资源简介

(共72张PPT)
第七节
抛物线
明确目标
1.理解抛物线的定义、几何图形、标准方程,以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____,直线l叫做抛物线的_____.
相等
焦点
准线
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
续表
对称轴 ______ _____
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线 方程 _____ x= _____ y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
x轴
y轴
x=-
y=-
续表
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0,y0)) |PF|=_____ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+
x0+
解题结论拓展
若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
(1)x1x2=;
(2)y1y2=-p2;
(3)|AF|=,|BF|=,+=;
(4)弦长|AB|=x1+x2+p=,抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短;
(5)S△OAB=(其中O为坐标原点);
(6)以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(7)过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　　)
(2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线,焦点坐标是(1,0).(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　)
×
×
×
2.(人B选必修①P162T2改编)抛物线x2=y的准线方程为(　　)
A.y=- B.x=-
C.y= D.x=
解析:由抛物线的标准方程可得,抛物线的焦点位于y轴正半轴上,焦点坐标为,准线方程为y=-.
√
3.(人A选必修①P133T3改编)抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为 (　　)
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=2x D.y2=x
解析:由题意可得|MF|=xM+,则3+=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.
√
4.(苏教选必修①P128T10改编)若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则点M到该抛物线焦点的距离为____.
解析:设M,M到坐标原点O的距离为=,解得y2=2,故x==1.点M到该抛物线焦点的距离为x+=1+=.
课堂·题点精研
02
[例1] (1)(2023·北京高考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　)
A.7 B.6
C.5 D.4
解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.
√
题点一　抛物线的定义及应用
(2)动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,则点P的轨迹是 (　　)
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:如图所示,由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,于是动点P在直线x=-4的右边,
且动点P到直线x+4=0的距离大于2,因此动点
P到直线x=-2的距离等于它到点M(2,0)的距离,
进而根据抛物线的定义,可知点P的轨迹是抛物线.
√
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,在解题过程中注意两者之间的相互转化.
(3)最值问题:通过距离转化,利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.
思维建模
1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为 (　　)
A.3 B.
C.5 D.
即时训练
√
解析:由题意知抛物线的准线方程为x=-1,分别过点M,N作准线的垂线,垂足为M',N'(图略),根据抛物线的定义得|MF|=|MM'|,|NF|=
|NN'|,所以|MF|+|NF|=|MM'|+|NN'|,所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|+|NF|)=.故线段MN的中点到y轴的距离为-1=.
2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则弦AB的中点到x轴的最短距离为___.
解析:由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1(图略),设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1(图略),则|MM1|=.因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点M到x轴的距离d≥2,故最短距离为2.
2
[例2]　已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的标准方程为_______.
解析:法一:解直角三角形法　不妨设点P在第一
象限,作出图形如图所示,由题易得|OF|=,|PF|=p,
∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以=,即=,解得p=3,所以C的标准方程为y2=6x.
题点二　抛物线的标准方程
y2=6x
法二:应用射影定理法　由题易得|OF|=,|PF|=p,|PF|2=|OF|·|FQ|,则p2=×6,解得p=3或p=0(舍去),所以C的标准方程为y2=6x.
法三:斜率法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以不妨设P,所以kOP=2.因为PQ⊥OP,所以kPQ=-.因为Q为x轴上一点,所以设Q(x0,0),则=-,得x0=,所以|FQ|=-=6,解得p=3,所以C的标准方程为y2=6x.
法四:向量法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以P的横坐标为,不妨取P.
因为Q为x轴上一点,且PQ⊥OP,所以Q在F的右侧.又|FQ|=6,
所以Q,所以=(6,-p).因为PQ⊥OP,所以·=×6-p2=0.又p>0,所以p=3,所以C的标准方程为y2=6x.
抛物线标准方程的求法
(1)定义法:根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式,要注意判断焦点位置及开口方向.
(2)待定系数法:当焦点位置不确定时,注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2=mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2=my(m≠0).
思维建模
3.在平面直角坐标系Oxy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-4x D.y2=-8x
解析:由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,所以p=4,轨迹方程为y2=-8x.
