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第2课时　椭圆的性质及应用
题点一　利用椭圆的性质求标准方程
[例1]　(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
|思维建模|
待定系数法求椭圆方程的步骤
　　利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
(1)确定焦点位置.在椭圆的性质中,焦点的位置、长轴(或短轴)的位置、长轴(或短轴)的端点坐标都可以确定焦点所在的坐标轴;一个顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等不能确定焦点所在的坐标轴,此时需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论.
(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).
(3)根据已知条件建立关于参数的方程(组),利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式为b2=a2-c2,e=等.
[即时训练]
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(0,4),离心率为,则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
题点二　求椭圆的离心率
[例2]
(1)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F1B|,则椭圆C的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
(2)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 (　　)
A.　　　　　　　　　B.
C.(0,1) D.
|思维建模| 求椭圆离心率的方法
　　解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下:
(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解.
(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[即时训练]
3.(2025·福州模拟)已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上,椭圆的两个焦点分别在边AD和BC上,则该椭圆的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
4.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　.
题点三　与椭圆有关的最值、范围问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　已知椭圆C的方程为+y2=1,点A是椭圆C的下顶点,点M是椭圆C上任意一点,则|MA|的最大值是 (　　)
A.2 B.4
C. D.
|思维建模|
求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路
(1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析.
(2)注意利用椭圆中的范围,如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0(3)列出所求目标的解析式,构造函数,利用单调性或基本不等式求最值或范围.
[即时训练]
5.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的一条直线与C交于A,B两点,且AF1⊥AB,|BF2|=1,则椭圆长轴长的最小值是 (　　)
A.4 B.3+2
C.6 D.4+2
6.已知椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C上一动点,则的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
第2课时　椭圆的性质及应用
题点一
[例1]　选B　依题意得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1.又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1,故选B.
[即时训练]
1.选D　依题意b=4,又=,且a2=b2+c2,所以a=5,c=3,故椭圆C的方程为+=1.
2.选D　设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则椭圆C的面积为S=πab=20π.又e===,联立解得所以椭圆C的标准方程为+=1.
题点二
[例2]　(1)C　(2)A
(1)如图,因为△ABF1的周长为4a,|AF1|=|AF2|=a,|AB|=|F1B|,所以|AB|=|F1B|=,|BF2|=.又cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,所以+=0 3c2=a2 ==e,所以椭圆C的离心率为,故选C.
(2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为 ·=0 ⊥,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又点M总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c[即时训练]
3.选C　不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),当x=c时,y=±,所以|AB|=2c,|BC|=,因为四边形ABCD为正方形,所以2c=,即b2=ac,所以a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=.因为e∈(0,1),所以e=.
4.解析:若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则以原点为圆心,F1F2为直径的圆与椭圆必有交点,如图,可得c≥b,即c2≥b2,所以2c2≥a2,即e2≥.又0答案:
题点三
[例3]　选C　因为椭圆C的方程为+y2=1,所以A(0,-1),设M(x,y),则+y2=1,故x2=4-4y2,且-1≤y≤1,所以|MA|2=x2+(y+1)2=4-4y2+(y+1)2=-3y2+2y+5=-3+,当y=时,|MA|2取得最大值,故|MA|max=.故选C.
[即时训练]
5.选B　设|AF2|=t(t>0),则|AB|=t+1,|BF1|=2a-1,|AF1|=2a-t,由AF1⊥AB,可得(t+1)2+(2a-t)2=(2a-1)2,则2a=>0,有t>1,所以2a==(t-1)++3≥3+2=3+2,当且仅当t-1=,即t=1+时取等号,则椭圆长轴长的最小值是3+2.
6.快审准解:先根据椭圆a,b,c之间的关系,求出c=a,再根据椭圆的定义,把|AF1|换成2a-|AF2|,最后根据|AF2|∈[a-c,a+c],代入即可.
选B　设椭圆C的半焦距为c(c>0),则c==a,==-1,因为|AF2|∈[a-c,a+c],即|AF2|∈,所以-1∈,即∈.(共51张PPT)
第2课时　椭圆的性质及应用
目录
01.题点一　利用椭圆的性质求标准方程
02.题点二　求椭圆的离心率
04.课时跟踪检测
03.题点三　与椭圆有关的最值、范围问题
[例1]　(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
√
题点一　利用椭圆的性质求标准方程
解析:依题意得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),
=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1.又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1,故选B.
待定系数法求椭圆方程的步骤
利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
(1)确定焦点位置.在椭圆的性质中,焦点的位置、长轴(或短轴)的位置、长轴(或短轴)的端点坐标都可以确定焦点所在的坐标轴;一个顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等不能确定焦点所在的坐标轴,此时需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论.
(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).
(3)根据已知条件建立关于参数的方程(组),利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式为b2=a2-c2,e=等.
