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第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题
方法一　不等式法求最值、范围问题
[例1]　已知椭圆M:+=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B,经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.
|思维建模|　利用不等式法求解最值、范围问题的策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或几何量之间的关系构造不等式.
(2)利用直线与圆锥曲线的位置关系、判别式构造不等式.
(3)利用已知或其他隐含条件中的不等关系构造不等式.
(4)常与一元二次不等式、基本不等式相关.
[即时训练]
1.已知过点M的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且·=-3,其中O为坐标原点.
(1)求p的值;
(2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线l的方程.
方法二　函数法求最值、范围问题
[例2]　已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
|思维建模|　利用函数法求解最值、范围问题的策略
(1)引入单变量,将所求解问题用含该变量的代数式表示,构造函数.
(2)引入双变量,利用题设或其他条件建立两个变量之间的关系,通过消元的方法转化为单变量问题,构造函数.
(3)注意挖掘变量所满足的条件,从而确定变量范围.
(4)用函数的方法,如函数的单调性、导数等分析求解最值或范围.
[即时训练]
2.(2025·桂林模拟)点A,B分别是椭圆+=1(a>b>0)的上顶点和左顶点,P是椭圆上一动点(不与右顶点重合),P的横坐标非负,BP的中点是M,当P位于下顶点时△APM的面积为1,椭圆离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)记△POM的面积为S1,△AOM的面积为S2,求的最小值.
第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题
方法一
[例1]　解:(1)因为F(-1,0)为椭圆M的焦点,所以c=1.
又b=,所以a=2.所以椭圆M的方程为+=1.
(2)法一　当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时△ABD与△ABC的面积相等,即|S1-S2|=0.
当直线l的斜率存在时,设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),与椭圆M的方程联立,消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ>0恒成立,且x1+x2=-,此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y1+y2|=2|k(x1+1)+k(x2+1)|=2|k(x1+x2)+2k|==≤=,当且仅当k=±时,取等号,所以|S1-S2|的最大值为.
法二　设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l的方程为x=my-1,与椭圆M的方程联立,消去x,得(3m2+4)y2-6my-9=0,Δ>0恒成立,且y1+y2=,
故|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y1+y2|==≤=,当且仅当m=±时取等号,所以|S1-S2|的最大值为.
习得方略:(1)当直线l的斜率不存在时,可知直线方程为x=-1;当直线l的斜率存在(显然k≠0)时,可设直线方程为y=k(x+1)(k≠0).求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答,缺少任何一种情况,步骤都是不完整的.
(2)本题可将直线方程巧设为x=my-1,用含m的式子表示出|S1-S2|,并求其最大值.显然,此法无需考虑直线的斜率是否存在,是解决此类问题的最佳选择.
[即时训练]
1.解:(1)设直线l的方程为x=my+,
由消去x得y2-2pmy-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
因为·=-3,所以x1x2+y1y2=-3.
又x1x2=·=,所以-p2=-3,
又因为p>0,所以p=2.
(2)由(1)及抛物线定义,得|AM|=x1+=x1+1,|BM|=x2+=x2+1,所以|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2+5=9,当且仅当x1=4x2时,等号成立.
将x1=4x2代入x1x2==1,得x2=(舍负).
将x2=代入y2=4x,得y2=±,即点B,
将点B代入x=my+1,得m=±,
所以直线l的方程为x=±y+1,即4x±y-4=0.
方法二
[例2]　解:(1)由题意,得抛物线C:x2=2py的焦点F,圆M:x2+(y+4)2=1的圆心M(0,-4),半径是1.由点F与圆M上的点的距离的最小值为4,得+4-1=4,解得p=2.
(2)设A,B,P(x0,y0).由y=,得y'=,
所以直线PA:y-=(x-x1),　 ①
直线PB:y-=(x-x2),　 ②
且kAB==,则直线AB:y-=(x-x1),
即4y=(x1+x2)x-x1x2.将点P的坐标分别代入①②,
解得x0=,y0=,则直线AB:2y=x0x-2y0.
所以|AB|=
=.
易知点P到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=d|AB|=|-4y0|=(-4y0=(--12y0-15.因为y0∈[-5,-3],
所以当y0=-5时,S△PAB最大,最大值为20.
