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第一节 直线的方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式,会求直线的倾斜角.
2.根据确定直线位置要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式).
教材再回首
1.直线的倾斜角
定义 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴　　　与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
规定 当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为　　
范围 直线l倾斜角的取值范围为　　　
2.直线的斜率
(1)定义
当直线的倾斜角不等于90°时,我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=　　　　.倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=　　　　.
(3)直线的方向向量坐标
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2-x1,y2-y1).若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=　　　　.特别地,　　　　是l的一个方向向量.
3.直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 　　　　　　　 与x轴不垂直的直线
斜截式 　　　　　　　 与x轴不垂直的直线
两点式 　　　　　　　 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax+By+C=0,A2+B2≠0 平面内所有直线
解题结论拓展
(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈时,α越大,直线l的斜率越大.
(3)直线y=kx+b的一个方向向量m=(1,k).
(4)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B,A).
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大. (　　)
(2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α. (　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. (　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示. (　　)
2.(人B选必修①P90T5改编)过点A(1,4)的直线的方向向量为m=(1,2),则该直线方程为 (　　)
A.2x-y+2=0 B.2x+y-6=0
C.x-2y+7=0 D.x+y-5=0
3.(人A选必修①P64T1改编)过两点(-2,4)和(4,-1)的直线在y轴上的截距为 (　　)
A. B.-
C. D.-
4.(人B选必修①P101T2改编)设x,y为实数,已知直线的斜率k=2,且A(3,5),B(x,7),C(-1,y)是这条直线上的三个点,则x+y= (　　)
A.4 B.3
C.-1 D.1
题点一　直线的倾斜角与斜率
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　
(1)直线xcos α+y-2=0的倾斜角的范围是 (　　)
A.　 B.
C.∪ D.
(2)(人A选必修①P58T7改编)设m为实数,过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45°,则m的值为　 　　.
|思维建模|
1.与直线倾斜角、斜率有关问题的注意点
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在[0,π)上的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)上并不具有单调性.
(2)过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率范围时,应注意倾斜角为时,直线斜率不存在.
2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀:斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论.
[即时训练]
1.[多选]如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是 (　　)
A.k1C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1
2.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为 (　　)
A.[-1,1] 　　　B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞) 　　　D.(-∞,-1]
题点二　直线的方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)过点(-4,0),倾斜角的正弦值为的直线方程为　 　　　　.
(2)经过点A(2,6),在x轴上的截距为3的直线方程为　 　　　.
(3)过点A(1,2)且在两坐标轴上的截距之和为零的直线方程为　　　　　　　　.
|思维建模| 求直线方程的常用方法
(1)直接法:根据已知条件灵活选用直线方程的形式,写出方程.
(2)待定系数法:①先根据已知条件设出直线方程的恰当形式,方程中含有待定的系数;②再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数;③最后代入求出直线方程.
[即时训练]
3.经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是 (　　)
A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0
4.(2025·重庆六校联考)已知一条直线经过点A(2,-),且它的倾斜角等于直线x-y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程为　　　　.
题点三　直线方程的综合问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　已知直线l的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)求证:不论m为何值,直线l必过定点M(3,1);
(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A,B两点,当△AOB的面积最小时,求△AOB的周长.
|思维建模|
与直线方程有关问题的解题策略
(1)直线过定点问题:将参数的“系数”化为0,解关于x,y的方程组可求定点.
(2)求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
(3)求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
[即时训练]
5.直线(a-1)x-(a+1)y+2=0恒过定点 (　　)
A.(1,1) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(-1,-1)
6.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 (　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
7.已知直线l:kx-y+1+2k=0,若直线l在两坐标轴上的截距相等,则k的值为　　　　;若直线l不经过第三象限,则实数k的取值范围是　　　　.
第一节　直线的方程
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.正向　0°　[0,π)
2.(1)tan α　(2)　(3)　(1,k)
3.y-y0=k(x-x0)　y=kx+b　=
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.选A　由于直线的方向向量为m=(1,2),故直线的斜率为=2,故直线的方程为y-4=2(x-1),即2x-y+2=0.
3.选C　由题可知直线方程为y+1=·(x-4),即y=-(x-4)-1,令x=0,则y=,故直线在y轴上的截距为.
