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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
　 2.能用直线与圆的方程解决一些简单的弦长、切线问题
教材再回首
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ　　0 Δ　　0 Δ　　0
几何观点 d　　r d　　r d　　r
2.圆与圆的位置关系
设圆O1,O2的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
数量的 关系 　　　 　 　　 　　　　　 　　　　　
公切线 条数 4 3 2 1 0
解题结论拓展
1.牢记3个相关结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,
(1)若两圆相交,将两圆方程直接作差,得到两圆公共弦所在直线方程.两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
(2)若两圆相切,将两圆方程直接作差,得到两圆公切线所在的直线方程.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. (　　)
(2)直线l:x=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交且过圆心. (　　)
(3)如果一条直线被圆截得的弦长最长,则此直线过圆心. (　　)
(4)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. (　　)
2.(人A选必修①P93T1改编)直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是 (　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
3.(苏教选必修①P66T2)设a,b为实数,若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置关系是 (　　)
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.不能确定
4.(人A选必修①P98T1改编)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是 (　　)
A.外切 B.相交
C.外离 D.内切
5.(人A选必修①P91例1改编)直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得弦AB的长为　　　　　.
题点一　直线与圆的位置关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 (　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
(2)若曲线C:x2+(y+1)2=1与直线l:x+y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为　　　　　　.
|思维建模|
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
[即时训练]
1.[多选]已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 (　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
2.若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线l:x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是　　　　　　.
|易错提醒|
　　混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交:有公共点包含相切与相交的情况.
题点二　圆的切线与弦长问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　弦长问题
[例2]
(1)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m= (　　)
A.±2 B.±
C.± D.±3
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.
|思维建模|
直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法:若弦心距d、半径r,则弦长|AB|=2.
(2)代数法:设直线l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|
=
=·(a为二次项系数).
考法(二)　切线问题
[例3]
(1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　　)
A.1 B.
C. D.
(2)过点(-4,3)的圆(x+3)2+(y-1)2=1的切线方程为　　　　　.
|思维建模|　求切线问题的策略
　　求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(三)　最值、范围问题
[例4]　
(1)(2025·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,P为直线l:x+y+3=0上的一个动点,过点P作圆C的切线PM,切点为点M,当|PM|最小时,·的值为 (　　)
A.4 B.
C.2 D.3
(2)(2025·荆州模拟)已知圆O:x2+y2=10,直线l:ax+by=2a-b(a,b∈R)与圆O的交点分别为M,N,当直线l被圆O截得的弦长最小时,|MN|=　　　　.
|思维建模|
求解与圆有关的最值、范围问题的步骤
第一步定型:根据题目条件确定最值问题的类型;
第二步作图:根据几何意义,画出图象,利用数形结合思想求解;
第三步求值:根据图象,利用相关知识求解.
[即时训练]
3.以点(1,1)为圆心的圆C截直线y=x+2所得的弦长为2,则圆C的半径为 (　　)
A.1 B.
C.2 D.
4.过直线x-y-m=0上一点P作圆M:(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线,切点分别为A,B,若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个,则实数m的取值范围是　　　　.
5.(2024·北京西城三模)若直线kx-y+k=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,则△ABC面积的最大值为　　　　,写出满足“△ABC面积最大”的k的值为　　　　.
题点三　圆与圆的位置关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　(多选)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是 (　　)
A.C1与C2的公切线恰有4条
B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0
C.C1与C2相交弦的弦长为
D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12
|思维建模|
圆与圆位置关系的解题策略
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断,一般不采用代数法.重视两圆内切的情况,作图观察.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
(3)求两圆公共弦长时,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.
[即时训练]
6.(2025·齐齐哈尔模拟)[多选]已知圆C1:(x-3)2+y2=1,C2:x2+(y-a)2=16,则下列结论正确的有 (　　)
A.若圆C1和圆C2外离,则a>4
B.若圆C1和圆C2外切,则a=±4
C.当a=0时,圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D.当a=-2时,圆C1和圆C2相交
7.(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　.
