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第二节　 两条直线的位置关系
1.能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.
教材再回首
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 y=k1x+b1, y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(+≠0),A2x+B2y+C2=0(+≠0)
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
垂直 k1k2=　　 　　　　　　　
平行 k1=k2且　　 或
重合 k1=k2且　　 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的　　　坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组 的解 一组 无数组 　　
直线l1与l2的 公共点的个数 一个 　　　 零个
直线l1与l2的 位置关系 　　 重合 　　
3.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=　　　　　　　　.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=　　　　.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|·n|=　　　　　　(其中n是与直线l方向向量垂直的单位向量,P1为直线l上任意一点).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=　　　　.
解题结论拓展
6种常见的对称
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y);
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y);
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x);
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y);
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y);
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2 l1∥l2. (　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1. (　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交. (　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. (　　)
2.(人A选必修①P67T3改编)已知两点A(7,-4),B(-5,6),则线段AB的垂直平分线的方程为 (　　)
A.6x-5y+1=0 B.6x-5y-1=0
C.5x-6y-1=0 D.6x-5y+5=0
3.(人A选必修①P72T3改编)直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y-1=0,x-4y-6=0的交点,则直线l的方程为 (　　)
A.2x+y=0 B.x+2y=0
C.2x-y=0 D.x-2y=0
4.(人A选必修①P77T3改编)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 (　　)
A. B.
C. D.
题点一　两条直线的位置关系
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　两条直线的平行与垂直
[例1]　(2025·邯郸期末)[多选]已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则 (　　)
A.l1恒过点(2,-2) B.若l1∥l2,则a2=
C.若l1⊥l2,则a2=1 D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限
|思维建模|
两直线平行与垂直的解题策略
(1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2),l1∥l2 k1=k2,l1⊥l2 k1·k2=-1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况.
(2)若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0;l1∥l2 A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1.
考法(二) 　两条直线的交点问题
[例2]
(1)(人A选必修①P79T2改编)经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是 (　　)
A.2x-3y+5=0 B.2x+3y-1=0
C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+1=0
(2)(2025·吕梁模拟)过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交点,且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是　　　　　.
|思维建模|
求过两条直线交点的直线方程的方法
(1)直接法:先求出两条直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(2)共点直线系法:分离参数,假设直线方程中含有的参数为λ,则将直线方程化为f(x,y)+λg(x,y)=0的形式,解方程组即可得定点坐标,从而得到所求的直线方程.
[即时训练]
1.已知直线l1:ax+(a-1)y+3=0,l2:2x+ay-1=0,若l1⊥l2,则实数a的值是 (　　)
A.0或-1 B.-1或1
C.-1 D.1
2.已知直线l1:(m-2)x-3y-1=0与直线l2:mx+(m+2)y+1=0相互平行,则实数m的值是 (　　)
A.-4 B.1
C.-1 D.6
3.使三条直线x+y=2,mx+y=0,x-y=4不能围成三角形的实数m的值为　　　　　　　　.
题点二　距离问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]
(1)(人A选必修①P77例6改编)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
(2)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
|思维建模|　距离问题的求解策略
(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式.
(2)两平行线间的距离的求法:
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
②利用两平行线间的距离公式求解.
(3)遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时,注意利用距离公式的几何意义求解.
[即时训练]
4.已知直线l1:2x-y-4=0,l2:x+y-5=0相交于点P,则P到直线l:x+2y+3=0的距离为 (　　)
A.2 B.
C. D.
5.若点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,则(m-1)2+n2的最小值为 (　　)
A.3 B.4
C.2 D.6
题点三　对称问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　中心对称问题
[例4]　直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为 (　　)
A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0
C.x-y=0 D.2x-3y-2=0
考法(二)　轴对称问题
[例5]　设直线l1:x-2y-2=0与l2关于直线l:2x-y-4=0对称,则直线l2的方程是 (　　)
A.11x+2y-22=0 B.11x+2y+22=0
C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0
|思维建模|　对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的一般思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系再求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解决,两点对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解.
