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第六节 双曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.了解双曲线的简单应用.
教材再回首
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的　　　,两焦点间的距离叫做双曲线的　　　.
(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
性质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:　　　　　对称中心:　　　
顶点 顶点坐标:A1　 　,A2　　　　 顶点坐标:A1　　,A2　　　
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=　　　　,e∈(1,+∞)
a,b,c 的关系 c2=　　　
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　　　　; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　　　　; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线 e= 渐近线为y=±x 方程x2-y2=λ(λ≠0).
解题结论拓展
(1)离心率e==,e越大,双曲线的“张口”越大.
(2)双曲线的焦点到渐近线的距离为b,顶点到渐近线的距离为.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径,其长为;异支的焦点弦中最短的为实轴,其长为2a.
(4)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a.
(5)焦点三角形中一般要用到的关系是
(6)若渐近线方程为y=±x,则双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
典题细发掘
1.(人A选必修①P127 T1改编)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|= (　　)
A.1 B.17
C.1或17 D.以上均不对
2.(人A选必修①P121T3改编)已知曲线C的方程为+=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(-1,5)
B.(5,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1)∪(-1,5)∪(5,+∞)
3.(北师大选必修①P68T3改编)点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
4.(人B选必修①P155T3改编)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
题点一　双曲线的定义及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1)
(2)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积为 (　　)
A.48 B.24
C.64 D.96
|谨记结论|
　　已知三角形的三边长,可以用海伦公式求其面积,即S=,其中a,b,c是三角形的三边长,p=.
|思维建模|
(1)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
[即时训练]
1.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,|PF1|=3|PF2|,则∠F1PF2的大小为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　.
题点二　双曲线的标准方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)(2024·济南三模)已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)已知双曲线的离心率e=,且该双曲线经过点(2,2),则该双曲线的标准方程为　　　　　　.
|思维建模|
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.
(2)待定系数法:用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.
[即时训练]
3.(2024·成都二模)已知直线y=x是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(2,2)在双曲线C上,则双曲线C的方程为 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为　　　　　　　.
题点三　双曲线的几何性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　渐近线问题
[例3]　(2024·石家庄三模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实半轴长为,其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则双曲线C的渐近线方程为 (　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
|思维建模|
　　求双曲线-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0.双曲线焦点到渐近线的距离为b,这个结论要熟记.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(二)　离心率问题
[例4]
(1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点F1,F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.(1,3)　　　　　　　　　B.(1,3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　　.
[考教衔接]
[例4]第(2)题源自苏教版选择性必修①P128T5:若经过双曲线-=1的一个焦点,且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A,B两点,则线段AB的长为　　　　　.
启示:高考题是教材题的深加工,教材题得到一个结论是过双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点且与实轴垂直的弦长为.而高考题应用此结论解题,既能简化运算步骤,快速解决问题,也能对某些解答题有一定的启发作用,这说明要充分挖掘教材的一些题目,探究栏目隐含的某些性质结论.
|思维建模| 求双曲线离心率的方法
求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
考法(三)　最值(范围)问题
[例5]　已知P为双曲线-=1上一动点,过原点的直线l交双曲线于A,B两点,其中A(3,),则·的最小值为 (　　)
A.-6 B.-9
C.-12 D.-15
|思维建模|
与双曲线有关的最值(范围)问题的解题策略
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化求解.
(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决.
(3)若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可建立目标函数,利用函数或基本不等式求最值.
[即时训练]
5.设双曲线C1:x2-y2=1,C2:-=1(b>0)的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则b= (　　)
A.1 B.2
C. D.
6.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 (　　)
A.(1,) B.(1,1+)
C.(,+∞) D.(1+,+∞)
7.已知F1,F2为双曲线C:-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则双曲线C的渐近线方程为　　　　;|+|的最小值为　　　　.
拓展与建模:椭圆、双曲线中的二级结论
椭圆的焦点 三角形 在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,则△PF1F2的面积S△PF1F2=b2tan,其中θ=∠F1PF2.当点P位于短轴的端点处时,∠F1PF2最大
双曲线的 焦点三角形 在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上不同于顶点的任意一点,则△PF1F2的面积S△PF1F2=,其中θ=∠F1PF2
椭圆焦半 径的数量 关系式 设点P(xP,yP)在椭圆+=1(a>b>0)上,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,e为椭圆的离心率,则|PF1|=a+exP,|PF2|=a-exP
双曲线 焦半径的 数量关系式 设点P(xP,yP)在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,e为双曲线的离心率,则|PF1|=|a+exP|,|PF2|=|a-exP|
　　　　　　　　　　　　　　　　
[针对训练]
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,若点P是双曲线上任意一点,且满足|PO|2=|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为 (　　)
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
2.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　)
A.7 B.3
C. D.2
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.12
4.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,直线x=与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 (　　)
A. B.
C.[-1,1) D.