即时训练
√
4.(人A选必修①P135“思考”改编)已知抛物线对称轴为坐标轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-2),则抛物线的标准方程为________________.
解析:根据题意,当抛物线焦点在x轴上时,经过点M(2,-2),设抛物线方程为y2=2px(p>0),所以=2p×2,解得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.当抛物线焦点在y轴上时,经过点M(2,-2),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),所以22=-2p×(-2),解得p=,所以抛物线的标准方程为x2=-y.综上,抛物线的标准方程为y2=4x或x2=-y.
x2=-y或y2=4x
考法(一)　焦半径和焦点弦
[例3]
(1)(2025·武汉调研)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|=(　　)
A.3 B.6
C.9 D.12
√
题点三　抛物线的几何性质
解析:抛物线y2=6x的焦点F,准线l:x=-.设P(x0,y0)(x0>0,
y0>0),则Q,因为直线QF的倾斜角为120°,所以kQF===-,即y0=3,所以x0===,所以|PF|=x0+=+=6.
(2)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=______.
解析:直线AB的方程为y=x-,与抛物线方程联立消去y得x2-3px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=3p.根据抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=4p=8,所以p=2.
2
考法(二)　与抛物线有关的最值问题
[例4]　设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为___.
解析:如图,过点B作BQ垂直于准线,
交准线于点Q,交抛物线于点P1,
连接P1F,则|P1Q|=|P1F|.
又F(1,0),则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
4
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决.
转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
思维建模
5.设抛物线C的焦点为F,点E是C的准线与C的对称轴的交点,点P在C上,若∠PEF=30°,则sin∠PFE= (　　)
A. B.
C. D.
即时训练
√
解析:由于抛物线的对称性,不妨设抛物线为C:y2=2px(p>0),则其焦点为F,点E是C的准线与C的对称轴的交点,其坐标为E,点P在C上,设为P(x0,y0),
若∠PEF=30°,则tan∠PEF
==,且|PF|=x0+,
则sin∠PFE=sin(π-∠PFE)==.
6.[多选]已知直线l过抛物线E:y2=4x的焦点F,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别过A,B作抛物线的准线l1的垂线,垂足分别为A1,B1,以线段A1B1为直径作圆M,O为坐标原点,则下列结论正确的有 (　　)
A.x1+x2≥2 B.△AOB为钝角三角形
C.点F在圆M外部 D.直线A1F平分∠OFA
√
√
√
解析:如图所示,由抛物线的焦半径公式可知|AB|=x1+x2+2≥2p=4,所以x1+x2≥2,故A正确;·=x1x2+y1y2=+y1y2,令直线l的方程为x=my+1,代入y2=4x得y2-4my-4=0,所以y1y2=-4,所以·=-3<0,所以△AOB是钝角三角形,故B正确;由|AA1|=|AF|可知∠AA1F=∠AFA1,又AA1∥OF,所以∠AA1F=∠OFA1=∠AFA1,所以直线FA1平分∠AFO,同理可得FB1平分∠BFO,所以A1F⊥B1F,即∠A1FB1=90°,所以圆M经过点F,故C错误,D正确.
7.(2025·北京西城高三期末)已知抛物线C:y2=8x.则C的准线方程为______;设C的顶点为O,焦点为F.点P在C上,点Q与点P关于y轴对称.若QF平分∠PFO,则点P的横坐标为___.
解析:抛物线y2=8x,2p=8,=2,所以准线方程为x=-2,
焦点F(2,0).设P,则Q,由于PQ∥x轴,
QF平分∠PFO,所以∠PQF=∠PFQ,所以|PQ|=|PF|,
即×2=+=+2,t2=16,所以P的横坐标为==2.
x=-2
2
拓展与建模
活用抛物线焦点弦的4个性质
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
性质1:x1·x2=.
性质2:y1·y2=-p2.
性质3:|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角).
性质4:+=为定值.
[典例]　过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于 (　　)
A.4 B. C.5 D.6
解题观摩:利用性质3解题:
由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图.