第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.<　=　>　>　=　<
2.d>R+r　d=R+r　R-r[典题细发掘]
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.选A　因为圆心到直线的距离d==1<4,所以直线与圆相交.
3.B
4.选A　圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2,圆C2可化为(x-4)2+(y-3)2=9,∴圆心C2(4,3),半径r2=3,∴|C1C2|==5=r1+r2,故两圆外切.
5.解析:将圆的方程化为标准式,可得(x-1)2+(y-2)2=5,利用点到直线的距离可以求得弦心距为=,根据圆中的特殊三角形,可知其弦长为2=.
答案:
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)A　(2)[1-,1+]
(1)法一:代数法　由
消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆相交.
法二:几何法　由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离为d=<1<=r,所以直线l与圆相交.
法三:定点法　直线l:mx-y+1-m=0,整理得m(x-1)-y+1=0过(1,1),而12+(1-1)2<5,即(1,1)在圆内,所以直线l与圆相交.
(2)易知圆心(0,-1)到直线l的距离小于或等于半径,故≤1,解得1-≤a≤1+.
[即时训练]
1.选ABD　∵点A在圆C上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==|r|,∴直线l与圆C相切,故A正确.∵点A在圆C内,∴a2+b2|r|,∴直线l与圆C相离,故B正确.∵点A在圆C外,∴a2+b2>r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=<|r|,∴直线l与圆C相交,故C错误.∵点A在直线l上,∴a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d==|r|,∴直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
2.解析:计算得圆心到直线l的距离为=>1,如图,直线l:x-y-2=0与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离+1.
答案:(+1,+∞)
题点二
[例2]　(1)C　(2)2
(1)由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=,则弦长为2,则当k=0时,弦长取得最小值为2=2,解得m=±.故选C.
(2)设直线x-my+1=0为直线l,由条件知☉C的圆心C(1,0),半径r=2,C到直线l的距离d=,|AB|=2=2=.由S△ABC=,得××=,整理得2m2-5|m|+2=0,解得m=±2或m=±.
[例3]　(1)B　(2)x=-4或3x+4y=0
(1)如图,x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径r=,所以圆心到点(0,-2)的距离为=2,因为圆心与点(0,-2)的连线平分角α,所以sin===,所以cos=,所以sin α=2sincos=2××=.故选B.
习得方略:解决此类问题的关键:①作草图,作出符合题意的圆与切线;②会用性质,即会利用圆外一点与圆心的连线平分过圆外的该点的圆的两切线的夹角;③活用公式,即会利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式求解.
(2)当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=-4,圆心(-3,1)到该直线的距离等于半径1,符合题意.当切线的斜率存在时,设过点(-4,3)的切线方程为y-3=k(x+4),即kx-y+4k+3=0,∵圆心到直线kx-y+4k+3=0的距离等于半径,∴=1,解得k=-,∴切线方程为3x+4y=0.综上所述,切线方程为x=-4或3x+4y=0.
易错提醒:若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线必有两条,无论是用几何法还是代数法求得k值是一个时,另一条切线斜率一定不存在.
[例4]　(1)A　(2)2
(1)由于PM是圆C的切线,所以PM⊥CM,所以|PM|==,当PC⊥l时,|PC|最小,此时|PM|最小.C(1,0)到直线l:x+y+3=0的距离为=2,即PC⊥l时,|PC|=2,|PM|min==2,所以此时△PCM是等腰直角三角形,所以当|PM|最小时,·的值为2×2×cos=4.
(2)直线l:ax+by=2a-b(a,b∈R),即a(x-2)+b(y+1)=0,所以直线过定点A(2,-1),|OA|==,圆O半径r=,点A在圆O内,所以当直线与OA垂直的时候,|MN|最短,此时|MN|=2=2.
[即时训练]
3.选D　由题意可知,圆心(1,1)到直线x-y+2=0的距离d==,所以圆C的半径为r==.故选D.