[即时训练]
6.已知直线l1:y=kx-2k+1与直线l2关于点(1,0)对称,则l2恒过的定点为 (　　)
A.(2,1) B.(2,-1)
C.(0,-1) D.(-1,-1)
7.直线x-2y-1=0关于直线y-x=0对称的直线方程是 (　　)
A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0
C.2x+y+1=0 D.x+2y+1=0
第二节　两条直线的位置关系
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.-1　A1A2+B1B2=0　b1≠b2　b1=b2
2.(1)交点　(2)无解　无数个　相交　平行
3.(1)　　(2)
(3)
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.选B　易知AB的中点坐标为(1,1),kAB==-,即AB的垂直平分线的斜率为.故所求直线方程为y-1=(x-1),即6x-5y-1=0.
3.选B　联立方程解得则所求直线的斜率k=-,直线l的方程为y=-x,即x+2y=0.
4.选D　由点到直线的距离公式知d==.故选D.
(易错提醒:在运用点到直线的距离公式时,没有理解直线Ax+By+C=0中B的取值,B应取-1,而不是取1)
课堂·题点精研
题点一
[例1]　选BD　l1:(a+1)x+ay+2=0 a(x+y)+x+2=0,由得x=-2,y=2,则直线l1恒过点(-2,2),故A不正确.若l1∥l2,则有(a+1)·(1-a)=a2,2(1-a)≠-a,解得a2=,故B正确.若l1⊥l2,则有a(a+1)+a(1-a)=0,解得a=0,故C不正确.若直线l2不经过第三象限,则当1-a≠0时,≥0,-≤0,解得0≤a<1;当1-a=0,即a=1时,直线l2:x=1,不经过第三象限,综上可知,当0≤a≤1时,l2不经过第三象限,故D正确.故选BD.
[例2]　(1)D　(2)2x-y+5=0
(1)法一　由解得所以直线l1与l2的交点为(-1,1),设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0(m≠7),所以3×(-1)+2×1+m=0,解得m=1,所以所求直线方程为3x+2y+1=0.
法二　设所求直线方程为2x-y+3+λ(x+2y-1)=0,即(λ+2)x+(2λ-1)y+3-λ=0.又该直线与3x+2y+7=0平行,故(λ+2)·2-3·(2λ-1)=0,解得λ=,故所求直线方程为x+y+3-=0,即3x+2y+1=0.
(2)法一　联立方程解得所以交点坐标为(-2,1).直线x+2y-3=0的斜率为-,所以所求直线方程的斜率为-=2,由点斜式方程得,所求直线方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.
法二　设所求直线方程为x+y+1+λ(x-2y+4)=0,即(1+λ)x+(1-2λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线x+2y-3=0垂直,所以所求直线方程的斜率为2,易知λ≠,则=2,得λ=1,则所求直线方程为2x-y+5=0.
[即时训练]
1.选A　由题意可知l1⊥l2,故2a+a(a-1)=0,解得a=0或a=-1,经验证,符合题意.
2.选A　∵l1∥l2,∴(m-2)(m+2)=-3m,解得m=-4或m=1,当m=1时,直线l1与直线l2重合,舍去,经检验m=-4符合题意.故选A.
(易错提醒:由两直线平行求参数时,不要忽略两直线重合的情况)
3.解析:当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时,这三条直线不能围成三角形.若三条直线交于一点,由得直线x+y=2与x-y=4的交点坐标为(3,-1),把(3,-1)代入到直线mx+y=0,得m=; 若有两条直线平行或重合时,有两条直线的斜率相等,这三条直线的斜率分别为-1,-m,1,所以m=1或m=-1.综上,m的值为或1或-1.
答案:或1或-1
题点二
[例3]　(1)A　(2)C
(1)设边AB上的高为h,则S△ABC=|AB|h,而|AB|==2,边AB上的高h就是点C到直线AB的距离,边AB所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离h==,因此,S△ABC=×2×=5.
(2)因为=≠,所以两直线平行.将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.
[即时训练]
4.选A　由题意,联立得故P(3,2),则点P到直线l:x+2y+3=0的距离d==2.
5.选B　由(m-1)2+n2的几何意义为点(m,n)到点(1,0)距离的平方,得其最小值为点(1,0)到直线l:3x+4y-13=0的距离的平方,即d2==4.
题点三
[例4]　选B　法一　设所求直线上任一点为(x,y),则其关于点对称的点为,因为点在直线3x-2y=0上,所以3-2(-y)=0,化简得3x-2y-2=0,所以所求直线方程为3x-2y-2=0.