设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD
于E,设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=
3m,由抛物线的定义知|AD|=|AF|=2m,|BC|=
|BF|=m,所以cos θ==,则sin2θ=.又y2=4x,
知2p=4,故由弦长公式得|AB|==.
利用性质4解题:
因为|AF|=2|BF|,+=+===1,
解得|BF|=,|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=.
[针对训练]
1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析:由2p=3,及|AB|=,得|AB|==12.又原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,故S△OAB=|AB|·d=×12×=.
√
2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则AB的长为 (　　)
A.5 B.6
C. D.
√
解析:法一　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴交于点E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=,所以|AB|=x1+x2+p=3++2=.
法二　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴的交点为E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.因为+=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.
3.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|的最小值为 (　　)
A.2　 　 B.2+3　 　
C.4　 　 D.3+2
解析:因为p=2,所以+==1,所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)
·=3++≥3+2 =3+2,当且仅当|BF|=|AF|时,等号成立,因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+2.
√
4.[多选]已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是(　　)
A.+=1 　　B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| 　　D.F为AD的中点
√
√
√
解析:法一　如图,过点B作x=-的垂线,垂足为B',又F,直线l的斜率为,则直线l的方程为y=.联立得12x2-20px+3p2=0.解得xA=,xB=.
由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p==8,得p=3.所以抛物线的方程为y2=6x.则|AF|=xA+=2p=6,故B正确;|BF|=8-|AF|=2,|BD|===4,所以|BD|=2|BF|,故C正确;|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确;而+=,故A错误.
法二　设直线AB的倾斜角为θ,利用抛物线的焦点弦的性质,|AB|==8,得p=3.所以|AF|==6,|BF|==2,+=
=.在Rt△DB'B中,cos θ=,所以|BD|=4,|DF|=|BF|+|BD|=6.因此F为AD的中点.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.抛物线y=x2的准线方程是(　　)
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
解析:∵y=x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=-1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.(2025·南昌开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(3,0),P(2,t)是抛物线C上一点,则|PF|= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:由焦点坐标可知=3,由抛物线定义可知|PF|=2+=5,故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
3.(2025·西宁模拟)已知面积为的等边△OAB(O为坐标原点)的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,则p=(　　)
A. B.
C. D.2
解析:因为等边△OAB的面积为,所以OA=2,不妨设点A是第一象限的点,则结合抛物线的对称性可知A(,1),所以1=2p,解得p=.故选A.
√
1
5
6
7
8
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10
11
12
2
3
4
13
4.(2025·保定开学考试)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:如图,由题意得,F(1,0),A到l的距离为|AD|,|AD|=|AF|=|AB|,即点A在线段FB的垂直平分线上,所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方,代入得,A(2,2),所以△AFB面积为×2×2=2.故选B.
1
5
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2
3
4
13
5.(2025·盐城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线2x-y-4=0交于A,B两点,且|AB|=3.若抛物线C的焦点为F,则|AF|+|BF|=(　　)
A.7 B.7
C.6 D.5
解析:由题设,得x=+2,代入抛物线可得y2-py-4p=0,所以yA+yB=p,yAyB=-4p,则|AB|=×=3,则p2+16p-36=0,解得p=-18(舍去)或p=2,故xA+xB=+4=5,由抛物线定义知|AF|+|BF|=xA+xB+p=7.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
6.已知点P为抛物线y2=8x上一点,过点P作圆C:(x-5)2+y2=1的两条切线,切点分别为M,N,则cos∠MPN的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
快审准解:设点P(t,s),根据给定条件,结合切线长定理及二倍角的余弦公式将cos∠MPN转化为关于t的函数,再求出函数的最小值即得.
√
1
5
6
7
8
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12
2
3
4
13
解析:设点P(t,s),则s2=8t,由PM,PN切圆C于点M,N,得∠MPN=2∠CPM,且CM⊥PM,因此cos∠MPN=1-2sin2∠CPM=1-2·=1-,而|CP|2=(t-5)2+s2=t2-2t+25=(t-1)2+24≥24,当且仅当t=1时取等号,所以当t=1时,cos∠MPN取得最小值1-=.