思维建模
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(0,4),离心率为,则椭圆C的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:依题意b=4,又=,且a2=b2+c2,所以a=5,c=3,故椭圆C的方程为+=1.
即时训练
√
2.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
√
解析:设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则椭圆C的面积为S=πab=20π.又e===,联立解得所以椭圆C的标准方程为+=1.
[例2]
(1)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F1B|,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
√
题点二　求椭圆的离心率
解析:如图,因为△ABF1的周长为4a,|AF1|=|AF2|=a,|AB|=|F1B|,所以|AB|=|F1B|=,|BF2|=.
又cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,
所以+=0 3c2=a2 ==e,
所以椭圆C的离心率为,故选C.
(2)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A.　　　　 B.
C.(0,1) D.
√
解析:设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为 ·=0 ⊥,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又点M总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c求椭圆离心率的方法
　　解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下:
(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解.
(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e.
思维建模
3.(2025·福州模拟)已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上,椭圆的两个焦点分别在边AD和BC上,则该椭圆的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
即时训练
√
解析:不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),当x=c时,y=±,所以|AB|=2c,|BC|=.因为四边形ABCD为正方形,所以2c=,即b2=ac,所以a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=.因为e∈(0,1),所以e=.
4.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e的取值范围为_______.
解析:若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则以原点为圆心,F1F2为直径的圆与椭圆必有交点,如图,可得c≥b,即c2≥b2,所以2c2≥a2,即e2≥.又0[例3]　已知椭圆C的方程为+y2=1,点A是椭圆C的下顶点,点M是椭圆C上任意一点,则|MA|的最大值是(　　)
A.2 　　　　B.4
C. 　　　　D.
√
题点三　与椭圆有关的最值、范围问题
解析:因为椭圆C的方程为+y2=1,所以A(0,-1),设M(x,y),则+y2=1,故x2=4-4y2,且-1≤y≤1,所以|MA|2=x2+(y+1)2=4-4y2+(y+1)2=-3y2+2y+5=-3+,当y=时,|MA|2取得最大值,故|MA|max=.故选C.
求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路
(1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析.
(2)注意利用椭圆中的范围,如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0(3)列出所求目标的解析式,构造函数,利用单调性或基本不等式求最值或范围.
思维建模
5.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的一条直线与C交于A,B两点,且AF1⊥AB,|BF2|=1,则椭圆长轴长的最小值是(　　)
A.4 B.3+2
C.6 D.4+2
即时训练
√
解析:设|AF2|=t(t>0),则|AB|=t+1,|BF1|=2a-1,|AF1|=2a-t,由AF1⊥AB,可得(t+1)2+(2a-t)2=(2a-1)2,则2a=>0,有t>1,所以2a==(t-1)++3≥3+2=3+2,当且仅当t-1=,即t=1+时取等号,则椭圆长轴长的最小值是3+2.
6.已知椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C上一动点,则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
快审准解:先根据椭圆a,b,c之间的关系,求出c=a,再根据椭圆的定义,把|AF1|换成2a-|AF2|,最后根据|AF2|∈[a-c,a+c],代入即可.
√
解析:设椭圆C的半焦距为c(c>0),
则c==a,==-1,因为|AF2|∈[a-c,a+c],
即|AF2|∈,所以-1∈,
即∈.
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课时跟踪检测
04
一、单选题
1.已知椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点坐标为(1,0),则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析:由椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(1,0),得a2-3=1,解得a=2(舍负).所以椭圆C的离心率为e==.故选B.
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2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,焦距为2,则该椭圆的方程为(　　)
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
快审准解:根据离心率和焦距可得进而可得b2,即可得方程.
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解析:由题意可知可得则b2=9-2=7,所以该椭圆的方程为+=1.故选C.
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3.已知直线l:y=-(x-1)经过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点A,则C的长轴长为(　　)
A.4 B.2
C.3 D.2
快审准解:根据倾斜角,结合椭圆的性质即可求解.
√
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解析:l:y=-(x-1)的斜率为-,经过点(1,0),故其倾斜角为,因此∠AFO=.由于|AO|=b,|OF|=c=1,所以tan∠AFO==,所以b=,故a==2,故长轴长为2a=4.故选A.
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4.(2025·北京开学考试)已知圆锥曲线+=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根,则满足条件的m的值有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
快审准解:解方程得x=或x=3,讨论e=或e=3,结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置,进而求参数值,即可得结果.
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解析:由3x2-10x+3=0 (3x-1)(x-3)=0,则x=或x=3.当e=时,曲线为椭圆,当椭圆的焦点在x轴上时,04,则=,可得m=,符合;当e=3时,曲线为双曲线,则m<0,则=9,可得m=-32,符合.综上,m有3个不同的值.故选C.