法二　在直线3x-2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点的对称点分别为O',M',则O',M',所以所求直线方程为=,即3x-2y-2=0.
[例5]　选A　联立得取直线l1:x-2y-2=0上一点(0,-1),设点(0,-1)关于直线l:2x-y-4=0的对称点为(a,b),则解得a=,b=-,直线l2的斜率k=-,所以直线l2的方程为y=-(x-2),整理为11x+2y-22=0.故选A.
[即时训练]
6.选C　直线l1的方程可化为k(x-2)+1-y=0,由得所以直线l1过定点(2,1),点(2,1)关于点(1,0)的对称点为(0,-1),因此,直线l2恒过的定点为(0,-1).
7.选A　在直线x-2y-1=0上任取一点P(a,b),设点P关于直线y-x=0的对称点为Q(x,y),则解得即P(y,x).因为点P(y,x)在直线x-2y-1=0上,所以y-2x-1=0,即2x-y+1=0,所以所求直线方程为2x-y+1=0.(共67张PPT)
第二节
两条直线的位置关系
明确目标
1.能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 y=k1x+b1，y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(+≠0)，A2x+B2y+C2=0(+≠0)
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
垂直 k1k2=____ ________________
-1
A1A2+B1B2=0
续表
平行 k1=k2且_______ 或
重合 k1=k2且_______ A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
b1≠b2
b1=b2
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0，也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的_______坐标.
交点
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解 一组 无数组 _______
直线l1与l2的公共点的个数 一个 ______ 零个
直线l1与l2的位置关系 _____ 重合 _____
无解
无数个
相交
平行
3.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|=__________________________.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|=__________.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=|·n|=_____________(其中n是与直线l方向向量垂直的单位向量，P1为直线l上任意一点).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0
(C1≠C2)间的距离d=__________.
解题结论拓展
6种常见的对称
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(-x，-y)；
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y)；
(3)点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x)；
(4)点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b-y)；
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y)；
(6)点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k).
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1=k2 l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)
×
×
√
√
2.(人A选必修①P67T3改编)已知两点A(7，-4)，B(-5，6)，则线段AB的垂直平分线的方程为 (　　)
A.6x-5y+1=0 B.6x-5y-1=0
C.5x-6y-1=0 D.6x-5y+5=0
解析：易知AB的中点坐标为(1，1)，kAB==-，即AB的垂直平分线的斜率为.故所求直线方程为y-1=(x-1)，即6x-5y-1=0.
√
3.(人A选必修①P72T3改编)直线l经过原点，且经过另两条直线2x+3y-1=0，x-4y-6=0的交点，则直线l的方程为 (　　)
A.2x+y=0 B.x+2y=0
C.2x-y=0 D.x-2y=0
解析：联立方程解得则所求直线的斜率k=-，直线l的方程为y=-x，即x+2y=0.
√
4.(人A选必修①P77T3改编)点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：由点到直线的距离公式知d==.故选D.
(易错提醒：在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中B的取值，B应取-1，而不是取1)
√
课堂·题点精研
02
考法(一)　两条直线的平行与垂直
[例1]　(2025·邯郸期末)[多选]已知直线l1：(a+1)x+ay+2=0，l2：ax+(1-a)y-1=0，则(　　)
A.l1恒过点(2，-2)
B.若l1∥l2，则a2=
C.若l1⊥l2，则a2=1
D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
√
题点一　两条直线的位置关系
√
解析：l1：(a+1)x+ay+2=0 a(x+y)+x+2=0，由得x=-2，y=2，则直线l1恒过点(-2，2)，故A不正确.若l1∥l2，则有(a+1)·(1-a)=a2，2(1-a)≠-a，解得a2=，故B正确.若l1⊥l2，则有a(a+1)+a(1-a)=0，解得a=0，故C不正确.若直线l2不经过第三象限，则当1-a≠0时，≥0，
-≤0，解得0≤a<1；当1-a=0，即a=1时，直线l2：x=1，不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确.故选BD.
两直线平行与垂直的解题策略
(1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2)，l1∥l2 k1=k2，l1⊥l2 k1·k2=-1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况.
(2)若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0；l1∥l2 A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1.