4.解析:由圆M:(x-2)2+(y-3)2=1,可知圆心M(2,3),半径为1,所以|MA|=|MB|=1,所以四边形PAMB的面积为S=|PA||MA|+|PB||MB|=|PA|=,所以|PM|===2,要使四边形PAMB的面积为的点P有两个,则<2,解得-5答案:(-5,3)
5.解析:直线kx-y+k=0,则(x+1)k-y=0,令解得所以直线kx-y+k=0恒过点(-1,0),☉C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),半径r=2,显然点(-1,0)在☉C上,圆心C(1,0)到直线的距离d=,|AB|=2,则S△ABC=|AB|d=·d=≤ =2,当且仅当d2=4-d2,即d2=2时取等号,即=2,解得k=±1.
答案:2　±1
题点三
[例5]　选BD　由已知得圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=3,圆C2的圆心C2(3,4),半径r2=4,|C1C2|==5,r2-r1<|C1C2|[即时训练]
6.选BCD　C1(3,0),C2(0,a),|C1C2|=,r1=1,r2=4.若C1和C2外离,则|C1C2|=>r1+r2=5,解得a>4或a<-4,故A错误;若C1和C2外切,则|C1C2|==5,解得a=±4,故B正确;当a=0时,|C1C2|=3=r2-r1,C1和C2内切,故C正确;当a=-2时,3<|C1C2|=<5,C1和C2相交,故D正确.故选BCD.
7.解析:如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:
①易知公切线l1的方程为x=-1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x,由得由对称性可知公切线l2过点.设公切线l2的方程为y+=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=,解得k=,所以公切线l2的方程为y+=(x+1),即7x-24y-25=0.
③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直,设公切线l3的方程为y=-x+t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=,解得t=或t=-(舍去),所以公切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一,只需写出上述三个方程中的一个即可)(共74张PPT)
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
明确目标
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线与圆的方程解决一些简单的弦长、切线问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ___0 Δ___0 Δ___0
几何观点 d___r d___r d___r
<
=
>
>
=
<
2.圆与圆的位置关系
设圆O1，O2的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
数量的关系 __________ _______ ___________ ________ _______
公切线条数 4 3 2 1 0
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
d解题结论拓展
1.牢记3个相关结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
(1)若两圆相交，将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程.两圆圆心的连线垂直平分公共弦.
(2)若两圆相切，将两圆方程直接作差，得到两圆公切线所在的直线方程.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(　　)
(2)直线l：x=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交且过圆心.(　　)
(3)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心.(　　)
(4)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(　　)
×
√
√
√
2.(人A选必修①P93T1改编)直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是 (　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
解析：因为圆心到直线的距离d==1<4，所以直线与圆相交.
√
3.(苏教选必修①P66T2)设a，b为实数，若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是 (　　)
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.不能确定
√
4.(人A选必修①P98T1改编)圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是 (　　)
A.外切 B.相交
C.外离 D.内切
解析：圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1=2，圆C2可化为(x-4)2+(y-3)2=9，
∴圆心C2(4，3)，半径r2=3，∴|C1C2|==5=r1+r2，故两圆外切.
√
5.(人A选必修①P91例1改编)直线l：3x-y-6=0被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得弦AB的长为________.
解析：将圆的方程化为标准式，可得(x-1)2+(y-2)2=5，利用点到直线的距离可以求得弦心距为=，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为2=.
课堂·题点精研
02
[例1] (1)直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析：法一：代数法　由消去y，整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0，因为Δ=16m2+20>0，所以直线l与圆相交.
√
题点一　直线与圆的位置关系
法二：几何法　由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离为d=<1<=r，所以直线l与圆相交.
法三：定点法　直线l：mx-y+1-m=0，整理得m(x-1)-y+1=0过(1，1)，而12+(1-1)2<5，即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交.
(2)若曲线C：x2+(y+1)2=1与直线l：x+y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为________________.
解析：易知圆心(0，-1)到直线l的距离小于或等于半径，故≤1，解得1-≤a≤1+.
[1-，1+]
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
思维建模
1.[多选]已知直线l：ax+by-r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是 (　　)
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
即时训练
√
√
√
解析：∵点A在圆C上，∴a2+b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，∴直线l与圆C相切，故A正确.∵点A在圆C内，∴a2+b2|r|，∴直线l与圆C相离，故B正确.∵点A在圆C外，∴a2+b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d=<|r|，∴直线l与圆C相交，故C错误.∵点A在直线l上，∴a2+b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，∴直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD.
