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第三节　　　圆的方程
1.理解确定圆的几何要素,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
　 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题.
教材再回首
1.圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系:
(1)|MC|>r M在　　　,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2 M在圆外;
(2)|MC|=r M在　　　,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2 M在圆上;
(3)|MC|3.常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在 原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0
圆心 在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0
圆心 在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0
与x轴 相切 (x-a)2+(y-b)2 =b2 x2+y2+Dx+Ey+D2=0
与y轴 相切 (x-a)2+(y-b)2 =a2 x2+y2+Dx+Ey+E2=0
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圆. (　　)
(2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则圆心为(a,b),半径为m. (　　)
(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0). (　　)
(4)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. (　　)
2.(人A选必修①P85T1改编)圆心坐标为(2,-3)且过原点的圆的方程是 (　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=
B.(x+2)2+(y+3)2=
C.(x+2)2+(y-3)2=13
D.(x-2)2+(y+3)2=13
3.(人A选必修①P102T7改编)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(-2,0) 　　　B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.[-2,0] 　　　D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
4.(人A选必修①P85T2改编)若点(1,2)在圆(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.(-∞,0)∪
C. D.
5.(北师大选必修①P44T2)已知圆C:2x2+2y2+4x-2y-1=0,则圆心的坐标为　　　　,半径为　　　　.
题点一　圆的方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2024·北京高考)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 (　　)
A. B.2
C.3 D.3
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　.
|思维建模|
1.求圆的方程的常用方法
(1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值;
②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
2.确定圆心的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;
(3)圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上;
(4)两圆相切时,切点与两圆圆心共线,确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形),并解此直角三角形.
[即时训练]
1.(2025·海南模拟)下列方程中表示圆心在直线y=x上,半径为,且过原点的圆的是 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2= B.(x-1)2+(y+1)2=
C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
2.(2025·邯郸模拟)已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以P(2,-1)为圆心作一个圆,使得A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,则这个圆的标准方程为　　　　　　.
题点二　与圆有关的轨迹问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)过圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0
C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0
(2)已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),则直角顶点C的轨迹方程为　　　　　　　　.
|思维建模|
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.
(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解.
[即时训练]
3.已知等腰△ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是 (　　)
A.(x-4)2+(y-2)2=10
B.(x+4)2+(y-2)2=10
C.(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5)
D.(x+4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5)
4.(2025·烟台一模)若长为10的线段的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点M的轨迹为　　　　　　　　.
题点三　与圆有关的最值、范围问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法(一)　借助几何性质求最值
[例3]　(2025·泉州模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(1)的最大值和最小值;
(2)y-x的最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
|思维建模|
与圆有关的最值问题的3种几何转化法
(1)形如m=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.
拓展与建模:圆的参数方程
　　圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数.
[示例]　利用圆的参数方程解决[例3](2)(3).
解题观摩:x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,令
(2)∵y-x=sin θ-(2+cos θ)=sin-2,∴(y-x)min=--2.
(3)x2+y2=(2+cos θ)2+(sin θ)2=7+4cos θ,
∵cos θ∈[-1,1],
∴(x2+y2)max=7+4,(x2+y2)min=7-4.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法(二)　利用对称性求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例4]　折纸既是一种玩具,也是一种艺术品,更是一种思维活动.如图,有一张直径为4的圆形纸片,圆心为O,在圆内任取一点P,折叠纸片,使得圆周上某一点刚好与点P重合,记此时的折痕为l,点Q在l上,则|OQ|+|PQ|的最小值为 (　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
|思维建模|
求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:①“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;②“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
方法(三)　建立函数关系式求最值
[例5]　设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最小值为　　　　.
|思维建模|
建立函数关系式求最值的思路
建立函数关系式求最值,就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.
[即时训练]
5.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (　　)
A.1+ B.4
C.1+3 D.7
6.设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值是 (　　)
A.6 B.25
C.26 D.36
第三节　圆的方程
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.定长　(a,b)　x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2>4F)　　
2.(1)圆外　(2)圆上　(3)圆内
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　2.D
3.选B　由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a,由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,即a<-2或a>0.