5.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),过F2的直线与C的右支交于A,B两点.若=2,|AB|=|F1B|,则双曲线C的方程为　　　　　　.
　
第六节　双曲线
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.距离的差的绝对值　焦点　焦距
2.坐标轴　原点　(-a,0)　(a,0)　(0,-a)　(0,a)　　
a2+b2　2a　2b
[典题细发掘]
1.选B　根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8 |PF2|=1或|PF2|=17.又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17.故选B.
2.选C　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得k<-1.
3.选A　双曲线-=1的渐近线方程是±=0,即3x±4y=0.由点到直线的距离公式,得=.故选A.
4.选D　由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x,点(3,-4)在渐近线上,∴=,∴e===.故选D.
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)C　(2)A
(1)设动圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|C1C2|=6,|MC2|-|MC1|=2<6,所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,解得a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8,所以动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
易错提醒:此处易忽视是差的绝对值还是差是常数,而导致轨迹双曲线是两支还是一支的错误.
(2)法一　由题意,知a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在等腰△PF1F2中,过F2作PF1的垂线,交PF1于点Q,则|F2Q|==6,所以=|PF1|·|F2Q|=48.故选A.
法二　由题意,知a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠PF1F2==.因为0<∠PF1F2<π,所以sin∠PF1F2=,所以=|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=48.故选A.
法三　由题意知,a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在△PF1F2中,根据海伦公式,得==48.故选A.
[即时训练]
1.选C　根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4,又因为|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=6,|PF2|=2.又因为|F1F2|=2,所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得cos∠F1PF2==.因为0°<∠F1PF2<180°,所以∠F1PF2的大小为60°.
2.解析:因为F是双曲线-=1的左焦点,所以F(-4,0),设其右焦点为H(4,0),则由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9(当A,P,H三点共线时取等号).
答案:9
规律方法:在利用双曲线的定义求最值时,如果所求的式子不易直接求最值,那么可以先利用关系式|PF1|=2a+|PF2|或|PF2|=2a+|PF1|进行转化,然后利用三角形三边的关系来求最值.
题点二
[例2]　(1)A　(2)-x2=1
(1)由双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠1),又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1.
规律方法:待定系数法求双曲线方程的类型
(1)与双曲线-=1有公共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
(2)若已知双曲线的一条渐近线方程为y=x或y=-x,则可设双曲线方程为-=λ(λ≠0);
(3)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2(4)与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ(2)由题意,知e===,解得a=2b,当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵点(2,2)在该双曲线上,∴-=1,即-=1,此方程无解;当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵点(2,2)在该双曲线上,∴-=1,即-=1,解得b=1,∴a=2,∴该双曲线的标准方程为-x2=1.
[即时训练]
3.选C　由双曲线C:-=1,则其渐近线方程为y=±x,由题意可得=,整理可得b=a,将(2,2)代入双曲线方程可得-=1,解得a2=6,b2=12,所以双曲线C的方程为-=1.
4.解析:令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距c=2.
由双曲线C的离心率为,得=,解得a=,则b==,所以双曲线C的方程为-=1.
答案:-=1
题点三
[例3]　选B　设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上焦点为(0,c),双曲线的渐近线方程为by±ax=0,由点到直线的距离公式可得==b=3.又双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实半轴长为,所以a=,所以双曲线C的渐近线方程为3y±x=0,即y=±x.
[例4]　(1)B　(2)
(1)设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=m=2a.又因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(当且仅当三点共线时取等号),所以3m≥2c,即6a≥2c,所以e=≤3.又因为e>1,所以e∈(1,3],故选B.
(2)易知|AB|==10,|AF2|==5,又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=5+2a=13,解得a=4,代入=5,得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===.
[例5]　快审准解:由已知可得B(-3,-),再根据向量数量积公式化简,结合点P在双曲线上,可得最值.