1
5
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2
3
4
13
二、多选题
7.(2024·长沙二模)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,则下列说法正确的是(　　)
A.抛物线C的焦点坐标是(-1,0)
B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x=1
D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
√
1
5
6
7
8
9
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2
3
4
13
√
解析:因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,所以抛物线C的方程为y2=-4x,则抛物线C的焦点坐标是(-1,0),准线方程为x=1,故A、C正确;抛物线C关于x轴对称,故B错误;抛物线C的焦点到准线的距离为2,故D错误.
1
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3
4
13
8.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则 (　　)
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
√
√
解析:因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,即得p=4,A正确;设M(x0,y0)在y2=8x上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+≥=|OF|,B正确;
1
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2
3
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13
因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|=x0+2等于M到C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确;当∠OFM=120°时,x0>2,由对称性不妨设直线MF的倾斜角为60°,则=tan 60°=,且=8x0,y0>0,所以-8y0-16=0,y0=4或y0=-(舍去),所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,D错误.故选ABC.
1
5
6
7
8
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3
4
13
9.(2025·重庆期末)已知点O为坐标原点,直线y=x+1与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,C的焦点为F,则下列选项正确的是 (　　)
A.|AB|=8
B.OA⊥OB
C.+=1
D.线段AB的中点到x轴的距离为2
快审准解:联立方程组求得y1+y2=6,y1y2=1,且y1=3+2,y2=3-2,结合选项及抛物线的定义和焦点弦,逐项判定,即可求解.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
√
解析:由抛物线C:x2=4y,可得焦点F(0,1),则直线y=x+1过抛物线C的焦点,联立方程组整理得y2-6y+1=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=6,y1y2=1.由抛物线的定义,可得|AB|= y1+y2+p=6+2=8,所以A正确;由·=x1x2+y1y2=(y1-1)(y2-1)+y1y2 =2y1y2-(y1+y2)+1=-3≠0,所以OA与OB不垂直,所以B错误;由y2-6y+1=0,可得y1=3+2,y2=3-2,由抛物线定义,可得|AF|=4+2,|BF|=4-2,则+=+=1,所以C正确;线段AB的中点到x轴的距离为=3,所以D错误.故选AC.
1
5
6
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8
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10
11
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2
3
4
13
三、填空题
10.(2024·天津高考)圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为____.
解析:由题意知圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),则F(1,0),故=1,p=2,由抛物线的定义得|AF|=xA+1=5,得xA=4.由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y=(x-1),即4x-3y-4=0,所以原点到直线AF的距离为=.
1
5
6
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9
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12
2
3
4
13
11.设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=____.
解析:由题意可得F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的准线:x=-3,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,根据抛物线的定义,得|AF|=|AC|= x1 +3,|BF|=|BD|= x2+3,
故|AF|+|BF|=x1+x2+6,因为AB的中
点为P(4,1),所以(x1+x2)=4,可得x1
+x2=8,所以|AF|+|BF|=x1+x2+6=14.
1
5
6
7
8
9
10
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12
2
3
4
13
14
四、解答题
12.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(5分)
解:因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=.
又F,所以直线l的方程为y=.联立消去y得4x2-20x+9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=5,故|AB|=x1+x2+p=5+3=8.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.(5分)
解:由抛物线定义及(1),
知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,
所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x=-,
所以M到准线的距离等于3+=.
1
5
6
7
8
9
10
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12
2
3
4
13
13.(15分)已知抛物线C:x2=my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程;(5分)
解:抛物线C的焦点为F,准线方程为y=-,所以焦点F到其准线的距离为=1.
因为m>0,所以m=2.所以抛物线C的方程为x2=2y.
1
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13
(2)过F的直线与抛物线C相交于A,B两点,在A,B处分别作抛物线C的切线,两条切线的交点为P,证明:AB⊥FP.(10分)
解:证明:由题意,知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+,代入抛物线方程x2=2y,整理得x2-2kx-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x1+x2=2k,x1x2=-1.
函数y=x2的导函数为y'=x,
故抛物线在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=x1x-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
同理,抛物线在点B处的切线方程为y=x2x-,
联立上述两切线方程,解得x0==k,y0==-.