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5.已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点,若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
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解析:如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=,
由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=>0,
得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=.
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6.(2025·开封模拟)如图,椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
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解析:由椭圆的对称性可知|CF2|=|BF1|,所以|AF1|+|CF2|=|AF1|+|BF1|=|AB|.因为弦AB,CD分别过椭圆E的左、右焦点,且AB∥CD,所以|AB|∈.又a=,b2=4,所以|AB|∈,故选C.
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7.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,若的最大值是4,则椭圆C的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
快审准解:由椭圆的定义得到=-1,再结合|PF1|∈[a-c,a+c],得到当|PF1|=a-c时,取得最大值,从而得到a=c,即可求出a2,从而得解.
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解析:由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,所以==-1.又|PF1|∈[a-c,a+c],所以当|PF1|=a-c时,取得最大值,=-1=4,即a=c= ,解得a2=,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.
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8.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|≤|FA|≤|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
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解析:如图所示,设椭圆的左焦点为F',由椭圆的对称性可知,四边形AFBF'为平行四边形.又·=0,即FA⊥FB,所以四边形AFBF'为矩形,所以|AB|=|FF'|=2c,设|AF'|=n,|AF|=m,
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在Rt△AFB中,m+n=2a,m2+n2=4c2,得mn=2b2,所以+=,令=t,得t+=.由|FB|≤|FA|≤|FB|,得=t∈,所以t+=∈,所以 ∈ ,即∈,所以∈,所以椭圆C的离心率的取值范围为e∈.
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二、多选题
9.已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是(　　)
A.椭圆C的方程为+x2=1
B.椭圆C的方程为+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为4
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解析:由已知,得2b=2,b=1,=.又a2=b2+c2,解得a2=3.∴椭圆C的方程为+x2=1,∴|PQ|===,△PF2Q的周长为4a=4.
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10.(2025·黄山模拟)已知椭圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的任意一点,则 (　　)
A.C的离心率为 B.|PF1|+|PF2|=8
C.|PF1|的最大值为4+2 D.使∠F1PF2为直角的点P有4个
快审准解:根据椭圆的标准方程求出a,b,c,由离心率定义判断A,由椭圆定义判断B,由椭圆的几何性质判断C,根据以线段F1F2为直径的圆与椭圆交点个数判断D.
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解析:由原方程可得椭圆标准方程为+=1,∴a=4,b=2,∴c=
2,∴e==,故A错误;由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=8,故B正确;由椭圆的性质知|PF1|max=a+c=4+2,故C正确;易知以线段F1F2为直径的圆与C有4个交点(因为b13
三、填空题
11. (2025·绵阳开学考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,右顶点为B,A为C上一动点(不与左、右顶点重合),设△AF1F2的周长为m,|BF2|=n,若=4,则C的离心率为_____.
解析:依题意,则a=n,c=n,所以离心率e==.
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12.如图,已知椭圆+=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为____.
解析:由题意可得F1(0,1),F2(0,-1),设P(m,n),
所以+=1,0≤m2≤5,=(-m,1-n),=(-m,
-1-n),所以·=(-m,1-n)·(-m,-1-n)=m2-1+n2=m2-1+6=-+5≤5,所以·的最大值为5.
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四、解答题
13.(15分)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(5分)
解:∵|AF1|=|AF2|=a,且∠F1AF2=90°,
|F1F2|=2c,∴2a2=4c2,∴a=c,∴e==.
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(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.(10分)
解:由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),
由=2,解得x=,y=-.代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,∴b2=a2-c2=2.∴椭圆方程为+=1.
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14.(15分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率;(5分)
解:由题意,不妨设椭圆上的点P的坐标为,
代入椭圆方程可得+=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),
∴2a2=3c2,∴离心率e=.
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(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B两点,且AB是圆M:(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.(10分)
解:由(1)得椭圆E的方程为+=1,
易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立∴(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
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又x1+x2=2,∴k=,∴x1x2=,
则|AB|=
==2,∴b2=,则a2=10,
∴椭圆E的标准方程为+=1.
13课时跟踪检测(六十一)　椭圆的性质及应用
一、单选题
1.已知椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点坐标为(1,0),则椭圆C的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,焦距为2,则该椭圆的方程为 (　　)
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
3.已知直线l:y=-(x-1)经过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点A,则C的长轴长为 (　　)
A.4 B.2
C.3 D.2
4.(2025·北京开学考试)已知圆锥曲线+=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根,则满足条件的m的值有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点,若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·开封模拟)如图,椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
7.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,若的最大值是4,则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|≤|FA|≤|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
9.已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是 (　　)
A.椭圆C的方程为+x2=1
B.椭圆C的方程为+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为4
10.(2025·黄山模拟)已知椭圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的任意一点,则 (　　)
A.C的离心率为
B.|PF1|+|PF2|=8
C.|PF1|的最大值为4+2
D.使∠F1PF2为直角的点P有4个
三、填空题
11. (2025·绵阳开学考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,右顶点为B,A为C上一动点(不与左、右顶点重合),设△AF1F2的周长为m,|BF2|=n,若=4,则C的离心率为　　　　.