选B　设P(x0,y0),则-=1,即=6+.又直线l过原点,且双曲线关于坐标原点对称,可得A(3,)与B关于坐标原点对称,则B(-3,-),所以=(3-x0,-y0),(-3-x0,--y0),即·=-9+-6=-9,又y0∈R,即·=-9的最小值为-9,故选B.
[即时训练]
5.选A　由双曲线C1:x2-y2=1,可得其离心率为e1=.又由双曲线C2:-=1(b>0),可得其离心率为e2==,因为e2=e1,所以=×,解得b=1.
6.选B　依题意,得0<∠AF2F1<,故01,所以17.解析:由题意知双曲线C的焦点在y轴上,a=,b=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.设P(x,y)(x∈R),连接PO(O为坐标原点)(图略),则|PO|===≥(当且仅当x=0时取等号).因为O为F1F2的中点,所以|+|=|2|=2||≥2,故|+|的最小值为2.
答案:y=±x　2
拓展与建模
1.选D　设P(x0,y0),则≥a2,由焦半径公式可知|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0-a|,其中e为双曲线的离心率,易知e2-a2>0,则由|PO|2=|PF1|·|PF2|,得+=+b2=e2-a2,可得=b2-a2,则a2=b2,故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选D.
2.选B　法一　如图,由题意知,双曲线C的半焦距c==2,则|F1F2|=4,因为|OP|=2,所以|OP|=|F1F2|,从而∠F1PF2=90°,故===3.
法二　设P(xP,yP)因为|OP|=2,所以=2　①.又点P在双曲线C上,所以-=1　②,由①②得yP=±.又双曲线C的半焦距c==2,所以=c|yP|=3.
3.选D　设椭圆的半焦距为c,由e=,得=,即a=2c.设△F1PF2的内切圆的半径为r,则由△F1PF2的内切圆的面积为3π,可得πr2=3π,解得r=(舍负).在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知=b2tan=r(2a+2c),即b2=(a+c).结合a2=b2+c2,易得a=6,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.故选D.
4.选D　法一　由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|=-c==|PF|∈[a-c,a+c],
于是∈[a-c,a+c],即ac-c2≤b2≤ac+c2,
所以
又e∈(0,1),故e∈.
法二:焦半径公式　设点P(x0,y0),
则有|PF|=|FA|,即a-ex0=-c,解得x0=+a-,
又因为x0∈[-a,a],所以有-a≤+a-≤a,
两边同时除以a,可以解得≤e<1.
5.解析:如图,令|F2B|=t,
则|AF2|=2t,∴|AB|=|F1B|=3t.
又+=,
∴+=,即=,
又|F1B|-|F2B|=2a,∴3t-t=2a,∴t=a,
∴=,即3b2=4a2,
又c=,∴a2+b2=7,解得b2=4,a2=3,
故双曲线C的方程为-=1.
答案:-=1(共82张PPT)
第六节
双曲线
明确目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.了解双曲线的简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的_________________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的______,两焦点间的距离叫做双曲线的_____.
距离的差的绝对值
焦点
焦距
(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
续表
性质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:_______　对称中心:_____
顶点 顶点坐标:A1__________,A2__________ 顶点坐标:A1________,A2_______
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=___,e∈(1,+∞)
a,b,c 的关系 c2=_________
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=___; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=___; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
坐标轴
原点
(-a,0)
(a,0)
(0,-a)
(0,a)
a2+b2
2a
2b
3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线 e= 渐近线为y=±x 方程x2-y2=λ(λ≠0).
解题结论拓展
(1)离心率e==,e越大,双曲线的“张口”越大.
(2)双曲线的焦点到渐近线的距离为b,顶点到渐近线的距离为.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径,其长为;异支的焦点弦中最短的为实轴,其长为2a.
(4)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a.
(5)焦点三角形中一般要用到的关系是

(6)若渐近线方程为y=±x,则双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
典题细发掘
1.(人A选必修①P127 T1改编)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=(　　)
A.1 B.17
C.1或17 D.以上均不对
解析:根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8 |PF2|=1或|PF2|=17.又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17.故选B.
√
2.(人A选必修①P121T3改编)已知曲线C的方程为+=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-1,5) B.(5,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(-1,5)∪(5,+∞)
解析:若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得k<-1.
√
3.(北师大选必修①P68T3改编)点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析:双曲线-=1的渐近线方程是±=0,即3x±4y=0.由点到直线的距离公式,得=.故选A.