4.选D　因为A(3,5),B(x,7),C(-1,y)是斜率k=2的直线上的三个点,所以kAB=kAC=2,所以==2,解得x=4,y=-3,则x+y=1.故选D.
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)C　(2)-2
(1)已知直线方程xcos α+y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tan θ=-=-cos α∈,即θ∈∪.
(2)∵过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45°,∴==1,解得m=-2.
[即时训练]
1.选AD　因为直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图得k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1为钝角,故选AD.
2.选C　如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1.要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
题点二
[例2]　(1)x+3y+4=0或x-3y+4=0　(2)y=-6x+18　
　(3)y=2x或x-y+1=0
(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α,则sin α=,从而cos α=±,则k=tan α=±.故所求直线方程为y=±(x+4),即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)法一　易知直线的斜率存在,设直线方程为y=k(x-3),因为点A(2,6)在直线上,所以k=-6,所以y=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直线方程为y=-6x+18.
法二　由于直线过点A(2,6)和点(3,0),则直线的斜率k==-6.由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直线方程为y=-6x+18.
(3)法一　当直线过原点时,满足题意,方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设方程为+=1,因为直线过(1,2),所以-=1,所以a=-1,所以方程为x-y+1=0,综上,直线方程为y=2x或x-y+1=0.
(易错提醒:易忽视直线过原点的情况)
法二　易知直线斜率存在,且不为0,设直线方程为y-2=k(x-1)(k≠0),当x=0时,y=2-k,当y=0时,x=1-,即2-k+1-=0,解得k=2或k=1,故直线方程为y=2x或x-y+1=0.
易错提醒:(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).
[即时训练]
3.选A　∵直线的方向向量为(1,2),∴直线的斜率k=2,又直线过点(1,1),∴直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
4.解析:由已知得直线x-y=0的斜率为,则其倾斜角为30°,故所求直线倾斜角为60°,斜率为,故所求直线的方程为y-(-)=(x-2),即x-y-3=0.
答案:x-y-3=0
题点三
[例3]　解:(1)证明:由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,
得m(2x+y-7)+x+y-4=0.
令解得经检验,满足(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,
所以直线l过定点M(3,1).
(2)由题意可设直线l1的方程为y-1=k(x-3)(k<0),直线l1与x轴,y轴正半轴的交点分别为A,B,令x=0,得yB=1-3k,令y=0,得xA=3-,所以△AOB的面积S==≥=6,
当且仅当-9k=,即k=-时,△AOB的面积最小,此时A(6,0),B(0,2),|AB|==2,所以△AOB的周长为6+2+2=8+2.所以当△AOB的面积最小时,△AOB的周长为8+2.
[即时训练]
5.选A　将(a-1)x-(a+1)y+2=0变形为(x-y)a-x-y+2=0,令x-y=0且-x-y+2=0,解得x=1,y=1,所以直线恒过定点(1,1).
6.选C　由ax+by=ab,得+=1,故直线在x轴、y轴上的截距分别为b,a.因为直线过点(1,1),所以+=1.又a>0,b>0,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
7.解析:当k=0时,y=1,不符合直线l在两坐标轴上的截距相等.当k≠0时,令x=0,得y=2k+1,令y=0,得x=-2-,由题意可得-2-=2k+1,解得k=-1或k=-.∵直线l的方程为kx-y+1+2k=0,即y=kx+1+2k,直线l不经过第三象限,∴k≤0且1+2k≥0,解得-≤k≤0,故实数k的取值范围是.
答案:-1或-　(共63张PPT)
第八章
解析几何
第一节
直线的方程
明确目标
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角.
2.根据确定直线位置要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式).
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.直线的倾斜角
定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_______与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为___
范围 直线l倾斜角的取值范围为_______
正向
0°
[0，π)
2.直线的斜率
(1)定义
当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=_______.倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=______.
tan α
(3)直线的方向向量坐标
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2-x1，y2-y1).若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=_____.特别地，________是l的一个方向向量.
(1，k)
3.直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 _______________ 与x轴不垂直的直线
斜截式 ________ 与x轴不垂直的直线
两点式 ____________ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax+By+C=0，A2+B2≠0 平面内所有直线
y-y0=k(x-x0)
y=kx+b
=
解题结论拓展
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大.
