资源简介

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系
　　
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
教材再回首
1.直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:F(x,y)=0,由消去y得到关于x的方程ax2+bx+c=0.
当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0 直线l与圆锥曲线C有　　　个公共点;Δ=0 直线l与圆锥曲线C有　　　个公共点;Δ<0 直线l与圆锥曲线C有　　　个公共点.
特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.
2.圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=　　　　　　　　　　　　=·|y1-y2|=　　　　　　　　　.
解题结论拓展
圆锥曲线中点弦的有关结论
设AB为圆锥曲线的弦,点M为弦AB的中点,O为坐标原点,
标准方程 结论
+=1(a>b>0) kAB·kOM=-
+=1(a>b>0) kAB·kOM=-
-=1(a>0,b>0) kAB·kOM=
-=1(a>0,b>0) kAB·kOM=
y2=2px(p≠0) kAB=(y0为M的纵坐标)
x2=2py(p≠0) kAB=(x0为M的横坐标)
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系:相离、相切、相交. (　　)
(2)直线y=x与椭圆+y2=1一定相交. (　　)
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”. (　　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. (　　)
2.(人A选必修①P114例7改编)直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是 (　　)
A. B.-
C.± D.±
3.(人A选必修①P136T3改编)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.16
4.(人A选必修①P145T4改编)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1没有公共点,则k的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 　　　　B.(-1,1)
C.(-∞,-)∪(,+∞) 　　　　D.(-,)
题点一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点;
(2)有且只有一个公共点.
|思维建模|　直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标;
(2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点的个数.
[即时训练]
1.已知双曲线C:-y2=1,过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有 (　　)
A.1条　　B.2条
C.3条 D.4条
2.若直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,则k的值为　　　　　.
题点二　中点弦问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(2025·衡水模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程.
|思维建模|　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量.
[即时训练]
3.已知双曲线方程为x2-=1,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是 (　　)
A.6x+y-11=0
B.6x-y-11=0
C.x-6y-11=0
D.x+6y+11=0
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同的两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为　　　　　　.
题点三　弦长问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　在平面直角坐标系Oxy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.若|AB|=,求直线l的方程.
|思维建模|　弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种:
①|AB|=|x1-x2|
=;
②|AB|=|y1-y2|
=(k≠0).
[即时训练]
5.已知双曲线的焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3).
(1)求该双曲线的标准方程;
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线m被双曲线截得的弦长.
第八节　直线与圆锥曲线的位置关系
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.2　1　0
2.·　·
[典题细发掘]
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.选C　由得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±.
3.选C　联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|==×=8.
4.选C　联立消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,当1-k2=0时,方程有解,即直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有公共点;当1-k2≠0时,Δ=4k2+8(1-k2)<0,解得k<-或k>.
课堂·题点精研
题点一
[例1]　解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,
得方程组将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.　③
Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)当Δ>0,即-3(2)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
[即时训练]
1.选B　由双曲线方程知,右顶点坐标为(2,0),渐近线方程为y=±x,显然P(2,1)在y=x上,如图所示,所以过点P的直线x=2以及与y=-x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点.故共有两条直线满足要求.
2.解析:当斜率k=0时,直线y=1平行于x轴,与抛物线y2=4x仅有一个公共点.当斜率不等于0时,直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x联立,消去x可得y2-+8+=0,∵直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,∴Δ=--32=0,∴k=或k=-1.综上,k的值为0或或-1.
答案:0或或-1
题点二
[例2]　解:(1)因为离心率e==,所以a=c,
因为a2=b2+c2,所以b=c.
因为四边形MF1NF2的面积为32,所以2bc=32,
所以b=c=4,a=4,故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由题意得,直线l的斜率存在.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,所以=-·.因为AB的中点坐标为(-2,1),所以=1,所以直线l的斜率为1,
故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.
[即时训练]
3.选B　设直线l交双曲线x2-=1于点M(x1,y1),N(x2,y2),则由已知得两式作差得-=,所以==6,即直线l的斜率为6,故直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.经检验满足题意.
4.解析:∵焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),∴kPQ=,又∵P,Q关于直线l对称,∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,∴PQ中点的纵坐标为=-1,又∵PQ的中点在直线l上,∴PQ中点的横坐标为=(-1)+2=1.∴线段PQ的中点坐标为(1,-1).