√
4.(人B选必修①P155T3改编)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析:由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x,点(3,-4)在渐近线上,∴=,∴e===.故选D.
√
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.x2-=1 B.-y2=1
C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1)
√
题点一　双曲线的定义及其应用
解析:设动圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|C1C2|=6,|MC2|-|MC1|=2<6,所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,解得a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8,所以动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
易错提醒
此处易忽视是差的绝对值还是差是常数,而导致轨迹双曲线是两支还是一支的错误.
(2)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积为(　　)
A.48 B.24
C.64 D.96
解析:法一　由题意,知a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在等腰△PF1F2中,过F2作PF1的垂线,交PF1于点Q,则|F2Q|==6,所以S△PF1F2=|PF1|·|F2Q|=48.故选A.
√
法二　由题意，知a=3，b=4，c=5，|PF1|-|PF2|=2a=6，且|PF2|=|F1F2|=2c=10，所以|PF1|=16.在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠PF1F2==.因为0<∠PF1F2<π，所以sin∠PF1F2=，所以S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=48.故选A.
法三　由题意知，a=3，b=4，c=5，|PF1|-|PF2|=2a=6，且|PF2|=|F1F2|=2c=10，所以|PF1|=16.在△PF1F2中，根据海伦公式，得S△PF1F2==48.故选A.
已知三角形的三边长,可以用海伦公式求其面积,
即S=,
其中a,b,c是三角形的三边长,p=.
谨记结论
(1)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
思维建模
1.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,|PF1|=3|PF2|,则∠F1PF2的大小为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4,又因为|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=6,|PF2|=2.又因为|F1F2|=2,所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得cos∠F1PF2==.因为0°<∠F1PF2<180°,所以∠F1PF2的大小为60°.
即时训练
√
2.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动点,则|PF|+|PA|的最小值为_____.
解析:因为F是双曲线-=1的左焦点,所以F(-4,0),设其右焦点为H(4,0),则由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|
=4+=4+5=9(当A,P,H三点共线时取等号).
9
在利用双曲线的定义求最值时,如果所求的式子不易直接求最值,那么可以先利用关系式|PF1|=2a+|PF2|或|PF2|=2a+|PF1|进行转化,然后利用三角形三边的关系来求最值.
规律方法
[例2] (1)(2024·济南三模)已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
√
题点二　双曲线的标准方程
解析:由双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠1),又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1.
待定系数法求双曲线方程的类型
(1)与双曲线-=1有公共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
(2)若已知双曲线的一条渐近线方程为y=x或y=-x,则可设双曲线方程为-=λ(λ≠0);
规律方法
(3)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2(4)与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ(2)已知双曲线的离心率e=,且该双曲线经过点(2,2),则该双曲线的标准方程为_________.
解析:由题意,知e===,解得a=2b,当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵点(2,2)在该双曲线上,∴-=1,即-=1,此方程无解;当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵点(2,2)在该双曲线上,∴-=1,即-=1,解得b=1,∴a=2,∴该双曲线的标准方程为-x2=1.
-x2=1
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.
(2)待定系数法:用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.
思维建模
3.(2024·成都二模)已知直线y=x是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(2,2)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
即时训练
√
解析:由双曲线C:-=1,则其渐近线方程为y=±x,由题意可得=,整理可得b=a,将(2,2)代入双曲线方程可得-=1,解得a2=6,b2=12,所以双曲线C的方程为-=1.
4.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为________.
解析:令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距c=2.
由双曲线C的离心率为,得=,解得a=,则b==,
所以双曲线C的方程为-=1.
-=1
考法(一)　渐近线问题
[例3]　(2024·石家庄三模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实半轴长为,其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
√
题点三　双曲线的几何性质
解析:设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上焦点为(0,c),双曲线的渐近线方程为by±ax=0,由点到直线的距离公式可得==b=3.又双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实半轴长为,所以a=,所以双曲线C的渐近线方程为3y±x=0,即y=±x.
求双曲线-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0.双曲线焦点到渐近线的距离为b,这个结论要熟记.
思维建模
考法(二)　离心率问题
[例4] (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点F1,F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A.(1,3) B.(1,3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
解析:设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=m=2a.又因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(当且仅当三点共线时取等号),所以3m≥2c,即6a≥2c,所以e=≤3.又因为e>1,所以e∈(1,3],故选B.
