是平行且相等，
（3）解：如图所示，点、、、即为所求，共有4个．
24．【答案】（1）证明：如图1，∵于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）解：如图2，当点P在A，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再证出即可；
（2）分类讨论：①当点P在A，D之间时，过P作，②当点P在C，D之间时，过P作，③当点P在C，F之间时，过P作，先分别画出图形并利用角的运算求解即可.
（1）证明：如图1，∵于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
25．【答案】（1）解：设种粽子的单价为元，则A种粽子的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
答：A种粽子的单价是3元，种粽子的单价是元.
（2）解：设A种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得，
解得，
答：A种粽子最多能购进1000个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种粽子的单价为元，则A种粽子的单价为元，根据“ 用3000元购进两类粽1100个 ”列出方程，再求解即可；
（2）设A种粽子购进个，则购进种粽子个，根据“ 计划用不超过7000元的资金再次购买两类粽子共2600个 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设种粽子的单价为元，则A种粽子的单价为元，
根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
所以A种粽子的单价是3元，种粽子的单价是元；
（2）解：设A种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得
，
解得，
所以，A种粽子最多能购进1000个．
1 / 1广西壮族自治区梧州市2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题
1．（2024七下·梧州期末）下列数是无理数的是（　　）
A． B． C．1.0101001 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是整数，不是无理数，故不符合题意；
B、，是分数，不是无理数，故不符合题意；
C、1.0101001是有限小数，不是无理数，故不符合题意．
D、是无理数，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2024七下·梧州期末）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：A．表示2不小于2，正确，故本选项不符合题意；
B．表示-1不大于0，正确，故本选项不符合题意；
C．表示100远大于1，正确，故本选项不符合题意；
D．表示-2远小于-99，错误，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题干中的定义及表示方法逐项分析判断即可.
3．（2024七下·梧州期末）古人常说的“一刹那"大约是小时．用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．（2024七下·梧州期末）如图，直线与相交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵和是对顶角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据对等角相等得到，结合已知，即可得出，解答即可.
5．（2024七下·梧州期末）要使分式有意义，则x应满足（　　）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
6．（2024七下·梧州期末）如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（　　）
A．原点在B点的左侧 B．原点在B、C之间
C．原点在C、A之间 D．原点在A点的右侧
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b， ，a，
∴，即，
∴，
∴原点在B点的左侧．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上左边的数字小于右边的数字，可知，即可得出，由此便可判断原点的位置.
7．（2024七下·梧州期末）分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
8．（2024七下·梧州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．原式=2a3，不符合题意；
B．原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C．原式=a6，符合题意；
D．原式=a10，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项的计算方法、完全平方公式、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
9．（2024七下·梧州期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，
，故不符合题意；
B、当时，无法判断，故符合题意；
C、∵，
∴，故不符合题意；
D、∵，
∴，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的判定定理注意判断即可解题．
10．（2024七下·梧州期末）一个正方形按如图所示的方式分割成若干个正方形和长方形，据此，下列四个等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：大正方形的边长为，面积为，
也可以看作是三个小正方形和6个小长方形的面积和，
即，
故，，
故答案为：D．
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积，从而可得答案.
11．（2024七下·梧州期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米，
顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，
∴．
故答案为：C．
【分析】先求出顺水和逆水是的速度，再结合“ 逆流而上返回A是需要不到5小时 ”列出不等式即可.
12．（2024七下·梧州期末）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，再结合，从而可得．
13．（2024七下·梧州期末）4的平方根是 　 　
【答案】±2
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．（2024七下·梧州期末）已知关于x的方程 =3的解是正数，则m的取值范围为　 　.
【答案】m<6且m≠4
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解关于 的方程 得 ，
，解得 ，
方程的解是正数，
且 ，
解这个不等式得 且 .
故答案为： 且 .
【分析】首先求出关于 的方程 的解，然后根据解是正数，再解不等式求出 的取值范围.
15．（2024七下·梧州期末）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
16．（2024七下·梧州期末）把一批书分给若干名同学，如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本，则这批书共有　 　本．
【答案】21
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设共有x人，则这些书有本，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴，
∴，
∴这些书有21本．
故答案为：21．
【分析】设共有x人，则这些书有本，根据“ 如果每人分3本，那么剩余6本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本 ”列出不等式组，再求解即可.
17．（2024七下·梧州期末）的小数部分是，小数部分是，则　 　．
【答案】1
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
的整数部分为2
的小数部分为
的整数部分为8
的小数部分为
故答案为：1．
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可.
18．（2024七下·梧州期末）在中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶
∵
∴，
∴，
∴，
当点D与点A重合时，取的最大值为4，
∴的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用等面积法求出，可得CD的最小值，再求出当点D与点A重合时，取的最大值为4，最后求解即可.
19．（2024七下·梧州期末）（1）计算；
（2）计算；
（3）利用乘法公式计算；
（4）计算．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式；有理数的乘方法则；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）先利用积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法化简，再计算即可；
（3）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可；
（4）利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
20．（2024七下·梧州期末）先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵当和时，会使分式分母，原式没有意义，
当时，会使原式的除式，原式无意义，
∴从中选取一个整数，只能选，则原式．
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
21．（2024七下·梧州期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解.
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
22．（2024七下·梧州期末）解下列不等式（组）
（1）；
（2）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
【答案】（1）解：
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，.
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
（1）解：
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
23．（2024七下·梧州期末）正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A变换为点D，点分别是的对应点．
（1）请画出平移后的，并求的面积；
（2）若连接，则与的关系是_______；
（3）点M为方格纸上的格点（异于点A），若，则图中画出一个满足条件的格点M．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
的面积为；
（2）平行且相等
（3）解：如图所示，点、、、即为所求，共有4个．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由平移的性质知这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并利用割补法求出△DEF的面积即可；（2）利用平移的性质分析求解即可；（3）利用三角形的面积并结合网格分析求解即可.
（1）解：如图所示，即为所求，
的面积为；
（2）解：由平移的性质知这两条线段之间的关系是平行且相等，
（3）解：如图所示，点、、、即为所求，共有4个．
24．（2024七下·梧州期末）如图1，于点C，．
（1）求证：；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接．则三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，∵于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）解：如图2，当点P在A，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再证出即可；
（2）分类讨论：①当点P在A，D之间时，过P作，②当点P在C，D之间时，过P作，③当点P在C，F之间时，过P作，先分别画出图形并利用角的运算求解即可.
（1）证明：如图1，∵于点C，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
25．（2024七下·梧州期末）端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进两类粽1100个，购买A粽子与购买B粽子的费用相同，已知A粽子的单价是B粽子单价的倍．
（1）求两类粽子的单价各是多少？（列方程求解）
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买两类粽子共2600个，已知两类粽子的进价不变，求A粽子最多能购进多少个？
【答案】（1）解：设种粽子的单价为元，则A种粽子的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
答：A种粽子的单价是3元，种粽子的单价是元.
（2）解：设A种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得，
解得，
答：A种粽子最多能购进1000个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种粽子的单价为元，则A种粽子的单价为元，根据“ 用3000元购进两类粽1100个 ”列出方程，再求解即可；
（2）设A种粽子购进个，则购进种粽子个，根据“ 计划用不超过7000元的资金再次购买两类粽子共2600个 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设种粽子的单价为元，则A种粽子的单价为元，
根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
所以A种粽子的单价是3元，种粽子的单价是元；
（2）解：设A种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得
，
解得，
所以，A种粽子最多能购进1000个．
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