[即时训练]
2.解:(1)由题意得e==,××a×2b=1 ab=2,a2=b2+c2,联立解得a=2,b=1,c=,所以椭圆方程为+y2=1.
(2)=====,其中N是下顶点,M(xM,yM),P(xP,yP),
注意到+=1,
设t=(t>0),所以t2====-1,xP∈[0,2),
由复合函数单调性可知,当xP=0时,t2有最小值1,注意到t>0,所以t的最小值为1,即的最小值为1.(共35张PPT)
第十节
圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
01.方法一　不等式法求最值、范围问题
02.方法二　函数法求最值、范围问题
03.课时跟踪检测
[例1]　已知椭圆M：+=1(a>0)的一个焦点为F(-1，0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点.
(1)求椭圆M的方程；
解：因为F(-1，0)为椭圆M的焦点，所以c=1.
又b=，所以a=2.
所以椭圆M的方程为+=1.
方法一　不等式法求最值、范围问题
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值.
解：法一　当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1-S2|=0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，Δ>0恒成立，且x1+x2=-，
此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y1+y2|=2|k(x1+1)+k(x2+1)|
=2|k(x1+x2)+2k|==≤=，
当且仅当k=±时，取等号，
所以|S1-S2|的最大值为.
法二　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x=my-1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2+4)y2-6my-9=0，Δ>0恒成立，且y1+y2=，
故|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y1+y2|==≤=，
当且仅当m=±时取等号，所以|S1-S2|的最大值为.
(1)当直线l的斜率不存在时，可知直线方程为x=-1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y=k(x+1)(k≠0).求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的.
(2)本题可将直线方程巧设为x=my-1，用含m的式子表示出|S1-S2|，并求其最大值.显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择.
习得方略
利用不等式法求解最值、范围问题的策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或几何量之间的关系构造不等式.
(2)利用直线与圆锥曲线的位置关系、判别式构造不等式.
(3)利用已知或其他隐含条件中的不等关系构造不等式.
(4)常与一元二次不等式、基本不等式相关.
思维建模
1.已知过点M的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且·=-3，其中O为坐标原点.
(1)求p的值；
解：设直线l的方程为x=my+，
由消去x得y2-2pmy-p2=0.
即时训练
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1+y2=2pm，y1y2=-p2，
因为·=-3，所以x1x2+y1y2=-3.
又x1x2=·=，所以-p2=-3，
又因为p>0，所以p=2.
(2)当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程.
解：由(1)及抛物线定义，得|AM|=x1+=x1+1，
|BM|=x2+=x2+1，
所以|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2+5=9，
当且仅当x1=4x2时，等号成立.
将x1=4x2代入x1x2==1，得x2=(舍负).
将x2=代入y2=4x，得y2=±，
即点B，
将点B代入x=my+1，得m=±，
所以直线l的方程为x=±y+1，即4x±y-4=0.
[例2]　已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
解：由题意，得抛物线C：x2=2py的焦点F，圆M：x2+(y+4)2=1的圆心M(0，-4)，半径是1.由点F与圆M上的点的距离的最小值为4，得+4-1=4，解得p=2.
方法二　函数法求最值、范围问题
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
解：设A，B，P(x0，y0).由y=，得y'=，
所以直线PA：y-=(x-x1)，　①
直线PB：y-=(x-x2)，　②
且kAB==，则直线AB：y-=(x-x1)，
即4y=(x1+x2)x-x1x2.
将点P的坐标分别代入①②，
解得x0=，y0=，则直线AB：2y=x0x-2y0.
所以|AB|==.
易知点P到直线AB的距离d=，
所以S△PAB=d|AB|=|-4y0|
=(-4y0=(--12y0-15.
因为y0∈[-5，-3]，
所以当y0=-5时，S△PAB最大，最大值为20.
利用函数法求解最值、范围问题的策略
(1)引入单变量，将所求解问题用含该变量的代数式表示，构造函数.
(2)引入双变量，利用题设或其他条件建立两个变量之间的关系，通过消元的方法转化为单变量问题，构造函数.