因为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)(1,k),=,
所以·=(x2-x1)=(x2-x1)=0,所以AB⊥FP.
1
5
6
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9
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2
3
4
13第七节 抛物线
1.理解抛物线的定义、几何图形、标准方程,以及它们的简单几何性质.
　 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想
教材再回首
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　　　,直线l叫做抛物线的　　　.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 　　 　　
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线 方程 　　　 x= 　　　 y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 (其中 P(x0,y0)) |PF|= 　　　 |PF|= -x0+ |PF|= y0+ |PF|= -y0+
解题结论拓展
若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
(1)x1x2=;(2)y1y2=-p2;
(3)|AF|=,|BF|=,+=;
(4)弦长|AB|=x1+x2+p=,抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短;
(5)S△OAB=(其中O为坐标原点);
(6)以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(7)过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线. (　　)
(2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线,焦点坐标是(1,0). (　　)
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. (　　)
2.(人B选必修①P162T2改编)抛物线x2=y的准线方程为 (　　)
A.y=-　 B.x=-　
C.y=　 D.x=
3.(人A选必修①P133T3改编)抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为 (　　)
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=2x D.y2=x
4.(苏教选必修①P128T10改编)若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则点M到该抛物线焦点的距离为　　　　.
题点一　抛物线的定义及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2023·北京高考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|= (　　)
A.7 B.6
C.5 D.4
(2)动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,则点P的轨迹是 (　　)
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
|思维建模|
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,在解题过程中注意两者之间的相互转化.
(3)最值问题:通过距离转化,利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.
[即时训练]
1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为 (　　)
A.3 B.
C.5 D.
2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则弦AB的中点到x轴的最短距离为　　　　.
题点二　抛物线的标准方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的标准方程为　　　　　.
|思维建模|　抛物线标准方程的求法
(1)定义法:根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式,要注意判断焦点位置及开口方向.
(2)待定系数法:当焦点位置不确定时,注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2=mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2=my(m≠0).
[即时训练]
3.在平面直角坐标系Oxy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-4x D.y2=-8x
4.(人A选必修①P135“思考”改编)已知抛物线对称轴为坐标轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-2),则抛物线的标准方程为　　　　　　　　.
题点三　抛物线的几何性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　焦半径和焦点弦
[例3]
(1)(2025·武汉调研)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|= (　　)
A.3 B.6
C.9 D.12
(2)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=　　　　.
考法(二)　与抛物线有关的最值问题
[例4]　设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为　 　　.
|思维建模|　
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决.
转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
[即时训练]
5.设抛物线C的焦点为F,点E是C的准线与C的对称轴的交点,点P在C上,若∠PEF=30°,则sin∠PFE= (　　)
A. B.
C. D.
6.[多选]已知直线l过抛物线E:y2=4x的焦点F,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别过A,B作抛物线的准线l1的垂线,垂足分别为A1,B1,以线段A1B1为直径作圆M,O为坐标原点,则下列结论正确的有 (　　)
A.x1+x2≥2 B.△AOB为钝角三角形
C.点F在圆M外部 D.直线A1F平分∠OFA
7.(2025·北京西城高三期末)已知抛物线C:y2=8x.则C的准线方程为　　　　;设C的顶点为O,焦点为F.点P在C上,点Q与点P关于y轴对称.若QF平分∠PFO,则点P的横坐标为　　　　.
拓展与建模:活用抛物线焦点弦的4个性质
　　设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
性质1:x1·x2=.
性质2:y1·y2=-p2.
性质3:|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角).
性质4:+=为定值.
[典例]　过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于 (　　)
A.4 B.
C.5 D.6
解题观摩:利用性质3解题:
由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图.
设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于E,设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=3m,由抛物线的定义知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,所以cos θ==,则sin2θ=.又y2=4x,知2p=4,故由弦长公式得|AB|==.
利用性质4解题:
因为|AF|=2|BF|,+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=.
