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第五节　 椭　圆
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用.
教材再回首
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于　　　(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的　　　,两焦点间的距离叫做椭圆的　　　.
(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆;
(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段;
(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
范围 x∈　　　　, y∈　　　 x∈　　　　, y∈　　　
对称性 对称轴:　　　　;对称中心:　　　　
顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
焦距 |F1F2|=　　
离心率 e=　　　　,且e∈　　　　
a,b,c 的关系 c2=a2-b2
解题结论拓展
(1)设P为椭圆上任意一点,F1为椭圆的一个焦点,则①b≤|OP|≤a;②a-c≤|PF1|≤a+c.
(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①当|PF1|=|PF2|时,即点P为短轴端点时,θ最大;
②S=|PF1||PF2|sin θ=c|y0|=b2tan,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取得最大值,最大值为bc;
③△PF1F2的周长为2(a+c);
④|PF1||PF2|≤=a2.
(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长为lmin=.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. (　　)
(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. (　　)
(3)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同. (　　)
2.(北师大选必修①P55T2改编)椭圆+=1的离心率是　　　　.
3.(人B选必修①P139例3改编)若椭圆C:+=1,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为　　　　.
4.(人B选必修①P141T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6,0),且B1,B2是短轴的两个端点,△FB1B2是等边三角形,则这个椭圆的标准方程是　　　 　　.
第1课时　椭圆的定义及标准方程
题点一　椭圆的定义及其应用
考法(一)　与椭圆有关的轨迹问题
[例1]　已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A是圆上任意一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 (　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
|思维建模|
　　在椭圆的有关题目中,若遇到动点到两定点的距离问题,应联想椭圆的定义.而定义中的“|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|”是椭圆的最本质的几何特征,在解题时一定要注意这一条件,若能够对它进行灵活应用,可使解题思路清晰,过程简洁.
考法(二)　焦点三角形问题
[例2]
(1)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|= (　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
(2)经过椭圆+=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2为椭圆的右焦点,则△AF2B的周长为　　　　.
|思维建模|　焦点三角形的应用
　　椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|;通过整体代入可求其面积等.
考法(三)　最值问题
[例3]　在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为　　　　.
|思维建模|
解决椭圆最值问题的常见思路
(1)与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题,一般利用椭圆的定义,根据基本不等式求解,注意等号成立的条件.
(2)与|PF1|,|PF2|(P为椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点)的和、差有关的最值问题,一般利用平面几何知识,转化为三点共线问题求解.
[即时训练]
1.已知椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离为6,点M是PF1的中点,O为坐标原点,则|OM|= (　　)
A.2 B.4
C.7 D.14
2.若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为　　　　.
3.已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为　　　　.
题点二　求椭圆的方程
方法(一)　定义法
[例4]
(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 (　　)
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
(2)某椭圆的两焦点坐标分别为F1(-,0),F2(,0),P是椭圆上一点,若PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=8,则该椭圆的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
方法(二)　待定系数法
[例5]　已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,,则椭圆的方程为　　　　　　.
|思维建模|
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
[即时训练]
4.已知F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1或+=1 D.+=1或+=1
5.已知点P为椭圆+=1上的任意一点,O为原点,M满足=,则点M的轨迹方程为　　　　　　　　.
　第五节　椭　圆
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.常数　焦点　焦距
2.[-a,a]　[-b,b]　[-b,b]　[-a,a]　坐标轴　原点　2c　　(0,1)
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)√　(3)√　2.
3.解析:由题意知a=2,b=,所以c=1,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.
答案:3
4.+=1
课堂·题点精研
第1课时　椭圆的定义及标准方程
题点一
[例1]　选B　点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,动点P的轨迹是椭圆.
[例2]　(1)B　(2)12
(1)法一　因为·=0,所以PF1⊥PF2,则=|PF1|·|PF2|=b2tan,得|PF1|·|PF2|=1×tan,所以|PF1|·|PF2|=2,故选B.
法二　因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=16.因为|PF1|+|PF2|=2a=2,所以(|PF1|+|PF2|)2=20,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2,故选B.
(2)由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,且|AF1|+|BF1|=|AB|,a=3,所以△AF2B的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12.