(3)直线y=kx+b的一个方向向量m=(1，k).
(4)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B，A).
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示.(　　)
×
×
×
√
2.(人B选必修①P90T5改编)过点A(1，4)的直线的方向向量为m=(1，2)，则该直线方程为 (　　)
A.2x-y+2=0 B.2x+y-6=0
C.x-2y+7=0 D.x+y-5=0
解析：由于直线的方向向量为m=(1，2)，故直线的斜率为=2，故直线的方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.
√
3.(人A选必修①P64T1改编)过两点(-2，4)和(4，-1)的直线在y轴上的截距为 (　　)
A. B.-
C. D.-
解析：由题可知直线方程为y+1=·(x-4)，即y=-(x-4)-1，令x=0，则y=，故直线在y轴上的截距为.
√
4.(人B选必修①P101T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k=2，且A(3，5)，B(x，7)，C(-1，y)是这条直线上的三个点，则x+y= (　　)
A.4 B.3
C.-1 D.1
解析：因为A(3，5)，B(x，7)，C(-1，y)是斜率k=2的直线上的三个点，所以kAB=kAC=2，所以==2，解得x=4，y=-3，则x+y=1.故选D.
√
课堂·题点精研
02
[例1]　(1)直线xcos α+y-2=0的倾斜角的范围是(　　)
A.　 B.
C.∪ D.
解析：已知直线方程xcos α+y-2=0，设直线的倾斜角为θ，故tan θ=-=-cos α∈，即θ∈∪.
√
题点一　直线的倾斜角与斜率
(2)(人A选必修①P58T7改编)设m为实数，过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为____.
解析：∵过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，∴==1，解得m=-2.
-2
1.与直线倾斜角、斜率有关问题的注意点
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y=tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不具有单调性.
(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.
思维建模
2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论.
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
1.[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是 (　　)
A.k1B.k3C.α1<α3<α2
D.α3<α2<α1
即时训练
√
√
解析：因为直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图得k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，且α1为钝角，故选AD.
2.已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为 (　　)
A.[-1，1] 　　B.[1，+∞)
C.(-∞，-1]∪[1，+∞) 　　D.(-∞，-1]
√
解析：如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1.要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为(-∞，-1]∪[1，+∞).
[例2] (1)过点(-4，0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为_______________________.
解析：由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α，则sin α=，从而cos α=±，
则k=tan α=±.故所求直线方程为y=±(x+4)，即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
题点二　直线的方程
x+3y+4=0或x-3y+4=0
(2)经过点A(2，6)，在x轴上的截距为3的直线方程为___________.
解析：法一　易知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-3)，因为点A(2，6)在直线上，所以k=-6，所以y=-6×(x-3)=18-6x，所以所求直线方程为y=-6x+18.
法二　由于直线过点A(2，6)和点(3，0)，则直线的斜率k==-6.由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x，所以所求直线方程为y=
-6x+18.
y=-6x+18
(3)过点A(1，2)且在两坐标轴上的截距之和为零的直线方程为_________________.
解析：法一　当直线过原点时，满足题意，方程为y=2x，即2x-y=0；当直线不过原点时，设方程为+=1，
因为直线过(1，2)，所以-=1，所以a=-1，所以方程为x-y+1=0，
综上，直线方程为y=2x或x-y+1=0.
(易错提醒：易忽视直线过原点的情况)
y=2x或x-y+1=0
法二　易知直线斜率存在，且不为0，设直线方程为y-2=k(x-1)(k≠0)，当x=0时，y=2-k，当y=0时，x=1-，即2-k+1-=0，解得k=2或k=1，故直线方程为y=2x或x-y+1=0.
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
易错提醒
求直线方程的常用方法
(1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程.
(2)待定系数法：①先根据已知条件设出直线方程的恰当形式，方程中含有待定的系数；②再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数；③最后代入求出直线方程.
思维建模
3.经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是 (　　)
A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0
解析：∵直线的方向向量为(1，2)，∴直线的斜率k=2，又直线过点(1，1)，∴直线的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.
即时训练
√
4.(2025·重庆六校联考)已知一条直线经过点A(2，-)，且它的倾斜角等于直线x-y=0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为_______________.