4.选B　∵点(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,a<,又2a2>0,∴a≠0,∴实数a的取值范围为(-∞,0)∪.
(易错提醒:本题易忽视隐含条件2a2>0,而错选A)
5.　
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)D　(2)(x-1)2+(y+1)2=5
(1)化圆的方程为标准方程,得(x-1)2+(y+3)2=10,
∴该圆的圆心(1,-3)到直线x-y+2=0的距离为==3.
(2)法一　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
法二　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M,
∴解得
∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.
法三　设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,则kAB==-,AB的中点坐标为,∴AB的垂直平分线方程为y-=3,即3x-y-4=0.联立得解得M(1,-1),∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
[即时训练]
1.选D　因为圆心在y=x上,所以设圆心为(a,a),因为圆的半径为,所以设圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=2,因为该圆过原点,所以(-a)2+(-a)2=2,解得a=±1,所以圆心为(1,1)或(-1,-1),当圆心为(1,1)时,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2,D正确;当圆心为(-1,-1)时,圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.故选D.
2.解析:由题设,知|PA|=,|PB|=,|PC|=5,即|PA|<|PB|<|PC|.要使A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,则圆以|PB|为半径,故圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
答案:(x-2)2+(y+1)2=13
题点二
[例2]　(1)D　(2)(x-1)2+y2=4(y≠0)
(1)由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图,因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.
(2)法一　设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1.又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
法二　设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆.
由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点.
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
[即时训练]
3.选C　设C(x,y),由题意,知|AB|==,因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,于是有|CA|=|AB|=,即点C的轨迹是以A为圆心,为半径的圆.又点A,B,C构成三角形,即三点不可共线,则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10,去掉(3,5),(5,-1)两点.
4.解析:设M(x,y),A(a,0),B(0,b),则=10,a2+b2=100,且∴代入a2+b2=100,得4x2+4y2=100,即x2+y2=25,即点M的轨迹为以原点(0,0)为圆心,5为半径的圆.
答案:以原点(0,0)为圆心,5为半径的圆
题点三
[例3]　解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆.
设=k,即y=kx,则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.
由=,解得k2=3,∴kmax=,kmin=-.
∴=,=-.
(2)设y-x=b,则y=x+b,当且仅当直线y=x+b与圆相切于第四象限时,截距b取最小值,由点到直线的距离公式,得=,即b=-2±,故(y-x)min=-2-.
(3)x2+y2是圆上点与原点的距离的平方,设圆与x轴相交于点B和C'(点B在点C'左侧),
则(x2+y2)max=|OC'|2=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4.
[例4]　选D　如图,设P关于l对称的点为P1,则P1在圆O上,连接P1Q,OP1,则有|PQ|=|QP1|,故|QP|+|QO|=|QP1|+|QO|≥|OP1|=2.
[例5]　解析:由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1,可知2≤y≤4,所以当y=2时,·的值最小,最小值为6×2-12=0.
答案:0
[即时训练]
5.选C　法一　令x-y=k,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简得k2-2k-17≤0,解得1-3≤k≤1+3,故x-y 的最大值是3+1.
法二　由x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cos θ+2,y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π],则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos+1,因为θ∈[0,2π],所以θ+∈,则θ+=2π,即θ=时,x-y取得最大值3+1.
法三　由x2+y2-4x-2y-4=0,可得(x-2)2+(y-1)2=9,设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3,解得1-3≤k≤1+3.故x-y的最大值是1+3.