[例3]　解析:∵椭圆的方程为+=1,∴a2=4,b2=3,c2=1,∴B(0,-1)是椭圆的一个焦点,设另一个焦点为C(0,1),如图所示,根据椭圆的定义知,|PB|+|PC|=4,∴|PB|=4-|PC|,∴|PA|+|PB|=4+|PA|-|PC|≤4+|AC|=5,当且仅当点P在AC的延长线上时,等号成立,∴|PA|+|PB|的最大值为5.
答案:5
[即时训练]
1.选C　如图所示,设椭圆的另一焦点为F2,因为O,M分别是F1F2和PF1的中点,所以|OM|=|PF2|.由椭圆的方程得a=10,所以2a=20,所以|PF2|=2a-|PF1|=20-6=14,所以|OM|=7,故选C.
2.解析:由题意得a=3,b=,c=,∴|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6.∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|·cos 45°=|AF1|2+8-4|AF1|,∴(6-|AF1|)2=|AF1|2+8-4|AF1|,解得|AF1|=.∴△AF1F2的面积S=×2××=.
答案:
3.解析:如图,由+=1,得a=5,b=4,因为点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a=10,所以10=|MF1|+|MF2|≥2,所以5≥,得25≥|MF1|·|MF2|,当且仅当|MF1|=|MF2|=5时取等号,所以|MF1|·|MF2|的最大值为25.
答案:25
题点二
[例4]　(1)D　(2)C
(1)设动圆的圆心M(x,y),半径为r,圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r,|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8.由椭圆的定义,知M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
(2)快审准解:根据椭圆的定义以及直角三角形的勾股定理列出方程,求解即可.
设|PF1|=m,|PF2|=n,因为PF1⊥PF2,|F1F2|=2,所以m2+n2=(2)2,即m2+n2=20.因为|PF1|·|PF2|=8,所以mn=8,所以(m+n)2=m2+n2+2mn=20+2×8=36.因为m>0,n>0,所以m+n=6,即2a=6,a=3,所以a2=9,b2=a2-c2=4,所以椭圆的方程为+=1,故选C.
[例5]　解析:设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).由解得所以椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
[即时训练]
4.选D　如图,当焦点在x轴上时,cos∠OFA====,因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以椭圆的标准方程为+=1.同理,当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+=1.
5.解析:设点M(x,y),由=得点P(2x,2y).又点P为椭圆+=1上的任意一点,于是得+=1,整理得+=1,所以点M的轨迹方程是+=1.
答案:+=1(共61张PPT)
第五节
椭　圆
明确目标
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____.
(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
常数
焦点
焦距
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
范围 x∈_______，y∈_______ x∈_______，y∈_______
对称性 对称轴：_______；对称中心：____
[-a，a]
[-b，b]
[-b，b]
[-a，a]
坐标轴
原点
续表
顶点 A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0)
焦距 |F1F2|=___
离心率 e=___，且e∈_______
a，b，c的关系 c2=a2-b2
2c
(0，1)
解题结论拓展
(1)设P为椭圆上任意一点，F1为椭圆的一个焦点，则①b≤|OP|
≤a；②a-c≤|PF1|≤a+c.
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.∠F1PF2=θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆+=1(a>b>0)中：
①当|PF1|=|PF2|时，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S=|PF1||PF2|sin θ=c|y0|=b2tan，当|y0|=b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a+c)；
④|PF1||PF2|≤=a2.
(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长为lmin=.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
(2)方程mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
(3)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.(　　)
×
√
√
2.(北师大选必修①P55T2改编)椭圆+=1的离心率是_____.
3.(人B选必修①P139例3改编)若椭圆C：+=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为____.
解析：由题意知a=2，b=，所以c=1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.
3
4.(人B选必修①P141T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6，0)，且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是_____________.
+=1
课堂·题点精研
02
第1课时　椭圆的定义及标准方程
考法(一)　与椭圆有关的轨迹问题
[例1]　已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆.
√
题点一　椭圆的定义及其应用
在椭圆的有关题目中，若遇到动点到两定点的距离问题，应联想椭圆的定义.而定义中的“|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|”是椭圆的最本质的几何特征，在解题时一定要注意这一条件，若能够对它进行灵活应用，可使解题思路清晰，过程简洁.
思维建模
考法(二)　焦点三角形问题
[例2]
(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则|PF1|·|PF2|=(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
√
解析：法一　因为·=0，所以PF1⊥PF2，则=
|PF1|·|PF2|=b2tan，得|PF1|·|PF2|=1×tan，所以|PF1|·
|PF2|=2，故选B.