√
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为____.
解析:易知|AB|==10,|AF2|==5,又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=5+2a=13,解得a=4,代入=5,得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===.
|考|教|衔|接|
本题源自苏教版选择性必修①P128T5:若经过双曲线-=1的一个焦点,且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A,B两点,则线段AB的长为_________.
启示:高考题是教材题的深加工,教材题得到一个结论是过双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点且与实轴垂直的弦长为.而高考题应用此结论解题,既能简化运算步骤,快速解决问题,也能对某些解答题有一定的启发作用,这说明要充分挖掘教材的一些题目,探究栏目隐含的某些性质结论.
求双曲线离心率的方法
求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
思维建模
考法(三)　最值(范围)问题
[例5]　已知P为双曲线-=1上一动点,过原点的直线l交双曲线于A,B两点,其中A(3,),则·的最小值为(　　)
A.-6 B.-9
C.-12 D.-15
快审准解:由已知可得B(-3,-),再根据向量数量积公式化简,结合点P在双曲线上,可得最值.
√
解析:设P(x0,y0),则-=1,即=6+.又直线l过原点,且双曲线关于坐标原点对称,可得A(3,)与B关于坐标原点对称,则B(-3,-),所以=(3-x0,-y0),(-3-x0,--y0),即·=-9+-6=-9,又y0∈R,即·=-9的最小值为-9,故选B.
与双曲线有关的最值(范围)问题的解题策略
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化求解.
(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决.
(3)若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可建立目标函数,利用函数或基本不等式求最值.
思维建模
5.设双曲线C1:x2-y2=1,C2:-=1(b>0)的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则b=(　　)
A.1 B.2 C. D.
解析:由双曲线C1:x2-y2=1,可得其离心率为e1=.又由双曲线C2:-=1(b>0),可得其离心率为e2==,因为e2=e1,所以=×,解得b=1.
即时训练
√
6.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.(1,) B.(1,1+)
C.(,+∞) D.(1+,+∞)
解析:依题意,得0<∠AF2F1<,故01,所以1√
7.已知F1,F2为双曲线C:-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则双曲线C的渐近线方程为_________;|+|的最小值为_____.
解析:由题意知双曲线C的焦点在y轴上,a=,b=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.设P(x,y)(x∈R),连接PO(O为坐标原点)(图略),则|PO|===≥(当且仅当x=0时取等号).因为O为F1F2的中点,所以|+|=|2|=2||≥2,故|+|的最小值为2.
　2
y=±x
拓展与建模
椭圆、双曲线中的二级结论
椭圆的焦点三角形 在椭圆+=1(a>b>0)中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，则△PF1F2的面积 ，其中θ=∠F1PF2.当点P位于短轴的端点处时，∠F1PF2最大
续表
双曲线的焦点三角形 在双曲线-=1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上不同于顶点的任意一点，则△PF1F2
的面积 ，其中θ=∠F1PF2
椭圆焦半径的数量关系式 设点P(xP，yP)在椭圆+=1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，e为椭圆的离心率，则|PF1|=a+exP，|PF2|=a-exP
续表
双曲线焦半径的数量关系式 设点P(xP，yP)在双曲线-=1(a>0，b>0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，e为双曲线的离心率，则|PF1|=|a+exP|，|PF2|=|a-exP|
[针对训练]
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,若点P是双曲线上任意一点,且满足|PO|2=|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
√
解析:设P(x0,y0),则≥a2,由焦半径公式可知|PF1|=|ex0+a|,|PF2|
=|ex0-a|,其中e为双曲线的离心率,易知e2-a2>0,则由|PO|2=|PF1|·|PF2|,得+=+b2=e2-a2,可得=b2-a2,则a2=b2,故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选D.
2.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.7 B.3
C. D.2
解析:法一　如图,由题意知,双曲线C的半焦距
c==2,则|F1F2|=4,因为|OP|=2,所以|OP|=|F1F2|,
从而∠F1PF2=90°,故S△PF1F2===3.
√
法二　设P(xP,yP)因为|OP|=2,所以=2　①.又点P在双曲线C上,所以-=1　②,由①②得yP=±.又双曲线C的半焦距c==2,所以S△PF1F2=c|yP|=3.