6.选D　(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到(5,-4)的距离的平方,∵P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2,0)到(5,-4)的距离与半径之和的平方,即[(x-5)2+(y+4)2]max=[+1]2=36.(共70张PPT)
第三节
圆的方程
明确目标
1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在_____，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|=r M在_____，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2 M在圆上；
(3)|MC|圆外
圆上
圆内
3.常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0
与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2 x2+y2+Dx+Ey+D2=0
与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2 x2+y2+Dx+Ey+E2=0
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圆.(　　)
(2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.(　　)
(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0).(　　)
(4)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(　　)
√
×
√
×
2.(人A选必修①P85T1改编)圆心坐标为(2，-3)且过原点的圆的方程是 (　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=
B.(x+2)2+(y+3)2=
C.(x+2)2+(y-3)2=13
D.(x-2)2+(y+3)2=13
√
3.(人A选必修①P102T7改编)若曲线C：x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的取值范围为 (　　)
A.(-2，0)
B.(-∞，-2)∪(0，+∞)
C.[-2，0]
D.(-∞，-2]∪[0，+∞)
解析：由x2+y2+2ax-4ay-10a=0，得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a，由该曲线表示圆，可知5a2+10a>0，即a<-2或a>0.
√
4.(人A选必修①P85T2改编)若点(1，2)在圆(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部，则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.(-∞，0)∪
C. D.
解析：∵点(1，2)在圆的外部，∴(1+a)2+(2-a)2>2a2，即5-2a>0，a<，又2a2>0，∴a≠0，∴实数a的取值范围为(-∞，0)∪.
(易错提醒：本题易忽视隐含条件2a2>0，而错选A)
√
5.(北师大选必修①P44T2)已知圆C：2x2+2y2+4x-2y-1=0，则圆心的坐标为__________，半径为_____.
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(2024·北京高考)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　)
A. B.2
C.3 D.3
解析：化圆的方程为标准方程，得(x-1)2+(y+3)2=10，∴该圆的圆心(1，-3)到直线x-y+2=0的距离为==3.
√
题点一　圆的方程
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为________________.
解析：法一　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则解得
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(x-1)2+(y+1)2=5
法二　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则M，∴解得
∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0，
即(x-1)2+(y+1)2=5.
法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，则kAB==-，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y-=3，即3x-y-4=0.联立得解得M(1，-1)，
∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5，∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
1.求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
思维建模
2.确定圆心的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；
(4)两圆相切时，切点与两圆圆心共线，确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三角形.
1.(2025·海南模拟)下列方程中表示圆心在直线y=x上，半径为，且过原点的圆的是(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=
B.(x-1)2+(y+1)2=
C.(x-1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
即时训练
√
解析：因为圆心在y=x上，所以设圆心为(a，a)，因为圆的半径为，所以设圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=2，因为该圆过原点，所以
(-a)2+(-a)2=2，解得a=±1，所以圆心为(1，1)或(-1，-1)，当圆心为(1，1)时，圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2，D正确；当圆心为(-1，-1)时，圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.故选D.
2.(2025·邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以P(2，-1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为___________________.
解析：由题设，知|PA|=，|PB|=，|PC|=5，即|PA|<|PB|<
|PC|.要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.
(x-2)2+(y+1)2=13
[例2]
(1)过圆C：(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0
C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0
√
题点二　与圆有关的轨迹问题
解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，-4)，半径r=2，如图，因为|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=(x-3)2+(y
+4)2，即6x-8y-21=0，所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.
(2)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0)，则直角顶点C的轨迹方程为__________________.
解析：法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC=-1.又kAC=，kBC=，所以·=-1，化简得x2+y2-2x-3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(x-1)2+y2=4(y≠0)
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆.
由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点.
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.
思维建模
3.已知等腰△ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是 (　　)
A.(x-4)2+(y-2)2=10
B.(x+4)2+(y-2)2=10
C.(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3，x≠5)
D.(x+4)2+(y-2)2=10(x≠3，x≠5)
即时训练
√
解析：设C(x，y)，由题意，知|AB|==，因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有|CA|=|AB|=，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆.又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3，5)及点B关于点A对称的点(5，-1)，所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10，去掉(3，5)，(5，-1)两点.
4.(2025·烟台一模)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹为______________________________.