12.如图,已知椭圆+=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　.
四、解答题
13.(15分)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(5分)
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.(10分)
14.(15分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率;(5分)
(2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B两点,且AB是圆M:(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.(10分)
课时跟踪检测(六十一)
1.选B　由椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(1,0),得a2-3=1,解得a=2(舍负).所以椭圆C的离心率为e==.故选B.
2.快审准解:根据离心率和焦距可得进而可得b2,即可得方程.
选C　由题意可知可得则b2=9-2=7,所以该椭圆的方程为+=1.故选C.
3.快审准解:根据倾斜角,结合椭圆的性质即可求解.
选A　l:y=-(x-1)的斜率为-,经过点(1,0),故其倾斜角为,因此∠AFO=.由于|AO|=b,|OF|=c=1,所以tan∠AFO==,所以b=,故a==2,故长轴长为2a=4.故选A.
4.快审准解:解方程得x=或x=3,讨论e=或e=3,结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置,进而求参数值,即可得结果.
选C　由3x2-10x+3=0 (3x-1)(x-3)=0,则x=或x=3.当e=时,曲线为椭圆,当椭圆的焦点在x轴上时,04,则=,可得m=,符合;当e=3时,曲线为双曲线,则m<0,则=9,可得m=-32,符合.综上,m有3个不同的值.故选C.
5.选C　如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=,
由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=>0,得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=.
6.选C　由椭圆的对称性可知|CF2|=|BF1|,所以|AF1|+|CF2|=|AF1|+|BF1|=|AB|.因为弦AB,CD分别过椭圆E的左、右焦点,且AB∥CD,所以|AB|∈.又a=,b2=4,所以|AB|∈,故选C.
7.快审准解:由椭圆的定义得到=-1,再结合|PF1|∈[a-c,a+c],得到当|PF1|=a-c时,取得最大值,从而得到a=c,即可求出a2,从而得解.
选D　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,所以==-1.又|PF1|∈[a-c,a+c],所以当|PF1|=a-c时,取得最大值,=-1=4,即a=c= ,解得a2=,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.
8.选B　如图所示,
设椭圆的左焦点为F',由椭圆的对称性可知,四边形AFBF'为平行四边形.又·=0,即FA⊥FB,所以四边形AFBF'为矩形,所以|AB|=|FF'|=2c,设|AF'|=n,|AF|=m,在Rt△AFB中,m+n=2a,m2+n2=4c2,得mn=2b2,所以+=,令=t,得t+=.由|FB|≤|FA|≤|FB|,得=t∈,所以t+=∈,所以 ∈ ,即∈,所以∈,所以椭圆C的离心率的取值范围为e∈.
9.选ACD　由已知,得2b=2,b=1,=.
又a2=b2+c2,解得a2=3.∴椭圆C的方程为+x2=1,∴|PQ|===,△PF2Q的周长为4a=4.
10.快审准解:根据椭圆的标准方程求出a,b,c,由离心率定义判断A,由椭圆定义判断B,由椭圆的几何性质判断C,根据以线段F1F2为直径的圆与椭圆交点个数判断D.
选BCD　由原方程可得椭圆标准方程为+=1,∴a=4,b=2,∴c=2,∴e==,故A错误;由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=8,故B正确;由椭圆的性质知|PF1|max=a+c=4+2,故C正确;易知以线段F1F2为直径的圆与C有4个交点(因为b11.解析:依题意,则a=n,c=n,
所以离心率e==.
答案:
12.解析:由题意可得F1(0,1),F2(0,-1),设P(m,n),所以+=1,0≤m2≤5,=(-m,1-n),=(-m,-1-n),所以·=(-m,1-n)·(-m,-1-n)=m2-1+n2=m2-1+6=-+5≤5,所以·的最大值为5.
答案:5
13.解:(1)∵|AF1|=|AF2|=a,且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c,
∴2a2=4c2,∴a=c,∴e==.
(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),
由=2,解得x=,y=-.
代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,
∴b2=a2-c2=2.∴椭圆方程为+=1.
14.解:(1)由题意,不妨设椭圆上的点P的坐标为,代入椭圆方程可得+=1,即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2),
∴2a2=3c2,∴离心率e=.
(2)由(1)得椭圆E的方程为+=1,
易知直线l的斜率存在,设其方程为
y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
∴(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
又x1+x2=2,∴k=,∴x1x2=,
则|AB|=
= =2,
∴b2=,则a2=10,∴椭圆E的标准方程为+=1.

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