2.若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x-y-2=0的距离为1，则实数r的取值范围是______________.
解析：计算得圆心到直线l的距离为=>1，如图，直线l：x-y-2=0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，
故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距
离+1.
(+1，+∞)
考法(一)　弦长问题
[例2]
(1)已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=(　　)
A.±2 B.±
C.± D.±3
√
题点二　圆的切线与弦长问题
解析：由题可得圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d=，则弦长为2，则当k=0时，弦长取得最小值为2=2，解得m=±.故选C.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2
=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值__________________________________________.
2
解析：设直线x-my+1=0为直线l，由条件知☉C的圆心C(1，0)，半径r=2，C到直线l的距离d=，|AB|=2=2
=.由S△ABC=，得××=，整理得2m2-5|m|+2=0，解得m=±2或m=±.
直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：若弦心距d、半径r，则弦长|AB|=2.
(2)代数法：设直线l：y=kx+b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=
=·(a为二次项系数).
思维建模
考法(二)　切线问题
[例3]
(1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α= (　　)
A.1 B.
C. D.
√
解析：如图，x2+y2-4x-1=0，即(x-2)2+y2=5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r=，所以圆心到点(0，-2)的距离为=2，因为圆心与点(0，-2)的连线平分角α，所以sin===，所以cos=，所以sin α=2sincos=2××=.故选B.
解决此类问题的关键：①作草图，作出符合题意的圆与切线；
②会用性质，即会利用圆外一点与圆心的连线平分过圆外的该点的圆的两切线的夹角；
③活用公式，即会利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式求解.
习得方略
(2)过点(-4，3)的圆(x+3)2+(y-1)2=1的切线方程为_______________.
解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=-4，圆心(-3，1)到该直线的距离等于半径1，符合题意.当切线的斜率存在时，设过点(-4，3)的切线方程为y-3=k(x+4)，即kx-y+4k+3=0，∵圆心到直线kx-y+4k+3=0的距离等于半径，∴=1，解得k=-，∴切线方程为3x+4y=0.综上所述，切线方程为x=-4或3x+4y=0.
x=-4或3x+4y=0
若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线必有两条，无论是用几何法还是代数法求得k值是一个时，另一条切线斜率一定不存在.
易错提醒
求切线问题的策略
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
思维建模
考法(三)　最值、范围问题
[例4]　
(1)(2025·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-1)2+y2=4，P为直线l：x+y+3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当|PM|最小时，·的值为(　　)
A.4 B.
C.2 D.3
√
解析：由于PM是圆C的切线，所以PM⊥CM，所以|PM|==，当PC⊥l时，|PC|最小，此时|PM|最小.C(1，0)到直线l：x+y+3=0的距离为=2，即PC⊥l时，|PC|=2，|PM|min==2，
所以此时△PCM是等腰直角三角形，
所以当|PM|最小时，·的值为2×2×cos=4.
(2)(2025·荆州模拟)已知圆O：x2+y2=10，直线l：ax+by=2a-b(a，b∈R)与圆O的交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|=_____.
解析：直线l：ax+by=2a-b(a，b∈R)，即a(x-2)+b(y+1)=0，所以直线过定点A(2，-1)，|OA|==，圆O半径r=，点A在圆O内，所以当直线与OA垂直的时候，|MN|最短，此时|MN|=2=2.
2
求解与圆有关的最值、范围问题的步骤
第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型；
第二步作图：根据几何意义，画出图象，利用数形结合思想求解；
第三步求值：根据图象，利用相关知识求解.
思维建模
3.以点(1，1)为圆心的圆C截直线y=x+2所得的弦长为2，则圆C的半径为(　　)
A.1 B.
C.2 D.
解析：由题意可知，圆心(1，1)到直线x-y+2=0的距离d==，所以圆C的半径为r==.故选D.
即时训练
√
4.过直线x-y-m=0上一点P作圆M：(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围是_______.