思维建模
考法(二) 　两条直线的交点问题
[例2]
(1)(人A选必修①P79T2改编)经过两直线l1：2x-y+3=0与l2：x+2y-1=0的交点，且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是(　　)
A.2x-3y+5=0 B.2x+3y-1=0
C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+1=0
√
解析：法一　由解得所以直线l1与l2的交点为(-1，1)，设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0(m≠7)，所以3×(-1)+2×1+m=0，解得m=1，所以所求直线方程为3x+2y+1=0.
法二　设所求直线方程为2x-y+3+λ(x+2y-1)=0，即(λ+2)x+(2λ-1)y+3-λ=0.又该直线与3x+2y+7=0平行，故(λ+2)·2-3·(2λ-1)=0，解得λ=，故所求直线方程为x+y+3-=0，即3x+2y+1=0.
(2)(2025·吕梁模拟)过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交点，且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是________________.
解析：法一　联立方程解得所以交点坐标为(-2，1).直线x+2y-3=0的斜率为-，所以所求直线方程的斜率为-=2，由点斜式方程得，所求直线方程为y-1=2(x+2)，即2x-y+5=0.
2x-y+5=0
法二　设所求直线方程为x+y+1+λ(x-2y+4)=0，即(1+λ)x+(1-2λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线x+2y-3=0垂直，所以所求直线方程的斜率为2，易知λ≠，则=2，得λ=1，则所求直线方程为2x-y+5=0.
求过两条直线交点的直线方程的方法
(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)共点直线系法：分离参数，假设直线方程中含有的参数为λ，则将直线方程化为f(x，y)+λg(x，y)=0的形式，解方程组即可得定点坐标，从而得到所求的直线方程.
思维建模
1.已知直线l1：ax+(a-1)y+3=0，l2：2x+ay-1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是 (　　)
A.0或-1 B.-1或1
C.-1 D.1
解析：由题意可知l1⊥l2，故2a+a(a-1)=0，解得a=0或a=-1，经验证，符合题意.
即时训练
√
2.已知直线l1：(m-2)x-3y-1=0与直线l2：mx+(m+2)y+1=0相互平行，则实数m的值是 (　　)
A.-4 B.1
C.-1 D.6
解析：∵l1∥l2，∴(m-2)(m+2)=-3m，解得m=-4或m=1，当m=1时，直线l1与直线l2重合，舍去，经检验m=-4符合题意.
(易错提醒：由两直线平行求参数时，不要忽略两直线重合的情况)
故选A.
√
3.使三条直线x+y=2，mx+y=0，x-y=4不能围成三角形的实数m的值为___________.
解析：当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形.若三条直线交于一点，由得直线x+y=2与x-y=4的交点坐标为(3，-1)，把(3，-1)代入到直线mx+y=0，得m=； 若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为-1，-m，1，所以m=1或m=-1.综上，m的值为或1或-1.
或1或-1
[例3]
(1)(人A选必修①P77例6改编)已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，则△ABC的面积为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
√
题点二　距离问题
解析：设边AB上的高为h，则S△ABC=|AB|h，而|AB|==2，边AB上的高h就是点C到直线AB的距离，边AB所在的直线方程为=，即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离h==，因此，S△ABC=×2×=5.
(2)若P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析：因为=≠，所以两直线平行.将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即=，所以|PQ|的最小值为.
距离问题的求解策略
(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式.
(2)两平行线间的距离的求法：
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
②利用两平行线间的距离公式求解.
(3)遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解.
思维建模
4.已知直线l1：2x-y-4=0，l2：x+y-5=0相交于点P，则P到直线l：x+2y+3=0的距离为 (　　)
A.2 B.
C. D.
即时训练
√
解析：由题意，联立得故P(3，2)，则点P到直线l：x+2y+3=0的距离d==2.
5.若点(m，n)在直线l：3x+4y-13=0上，则(m-1)2+n2的最小值为 (　　)
A.3 B.4
C.2 D.6
解析：由(m-1)2+n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，得其最小值为点(1，0)到直线l：3x+4y-13=0的距离的平方，即d2==4.