[针对训练]
1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　　)
A. B.
C. D.
2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则AB的长为 (　　)
A.5 B.6
C. D.
3.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|的最小值为 (　　)
A.2 B.2+3
C.4 D.3+2
4.[多选]已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 (　　)
A.+=1 B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点
第七节　抛物线
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.相等　焦点　准线
2.x轴　y轴　x=-　y=-　x0+
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.选A　由抛物线的标准方程可得,抛物线的焦点位于y轴正半轴上,焦点坐标为,准线方程为y=-.
3.选B　由题意可得|MF|=xM+,则3+=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.
4.解析:设M,M到坐标原点O的距离为=,解得y2=2,故x==1.点M到该抛物线焦点的距离为x+=1+=.
答案:
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)D　(2)D
(1)因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.
(2)如图所示,由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,于是动点P在直线x=-4的右边,且动点P到直线x+4=0的距离大于2,因此动点P到直线x=-2的距离等于它到点M(2,0)的距离,进而根据抛物线的定义,可知点P的轨迹是抛物线.
[即时训练]
1.选B　由题意知抛物线的准线方程为x=-1,分别过点M,N作准线的垂线,垂足为M',N'(图略),根据抛物线的定义得|MF|=|MM'|,|NF|=|NN'|,所以|MF|+|NF|=|MM'|+|NN'|,所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|+|NF|)=.故线段MN的中点到y轴的距离为-1=.
2.解析:由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1(图略),设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1(图略),则|MM1|=.因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点M到x轴的距离d≥2,故最短距离为2.
答案:2
题点二
[例2]　解析:法一:解直角三角形法　不妨设点P在第一象限,作出图形如图所示,由题易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,所以=,即=,解得p=3,所以C的标准方程为y2=6x.
法二:应用射影定理法　由题易得|OF|=,|PF|=p,|PF|2=|OF|·|FQ|,则p2=×6,解得p=3或p=0(舍去),
所以C的标准方程为y2=6x.
法三:斜率法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以不妨设P,所以kOP=2.因为PQ⊥OP,所以kPQ=-.因为Q为x轴上一点,所以设Q(x0,0),则=-,得x0=,所以|FQ|=-=6,解得p=3,所以C的标准方程为y2=6x.
法四:向量法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以P的横坐标为,不妨取P.因为Q为x轴上一点,且PQ⊥OP,所以Q在F的右侧.又|FQ|=6,所以Q,所以=(6,-p).因为PQ⊥OP,所以·=×6-p2=0.又p>0,所以p=3,所以C的标准方程为y2=6x.
答案:y2=6x
[即时训练]
3.选D　由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,所以p=4,轨迹方程为y2=-8x.
4.解析:根据题意,当抛物线焦点在x轴上时,经过点M(2,-2),
设抛物线方程为y2=2px(p>0),所以=2p×2,解得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.当抛物线焦点在y轴上时,经过点M(2,-2),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
所以22=-2p×(-2),解得p=,
所以抛物线的标准方程为x2=-y.
综上,抛物线的标准方程为y2=4x或x2=-y.
答案:x2=-y或y2=4x
题点三
[例3]　(1)B　(2)2
(1)抛物线y2=6x的焦点F,准线l:x=-.设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则Q,因为直线QF的倾斜角为120°,所以kQF===-,即y0=3,所以x0===,所以|PF|=x0+=+=6.
(2)直线AB的方程为y=x-,与抛物线方程联立消去y得x2-3px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=3p.根据抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=4p=8,所以p=2.
[例4]　解析:如图,过点B作BQ垂直于准线,交准线于点Q,交抛物线于点P1,连接P1F,则|P1Q|=|P1F|.又F(1,0),则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
答案:4
[即时训练]
5.选B　由于抛物线的对称性,不妨设抛物线为C:y2=2px(p>0),则其焦点为F,
点E是C的准线与C的对称轴的交点,其坐标为E,点P在C上,设为P(x0,y0),若∠PEF=30°,则tan∠PEF==,且|PF|=x0+,则sin∠PFE=sin(π-∠PFE)==.