答案:(1,-1)
题点三
[例3]　解:(1)∵e2===,∴a2=4b2.又椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),∴+=1,∴a2=8,b2=2.故所求椭圆C的方程为+=1.
(2)设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2+2mx+2m2-4=0.∴Δ=4m2-8m2+16>0,解得|m|<2.∴x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.
则|AB|=×==,解得m=±.故所求直线l的方程为y=x±.
[即时训练]
5.解:(1)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由已知可得左、右焦点F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),
则|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1.又c=2,所以b=,所以双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)由题意知直线m的方程为y=x-2,联立双曲线方程与直线方程并消去y,得2x2+4x-7=0,设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-2,x1x2=-,由弦长公式,得|AB|=·|x1-x2|=·=6.故直线m被双曲线截得的弦长为6.(共57张PPT)
第八节
直线与圆锥曲线的位置关系
明确目标
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:F(x,y)=0,
由消去y得到关于x的方程ax2+bx+c=0.
当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0 直线l与圆锥曲线C有__个公共点;Δ=0 直线l与圆锥曲线C有__个公共点;Δ<0 直线l与圆锥曲线C有__个公共点.
特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.
2
1
0
2.圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=|x1-x2|=
_____________________________
=·|y1-y2|=_____________________________.
·
·
解题结论拓展
圆锥曲线中点弦的有关结论
设AB为圆锥曲线的弦,点M为弦AB的中点,O为坐标原点,
标准方程 结论
+=1(a>b>0) kAB·kOM=-
+=1(a>b>0) kAB·kOM=-
-=1(a>0,b>0) kAB·kOM=
-=1(a>0,b>0) kAB·kOM=
y2=2px(p≠0) kAB=(y0为M的纵坐标)
x2=2py(p≠0) kAB=(x0为M的横坐标)
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系:相离、相切、相交.(　　)
(2)直线y=x与椭圆+y2=1一定相交.(　　)
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.(　　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(　　)
√
√
×
×
2.(人A选必修①P114例7改编)直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是(　　)
A. B.-
C.± D.±
解析:由得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±.
√
3.(人A选必修①P136T3改编)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.16
解析:联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,
y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|=
=×=8.
√
4.(人A选必修①P145T4改编)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1没有公共点,则k的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 　　　　B.(-1,1)
C.(-∞,-)∪(,+∞) 　　　　D.(-,)
解析:联立消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,当1-k2=0时,方程有解,即直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有公共点;当1-k2≠0时,Δ=4k2+8(1-k2)<0,解得k<-或k>.
√
课堂·题点精研
02
[例1]　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点;
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.　③
Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.当Δ>0,即-3题点一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断
(2)有且只有一个公共点.
解:当Δ=0,即m=±3时,
方程③有两个相同的实数根,
可知原方程组有两组相同的实数解.
即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
思维建模
代数法 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标
几何法 画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点的个数
1.已知双曲线C:-y2=1,过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:由双曲线方程知,右顶点坐标为(2,0),渐近线方程为y=±x,显然P(2,1)在y=x上,如图所示,所以过点P的
直线x=2以及与y=-x平行且过点P的直线与
双曲线都只有一个交点.故共有两条直线满足要求.
即时训练
√
2.若直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,则k的值为___________.
解析:当斜率k=0时,直线y=1平行于x轴,与抛物线y2=4x仅有一个公共点.当斜率不等于0时,直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x联立,消去x可得y2-+8+=0,∵直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,∴Δ=--32=0,∴k=或k=-1.综上,k的值为0或或-1.
0或或-1
[例2]　(2025·衡水模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程;
解:因为离心率e==,所以a=c,因为a2=b2+c2,所以b=c.因为四边形MF1NF2的面积为32,所以2bc=32,所以b=c=4,a=4,
故椭圆C的标准方程为+=1.
题点二　中点弦问题
(2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程.
解:由题意得,直线l的斜率存在.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0,
所以=-·.
因为AB的中点坐标为(-2,1),
所以=1,所以直线l的斜率为1,
故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量.
思维建模
3.已知双曲线方程为x2-=1,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　)
A.6x+y-11=0 B.6x-y-11=0
C.x-6y-11=0 D.x+6y+11=0
即时训练
√
解析:设直线l交双曲线x2-=1于点M(x1,y1),N(x2,y2),则由已知得两式作差得-=,所以==6,即直线l的斜率为6,故直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.经检验满足题意.