法二　因为·=0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2
=|F1F2|2=(2c)2=16.因为|PF1|+|PF2|=2a=2，所以(|PF1|+|PF2|)2=20，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20，所以|PF1|·|PF2|=2，故选B.
(2)经过椭圆+=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2为椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为____.
解析：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，
|BF1|+|BF2|=2a，且|AF1|+|BF1|=|AB|，a=3，
所以△AF2B的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12.
12
　焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等.
思维建模
考法(三)　最值问题
[例3]　在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，-1)，则|PA|+|PB|的最大值为____.
解析：∵椭圆的方程为+=1，∴a2=4，b2=3，c2=1，∴B(0，-1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|+|PC|=4，∴|PB|=4-|PC|，
∴|PA|+|PB|=4+|PA|-|PC|≤4+|AC|=5，当
且仅当点P在AC的延长线上时，等号成立，
∴|PA|+|PB|的最大值为5.
5
解决椭圆最值问题的常见思路
(1)与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件.
(2)与|PF1|，|PF2|(P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点)的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解.
思维建模
1.已知椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|=(　　)
A.2 B.4
C.7 D.14
即时训练
√
解析：如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|OM|=|PF2|.由椭圆的方程得a=10，所以2a=20，所以|PF2|=2a-|PF1|=20-6=14，所以|OM|=7，故选C.
2.若F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为_____.
解析：由题意得a=3，b=，c=，
∴|F1F2|=2，|AF1|+|AF2|=6.∵|AF2|2
=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2+8-4|AF1|，
∴(6-|AF1|)2=|AF1|2+8-4|AF1|，解得|AF1|=.
∴△AF1F2的面积S=×2××=.
3.已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为____.
解析：如图，由+=1，得a=5，b=4，因为点M在C上，所以|MF1|+|MF2|=2a=10，所以10=|MF1|+|MF2|≥2，所以5≥，得25≥|MF1|·|MF2|，
当且仅当|MF1|=|MF2|=5时取等号，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为25.
25
方法(一)　定义法
[例4]
(1)已知两圆C1：(x-4)2+y2=169，C2：(x+4)2+y2=9，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.-=1 　B.+=1
C.-=1 　D.+=1
√
题点二　求椭圆的方程
解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x-4)2+y2=
169内切，与圆C2：(x+4)2+y2=9外切，所以|MC1|=13-r，|MC2|=3+r，|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8.由椭圆的定义，知M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a=8，c=4，所以b2=82-42=48，动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
(2)某椭圆的两焦点坐标分别为F1(-，0)，F2(，0)，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=8，则该椭圆的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
快审准解：根据椭圆的定义以及直角三角形的勾股定理列出方程，求解即可.
√
解析：设|PF1|=m，|PF2|=n，因为PF1⊥PF2，|F1F2|=2，所以m2+n2=(2)2，即m2+n2=20.因为|PF1|·|PF2|=8，所以mn=8，所以(m+n)2=m2+n2+2mn=20+2×8=36.因为m>0，n>0，所以m+n=6，即2a=6，a=3，所以a2=9，b2=a2-c2=4，所以椭圆的方程为+=1，故选C.
方法(二)　待定系数法
[例5]　已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为____________.
解析：设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).由解得所以椭圆的方程为+=1.
+=1
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
思维建模
4.已知F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，O为坐标原点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=，则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1或+=1 D.+=1或+=1
即时训练
√
解析：如图，当焦点在x轴上时，cos∠OFA====，因为2a=6，所以a=3，c=2，所以b2=a2-c2=9-4=5，所以椭圆的标准方程为+=1.同理，当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为+=1.
5.已知点P为椭圆+=1上的任意一点，O为原点，M满足=，则点M的轨迹方程为__________.
解析：设点M(x，y)，由=得点P(2x，2y).又点P为椭圆+=1上的任意一点，于是得+=1，整理得+=1，所以点M的轨迹方程是+=1.