6.选ABD　如图所示,由抛物线的焦半径公式可知|AB|=x1+x2+2≥2p=4,所以x1+x2≥2,故A正确;·=x1x2+y1y2=+y1y2,令直线l的方程为x=my+1,代入y2=4x得y2-4my-4=0,所以y1y2=-4,所以·=-3<0,所以△AOB是钝角三角形,故B正确;由|AA1|=|AF|可知∠AA1F=∠AFA1,又AA1∥OF,所以∠AA1F=∠OFA1=∠AFA1,所以直线FA1平分∠AFO,同理可得FB1平分∠BFO,所以A1F⊥B1F,即∠A1FB1=90°,所以圆M经过点F,故C错误,D正确.
7.解析:抛物线y2=8x,2p=8,=2,所以准线方程为x=-2,焦点F(2,0).设P,则Q,由于PQ∥x轴,QF平分∠PFO,所以∠PQF=∠PFQ,所以|PQ|=|PF|,即×2=+=+2,t2=16,所以P的横坐标为==2.
答案:x=-2　2
拓展与建模
1.选D　由2p=3,及|AB|=,得|AB|==12.
又原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,
故S△OAB=|AB|·d=×12×=.
2.选C　法一　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴交于点E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=,所以|AB|=x1+x2+p=3++2=.
法二　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴的交点为E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.因为+=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.
3.选D　因为p=2,所以+==1,
所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·=3++≥3+2 =3+2,当且仅当|BF|=|AF|时,等号成立,因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+2.
4.选BCD　法一　如图,过点B作x=-的垂线,垂足为B',又F,直线l的斜率为,则直线l的方程为y=.联立得12x2-20px+3p2=0.解得xA=,xB=.由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p==8,得p=3.所以抛物线的方程为y2=6x.则|AF|=xA+=2p=6,故B正确;|BF|=8-|AF|=2,|BD|===4,所以|BD|=2|BF|,故C正确;|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确;而+=,故A错误.
法二　设直线AB的倾斜角为θ,利用抛物线的焦点弦的性质,|AB|==8,得p=3.所以|AF|==6,|BF|==2,+==.在Rt△DB'B中,cos θ=,所以|BD|=4,|DF|=|BF|+|BD|=6.因此F为AD的中点.课时跟踪检测(六十三)　抛物线
一、单选题
1.抛物线y=x2的准线方程是 (　　)
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
2.(2025·南昌开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(3,0),P(2,t)是抛物线C上一点,则|PF|= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
3.(2025·西宁模拟)已知面积为的等边△OAB(O为坐标原点)的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,则p= (　　)
A. B.
C. D.2
4.(2025·保定开学考试)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
5.(2025·盐城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线2x-y-4=0交于A,B两点,且|AB|=3.若抛物线C的焦点为F,则|AF|+|BF|= (　　)
A.7 B.7
C.6 D.5
6.已知点P为抛物线y2=8x上一点,过点P作圆C:(x-5)2+y2=1的两条切线,切点分别为M,N,则cos∠MPN的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
7.(2024·长沙二模)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,则下列说法正确的是 (　　)
A.抛物线C的焦点坐标是(-1,0) B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x=1 D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
8.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则 (　　)
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
9.(2025·重庆期末)已知点O为坐标原点,直线y=x+1与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,C的焦点为F,则下列选项正确的是 (　　)
A.|AB|=8 B.OA⊥OB
C.+=1 D.线段AB的中点到x轴的距离为2
三、填空题
10.(2024·天津高考)圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为　　　　.
11.设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(5分)
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.(5分)
13.(15分)已知抛物线C:x2=my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程;(5分)
(2)过F的直线与抛物线C相交于A,B两点,在A,B处分别作抛物线C的切线,两条切线的交点为P,
证明:AB⊥FP.(10分)
课时跟踪检测(六十三)
1.选A　∵y=x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=-1.
2.选B　由焦点坐标可知=3,由抛物线定义可知|PF|=2+=5,故选B.
3.选A　因为等边△OAB的面积为,所以OA=2,不妨设点A是第一象限的点,则结合抛物线的对称性可知A(,1),所以1=2p,解得p=.故选A.
4.选B　如图,由题意得,F(1,0),A到l的距离为|AD|,|AD|=|AF|=|AB|,
即点A在线段FB的垂直平分线上,所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方,代入得,A(2,2),所以△AFB面积为×2×2=2.故选B.