解析：由已知得直线x-y=0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y-(-)=(x-2)，即x-y-3=0.
x-y-3=0
[例3]　已知直线l的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M(3，1)；
解：证明：由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，得m(2x+y-7)+x+y-4=0.
令解得经检验，
满足(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，
所以直线l过定点M(3，1).
题点三　直线方程的综合问题
(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的周长.
解：由题意可设直线l1的方程为y-1=k(x-3)(k<0)，直线l1与x轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，令x=0，得yB=1-3k，令y=0，得xA=3-，所以△AOB的面积S==
≥=6，
当且仅当-9k=，即k=-时，△AOB的面积最小，
此时A(6，0)，B(0，2)，|AB|==2，
所以△AOB的周长为6+2+2=8+2.
所以当△AOB的面积最小时，△AOB的周长为8+2.
与直线方程有关问题的解题策略
(1)直线过定点问题：将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点.
(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
(3)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
思维建模
5.直线(a-1)x-(a+1)y+2=0恒过定点 (　　)
A.(1，1) B.(1，-1)
C.(-1，1) D.(-1，-1)
解析：将(a-1)x-(a+1)y+2=0变形为(x-y)a-x-y+2=0，令x-y=0且-x-y+2=0，解得x=1，y=1，所以直线恒过定点(1，1).
即时训练
√
6.若直线ax+by=ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 (　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
√
解析：由ax+by=ab，得+=1，故直线在x轴、y轴上的截距分别为b，a.因为直线过点(1，1)，所以+=1.又a>0，b>0，所以a+b=
(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
7.已知直线l：kx-y+1+2k=0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则k的值为__________；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是________.
解析：当k=0时，y=1，不符合直线l在两坐标轴上的截距相等.当k≠0时，令x=0，得y=2k+1，令y=0，得x=-2-，由题意可得-2-=2k+1，解得k=-1或k=-.∵直线l的方程为kx-y+1+2k=0，即y=kx+1+2k，直线l不经过第三象限，∴k≤0且1+2k≥0，解得-≤k≤0，故实数k的取值范围是.
　
-1或-
数智赋能：电子版随堂训练(倾斜角、斜率的综合应用)，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.若过点P(1-a，1+a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2，1) B.(-1，2)
C.(-∞，0) D.(-∞，-2)∪(1，+∞)
解析：由题意知k=<0，所以(a-1)(a+2)<0，即-2√
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2.(2025·武汉模拟)若直线l的一个方向向量为(-1，)，则直线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为直线l的一个方向向量为(-1，)，则直线l的斜率为-，所以直线l的倾斜角为.
13
3.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)
A.y=x+2 B.y=x-2
C.y=x+ D.y=-x+2
解析：∵直线x-2y-4=0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y=x+2.
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易错提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
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4.已知ab<0，bc<0，则直线ax+by=c不过 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：直线方程可化为y=-x+，其斜率->0，直线在y轴的截距<0，据此可知直线不经过第二象限.
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5.已知直线l过A(-2，1)，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l的方程是 (　　)
A.x-y-1=0或x+y-3=0
B.x-y-1=0或x-y+3=0
C.x+y+1=0或x-y+3=0
D.x+y+1=0或x+y-3=0
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解析：由题意可知，所求直线的倾斜角为45°或135°，即直线的斜率为1或-1，故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2)，即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C.
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6.已知点M是直线l：2x-y-4=0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是 (　　)
A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
解析：设直线l的倾斜角为α，则tan α=k1=2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k2=tan(α+45°)==-3，又点M(2，0)，所以直线方程为y=-3(x-2)，即3x+y-6=0.
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7.设直线l的方程为x-ysin θ+2=0，则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　)
A.[0，π] B.
C. D.∪
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解析：由题意知，当sin θ=0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α=；当sin θ≠0时，直线l的斜率k=∈(-∞，-1]∪[1，+∞)，所以倾斜角α∈∪.综上，α∈.
易错提醒：此处易搞不清倾斜角与斜率的关系而失分.若直线的倾斜角为，则斜率不存在，若斜率存在，则倾斜角应除去.
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8.已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　)
A.[-2，0)∪
B.∪[2，+∞)
C.