数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
+=1
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.若椭圆+=1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　)
A.6 B.3 C.4 D.2
解析：由椭圆方程+=1，得a2=25，即a=5.设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|+|PF2|=2a=10.因为|PF2|=4，所以|PF1|=6，即点P到下焦点的距离为6.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.已知动点A(x，y)满足等式=8-，则点A的轨迹方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
快审准解：根据动点A(x，y)满足等式=8-，得到点A的轨迹是以F1(-3，0)，F2(3，0)为焦点的椭圆求解.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析：因为动点A(x，y)满足等式=8-，所以表示点A到点F1(-3，0)，F2(3，0)的距离之和为8，且|F1F2|=6<8，所以点A的轨迹是以F1(-3，0)，F2(3，0)为焦点的椭圆，其中a=4，c=3，b2=7，所以椭圆的方程是+=1，故选D.
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3.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析：根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3，则其焦点坐标为(-4，0)和(4，0)，恰好是A，C两点，则|AC|=2c=8，|BC|+|BA|=2a=10.由正弦定理可得==，故选D.
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4.(2025·武汉模拟)已知F1(-1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则椭圆C的标准方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+x2=1 D.+y2=1
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解析：由对称性知|AF2|=|AB|=，又|F1F2|=2，则|AF1|===，所以2a=|AF1|+
|AF2|=4，a=2，又c=1，则b==，
所以椭圆C的标准方程为+=1.故选B.
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5.已知椭圆C：+=1(0A.4 B.5
C.6 D.8
快审准解：|PF1|+|PF2|=6，设|F1F2|=n，由△PF1F2是等腰三角形，利用余弦定理求出n，即可求m的值.
√
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解析：依题意得|PF1|+|PF2|=6，设|F1F2|=n，不妨设点P在第一象限，若|PF1|=|F1F2|=n，则|PF2|=6-n(01
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6.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点B在y轴上，△AF1F2的面积为2，则C的方程为(　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
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解析：如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，∴OB∥AF2.又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴.在Rt△AF2F1中，∠AF1F2=，设|AF2|=t(t>0)，则|AF1|=2t，|F1F2|=t.∵△AF1F2的面积为2，∴×t×t=2，t=2.∴2a=|AF1|+|AF2|
=3t=6，a=3，2c=|F1F2|=t=2，c=，
b2=a2-c2=6，则C的方程为+=1.
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二、多选题
7.设定点F1(0，-2)，F2(0，2)，动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　)
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.直线
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解析：由题意知，定点F1(0，-2)，F2(0，2)，可得|F1F2|=4，因为a>0，所以|PF1|+|PF2|=a+≥2=4，当且仅当a=，即a=2时取得等号.当a+=4时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2；当a+>4时，可得|PF1|+|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆.故选BC.
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8.已知椭圆C1：+=1与C2：+=1，则(　　)
A.C1的短轴长与C2的长轴长相等
B.C1与C2的离心率相等
C.C1与C2的焦点横坐标按照从小到大的顺序排列构成等差数列
D.C2上存在两点，使得C1上任意一点到这两点距离之和为定值
快审准解：根据长轴、短轴、离心率、焦点以及椭圆定义，可得答案.
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√
解析：C1的短轴长与C2的长轴长都是4，故A正确；C1的离心率为=，C2的离心率为=，故B正确；C1与C2的焦点横坐标按照从小到大的顺序排列依次为-2，-，2，不是等差数列，故C错误；C2的长轴端点恰好是C1的焦点，则C1上任意一点到这两点的距离之和为2a=4，故D正确.故选ABD.
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9.已知椭圆E：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的点，则下列说法正确的是(　　)
A.△PF1F2的周长为4
B.△PF1F2面积的最大值为
C.|+|的最小值为2
D.若△PA1A2的面积为2，则点P的横坐标为±
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√
解析：由题意得a=2，b=，c=1，F1(-1，0)，F2(1，0)，短轴的一个端点B2(0，)，如图所示.对于A，|PF1|+|PF2|=2a=4，故△PF1F2的周长为4+2=6，故A错误；对于B，利用椭圆的性质可知△PF1F2面积的最大值为×2×=，故B正确；
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对于C，|+|=2||，设P(2cos θ，sin θ)，从而||=
=≥，所以|+|min=2，故C正确；对于D，因为=|A1A2||yP|=2|yP|=2，所以|yP|=1，则+=1，解得xP=±，故D错误.
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三、填空题
10.椭圆+y2=1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则·的取值范围是__________.
解析：设F1为左焦点，则由椭圆方程得F1(-1，0)，F2(1，0)，设P(x，y)，-≤x≤，∴=(-1-x，-y)，=(1-x，-y)，则·=x2+y2-1=∈[0，1].