解析：设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则=10，a2+b2=100，且∴代入a2+b2=100，得4x2+4y2=100，即x2+y2=25，即点M的轨迹为以原点(0，0)为圆心，5为半径的圆.
以原点(0，0)为圆心，5为半径的圆
方法(一)　借助几何性质求最值
[例3]　(2025·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0.求：
(1)的最大值和最小值；
解：如图，方程x2+y2-4x+1=0
表示以点(2，0)为圆心，
为半径的圆.
题点三　与圆有关的最值、范围问题
设=k，即y=kx，则圆心(2，0)到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.
由=，解得k2=3，
∴kmax=，kmin=-.∴==-.
(2)y-x的最小值；
解：设y-x=b，则y=x+b，
当且仅当直线y=x+b与圆相切于第四象限时，
截距b取最小值，
由点到直线的距离公式，得=，
即b=-2±，故(y-x)min=-2-.
(3)x2+y2的最大值和最小值.
解：x2+y2是圆上点与原点的距离的平方，
设圆与x轴相交于点B和C'(点B在点C'左侧)，
则(x2+y2)max=|OC'|2=(2+)2=7+4，
(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4.
与圆有关的最值问题的3种几何转化法
(1)形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如m=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
思维建模
拓展与建模
圆的参数方程
圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数.
[示例]　利用圆的参数方程解决[例3](2)(3).
解题观摩：x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3，令
(2)∵y-x=sin θ-(2+cos θ)=sin-2，∴(y-x)min=--2.
(3)x2+y2=(2+cos θ)2+(sin θ)2=7+4cos θ，
∵cos θ∈[-1，1]，
∴(x2+y2)max=7+4，(x2+y2)min=7-4.
方法(二)　利用对称性求最值
[例4]　折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为O，在圆内任取一点P，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点P重合，记此时的折痕为l，点Q在l上，则|OQ|+|PQ|的最小值为(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
√
解析：如图，设P关于l对称的点为P1，则P1在圆O上，连接P1Q，OP1，则有|PQ|=|QP1|，故|QP|+|QO|=|QP1|+|QO|≥|OP1|=2.
求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
思维建模
方法(三)　建立函数关系式求最值
[例5]　设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0)，则·的最小值为____.
解析：由题意，知=(2-x，-y)，=(-2-x，-y)，所以·=x2+y2-4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1，故x2=-(y-3)2+1，所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1，可知2≤y≤4，所以当y=2时，·的值最小，最小值为6×2-12=0.
0
建立函数关系式求最值的思路
建立函数关系式求最值，就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.
思维建模
5.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是 (　　)
A.1+ B.4
C.1+3 D.7
解析：法一　令x-y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0，化简得k2-2k-17≤0，解得1-3≤k≤1+3，故x-y 的最大值是3+1.
即时训练
√
法二　由x2+y2-4x-2y-4=0，整理得(x-2)2+(y-1)2=9，令x=3cos θ+2，y=3sin θ+1，其中θ∈[0，2π]，则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos
+1，因为θ∈[0，2π]，所以θ+∈，则θ+=2π，即θ=时，x-y取得最大值3+1.
法三　由x2+y2-4x-2y-4=0，可得(x-2)2+(y-1)2=9，设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3，解得1-3≤k≤1+3.故x-y的最大值是1+3.
6.设P(x，y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点，则(x-5)2+(y+4)2的最大值是 (　　)
A.6 B.25
C.26 D.36
√
解析： (x-5)2+(y+4)2表示点P(x，y)到(5，-4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点，∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，-4)的距离与半径之和的平方，即[(x-5)2+
(y+4)2]max=[+1]2=36.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·杭州模拟)圆C：x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为(　　)
A.C(1，-2)，r= B.C(1，-2)，r=5
C.C(-1，2)，r= D.C(-1，2)，r=5
解析：圆C：x2+y2-2x+4y=0，即C：(x-1)2+(y+2)2=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C(1，-2)，r=.故选A.