D.(-∞，-2]∪
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快审准解：求出kPA和kPB，数形结合观察满足直线l过点P(1，1)且与线段AB有公共点时斜率的变化情况即可求出结果.
解析：根据题意，作出图形如图，直线PA的斜率为kPA==-2，直线PB的斜率为kPB==，所以由图可知
过点P(1，1)且与线段AB有公共点时，直线
l的斜率取值范围是(-∞，-2]∪.
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谨记结论：当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在).
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9.已知直线l的斜率k∈[-，-1]，则直线l的倾斜角β的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
解析：因为直线l的斜率k∈[-，-1]，所以-≤tan β≤-1.又0≤β<π，则β∈，故直线l的倾斜角β的取值范围是.
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10.已知A(2，3)，B(-1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　)
A.1 B. C.- D.-3
解析：设Q(3，0)，则kAQ==-3，kBQ==-.∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是，故的最大值为-，故选C.
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二、多选题
11.在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a的图象可能是(　　)
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解析：对于A，由l1的图象可知a>0，b<0，l1经过一、三、四象限，则l2需经过二、三、四象限，故A正确；对于B，由l1的图象可知a>0，b>0，l1经过一、二、三象限，则l2需经过一、三、四象限，故B错误；对于C，由l1的图象可知a<0，b>0，l1经过一、二、四象限，则l2需经过一、二、三象限，故C正确；对于D，由l1的图象可知a<0，b<0，l1经过二、三、四象限，则l2需经过一、二、四象限，故D错误.
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12.已知A(1，2)，B(-3，4)，C(-2，0)，则下列说法正确的是 (　　)
A.直线x-y=0与线段AB有公共点
B.直线AB的倾斜角大于135°
C.△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y=2
D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0
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√
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√
√
解析：因为kOA=2>1，kOB<0，所以直线x-y=0与线段AB无公共点，故A错误；因为kAB==->-1，所以直线AB的倾斜角大于135°，故B正确；因为线段BC的中点为，所以BC边上的中线所在直线的方程为y=2，故C正确；因为kBC==-4，
所以BC上的高所在直线的方程为y-2=(x-1)，
即x-4y+7=0，故D正确.
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三、填空题
13.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限，则k的取值范围为_________.
解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则解得k≥.
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14.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O：x2+y2=1，过P(-2，-2)作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线AB方程”，部分解答如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·=0，化简可得++
2x1+2y1=0，又因为+=1，所以2x1+2y1+1=0，同理可得2x2+2y2+1=0，
…，则直线AB的方程为____________.
解析：由于2x1+2y1+1=0，2x2+2y2+1=0，故A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足方程2x+2y+1=0，由两点确定唯一的直线，故直线AB的方程为2x+2y+1=0.
13
2x+2y+1=0
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15.已知直线x+ky-2-k=0恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A在直线mx-y+n=0(m>0，n>0)上，则+的最小值为________.
解析：将直线方程变形得x-2+k(y-1)=0，由解得定点A的坐标为(2，1).由于点A在直线mx-y+n=0上，则有2m-1+n=0，所以2m+n=1.
13
(2，1)
3+2
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所以+=(2m+n)
=3++≥3+2=3+2，
当且仅当=，
即n=m时等号成立.
13课时跟踪检测(五十六)　直线的方程
一、单选题
1.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2.(2025·武汉模拟)若直线l的一个方向向量为(-1,),则直线的倾斜角为 (　　)
A. B.
C. D.
3.已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为 (　　)
A.y=x+2 B.y=x-2
C.y=x+ D.y=-x+2
4.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c不过 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知直线l过A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是 (　　)
A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0
C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0
6.已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是 (　　)
A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
7.设直线l的方程为x-ysin θ+2=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　)
A.[0,π] B.
C. D.∪
8.已知点A(0,3),B(3,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 (　　)
A.[-2,0)∪ B.∪[2,+∞)
C. D.(-∞,-2]∪
9.已知直线l的斜率k∈[-,-1],则直线l的倾斜角β的取值范围是 (　　)
A. B.∪
C. D.
10.已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最大值为 (　　)
A.1 B. C.- D.-3
二、多选题
11.在同一平面直角坐标系中,表示直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的图象可能是 (　　)
12.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),则下列说法正确的是 (　　)
A.直线x-y=0与线段AB有公共点
B.直线AB的倾斜角大于135°
C.△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y=2
D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0
三、填空题
13.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则k的取值范围为　　　　.