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同的两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为________.
解析:∵焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),∴kPQ=,又∵P,Q关于直线l对称,∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,∴PQ中点的纵坐标为=
-1,又∵PQ的中点在直线l上,∴PQ中点的横坐标为=(-1)+2=1.∴线段PQ的中点坐标为(1,-1).
(1,-1)
[例3]　在平面直角坐标系Oxy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
解:∵e2===,∴a2=4b2.又椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),
∴+=1,∴a2=8,b2=2.故所求椭圆C的方程为+=1.
题点三　弦长问题
(2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.若|AB|=,求直线l的方程.
解:设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2+2mx+2m2-4=0.∴Δ=4m2-8m2+16>0,
解得|m|<2.∴x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.
则|AB|=×==,解得m=±.故所求直线l的方程为y=x±.
弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种:
①|AB|=|x1-x2|=;
②|AB|=|y1-y2|=(k≠0).
思维建模
5.已知双曲线的焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3).
(1)求该双曲线的标准方程;
解:设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由已知可得左、右焦点F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),
则|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1.又c=2,所以b=,
所以双曲线的标准方程为x2-=1.
即时训练
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线m被双曲线截得的弦长.
解:由题意知直线m的方程为y=x-2,联立双曲线方程与直线方程并消去y,得2x2+4x-7=0,设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-2,x1x2=-,由弦长公式,得|AB|=·|x1-x2|=
·=6.故直线m被双曲线截得的弦长为6.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线在第一象限交于点A,与y轴交于点C,若=,则直线l的斜率为(　　)
A. B.
C.2 D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:∵=,∴F为AC的中点,过点A作AA'垂直于y轴于点A',∴OF为△AA'C的中位线,如图所示,则|AA'|=p,∴A的坐标为(p,p).而F,则直线l的斜率为k==2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
3.已知椭圆+=1,一组斜率为的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为(　　)
A.y=x B.y=-2x
C.y=-x D.y=2x
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:设斜率为的平行直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),且中点为M(x,y),可得x1+x2=2x,y1+y2=2y.由两式相减得+=0,整理得=-=-=,可得y=
-x,即这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y=-x.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
4.已知双曲线C:-x2=1的下焦点和上焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍,则m=(　　)
A.3 B.-3
C. D.-
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:由C:-x2=1,可知F1(0,-2),F2(0,2),联立消元得2x2-2mx+3-m2=0,则Δ=4m2-8(3-m2)>0,即m2>2.由△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍,可知F2到直线AB的距离是F1到直线AB距离的4倍,即=4×,化简可得15m2+68m+60=0,即(3m+10)(5m+6)=0,解得m=-或m=-(舍去).
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5.(2024·盐城三模)定义曲线-=1为双曲线-=1的“伴随曲线”.在双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.与点P的位置有关系
√
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解析:双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2为-=1,设P(m,n)为-=1上一点,则-=1,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则M(m,0),N(0,n),所以直线MN:y=-x+n,联立得x2+x-n2-1=0,所以Δ=-4××(-n2-1)=4n4-4××(-n2-1)=0,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1,故选B.
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6.(2022·新课标Ⅰ卷改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是(　　)
A.8 B.10
C.13 D.16
√
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解析:如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以=,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,
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且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程+=1,得13x2+8cx-32c2=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,
所以|DE|==
==6,解得c=,所以a=2c=,所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13.
二、多选题
7.设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是(　　)
A.直线AB与OM垂直
B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0
C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为
D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=
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√
解析:对于A,设M(x0,y0),根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM=
-·=-=-2≠-1,A不正确;对于B,根据kAB·kOM=-2,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,B正确;对于C,若直线方程为y=x+1,点M,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,C不正确;对于D,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=×=,D正确.