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.12
√
解析:设椭圆的半焦距为c,由e=,得=,即a=2c.设△F1PF2的内切圆的半径为r,则由△F1PF2的内切圆的面积为3π,可得πr2=3π,解得r=(舍负).在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知S△F1PF2=b2tan=r(2a+2c),即b2=(a+c).结合a2=b2+c2,易得a=6,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.故选D.
4.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,直线x=与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C.[-1,1) D.
√
解析:法一　由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|=-c==|PF|∈[a-c,a+c],
于是∈[a-c,a+c],即ac-c2≤b2≤ac+c2,
所以
又e∈(0,1),故e∈.
法二:焦半径公式　设点P(x0,y0),
则有|PF|=|FA|,即a-ex0=-c,
解得x0=+a-,又因为x0∈[-a,a],
所以有-a≤+a-≤a,
两边同时除以a,可以解得≤e<1.
5.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),过F2的直线与C的右支交于A,B两点.若=2,|AB|=|F1B|,则双曲线C的方程为_________.
解析:如图,令|F2B|=t,
则|AF2|=2t,
∴|AB|=|F1B|=3t.
-=1
又+=,
∴+=,即=,又|F1B|-|F2B|=2a,∴3t-t=2a,∴t=a,∴=,即3b2=4a2,
又c=,∴a2+b2=7,解得b2=4,a2=3,
故双曲线C的方程为-=1.
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03
一、单选题
1.已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件满足动点P的轨迹为双曲线的是 (　　)
A.|PF1|-|PF2|=±7 　B.|PF1|-|PF2|=±6
C.|PF1|-|PF2|=±4 　D.|PF1|2-|PF2|2=±6
解析:由题意,因为|F1F2|=6,所以由双曲线的定义知,当0<||PF1|-|PF2||<6时,动点P的轨迹为双曲线.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是(　　)
A.(-2,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-1,2)
解析:因为方程-=1表示双曲线,所以(2+m)(1-m)>0,即(m+2)(m-1)<0,解得-2√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
3.(2025·南昌模拟)若双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),则实数m的取值范围为(　　)
A.(0,4) B.(0,8)
C.(1,9) D.(8,+∞)
解析:由已知条件,得m>0.因为双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),e=,所以1<<3,解得0√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
4.(2025·郑州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为,则此双曲线的离心率e为(　　)
A.2或 B.
C. D.或2
解析:由题意得双曲线的渐近线方程为y=±x,而两条渐近线的夹角为,故y=x的倾斜角为或,故=或=,e==或2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
5.(2025·漳州模拟)已知双曲线C:x2-y2=4,点M为C上一点,过M分别作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAMB (O为原点)的面积为 (　　)
A.1 B.2
C.4 D.6
快审准解:先确定四边形OAMB为矩形,然后设点M(m,n),求出其到两条渐近线的距离,相乘计算即可得答案.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:双曲线C:x2-y2=4,即-=1,为等轴双曲线,渐近线的夹角为90°,则四边形OAMB为矩形,设点M(m,n),且m2-n2=4,点M(m,n)到渐近线x-y=0的距离为,点M(m,n)到渐近线
x+y=0的距离为,则四边形的面积为
·==2.故选B.
1
5
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2
3
4
13
6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A是圆O:x2+y2=c2上一点,线段F2A交双曲线C的右支于点B,|F2A|=a,=3,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:如图,由题意可知|F2B|=,|AB|=,由双曲线的定义可知|BF1|=+2a=,易得∠F1AF2=90°,则在Rt△F1AB中,由勾股定理可得|AF1|=a.在Rt△F1AF2中,(a)2+a2=(2c)2,所以e=.故选A.
1
5
6
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9
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12
2
3
4
13
7.(2025·杭州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且|FB|=4|FA|,∠AFB=,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
快审准解:利用焦半径三角形及双曲线的定义,再结合余弦定理,就可以求得离心率,从而也就可以求得渐近线方程.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:设双曲线的右焦点为F2,连接AF2,BF2,如图所示,由A,B关于原点对称,可知四边形FAF2B是平行四边形,即|FA|=|F2B|,∠FBF2=.