解析：由圆M：(x-2)2+(y-3)2=1，
可知圆心M(2，3)，半径为1，
所以|MA|=|MB|=1，
所以四边形PAMB的面积为
S=|PA||MA|+|PB||MB|=|PA|=，
(-5，3)
所以|PM|===2，要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则<2，解得-55.(2024·北京西城三模)若直线kx-y+k=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，则△ABC面积的最大值为____，写出满足“△ABC面积最大”的k的值为____.
解析：直线kx-y+k=0，则(x+1)k-y=0，令解得所以直线kx-y+k=0恒过点(-1，0)，☉C：(x-1)2+y2=4的圆心为C(1，0)，半径r=2，
　±1
2
显然点(-1，0)在☉C上，圆心C(1，0)到直线的距离d=，|AB|=2，则S△ABC=|AB|d=·d=≤ =2，当且仅当d2=4-d2，即d2=2时取等号，即=2，解得k=±1.
[例5]　(多选)已知圆C1：x2+y2=9与圆C2：(x-3)2+(y-4)2=16，下列说法正确的是 (　　)
A.C1与C2的公切线恰有4条
B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0
C.C1与C2相交弦的弦长为
D.若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=12
√
题点三　圆与圆的位置关系
√
解析：由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1=3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2=4，|C1C2|==5，r2-r1<|C1C2|圆与圆位置关系的解题策略
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
(3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
思维建模
6.(2025·齐齐哈尔模拟)[多选]已知圆C1：(x-3)2+y2=1，C2：x2+(y-a)2=16，则下列结论正确的有 (　　)
A.若圆C1和圆C2外离，则a>4
B.若圆C1和圆C2外切，则a=±4
C.当a=0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D.当a=-2时，圆C1和圆C2相交
即时训练
√
√
√
解析：C1(3，0)，C2(0，a)，|C1C2|=，r1=1，r2=4.若C1和C2外离，则|C1C2|=>r1+r2=5，解得a>4或a<-4，故A错误；若C1和C2外切，则|C1C2|==5，解得a=±4，故B正确；当a=0时，|C1C2|=3=r2-r1，C1和C2内切，故C正确；当a=-2时，3<|C1C2|=<5，C1和C2相交，故D正确.故选BCD.
7.(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程______________________________________________
______________________________.
解析：如图，因为圆x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r1=1，圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3，4)，
半径r2=4，所以|OA|=5，r1+r2=5，
所以|OA|=r1+r2，所以两圆外切，
公切线有三种情况：
x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一，只需
写出上述三个方程中的一个即可)
①易知公切线l1的方程为x=-1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x，由得由对称性可知公切线l2过点.设公切线l2的方程为y+=k(x+1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1=，解得k=，所以公切线l2的方程为y+=(x+1)，即7x-24y-25=0.
③还有一条公切线l3与直线l：y=x垂直，设公切线l3的方程为y=-x+t，易知t>0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1=，解得t=或t=-(舍去)，所以公切线l3的方程为y=-x+，即3x+4y-5=0.综上，所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)与y轴相切，则r等于(　　)
A. B.
C.2 D.3
解析：圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)的圆心为(2，3)，半径为r.因为圆与y轴相切，所以r=2.
√
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2
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4
2.若直线+=1与圆x2+y2=1相交，则(　　)
A.+<1 B.+>1
C.a2+b2<1 D.a2+b2>1
解析：由直线+=1，可化为bx+ay-ab=0.因为直线bx+ay-ab=0与圆x2+y2=1相交，可得<1，整理得a2+b2>a2b2，所以+>1.
√
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3.(2025·成都开学考试)在同一平面直角坐标系中，直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的位置不可能为 (　　)
√
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解析：圆x2+y2=2的圆心坐标为(0，0)，半径为，直线mx-y+1=0(m∈R)过圆内定点(0，1)，斜率可正可负可为0，A、B、D选项都有可能，C选项不可能.故选C.