√
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2.若点(a+1，a-1)在圆x2+y2-2ay-4=0的内部，则a的取值范围是 (　　)
A.(1，+∞) B.(0，1)
C. D.(-∞，1)
解析：由题可知，半径r=，所以a∈R，把点(a+1，a-1)代入方程，则(a+1)2+(a-1)2-2a(a-1)-4<0，解得a<1，所以a的取值范围是(-∞，1)，故选D.
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3.(2025·大连一模)过点(-1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为 (　　)
A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10
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解析：令该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x-a)2+y2=r2，则有解得故该圆方程为(x-2)2+y2=10.故选D.
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4.(2025·焦作开学考试)已知圆经过点A(4，4)，B(-2，4)，C(4，-4)，则该圆的半径为 (　　)
A.4 B.5
C.8 D.10
解析：因为=(-6，0)，=(0，-8)，·=0，所以⊥，所以∠BAC=90°，所以该圆的直径为|BC|==10，所以半径为5.故选B.
√
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5.已知M为圆(x-1)2+y2=2上一动点，则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值为 (　　)
A. B.2
C.3 D.4
解析：∵圆(x-1)2+y2=2，∴圆心(1，0)，半径r=，∴圆心到直线的距离d==2，∴圆(x-1)2+y2=2上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+=3，故选C.
√
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谨记结论：设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离.如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为|AD|=r+d；如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为|AD|=2r；如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为|BD|=d-r，最大距离为|AD|=r+d.
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6.已知直线l1：x-my-2=0与直线l2：mx+y-2=0(m∈R)交于点A，若点B(-1，3)，则|AB|的最小值为 (　　)
A. B.2
C.2 D.3
快审准解：由题可知直线l1与直线l2垂直，直线l1经过定点M(2，0)，直线l2经过定点N(0，2)，因此点A在以MN为直径的圆P上，因此|AB|min
=|PB|-r.
√
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解析：当m=0时，直线l1：x-2=0，直线l2：y-2=0，此时直线l1与直线l2垂直；当m≠0时，直线l1的斜率为k1=，直线l2的斜率为k2=-m，因为k1k2=-1，所以直线l1与直线l2垂直.易知直线l1经过定点M(2，0)，直线l2经过定点N(0，2)，所以点A在以MN为直径的圆上，MN的中点为P(1，1)，所以r=|PN|==，所以圆P：(x-1)2
+(y-1)2=2，所以|PB|==2，所以|AB|min=|PB|-r=2-=.
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二、多选题
7.设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
√
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√
√
解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y=x上，A正确；令(3-k)2+(0-k)2=4，化简得2k2-6k+5=0，∵Δ=36-40=-4<0，∴2k2-6k+5=0无实数根，B正确；由(2-k)2+(2-k)2=4，化简得k2-4k+2=0，∵Δ=16-8=8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
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8.已知△ABC的三个顶点为A(-1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是 (　　)
A.圆M的圆心坐标为(1，3)
B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x+y=0对称
D.点(2，3)在圆M内
√
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√
√
解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0，即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5，故点(2，3)在圆M内.
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9.在平面直角坐标系中，点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|=|PB|，则(　　)
A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8
B.当△PAB的面积最大时，|PA|=2
C.当∠PAB最大时，|PA|=2
D.点P到直线AC的距离的最小值为
√
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√
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解析：设P(x，y)，由|PA|=|PB|，得|PA|2=2|PB|2，所以[x-(-1)]2+(y-0)2=2[(x-1)2+(y-0)2]，化简得(x-3)2+y2=8，A正确；由对A的分析知y∈[-2，2]，所以△PAB的面积S=|AB||y|，|y|∈(0，2]，当△ABP的面积最大时，P点坐标为(3，2)或(3，-2)，此时|PA|==2，B正确；
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记圆(x-3)2+y2=8的圆心为D，则D(3，0)，当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD(图略)，则|PA|2=|AD|2-|PD|2=42-(2)2=8，|PA|=2，C错误；直线AC的方程为7x-y+7=0，所以圆心D(3，0)到直线AC的距离为=，所以点P到直线AC的距离的最小值为-2
=，D正确.故选ABD.