14.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O:x2+y2=1,过P(-2,-2)作圆O的两条切线,切点记为A,B,求直线AB方程”,部分解答如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),由·=0,化简可得++2x1+2y1=0,又因为+=1,所以2x1+2y1+1=0,同理可得2x2+2y2+1=0,…,则直线AB的方程为　　　　　　　　.
15.已知直线x+ky-2-k=0恒过定点A,则点A的坐标为　　　　;若点A在直线mx-y+n=0(m>0,n>0)上,则+的最小值为　　　　.
课时跟踪检测(五十六)
1.选A　由题意知k=<0,所以(a-1)(a+2)<0,即-22.选C　因为直线l的一个方向向量为(-1,),则直线l的斜率为-,所以直线l的倾斜角为.
3.选A　∵直线x-2y-4=0的斜率为,∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y=x+2.
易错提醒:“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
4.选B　直线方程可化为y=-x+,其斜率->0,直线在y轴的截距<0,据此可知直线不经过第二象限.
5.选C　由题意可知,所求直线的倾斜角为45°或135°,即直线的斜率为1或-1,故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2),即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C.
6.选D　设直线l的倾斜角为α,则tan α=k1=2,直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,所得直线的斜率k2=tan(α+45°)==-3,又点M(2,0),所以直线方程为y=-3(x-2),即3x+y-6=0.
7.选C　由题意知,当sin θ=0时,直线l的斜率不存在,其倾斜角α=;当sin θ≠0时,直线l的斜率k=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以倾斜角α∈∪.综上,α∈.
易错提醒:此处易搞不清倾斜角与斜率的关系而失分.若直线的倾斜角为,则斜率不存在,若斜率存在,则倾斜角应除去.
8.快审准解:求出kPA和kPB,数形结合观察满足直线l过点P(1,1)且与线段AB有公共点时斜率的变化情况即可求出结果.
选D　根据题意,作出图形如图,直线PA的斜率为kPA==-2,直线PB的斜率为kPB==,所以由图可知过点P(1,1)且与线段AB有公共点时,直线l的斜率取值范围是(-∞,-2]∪.
谨记结论:当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时,斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时,斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在).
9.选D　因为直线l的斜率k∈[-,-1],所以-≤tan β≤-1.又0≤β<π,则β∈,故直线l的倾斜角β的取值范围是.
10.选C　设Q(3,0),则kAQ==-3,kBQ==-.∵点P(x,y)是线段AB上的任意一点,∴的取值范围是,故的最大值为-,故选C.
11.选AC　对于A,由l1的图象可知a>0,b<0,l1经过一、三、四象限,则l2需经过二、三、四象限,故A正确;对于B,由l1的图象可知a>0,b>0,l1经过一、二、三象限,则l2需经过一、三、四象限,故B错误;对于C,由l1的图象可知a<0,b>0,l1经过一、二、四象限,则l2需经过一、二、三象限,故C正确;对于D,由l1的图象可知a<0,b<0,l1经过二、三、四象限,则l2需经过一、二、四象限,故D错误.
12.选BCD　因为kOA=2>1,kOB<0,所以直线x-y=0与线段AB无公共点,故A错误;
因为kAB==->-1,所以直线AB的倾斜角大于135°,故B正确;因为线段BC的中点为,所以BC边上的中线所在直线的方程为y=2,故C正确;因为kBC==-4,所以BC上的高所在直线的方程为y-2=(x-1),即x-4y+7=0,故D正确.
13.解析:由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则解得k≥.
答案:
14.解析:由于2x1+2y1+1=0,2x2+2y2+1=0,故A(x1,y1),B(x2,y2)均满足方程2x+2y+1=0,由两点确定唯一的直线,故直线AB的方程为2x+2y+1=0.
答案:2x+2y+1=0
15.解析:将直线方程变形得x-2+k(y-1)=0,由解得定点A的坐标为(2,1).由于点A在直线mx-y+n=0上,则有2m-1+n=0,所以2m+n=1.所以+=(2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即n=m时等号成立.
答案:(2,1)　3+2

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