(3)注意挖掘变量所满足的条件，从而确定变量范围.
(4)用函数的方法，如函数的单调性、导数等分析求解最值或范围.
思维建模
2.(2025·桂林模拟)点A，B分别是椭圆+=1(a>b>0)的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点(不与右顶点重合)，P的横坐标非负，BP的中点是M，当P位于下顶点时△APM的面积为1，椭圆离心率为.
(1)求椭圆方程；
解：由题意得e==××a×2b=1 ab=2，
a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=，
所以椭圆方程为+y2=1.
即时训练
(2)记△POM的面积为S1，△AOM的面积为S2，求的最小值.
解：=====，
其中N是下顶点，M(xM，yM)，P(xP，yP)，
注意到+=1，
设t=(t>0)，所以t2====-1，xP∈[0，2)，由复合函数单调性可知，当xP=0时，t2有最小值1，注意到t>0，所以t的最小值为1，即的最小值为1.
课时跟踪检测
03
1
2
3
4
1.(15分)(2025·郑州模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P() 为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程；(5分)
解：由题意可得解得故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点A，B，求|AB|的最大值.(10分)
解：k=tan=1，故可设lAB：y=x+t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消去y可得4x2+6tx+3t2-12=0，
1
2
3
4
Δ=36t2-16(3t2-12)=12(16-t2)>0，即-4=·=·=，
则当t=0时，|AB|有最大值，且其最大值为=2.
1
2
3
4
2.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y=±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点.
(1)求双曲线C的方程；(5分)
解：由题设可知解得
所以双曲线C的方程为-y2=1.
1
2
3
4
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值.(10分)
解：设点M的横坐标为xM>0，
当直线l斜率不存在时，则直线l：x=2.
易知点M到y轴的距离为xM=2.
当直线l斜率存在时，设l：y=kx+m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
3
4
联立整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0，
其中4k2-1≠0，
Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0，
整理得4k2=m2+1，即4k2-1=m2，
联立得x1=，
1
2
3
4
联立得x2=-，
则x1+x2=-==-=-，
则xM==->0，即km<0，则==4+>4，即xM>2，
所以此时点M到y轴的距离大于2.
综上所述，点M到y轴的最小距离为2.
1
2
3
4
3.(15分)在直角坐标系xOy中，动点P到直线x=4的距离是它到点M(1，0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；(5分)
解：设P(x，y)，因为点P到直线x=4的距离是它到点M(1，0)的距离的2倍，
所以|x-4|=2，则x2-8x+16=4x2-8x+4+4y2，整理得+=1，故曲线C的方程为+=1.
1
2
3
4
(2)直线l：x=my-1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值.(10分)
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组整理得(3m2+4)y2-6my-9=0，
则Δ=(-6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0，
y1+y2=，y1y2=-.
因为l：x=my-1过点(-1，0)，
1
2
3
4
所以S△MAB=×2×|y1-y2|=
==.令t=，t≥1，f(t)=3t+，
则f'(t)=3->0在[1，+∞)上恒成立，f(t)在[1，+∞)上单调递增，
则当t=1时，f(t)min=f(1)=4，则S△MAB的最大值为3.故△MAB面积的最大值为3.
1
2
3
4
4.(15分)(2025·安康模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上的动点与M(2，0)距离的最小值为.
(1)求p；(5分)
方法引入：通过点与点的距离，求得最小值，得到p的值.
解：设抛物线上的动点为H(x0，y0)，|HM|2=(x0-2)2+=-4x0+4+2px0=+(2p-4)x0+4，因为|HM|的最小值为，且x0=0时，|HM|2=4>3，故可知2-p>0，且=3，解得p=1或p=3(舍去).
1
2
3
4
(2)过点Q(2，1)的直线l交抛物线于A，B两点，直线l'平行于l，且与抛物线仅有一个公共点N，求△ABN面积的最小值.(10分)
方法引入：设直线，得到弦长AB，l'与l平行，设出l'，联立求出点N的坐标，求出N到AB的距离，算出面积公式，求出范围.