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[0，1]
11.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为____.
解析：由题意可知F1(-，0)，F2(，0)，
因为点F2为线段AB的中点，所以AB⊥F1F2，
所以|AB|==1，所以S△AF1B=|AB|·|F1F2|=.
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四、解答题
12.(10分)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上一点，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1(-1，0)，△PF1F2的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；(4分)
解：由椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1，0)，可得c=1，即2c=2.
又由椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a.因为△PF1F2的周长为8，所以2a+2c=2a+2=8，解得a=3，所以b2=a2-c2=8，所以椭圆的标准方程为+=1.
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(2)若=2，求点P的坐标.(6分)
解：设点P(x0，y0)，且F1(-1，0)，F2(1，0)，则|F1F2|=2.因为=2，所以|F1F2||y0|=×2×|y0|=2，解得|y0|=2，即y0=±2.
将y0=±2代入椭圆+=1，可得=，即=，解得x0=±，
所以点P的坐标为或或或.
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13.(10分)已知动点P与两定点A(2，0)，B(-2，0)连线的斜率之积为-，点F(-1，0)，点Q(1，1).
(1)求点P的轨迹方程；(4分)
解：设P(x，y)，则kPA=(x≠2)，kPB=(x≠-2)，
由kPA·kPB=-，得·=-，整理得+=1(x≠±2).
故点P的轨迹方程为+=1(x≠±2).
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(2)求|PQ|+|PF|的最大值.(6分)
解：由(1)知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，
其中a=2，b=，c==1，
故点F(-1，0)为椭圆的左焦点.设椭圆的右焦点为F'(1，0).
因为+<1，所以点Q在椭圆内.
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由椭圆的定义得|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF'|≤|QF'|+2a=1+4=5，
当P，Q，F'三点共线(F'在线段PQ上)时取等号，
所以|PQ|+|PF|的最大值为5.
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13课时跟踪检测(六十)　椭圆的定义及标准方程
一、单选题
1.若椭圆+=1上点P到上焦点的距离为4,则点P到下焦点的距离为 (　　)
A.6 B.3
C.4 D.2
2.已知动点A(x,y)满足等式=8-,则点A的轨迹方程是 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.在平面直角坐标系Oxy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则= (　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·武汉模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的标准方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+x2=1 D.+y2=1
5.已知椭圆C:+=1(0A.4 B.5
C.6 D.8
6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点B在y轴上,△AF1F2的面积为2,则C的方程为 (　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
二、多选题
7.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹可能是 (　　)
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.直线
8.已知椭圆C1:+=1与C2:+=1,则 (　　)
A.C1的短轴长与C2的长轴长相等
B.C1与C2的离心率相等
C.C1与C2的焦点横坐标按照从小到大的顺序排列构成等差数列
D.C2上存在两点,使得C1上任意一点到这两点距离之和为定值
9.已知椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的点,则下列说法正确的是 (　　)
A.△PF1F2的周长为4
B.△PF1F2面积的最大值为
C.|+|的最小值为2
D.若△PA1A2的面积为2,则点P的横坐标为±
三、填空题
10.椭圆+y2=1的两个焦点分别是F1,F2,点P是椭圆上任意一点,则·的取值范围是　　　　.
11.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,若F2为线段AB的中点,则△AF1B的面积为　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F1(-1,0),△PF1F2的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;(4分)
(2)若=2,求点P的坐标.(6分)
13.(10分)已知动点P与两定点A(2,0),B(-2,0)连线的斜率之积为-,点F(-1,0),点Q(1,1).
(1)求点P的轨迹方程;(4分)
(2)求|PQ|+|PF|的最大值.(6分)
课时跟踪检测(六十)
1.选A　由椭圆方程+=1,得a2=25,即a=5.设下焦点为F1,上焦点为F2,则|PF1|+|PF2|=2a=10.因为|PF2|=4,所以|PF1|=6,即点P到下焦点的距离为6.
2.快审准解:根据动点A(x,y)满足等式=8-,得到点A的轨迹是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆求解.
选D　因为动点A(x,y)满足等式=8-,所以表示点A到点F1(-3,0),F2(3,0)的距离之和为8,且|F1F2|=6<8,所以点A的轨迹是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆,其中a=4,c=3,b2=7,所以椭圆的方程是+=1,故选D.