√
考法(一)　中心对称问题
[例4]　直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为(　　)
A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0
C.x-y=0 D.2x-3y-2=0
√
题点三　对称问题
解析：法一　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为，因为点在直线3x-2y=0上，所以3-2(-y)=0，化简得3x-2y-2=0，所以所求直线方程为3x-2y-2=0.
法二　在直线3x-2y=0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'，则O'，M'，所以所求直线方程为=，即3x-2y-2=0.
考法(二)　轴对称问题
[例5]　设直线l1：x-2y-2=0与l2关于直线l：2x-y-4=0对称，则直线l2的方程是(　　)
A.11x+2y-22=0 B.11x+2y+22=0
C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0
√
解析：联立得取直线l1：x-2y-2=0上一点(0，-1)，设点(0，-1)关于直线l：2x-y-4=0的对称点为(a，b)，则解得a=，b=-，直线l2的斜率k=-，所以直线l2的方程为y=-(x-2)，整理为11x+2y-22=0.故选A.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的一般思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系再求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解决，两点对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解.
思维建模
6.已知直线l1：y=kx-2k+1与直线l2关于点(1，0)对称，则l2恒过的定点为 (　　)
A.(2，1) B.(2，-1)
C.(0，-1) D.(-1，-1)
即时训练
√
解析：直线l1的方程可化为k(x-2)+1-y=0，由得所以直线l1过定点(2，1)，点(2，1)关于点(1，0)的对称点为(0，-1)，因此，直线l2恒过的定点为(0，-1).
7.直线x-2y-1=0关于直线y-x=0对称的直线方程是 (　　)
A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0
C.2x+y+1=0 D.x+2y+1=0
√
解析：在直线x-2y-1=0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y-x=0的对称点为Q(x，y)，则解得即P(y，x).因为点P(y，x)在直线x-2y-1=0上，所以y-2x-1=0，即2x-y+1=0，所以所求直线方程为2x-y+1=0.
数智赋能：电子版随堂训练(对称问题的应用)，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.两条直线l1：x=2和l2：3x+2y-12=0的交点坐标为(　　)
A.(2，3) B.(-2，3)
C.(3，-2) D.(-3，2)
解析：联立得所以两条直线的交点坐标为(2，3).
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3
4
2.若直线a，b的斜率分别为方程x2-4x-1=0的两个根，则a与b的位置关系为 (　　)
A.互相平行 B.重合
C.互相垂直 D.无法确定
解析：由根与系数的关系得ka·kb=-1，则a与b互相垂直.
√
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3.(2025·天水模拟)直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay-1=0平行，则实数a= (　　)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.0
解析：因为直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay-1=0平行，所以a2-1=0且-a-1≠0，解得a=1.故选A.
√
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4.已知点A(1，2)与B(3，3)关于直线ax+y+b=0对称，则a，b的值分别为 (　　)
A.2，- B.-2，-
C.-2， D.2，
解析：易知kAB=，则直线ax+y+b=0的斜率为-2，所以-a=-2，即a=2.易知AB的中点坐标为，代入2x+y+b=0，得b=-.故选A.
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5.(2025·石家庄质检)若直线l1：x-2y+1=0与直线l2：x+ay-1=0平行，则l1与l2间的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：易知直线l1的斜率为，则直线l2的斜率为-=，即a=-2，故直线l2：x-2y-1=0，所以l1和l2间的距离为=.
√
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6.若四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为 (　　)
A.矩形 B.菱形
C.等腰梯形 D.直角梯形
解析：∵kBC==，kAD==，kAB==-，kCD==-，∴kBC=kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形.又∵kAD·kAB=-1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形.
√
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7.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程为 (　　)
A.3 B.6
C.2 D.2
√
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解析：直线AB的方程为x+y=4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(-2，0)，则光线经过的路程为|CD|==2.故选C.
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8.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为 (　　)
A.-2 B.-1
C.-1或3 D.3
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解析：由△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，C(3，3)，知△ABC的重心为，即(1，1)，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边的中点，即，所以△ABC的欧拉线方程为=，即x+2y-3=0.因为ax+(a2-3)y-9=0与x+2y-3=0平行，所以=≠，解得a=-1.故选B.
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9.(2025·南通调研)若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为 (　　)
A. B.
C.2 D.2
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解析：联立解得x=1，y=2.把(1，2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0，所以m=-5-2n.所以点(m，n)到原点的距离d===≥，当且仅当n=-2，m=-1时取等号.所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.