解：由(1)知，抛物线方程为y2=2x，由题意可知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=t(y-1)+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入y2=2x，可得y2-2ty+2t-4=0，则Δ>0，y1+y2=2t，y1y2=2t-4，
1
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所以|AB|=·|y1-y2|=·.
设平行线l'的方程为x=ty+m，将x=ty+m代入y2=2x，可得y2-2ty-2m=0，当Δ'=0时，yN=t，则xN=，N，
所以点N到直线AB的距离为d==，
1
2
3
4
故S△ABN=d·|AB|=···
==[(t-1)2+3≥，
当t=1时，S△ABN取得最小值，此时N.
故△ABN面积的最小值为.
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4课时跟踪检测(六十六)　圆锥曲线中的最值、范围问题
1.(15分)(2025·郑州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(,)为椭圆C上一点,且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程;(5分)
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点A,B,求|AB|的最大值.(10分)
2.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(2,1),渐近线方程为y=±x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;(5分)
(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.(10分)
3.(15分)在直角坐标系xOy中,动点P到直线x=4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍,设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;(5分)
(2)直线l:x=my-1与曲线C交于A,B两点,求△MAB面积的最大值.(10分)
4.(15分)(2025·安康模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上的动点与M(2,0)距离的最小值为.
(1)求p;(5分)
(2)过点Q(2,1)的直线l交抛物线于A,B两点,直线l'平行于l,且与抛物线仅有一个公共点N,求△ABN面积的最小值.(10分)
课时跟踪检测(六十六)
1.解:(1)由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)k=tan=1,故可设lAB:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y可得4x2+6tx+3t2-12=0,
Δ=36t2-16(3t2-12)=12(16-t2)>0,即-4则|AB|=·=·=·=,
则当t=0时,|AB|有最大值,且其最大值为 =2.
2.解:(1)由题设可知解得
所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)设点M的横坐标为xM>0,
当直线l斜率不存在时,则直线l:x=2.
易知点M到y轴的距离为xM=2.
当直线l斜率存在时,设l:y=kx+m,
A(x1,y1),B(x2,y2),
联立整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,其中4k2-1≠0,Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0,
整理得4k2=m2+1,即4k2-1=m2,
联立得x1=,
联立得x2=-,
则x1+x2=-==-=-,
则xM==->0,即km<0,
则==4+>4,即xM>2,所以此时点M到y轴的距离大于2.综上所述,点M到y轴的最小距离为2.
3.解:(1)设P(x,y),因为点P到直线x=4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍,
所以|x-4|=2,则x2-8x+16=4x2-8x+4+4y2,整理得+=1,故曲线C的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组
整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,则Δ=(-6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,y1+y2=,y1y2=-.
因为l:x=my-1过点(-1,0),
所以S△MAB=×2×|y1-y2|=
==.
令t=,t≥1,f(t)=3t+,则f'(t)=3->0在[1,+∞)上恒成立,f(t)在[1,+∞)上单调递增,
则当t=1时,f(t)min=f(1)=4,则S△MAB的最大值为3.故△MAB面积的最大值为3.
4.方法引入:(1)通过点与点的距离,求得最小值,得到p的值.
(2)设直线,得到弦长AB,l'与l平行,设出l',联立求出点N的坐标,求出N到AB的距离,算出面积公式,求出范围.
解:(1)设抛物线上的动点为H(x0,y0),|HM|2=(x0-2)2+=-4x0+4+2px0=+(2p-4)x0+4,因为|HM|的最小值为,且x0=0时,|HM|2=4>3,故可知2-p>0,且=3,解得p=1或p=3(舍去).
(2)由(1)知,抛物线方程为y2=2x,由题意可知,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=t(y-1)+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
代入y2=2x,可得y2-2ty+2t-4=0,则Δ>0,y1+y2=2t,y1y2=2t-4,
所以|AB|=·|y1-y2|=·.设平行线l'的方程为x=ty+m,将x=ty+m代入y2=2x,
可得y2-2ty-2m=0,当Δ'=0时,yN=t,则xN=,N,所以点N到直线AB的距离为d==,
故S△ABN=d·|AB|=···==[(t-1)2+3≥,当t=1时,S△ABN取得最小值,此时N.
故△ABN面积的最小值为.

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