3.选D　根据题意,由椭圆的方程可得a=5,b=3,则其焦点坐标为(-4,0)和(4,0),恰好是A,C两点,则|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10.由正弦定理可得==,故选D.
4.选B　由对称性知|AF2|=|AB|=,
又|F1F2|=2,则|AF1|===,所以2a=|AF1|+|AF2|=4,a=2,又c=1,则b==,所以椭圆C的标准方程为+=1.故选B.
5.快审准解:|PF1|+|PF2|=6,设|F1F2|=n,由△PF1F2是等腰三角形,利用余弦定理求出n,即可求m的值.
选B　依题意得|PF1|+|PF2|=6,设|F1F2|=n,不妨设点P在第一象限,若|PF1|=|F1F2|=n,则|PF2|=6-n(06.选D　如图,∵O为线段F1F2的中点,B为线段AF1的中点,
∴OB∥AF2.又OB⊥x轴,∴AF2⊥x轴.在Rt△AF2F1中,∠AF1F2=,设|AF2|=t(t>0),则|AF1|=2t,|F1F2|=t.∵△AF1F2的面积为2,∴×t×t=2,t=2.∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6,a=3,2c=|F1F2|=t=2,c=,b2=a2-c2=6,则C的方程为+=1.
7.选BC　由题意知,定点F1(0,-2),F2(0,2),可得|F1F2|=4,因为a>0,所以|PF1|+|PF2|=a+≥2=4,当且仅当a=,即a=2时取得等号.当a+=4时,可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时点P的轨迹是线段F1F2;当a+>4时,可得|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时点P的轨迹是椭圆.故选BC.
8.快审准解:根据长轴、短轴、离心率、焦点以及椭圆定义,可得答案.
选ABD　C1的短轴长与C2的长轴长都是4,故A正确;C1的离心率为=,C2的离心率为=,故B正确;C1与C2的焦点横坐标按照从小到大的顺序排列依次为-2,-,,2,不是等差数列,故C错误;C2的长轴端点恰好是C1的焦点,则C1上任意一点到这两点的距离之和为2a=4,故D正确.故选ABD.
9.选BC　由题意得a=2,b=,c=1,F1(-1,0),F2(1,0),
短轴的一个端点B2(0,),如图所示.对于A,|PF1|+|PF2|=2a=4,故△PF1F2的周长为4+2=6,故A错误;对于B,利用椭圆的性质可知△PF1F2面积的最大值为×2×=,故B正确;对于C,|+|=2||,设P(2cos θ,sin θ),从而||==≥,所以|+|min=2,故C正确;对于D,因为=|A1A2||yP|=2|yP|=2,所以|yP|=1,则+=1,解得xP=±,故D错误.
10.解析:设F1为左焦点,则由椭圆方程得F1(-1,0),F2(1,0),设P(x,y),-≤x≤,∴=(-1-x,-y),=(1-x,-y),则·=x2+y2-1=∈[0,1].
答案:[0,1]
11.解析:由题意可知F1(-,0),F2(,0),因为点F2为线段AB的中点,所以AB⊥F1F2,所以|AB|==1,
所以=|AB|·|F1F2|=.
答案:
12.解:(1)由椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),可得c=1,即2c=2.
又由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a.
因为△PF1F2的周长为8,所以2a+2c=2a+2=8,解得a=3,所以b2=a2-c2=8,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)设点P(x0,y0),且F1(-1,0),F2(1,0),则|F1F2|=2.
因为=2,所以|F1F2||y0|=×2×|y0|=2,解得|y0|=2,即y0=±2.
将y0=±2代入椭圆+=1,可得=,即=,解得x0=±,
所以点P的坐标为或或或.
13.解:(1)设P(x,y),则kPA=(x≠2),kPB=(x≠-2),
由kPA·kPB=-,得·=-,整理得+=1(x≠±2).
故点P的轨迹方程为+=1(x≠±2).
(2)
由(1)知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆,其中a=2,b=,c==1,
故点F(-1,0)为椭圆的左焦点.设椭圆的右焦点为F'(1,0).
因为+<1,所以点Q在椭圆内.
由椭圆的定义得|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF'|≤|QF'|+2a=1+4=5,
当P,Q,F'三点共线(F'在线段PQ上)时取等号,所以|PQ|+|PF|的最大值为5.

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