5.选B　由题设,得x=+2,代入抛物线可得y2-py-4p=0,所以yA+yB=p,yAyB=-4p,则|AB|=×=3,则p2+16p-36=0,解得p=-18(舍去)或p=2,故xA+xB=+4=5,由抛物线定义知|AF|+|BF|=xA+xB+p=7.故选B.
6.快审准解:设点P(t,s),根据给定条件,结合切线长定理及二倍角的余弦公式将cos∠MPN转化为关于t的函数,再求出函数的最小值即得.
选D　设点P(t,s),则s2=8t,由PM,PN切圆C于点M,N,得∠MPN=2∠CPM,且CM⊥PM,因此cos∠MPN=1-2sin2∠CPM=1-2·=1-,而|CP|2=(t-5)2+s2=t2-2t+25=(t-1)2+24≥24,当且仅当t=1时取等号,所以当t=1时,cos∠MPN取得最小值1-=.
7.选AC　因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,所以抛物线C的方程为y2=-4x,则抛物线C的焦点坐标是(-1,0),准线方程为x=1,故A、C正确;抛物线C关于x轴对称,故B错误;抛物线C的焦点到准线的距离为2,故D错误.
8.选ABC　因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,
即得p=4,A正确;设M(x0,y0)在y2=8x上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+≥=|OF|,B正确;因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|=x0+2等于M到C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确;当∠OFM=120°时,x0>2,由对称性不妨设直线MF的倾斜角为60°,则=tan 60°=,且=8x0,y0>0,所以-8y0-16=0,y0=4或y0=-(舍去),所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,D错误.故选ABC.
9.快审准解:联立方程组求得y1+y2=6,y1y2=1,且y1=3+2,y2=3-2,结合选项及抛物线的定义和焦点弦,逐项判定,即可求解.
选AC　由抛物线C:x2=4y,可得焦点F(0,1),则直线y=x+1过抛物线C的焦点,联立方程组整理得y2-6y+1=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=6,y1y2=1.由抛物线的定义,可得|AB|= y1+y2+p=6+2=8,所以A正确;由·=x1x2+y1y2=(y1-1)(y2-1)+y1y2 =2y1y2-(y1+y2)+1=-3≠0,所以OA与OB不垂直,所以B错误;由y2-6y+1=0,可得y1=3+2,y2=3-2,由抛物线定义,可得|AF|=4+2,|BF|=4-2,则+=+=1,所以C正确;线段AB的中点到x轴的距离为=3,所以D错误.故选AC.
10.解析:由题意知圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),则F(1,0),故=1,p=2,由抛物线的定义得|AF|=xA+1=5,得xA=4.由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y=(x-1),即4x-3y-4=0,所以原点到直线AF的距离为=.
答案:
11.解析:由题意可得F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
抛物线的准线:x=-3,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,根据抛物线的定义,得|AF|=|AC|= x1 +3,|BF|=|BD|= x2+3,故|AF|+|BF|=x1+x2+6,因为AB的中点为P(4,1),所以(x1+x2)=4,可得x1+x2=8,所以|AF|+|BF|=x1+x2+6=14.
答案:14
12.解:(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=.
又F,所以直线l的方程为y=.
联立消去y得4x2-20x+9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=5,故|AB|=x1+x2+p=5+3=8.
(2)由抛物线定义及(1),知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,
所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x=-,所以M到准线的距离等于3+=.
13.解:(1)抛物线C的焦点为F,准线方程为y=-,所以焦点F到其准线的距离为=1.
因为m>0,所以m=2.
所以抛物线C的方程为x2=2y.
(2)证明:由题意,知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+,
代入抛物线方程x2=2y,整理得x2-2kx-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x1+x2=2k,x1x2=-1.
函数y=x2的导函数为y'=x,
故抛物线在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=x1x-.
同理,抛物线在点B处的切线方程为y=x2x-,
联立上述两切线方程,解得x0==k,y0==-.
因为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)(1,k),=,所以·=(x2-x1)=(x2-x1)=0,所以AB⊥FP.

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