1
5
6
7
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10
11
12
2
3
4
13
由|FB|=4|FA|得|FB|=4|F2B|.又由双曲线的定义得|FB|-|F2B|=2a,解得|FB|=,|F2B|=,再由余弦定理得|FF2|2=|FB|2+|F2B|2-2|FB|·|F2B|cos∠FBF2,4c2=a2+a2-2×a×a×cos=a2,即e=.又====,故渐近线方程为y=±x.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
二、多选题
8.已知双曲线C:-=1,则(　　)
A.m的取值范围是(-6,3)
B.m=1时,C的渐近线方程为y=±x
C.C的焦点坐标为(-3,0),(3,0)
D.C可以是等轴双曲线
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
√
√
解析:因为C:-=1表示双曲线,所以(m+6)(3-m)>0,解得-6
0,3-m>0,所以焦点在x轴上,设C的半焦距为c(c>0),则c2=m+6+3-m=9,解得c=3,故其焦点坐标为(-3,0),(3,0),所以C正确;若C为等轴双曲线,则3-m=m+6,解得m=-
∈(-6,3),所以D正确.
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9.已知双曲线C上的点到点(2,0)和(-2,0)的距离之差的绝对值为2,则下列结论正确的是 (　　)
A.双曲线C的标准方程为x2-=1
B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为
D.圆x2+y2=4与双曲线C恰有两个公共点
√
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√
解析:根据双曲线的定义,得c=2,2a=2,所以a=1,b==
=,所以双曲线C的方程为x2-=1,A正确.双曲线C的渐近线方程为y=±x,B错误.双曲线C的一个焦点坐标为(2,0),则其到渐近线的距离d==,C正确.圆x2+y2=4的圆心为原点,半径为2,而双曲线的实轴端点坐标为(±1,0),所以圆与双曲线的公共点有4个,D错误.
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三、填空题
10.(2025·贵州模拟)我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C:-=1(b>0),则C的虚轴长为__.
解析:因为e====,即1+=,解得b=2,所以C的虚轴长为4.
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11.已知双曲线C:-=1的左焦点为F,且P是双曲线上的一点,则|PF|的最小值为____.
解析:设P(x0,y0),且-=1,F(-5,0),又|PF|2=(x0+5)2+=+10x0
+25+16=,又x0≤-3或x0≥3,所以|PF|min==2,即|PF|的最小值为2,当点P为双曲线左顶点时取最小值.
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四、解答题
12.(13分)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求这两个曲线的方程;(5分)
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解:由已知c=,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m,n,则解得a=7,m=3,所以b=6,n=2.所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.
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(2)若P为这两个曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.(8分)
解:不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,
则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.
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13.(15分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离;(5分)
解:不妨设M在双曲线的右支上,点M到x轴的距离为h,
∵·=0,∴MF1⊥MF2.设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知m-n=2a=8.①在Rt△F1MF2中,由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得mn=8.∵=mn=4=×2ch,∴h=.即点M到x轴的距离为.
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(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.(10分)
解:设双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16).
∵双曲线C过点(3,2),∴-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴双曲线C的方程为-=1.
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13课时跟踪检测(六十二)　双曲线
一、单选题
1.已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件满足动点P的轨迹为双曲线的是 (　　)
A.|PF1|-|PF2|=±7
B.|PF1|-|PF2|=±6
C.|PF1|-|PF2|=±4
D.|PF1|2-|PF2|2=±6
2.方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 (　　)
A.(-2,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-1,2)
3.(2025·南昌模拟)若双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),则实数m的取值范围为 (　　)
A.(0,4) B.(0,8)
C.(1,9) D.(8,+∞)
4.(2025·郑州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为,则此双曲线的离心率e为 (　　)
A.2或 B.
C. D.或2
5.(2025·漳州模拟)已知双曲线C:x2-y2=4,点M为C上一点,过M分别作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAMB (O为原点)的面积为 (　　)
A.1 B.2
C.4 D.6
6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A是圆O:x2+y2=c2上一点,线段F2A交双曲线C的右支于点B,|F2A|=a,=3,则双曲线C的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
7.(2025·杭州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且|FB|=4|FA|,∠AFB=,则双曲线的渐近线方程为 (　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
二、多选题
8.已知双曲线C:-=1,则 (　　)
A.m的取值范围是(-6,3) B.m=1时,C的渐近线方程为y=±x
C.C的焦点坐标为(-3,0),(3,0) D.C可以是等轴双曲线
9.已知双曲线C上的点到点(2,0)和(-2,0)的距离之差的绝对值为2,则下列结论正确的是 (　　)
A.双曲线C的标准方程为x2-=1 B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为 D.圆x2+y2=4与双曲线C恰有两个公共点
三、填空题
10.(2025·贵州模拟)我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C:-=1(b>0),则C的虚轴长为　　　　　.