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三、填空题
10.已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标为___________，半径为____.
解析：由题可得a2=a+2，解得a=-1或a=2.当a=2时，方程不表示圆，舍去.当a=-1时，方程为x2+y2+4x+8y-5=0，表示圆，圆心坐标为(-2，-4)，半径为5.
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　5
(-2，-4)
11.(2025·蚌埠模拟)已知定点A(4，0)，P是圆x2+y2=4上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是_______________.
解析：如图所示，设P(x0，y0)，Q(x，y)，则+=4，　①
因为Q为AP的中点，
所以 　
②所以由①②，得(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1，所以点Q的轨迹方程为(x-2)2+y2=1.
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(x-2)2+y2=1
四、解答题
12.(10分)如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(4分)
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解：设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0).
由|EB|=|EC|，得=，
解得b=1，所以圆的半径为|EB|==.
所以圆E的方程为x2+(y-1)2=10.
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(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.(6分)
解：设P(x，y)，由于P是MN的中点，由中点坐标公式，得M(2x-5，2y-2)，代入x2+(y-1)2=10，
化简得+=，即线段MN的中点P的轨迹方程为+=.
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13.(10分)已知动圆C经过点A(2，-3)和B(-2，-5).
(1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程；(5分)
解：要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，圆心C(0，-4)，半径r=|AB|=，所以所求圆C的方程为x2+(y+4)2=5.
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(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程.(5分)
解：设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，根据已知条件得解得所以所求圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
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13课时跟踪检测(五十八)　圆的方程
一、单选题
1.(2025·杭州模拟)圆C:x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为 (　　)
A.C(1,-2),r= B.C(1,-2),r=5
C.C(-1,2),r= D.C(-1,2),r=5
2.若点(a+1,a-1)在圆x2+y2-2ay-4=0的内部,则a的取值范围是 (　　)
A.(1,+∞) B.(0,1)
C. D.(-∞,1)
3.(2025·大连一模)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为 (　　)
A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10
4.(2025·焦作开学考试)已知圆经过点A(4,4),B(-2,4),C(4,-4),则该圆的半径为 (　　)
A.4 B.5
C.8 D.10
5.已知M为圆(x-1)2+y2=2上一动点,则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值为 (　　)
A. B.2
C.3 D.4
6.已知直线l1:x-my-2=0与直线l2:mx+y-2=0(m∈R)交于点A,若点B(-1,3),则|AB|的最小值为 (　　)
A. B.2
C.2 D.3
二、多选题
7.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是 (　　)
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
8.已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是 (　　)
A.圆M的圆心坐标为(1,3) B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x+y=0对称 D.点(2,3)在圆M内
9.在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(1,0),C(0,7),动点P满足|PA|=|PB|,则 (　　)
A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8 B.当△PAB的面积最大时,|PA|=2
C.当∠PAB最大时,|PA|=2 D.点P到直线AC的距离的最小值为
三、填空题
10.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标为　　　　,半径为　 　　.
11.(2025·蚌埠模拟)已知定点A(4,0),P是圆x2+y2=4上的一动点,Q是AP的中点,则点Q的轨迹方程是　　　　　　　　.
四、解答题
12.(10分)如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2,高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程;(4分)
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程.(6分)
13.(10分)已知动圆C经过点A(2,-3)和B(-2,-5).
(1)当圆C的面积最小时,求圆C的方程;(5分)
(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上,求圆C的方程.(5分)
课时跟踪检测(五十八)
1.选A　圆C:x2+y2-2x+4y=0,即C:(x-1)2+(y+2)2=5,它的圆心C坐标和半径r分别为C(1,-2),r=.故选A.