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10.当点P(-1，0)到直线l：(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的距离最大时，实数λ的值为 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
快审准解：先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
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解析：由直线l：(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0，整理得λ(3x+y-4)+(x+
y-2)=0.由可得故直线l恒过点A(1，1)，所以PA与直线l垂直时，距离最大.又kPA==，直线l的斜率k=-，故-·=-1，解得λ=1.故选B.
13
二、多选题
11.已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
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√
解析：由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求.对于A，点M(5，0)到直线y=x+1的距离为=3>4，故不符合；对于B，点M(5，0)到直线y=2的距离为2-0=2<4，故符合；对于C，点M(5，0)到直线y=x的距离为=4，故符合；对于D，点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为=>4，故不符合.
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12.已知直线l1：(a-1)x+ay-1=0，直线l2：ax+(a-1)y+3=0，则下列命题是真命题的是 (　　)
A.若l1∥l2，则a=
B.若l1⊥l2，则a=0或a=1
C.若v=(1，2)是直线l1的一个方向向量，则a=2
D.若l2与坐标轴围成一个面积为的三角形，则a=-2或a=3
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√
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解析：由直线l1：(a-1)x+ay-1=0可得一个方向向量为(a，1-a)，直线l2：ax+(a-1)y+3=0的一个方向向量为(a-1，-a).若l1∥l2，则(a-1)2=a2，解得a=，故A正确.若l1⊥l2，则a(a-1)+a(a-1)=0，解得a=0或a=1，故B正确.若v=(1，2)是l1的一个方向向量，则=2，解得a=，故C错误.对于l2，令x=0，得(a-1)y+3=0，令y=0，得ax+3=0，因为l2与两坐标轴围成一个面积为的三角形，所以··=，解得a=-2或a=3，故D正确.
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三、填空题
13.已知点P(0，2)，直线l：x+2y-1=0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程为__________________.
解析：直线l：x+2y-1=0的斜率为-，故只需所求直线方程斜率不是-即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y=x+2.
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y=x+2(答案不唯一)
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14.已知点P1(2，3)，P2(-4，5)和A(-1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为_________________.
解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k==-，得所求直线的方程为y-2=-(x+1)，即x+3y-5=0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(-1，4)，所以直线方程为x=-1.综上，所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.
13
x+3y-5=0或x=-1
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2
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15.设△ABC的一个顶点是A(-3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程为___________.
解析：∵∠B，∠C的角平分线方程分别为x=0，y=x，∴直线AB与直线BC关于x=0对称，直线AC与直线BC关于y=x对称.A(-3，1)关于x=0的对称点A'(3，1)在直线BC上，A(-3，1)关于y=x的对称点A″(1，-3)也在直线BC上.由两点式，所求直线BC的方程为2x-y-5=0.
13
2x-y-5=0课时跟踪检测(五十七)　两条直线的位置关系
一、单选题
1.两条直线l1:x=2和l2:3x+2y-12=0的交点坐标为 (　　)
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(3,-2) D.(-3,2)
2.若直线a,b的斜率分别为方程x2-4x-1=0的两个根,则a与b的位置关系为 (　　)
A.互相平行 B.重合
C.互相垂直 D.无法确定
3.(2025·天水模拟)直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay-1=0平行,则实数a= (　　)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.0
4.已知点A(1,2)与B(3,3)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为 (　　)
A.2,- B.-2,-
C.-2, D.2,
5.(2025·石家庄质检)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x+ay-1=0平行,则l1与l2间的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
6.若四边形ABCD的四个顶点是A(3,0),B(0,4),C(4,7),D(11,6),则四边形ABCD为 (　　)
A.矩形 B.菱形
C.等腰梯形 D.直角梯形
7.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程为 (　　)
A.3 B.6
C.2 D.2
8.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为 (　　)
A.-2 B.-1
C.-1或3 D.3
9.(2025·南通调研)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为 (　　)
A. B.
C.2 D.2
10.当点P(-1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ的值为 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
二、多选题
11.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是 (　　)
A.y=x+1 B.y=2
C.y=x D.y=2x+1
12.已知直线l1:(a-1)x+ay-1=0,直线l2:ax+(a-1)y+3=0,则下列命题是真命题的是 (　　)
A.若l1∥l2,则a=
B.若l1⊥l2,则a=0或a=1
C.若v=(1,2)是直线l1的一个方向向量,则a=2
D.若l2与坐标轴围成一个面积为的三角形,则a=-2或a=3
三、填空题
13.已知点P(0,2),直线l:x+2y-1=0,则过点P且与直线l相交的一条直线的方程为　　　　　　.