11.已知双曲线C:-=1的左焦点为F,且P是双曲线上的一点,则|PF|的最小值为　　　　.
四、解答题
12.(13分)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求这两个曲线的方程;(5分)
(2)若P为这两个曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.(8分)
13.(15分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离;(5分)
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.(10分)
课时跟踪检测(六十二)
1.选C　由题意,因为|F1F2|=6,所以由双曲线的定义知,当0<||PF1|-|PF2||<6时,动点P的轨迹为双曲线.
2.选A　因为方程-=1表示双曲线,所以(2+m)(1-m)>0,即(m+2)(m-1)<0,解得-23.选B　由已知条件,得m>0.因为双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),e=,所以1<<3,解得04.选A　由题意得双曲线的渐近线方程为y=±x,而两条渐近线的夹角为,故y=x的倾斜角为或,故=或=,e==或2.
5.快审准解:先确定四边形OAMB为矩形,然后设点M(m,n),求出其到两条渐近线的距离,相乘计算即可得答案.
选B　双曲线C:x2-y2=4,即-=1,为等轴双曲线,渐近线的夹角为90°,则四边形OAMB为矩形,设点M(m,n),且m2-n2=4,点M(m,n)到渐近线x-y=0的距离为,点M(m,n)到渐近线x+y=0的距离为,则四边形的面积为·==2.故选B.
6.选A　如图,由题意可知|F2B|=,|AB|=,
由双曲线的定义可知|BF1|=+2a=,易得∠F1AF2=90°,则在Rt△F1AB中,由勾股定理可得|AF1|=a.在Rt△F1AF2中,(a)2+a2=(2c)2,所以e=.故选A.
7.快审准解:利用焦半径三角形及双曲线的定义,再结合余弦定理,就可以求得离心率,从而也就可以求得渐近线方程.
选C　设双曲线的右焦点为F2,连接AF2,BF2,如图所示,
由A,B关于原点对称,可知四边形FAF2B是平行四边形,即|FA|=|F2B|,∠FBF2=.由|FB|=4|FA|得|FB|=4|F2B|.又由双曲线的定义得|FB|-|F2B|=2a,解得|FB|=,|F2B|=,再由余弦定理得|FF2|2=|FB|2+|F2B|2-2|FB|·|F2B|cos∠FBF2,4c2=a2+a2-2×a×a×cos=a2,即e=.又====,故渐近线方程为y=±x.
8.选ACD　因为C:-=1表示双曲线,所以(m+6)(3-m)>0,解得-60,3-m>0,所以焦点在x轴上,设C的半焦距为c(c>0),则c2=m+6+3-m=9,解得c=3,故其焦点坐标为(-3,0),(3,0),所以C正确;若C为等轴双曲线,则3-m=m+6,解得m=-∈(-6,3),所以D正确.
9.选AC　根据双曲线的定义,得c=2,2a=2,所以a=1,b===,所以双曲线C的方程为x2-=1,A正确.双曲线C的渐近线方程为y=±x,B错误.双曲线C的一个焦点坐标为(2,0),则其到渐近线的距离d==,C正确.圆x2+y2=4的圆心为原点,半径为2,而双曲线的实轴端点坐标为(±1,0),所以圆与双曲线的公共点有4个,D错误.
10.解析:因为e====,即1+=,解得b=2,所以C的虚轴长为4.
答案:4
11.解析:设P(x0,y0),且-=1,F(-5,0),又|PF|2=(x0+5)2+=+10x0+25+16=,又x0≤-3或x0≥3,所以|PF|min==2,即|PF|的最小值为2,当点P为双曲线左顶点时取最小值.
答案:2
12.解:(1)由已知c=,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m,n,则解得a=7,m=3,所以b=6,n=2.所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.
(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,
则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.
13.解:(1)不妨设M在双曲线的右支上,点M到x轴的距离为h,
∵·=0,∴MF1⊥MF2.设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知m-n=2a=8.①
在Rt△F1MF2中,由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得mn=8.∵=mn=4=×2ch,
∴h=.即点M到x轴的距离为.
(2)设双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16).
∵双曲线C过点(3,2),∴-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴双曲线C的方程为-=1.

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