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8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P是C上位于第一象限的动点,点M为l与x轴的交点,则下列说法正确的是 (　　)
A.F到直线l的距离为2
B.以P为圆心,|PF|为半径的圆与l相切
C.直线MP斜率的最大值为2
D.若|FM|=|FP|,则△FMP的面积为2
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√
√
解析:易知F(1,0),准线l:x=-1,所以F到直线l的距离为2,A正确;由抛物线的定义,点P到准线的距离等于|PF|,所以以P为圆心,|PF|为半径的圆与l相切,B正确;当直线MP与抛物线相切时,MP的斜率取得最大值.设直线MP:x=my-1,与抛物线y2=4x联立可得y2-4my+4=0,
令Δ=16m2-16=0,解得m=±1,所以直线MP斜率的
最大值为1,C错误;|FM|=|FP|=2,设P,
则+1=2,解得y0=2,所以△FMP的面积为×2×y0=2,D正确.
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9.(2022·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　　)
A.C的准线为y=-1 　B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2 　D.|BP|·|BQ|>|BA|2
解析:将点A(1,1)的坐标代入x2=2py(p>0),解得p=.所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-,所以A错误.由y=x2,得y'=2x.当x=1时,y'=2,所以抛物线C在点A(1,1)处的切线方程为y=2x-1.令x=0,得y=-1,即切线y=2x-1过点B,所以B正确.
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√
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设直线PQ:y=kx-1,P(x1,),Q(x2,).将PQ:y=kx-1与C:x2=y联立,得x2-kx+1=0,所以Δ=k2-4>0,x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=
·=|x1x2|·=>=2=|OA|2,所以C正确.因为|BP|·|BQ|=|x1|
·|x2|=1+k2>5=|BA|2,所以D正确.
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三、填空题
10.(2024·北京高考)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为_______.
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±
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解析:联立x=3与-y2=1,解得y=±,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k,则过点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x-3),联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意.
13
11.(2025·贵阳开学考试)已知直线x-4y+9=0与椭圆+=1(0解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知=,x1+x2=-2,y1+y2=4,则所以=-,即=,解得b2=8,所以c2=a2-b2=16-8=8,则c=2,所以S△CF1F2=×2c×2=4.
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四、解答题
12.(15分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;(5分)
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k===1.
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(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.(10分)
解:由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
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当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7,所以直线AB的方程为y=x+7.
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13.(15分)(2025·石嘴山模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M,点F(1,0)是C的一个焦点.
(1)求椭圆C的方程;(5分)
解:由题意知,椭圆C的另一个焦点为F1(-1,0),又M,所以|MF|==,|MF1|==.由椭圆的定义知,2a=|MF|+|MF1|=4,所以a=2,b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆C的方程为+=1.
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(2)已知过点P(0,1)的直线l交x轴于Q点,交椭圆C于A,B两点,若|AP|=|BQ|,求直线l的方程.(10分)
解:取PQ的中点E,由|AP|=|BQ|,|PE|=|QE|,
得到|AE|=|BE|,所以E是AB的中点,
由题意知,直线l不垂直于x轴,
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设直线l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q,
由消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0,
因为E是AB的中点,所以x1+x2=xQ+xP,
由根与系数的关系得,x1+x2=-=-,解得k=±,所以直线l的方程为y=±x+1.
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13课时跟踪检测(六十四)　直线与圆锥曲线的位置关系
一、单选题
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为 (　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
2.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线在第一象限交于点A,与y轴交于点C,若=,则直线l的斜率为 (　　)
A. B.
C.2 D.
3.已知椭圆+=1,一组斜率为的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为 (　　)
A.y=x B.y=-2x
C.y=-x D.y=2x
4.已知双曲线C:-x2=1的下焦点和上焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍,则m= (　　)
A.3 B.-3
C. D.-
5.(2024·盐城三模)定义曲线-=1为双曲线-=1的“伴随曲线”.在双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.与点P的位置有关系
6.(2022·新课标Ⅰ卷改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 (　　)
A.8 B.10
C.13 D.16
二、多选题
7.设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是 (　　)
A.直线AB与OM垂直
B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0
C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为
D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=
8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P是C上位于第一象限的动点,点M为l与x轴的交点,则下列说法正确的是 (　　)
A.F到直线l的距离为2 B.以P为圆心,|PF|为半径的圆与l相切
C.直线MP斜率的最大值为2 D.若|FM|=|FP|,则△FMP的面积为2
9.(2022·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　　)
A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2
三、填空题
10.(2024·北京高考)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　.