14.已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),则过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程为　　　　　　　.
15.设△ABC的一个顶点是A(-3,1),∠B,∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为　　　　　　.
课时跟踪检测(五十七)
1.选A　联立得所以两条直线的交点坐标为(2,3).
2.选C　由根与系数的关系得ka·kb=-1,则a与b互相垂直.
3.选A　因为直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay-1=0平行,所以a2-1=0且-a-1≠0,解得a=1.故选A.
4.选A　易知kAB=,则直线ax+y+b=0的斜率为-2,所以-a=-2,即a=2.易知AB的中点坐标为,代入2x+y+b=0,得b=-.故选A.
5.选B　易知直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为-=,即a=-2,故直线l2:x-2y-1=0,所以l1和l2间的距离为=.
6.选D　∵kBC==,kAD==,kAB==-,kCD==-,∴kBC=kAD,kAB≠kCD,∴BC∥AD,AB与CD不平行,∴四边形ABCD为梯形.又∵kAD·kAB=-1,∴AD⊥AB,∴四边形ABCD为直角梯形.
7.选C　直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),
关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.故选C.
8.选B　由△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),知△ABC的重心为,即(1,1),又三角形为直角三角形,所以外心为斜边的中点,即,所以△ABC的欧拉线方程为=,即x+2y-3=0.因为ax+(a2-3)y-9=0与x+2y-3=0平行,所以=≠,解得a=-1.故选B.
9.选A　联立解得x=1,y=2.把(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0,所以m=-5-2n.所以点(m,n)到原点的距离d===≥,当且仅当n=-2,m=-1时取等号.所以点(m,n)到原点的距离的最小值为.
10.快审准解:先求得直线过的定点,再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
选B　由直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0,整理得λ(3x+y-4)+(x+y-2)=0.由可得故直线l恒过点A(1,1),所以PA与直线l垂直时,距离最大.又kPA==,直线l的斜率k=-,故-·=-1,解得λ=1.故选B.
11.选BC　由题意知,当点M到直线的距离不超过4时,符合要求.对于A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离为=3>4,故不符合;对于B,点M(5,0)到直线y=2的距离为2-0=2<4,故符合;对于C,点M(5,0)到直线y=x的距离为=4,故符合;对于D,点M(5,0)到直线y=2x+1的距离为=>4,故不符合.
12.选ABD　由直线l1:(a-1)x+ay-1=0可得一个方向向量为(a,1-a),直线l2:ax+(a-1)y+3=0的一个方向向量为(a-1,-a).若l1∥l2,则(a-1)2=a2,解得a=,故A正确.若l1⊥l2,则a(a-1)+a(a-1)=0,解得a=0或a=1,故B正确.若v=(1,2)是l1的一个方向向量,则=2,解得a=,故C错误.对于l2,令x=0,得(a-1)y+3=0,令y=0,得ax+3=0,因为l2与两坐标轴围成一个面积为的三角形,所以··=,解得a=-2或a=3,故D正确.
13.解析:直线l:x+2y-1=0的斜率为-,故只需所求直线方程斜率不是-即可,可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y=x+2.
答案:y=x+2(答案不唯一)
14.解析:当直线与点P1,P2的连线所在的直线平行时,由直线P1P2的斜率k==-,得所求直线的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线过线段P1P2的中点时,因为线段P1P2的中点坐标为(-1,4),所以直线方程为x=-1.综上,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.
答案:x+3y-5=0或x=-1
15.解析:∵∠B,∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,∴直线AB与直线BC关于x=0对称,直线AC与直线BC关于y=x对称.A(-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC上,A(-3,1)关于y=x的对称点A″(1,-3)也在直线BC上.由两点式,所求直线BC的方程为2x-y-5=0.
答案:2x-y-5=0

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