2.选D　由题可知,半径r=,所以a∈R,把点(a+1,a-1)代入方程,则(a+1)2+(a-1)2-2a(a-1)-4<0,解得a<1,所以a的取值范围是(-∞,1),故选D.
3.选D　令该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(x-a)2+y2=r2,则有解得故该圆方程为(x-2)2+y2=10.故选D.
4.选B　因为=(-6,0),=(0,-8),·=0,所以⊥,所以∠BAC=90°,所以该圆的直径为|BC|==10,所以半径为5.故选B.
5.选C　∵圆(x-1)2+y2=2,∴圆心(1,0),半径r=,∴圆心到直线的距离d==2,∴圆(x-1)2+y2=2上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+=3,故选C.
谨记结论:设r为圆C的半径,d为圆心C到直线l的距离.如图(1),当直线l与圆C相交时,圆C上的点到直线l的最小距离为0,最大距离为|AD|=r+d;如图(2),当直线l与圆C相切时,圆C上的点到直线l的最小距离为0,最大距离为|AD|=2r;如图(3),当直线l与圆C相离时,圆C上的点到直线l的最小距离为|BD|=d-r,最大距离为|AD|=r+d.
6.快审准解:由题可知直线l1与直线l2垂直,直线l1经过定点M(2,0),直线l2经过定点N(0,2),因此点A在以MN为直径的圆P上,因此|AB|min=|PB|-r.
选A　当m=0时,直线l1:x-2=0,直线l2:y-2=0,此时直线l1与直线l2垂直;当m≠0时,直线l1的斜率为k1=,直线l2的斜率为k2=-m,因为k1k2=-1,所以直线l1与直线l2垂直.易知直线l1经过定点M(2,0),直线l2经过定点N(0,2),所以点A在以MN为直径的圆上,MN的中点为P(1,1),所以r=|PN|==,所以圆P:(x-1)2+(y-1)2=2,所以|PB|==2,所以|AB|min=|PB|-r=2-=.
7.选ABD　圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0无实数根,B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不相等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.
8.选ABD　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为,因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内.
9.选ABD　设P(x,y),由|PA|=|PB|,得|PA|2=2|PB|2,所以[x-(-1)]2+(y-0)2=2[(x-1)2+(y-0)2],化简得(x-3)2+y2=8,A正确;由对A的分析知y∈[-2,2],所以△PAB的面积S=|AB||y|,|y|∈(0,2],当△ABP的面积最大时,P点坐标为(3,2)或(3,-2),此时|PA|==2,B正确;记圆(x-3)2+y2=8的圆心为D,则D(3,0),当∠PAB最大时,PA为圆D的切线,连接PD(图略),则|PA|2=|AD|2-|PD|2=42-(2)2=8,|PA|=2,C错误;直线AC的方程为7x-y+7=0,所以圆心D(3,0)到直线AC的距离为=,所以点P到直线AC的距离的最小值为-2=,D正确.故选ABD.
10.解析:由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=2时,方程不表示圆,舍去.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,圆心坐标为(-2,-4),半径为5.
答案:(-2,-4)　5
11.解析:如图所示,
设P(x0,y0),Q(x,y),则+=4,　①因为Q为AP的中点,所以 　②
所以由①②,得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1,所以点Q的轨迹方程为(x-2)2+y2=1.
答案:(x-2)2+y2=1
12.解:(1)设圆心E(0,b),则C(,3),B(3,0).
由|EB|=|EC|,得=,解得b=1,所以圆的半径为|EB|==.
所以圆E的方程为x2+(y-1)2=10.
(2)设P(x,y),由于P是MN的中点,
由中点坐标公式,得M(2x-5,2y-2),
代入x2+(y-1)2=10,
化简得+=,即线段MN的中点P的轨迹方程为+=.
13.解:(1)要使圆C的面积最小,则AB为圆C的直径,圆心C(0,-4),半径r=|AB|=,所以所求圆C的方程为x2+(y+4)2=5.
(2)设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据已知条件得解得所以所求圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

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