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13
4.(2025·长沙模拟)已知过点A(1，0)的直线l与圆C：(x+2)2+
y2=4相交于M，N两点，若|MN|=2，则l的斜率为 (　　)
A.± B.±
C.± D.±
√
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13
解析：圆C：(x+2)2+y2=4的圆心C(-2，0)，半径r=2，易知直线斜率存在，设l的方程为y=k(x-1)，则圆心C(-2，0)到l的距离d=，则|MN|=2=2=2，解得k=±，所以l的斜率为±.故选A.
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5.(2025·武汉模拟)已知点P是直线x-y-m=0上的动点，由点P向圆O：x2+y2=1引切线，切点分别为M，N且∠MPN=90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则m= (　　)
A. B.±
C.2 D.±2
快审准解：连接OM，ON，结合圆的切线性质可推得点P在以点O为圆心，为半径的圆C上，再由题意可知该圆与直线x-y-m=0相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.
√
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13
解析：连接OM，ON，则PM⊥OM，PN⊥ON.又∠MPN=90°，OM=ON，所以四边形MPNO为正方形，所以|PO|=|ON|=，于是点P在以点O为圆心，为半径的圆C上.又由满足条件的点P有且只有一个，则圆C与直线x-y-m=0相切，
所以点O到直线x-y-m=0的距离d=，
即=，解得m=±2.
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13
6.(2025·安徽一模)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|+|≥||，则实数k的取值范围是(　　)
A.() B.[)
C.[，2) D.[，2)
√
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13
解析：设AB的中点为C，连接OC，则OC⊥AB，∵|+|≥||，∴|2|≥||，∴||≤||.∵||2+||2=4 ||2≥4，即||2≥3，又∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A，B，∴||2<4，故4>||2≥3，则4>≥3，
∵k>0，∴≤k<2.故选C.
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二、多选题
7.(2025·茂名模拟)已知圆C：x2+y2-2x-2y-3=0，则(　　)
A.圆C的圆心坐标为(-1，-1)
B.圆C的周长为2π
C.圆M：(x+3)2+(y+1)2=5与圆C外切
D.圆C截y轴所得的弦长为3
√
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√
解析：对于A、B，圆C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5，可得圆心的坐标为C(1，1)，半径为，则周长为2π，可知A错误，B正确；对于C，由M(-3，-1)，|MC|==2为两圆半径之和，可知C正确；对于D，令x=0，可得y2-2y-3=0，解得y=-1或y=3，可得圆C截y轴所得的弦长为4，可知D错误.故选BC.
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13
8.(2025·郴州期末)已知圆C：x2+y2-4x-2y-13=0，则下列命题正确的是 (　　)
A.圆心坐标为(2，1)
B.直线l：x+y-1=0与圆C相交所得的弦长为8
C.圆C与圆O：x2+y2=8有三条公切线
D.圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为，则b=3或b=-5
√
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√
√
解析：由圆C：x2+y2-4x-2y-13=0，可化为(x-2)2+(y-1)2=18，可得圆心C(2，1)，半径为r=3，所以A正确；由圆心C(2，1)到直线l：x+y-1=0的距离为d==，则相交弦长为2=2=8，所以B正确；
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13
由圆O：x2+y2=8，可得圆心O(0，0)，半径r1=2，可得|OC|=，且r-r1=，r+r1=5，则r-r1<|OC|=2，解得b=3或b=-5，所以D正确.故选ABD.
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13
9.(2025·重庆模拟)已知圆M：(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1，直线l：y=kx，则 (　　)
A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切
B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点
C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切
√
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√
解析：圆M：(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1恒过定点O(0，0)，直线l：y=kx也恒过定点O(0，0)，所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；圆心M(-cos θ，sin θ)，圆心到直线l的距离d=
==|sin(θ+α)|≤1，其中tan α=k，则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的关系是相交或相切，故D正确，A错误；当θ=0时，圆M为(x+1)2+y2=1，此时不存在实数k，使得直线l和圆M相切，故C错误.
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三、填空题
10.(2024·桂林三模)在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美.若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为______________________________.
解析：由题意可得直线l的方程为x+y-9=0，设C(a，±9)，由直线l与圆C相切，得=9，所以a=±9或a=18±9，所以圆C的一个方程可以为(x-9)2+(y-9)2=81.