11.(2025·贵阳开学考试)已知直线x-4y+9=0与椭圆+=1(0四、解答题
12.(15分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;(5分)
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.(10分)
13.(15分)(2025·石嘴山模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M,点F(1,0)是C的一个焦点.
(1)求椭圆C的方程;(5分)
(2)已知过点P(0,1)的直线l交x轴于Q点,交椭圆C于A,B两点,若|AP|=|BQ|,求直线l的方程.(10分)
课时跟踪检测(六十四)
1.选A　直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
2.选C　∵=,∴F为AC的中点,
过点A作AA'垂直于y轴于点A',∴OF为△AA'C的中位线,如图所示,则|AA'|=p,∴A的坐标为(p,p).而F,则直线l的斜率为k==2.
3.选C　设斜率为的平行直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),且中点为M(x,y),可得x1+x2=2x,y1+y2=2y.由两式相减得+=0,整理得=-=-=,可得y=-x,即这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y=-x.
4.选D　由C:-x2=1,可知F1(0,-2),F2(0,2),联立消元得2x2-2mx+3-m2=0,则Δ=4m2-8(3-m2)>0,即m2>2.由△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍,可知F2到直线AB的距离是F1到直线AB距离的4倍,即=4×,化简可得15m2+68m+60=0,即(3m+10)(5m+6)=0,解得m=-或m=-(舍去).
5.选B　双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2为-=1,设P(m,n)为-=1上一点,则-=1,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则M(m,0),N(0,n),所以直线MN:y=-x+n,联立得x2+x-n2-1=0,所以Δ=-4××(-n2-1)=4n4-4××(-n2-1)=0,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1,故选B.
6.选C　如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,
所以=,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程+=1,得13x2+8cx-32c2=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以|DE|====6,解得c=,所以a=2c=,所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13.
7.选BD　对于A,设M(x0,y0),根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM=-·=-=-2≠-1,A不正确;对于B,根据kAB·kOM=-2,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,B正确;对于C,若直线方程为y=x+1,点M,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,C不正确;对于D,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=×=,D正确.
8.选ABD　易知F(1,0),准线l:x=-1,所以F到直线l的距离为2,A正确;
由抛物线的定义,点P到准线的距离等于|PF|,所以以P为圆心,|PF|为半径的圆与l相切,B正确;当直线MP与抛物线相切时,MP的斜率取得最大值.设直线MP:x=my-1,与抛物线y2=4x联立可得y2-4my+4=0,令Δ=16m2-16=0,解得m=±1,所以直线MP斜率的最大值为1,C错误;|FM|=|FP|=2,设P,则+1=2,解得y0=2,所以△FMP的面积为×2×y0=2,D正确.
9.选BCD　将点A(1,1)的坐标代入x2=2py(p>0),解得p=.所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-,所以A错误.由y=x2,得y'=2x.当x=1时,y'=2,所以抛物线C在点A(1,1)处的切线方程为y=2x-1.令x=0,得y=-1,即切线y=2x-1过点B,所以B正确.设直线PQ:y=kx-1,P(x1,),Q(x2,).将PQ:y=kx-1与C:x2=y联立,得x2-kx+1=0,所以Δ=k2-4>0,x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=·=|x1x2|·=>=2=|OA|2,所以C正确.因为|BP|·|BQ|=|x1|·|x2|=1+k2>5=|BA|2,所以D正确.
10.解析:联立x=3与-y2=1,解得y=±,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k,则过点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x-3),联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意.
答案:±
11.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知=,x1+x2=-2,y1+y2=4,则所以=-,即=,解得b2=8,所以c2=a2-b2=16-8=8,则c=2,所以=×2c×2=4.
答案:4
12.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7,所以直线AB的方程为y=x+7.
13.解:(1)由题意知,椭圆C的另一个焦点为F1(-1,0),
又M,所以|MF|==,|MF1|==.
由椭圆的定义知,2a=|MF|+|MF1|=4,所以a=2,b2=a2-c2=4-1=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)取PQ的中点E,由|AP|=|BQ|,|PE|=|QE|,得到|AE|=|BE|,所以E是AB的中点,
由题意知,直线l不垂直于x轴,
设直线l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q,由消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0,因为E是AB的中点,
所以x1+x2=xQ+xP,
由根与系数的关系得,x1+x2=-=-,解得k=±,所以直线l的方程为y=±x+1.

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