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(x-9)2+(y-9)2=81 (答案不唯一)
11.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程为_______________.
解析：曲线方程化为(x-6)2+(y-6)2=18，其圆心到直线x+y-2=0的距离d==5.所求的最小圆的圆心
在直线y=x上，其到直线的距离为，圆
心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程
为(x-2)2+(y-2)2=2.
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(x-2)2+(y-2)2=2
四、解答题
12.(10分)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求：
(1)m取何值时两圆外切 (5分)
解：两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11，(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为和.
当两圆外切时，=+，解得m=25+10.
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(2)当m=45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(5分)
解：两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0，即4x+3y-23=0.
所以公共弦的长为2×=2.
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13.(10分)已知圆C的方程为x2+y2=1.
(1)求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程；(5分)
解：根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论：
当直线l的斜率不存在时，过点P(1，2)的直线方程是x=1，与圆C：x2+y2=1相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0.
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因为直线l与圆C相切，
所以圆心(0，0)到直线l的距离为=1，解得k=.
此时，直线l的方程为3x-4y+5=0.
所以满足条件的直线l的方程是x=1或3x-4y+5=0.
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(2)直线m过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线m的方程.(5分)
解：根据题意，若|AB|=，则圆心到直线m的距离d==，结合(1)知直线m的斜率一定存在.设直线m的方程为y-2=n(x-1)，即nx-y-n+2=0，则d==，解得n=1或n=7.所以满足条件的直线m的方程是x-y+1=0或7x-y-5=0.
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13课时跟踪检测(五十九)　直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1.已知圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)与y轴相切,则r等于 (　　)
A. B.
C.2 D.3
2.若直线+=1与圆x2+y2=1相交,则 (　　)
A.+<1 B.+>1
C.a2+b2<1 D.a2+b2>1
3.(2025·成都开学考试)在同一平面直角坐标系中,直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的位置不可能为 (　　)
4.(2025·长沙模拟)已知过点A(1,0)的直线l与圆C:(x+2)2+y2=4相交于M,N两点,若|MN|=2,则l的斜率为 (　　)
A.± B.±
C.± D.±
5.(2025·武汉模拟)已知点P是直线x-y-m=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=1引切线,切点分别为M,N且∠MPN=90°,若满足以上条件的点P有且只有一个,则m= (　　)
A. B.±
C.2 D.±2
6.(2025·安徽一模)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|+|≥||,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(,) B.[,)
C.[,2) D.[,2)
二、多选题
7.(2025·茂名模拟)已知圆C:x2+y2-2x-2y-3=0,则 (　　)
A.圆C的圆心坐标为(-1,-1)
B.圆C的周长为2π
C.圆M:(x+3)2+(y+1)2=5与圆C外切
D.圆C截y轴所得的弦长为3
8.(2025·郴州期末)已知圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,则下列命题正确的是 (　　)
A.圆心坐标为(2,1)
B.直线l:x+y-1=0与圆C相交所得的弦长为8
C.圆C与圆O:x2+y2=8有三条公切线
D.圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为,则b=3或b=-5
9.(2025·重庆模拟)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则 (　　)
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切
B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点
C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切
三、填空题
10.(2024·桂林三模)在中国传统文化中,“九”被视为至尊之数,象征长寿、福气和完美.若直线l与圆C相切,直线l在两坐标轴上的截距均为9,圆C的半径为9,点C到x轴的距离为9,则圆C的一个方程为　　　　.
11.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程为　　　　　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:
(1)m取何值时两圆外切 (5分)
(2)当m=45时,两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(5分)
13.(10分)已知圆C的方程为x2+y2=1.
(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程;(5分)
(2)直线m过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线m的方程.(5分)
课时跟踪检测(五十九)
1.选C　圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)的圆心为(2,3),半径为r.因为圆与y轴相切,所以r=2.
2.选B　由直线+=1,可化为bx+ay-ab=0.因为直线bx+ay-ab=0与圆x2+y2=1相交,可得<1,整理得a2+b2>a2b2,所以+>1.
3.选C　圆x2+y2=2的圆心坐标为(0,0),半径为,直线mx-y+1=0(m∈R)过圆内定点(0,1),斜率可正可负可为0,A、B、D选项都有可能,C选项不可能.故选C.
4.选A　圆C:(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2,易知直线斜率存在,设l的方程为y=k(x-1),则圆心C(-2,0)到l的距离d=,则|MN|=2=2=2,解得k=±,所以l的斜率为±.故选A.
5.快审准解:连接OM,ON,结合圆的切线性质可推得点P在以点O为圆心,为半径的圆C上,再由题意可知该圆与直线x-y-m=0相切,利用点到直线的距离公式,即可求得答案.
选D　连接OM,ON,则PM⊥OM,PN⊥ON.又∠MPN=90°,OM=ON,所以四边形MPNO为正方形,所以|PO|=|ON|=,于是点P在以点O为圆心,为半径的圆C上.又由满足条件的点P有且只有一个,则圆C与直线x-y-m=0相切,所以点O到直线x-y-m=0的距离d=,即=,解得m=±2.
6.选C　
设AB的中点为C,连接OC,则OC⊥AB,∵|+|≥||,∴|2|≥||,∴||≤||.∵||2+||2=4 ||2≥4,即||2≥3,又∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4,故4>||2≥3,则4>≥3,∵k>0,∴≤k<2.故选C.
7.选BC　对于A、B,圆C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,可得圆心的坐标为C(1,1),半径为,则周长为2π,可知A错误,B正确;对于C,由M(-3,-1),|MC|==2为两圆半径之和,可知C正确;对于D,令x=0,可得y2-2y-3=0,解得y=-1或y=3,可得圆C截y轴所得的弦长为4,可知D错误.故选BC.
8.选ABD　由圆C:x2+y2-4x-2y-13=0,可化为(x-2)2+(y-1)2=18,可得圆心C(2,1),半径为r=3,所以A正确;由圆心C(2,1)到直线l:x+y-1=0的距离为d==,则相交弦长为2=2=8,所以B正确;由圆O:x2+y2=8,可得圆心O(0,0),半径r1=2,可得|OC|=,且r-r1=,r+r1=5,则r-r1<|OC|9.选BD　圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1恒过定点O(0,0),直线l:y=kx也恒过定点O(0,0),所以对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点,故B正确;圆心M(-cos θ,sin θ),圆心到直线l的距离d===|sin(θ+α)|≤1,其中tan α=k,则对任意实数k,存在θ,使得直线l和圆M的关系是相交或相切,故D正确,A错误;当θ=0时,圆M为(x+1)2+y2=1,此时不存在实数k,使得直线l和圆M相切,故C错误.
10.解析:由题意可得直线l的方程为x+y-9=0,设C(a,±9),由直线l与圆C相切,得=9,所以a=±9或a=18±9,所以圆C的一个方程可以为(x-9)2+(y-9)2=81.
答案:(x-9)2+(y-9)2=81 (答案不唯一)
11.解析:曲线方程化为(x-6)2+(y-6)2=18,
其圆心到直线x+y-2=0的距离d==5.所求的最小圆的圆心在直线y=x上,其到直线的距离为,圆心坐标为(2,2),所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
答案:(x-2)2+(y-2)2=2
12.解:两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61),
则圆心分别为(1,3),(5,6),半径分别为和.
(1)当两圆外切时,=+,解得m=25+10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.
所以公共弦的长为2×=2.
13.解:(1)根据题意,得点P在圆C外,分两种情况讨论:
当直线l的斜率不存在时,过点P(1,2)的直线方程是x=1,与圆C:x2+y2=1相切,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
因为直线l与圆C相切,所以圆心(0,0)到直线l的距离为=1,解得k=.
此时,直线l的方程为3x-4y+5=0.
所以满足条件的直线l的方程是x=1或3x-4y+5=0.
(2)根据题意,若|AB|=,则圆心到直线m的距离d==,
结合(1)知直线m的斜率一定存在.
设直线m的方程为y-2=n(x-1),即nx-y-n+2=0,
则d==,解得n=1或n=7.
所以满足条件的直线m的方程是x-y+1=0或7x-y-5=0.

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