资源简介

(共56张PPT)
第二节
排列与组合
明确目标
1.理解排列、组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照___________排成一列
组合 作为一组
一定的顺序
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
不同排列
不同组合
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)=____________________=；
(2)==
=____________(n，m∈N*，且m≤n).
特别地，=1
性质 (1)0!=____；=_____；
(2)==__________
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
1
n!
+
解题结论拓展
1.排列数、组合数常用公式
(1)=(n-m+1).
(2)=n.
(3)(n+1)!-n!=n·n!.
(4)k=n.
(5)++…++=.
2.解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置.
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列.
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题.
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配.
典题细发掘
1.(人A选必修③P26T4(2)改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是 (　　)
A.12 B.24
C.64 D.81
√
2.(人A选必修③P37T1(3))安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数为_____.
解析：先安排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列有种方法.所以不同排法的种数为=4×5×4×3×2×1=480.
480
3.(苏教选必修②P96T4改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为_____.
解析：由题意可知，这位同学可以从A类选修课中选1门，从B类选修课中选2门，也可以从A类选修课中选2门，从B类选修课中选1门，所以不同的选法种数为×+×=18+12=30.
30
4.(人B选必修②P12例5改编)由数字0，1，2，…，9这10个数字可以组成_____个没有重复数字的三位数.
解析：先考虑百位，有9种方法；然后考虑十位和个位，有9×8种方法，故没有重复数字的三位数有9×9×8=648个.
(易错提醒：数字排列中忽视0的位置)
5.(组合性质的应用)若=+(n≥4，且n∈N*)，则n=___.
解析：由=+(n≥4)，得=.又由=，得n-2=3，即n=5.
648
5
课堂·题点精研
02
[例1]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数.
(1)选5人排成一排；
解：从7人中选5人排列，有=7×6×5×4×3=2 520(种).
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，故共有=5 040(种).
题点一　排列问题
(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
解：法一：特殊元素优先法　先排甲，有5种排法，其余6人有种排列方法，共有5×=3 600(种).
法二：特殊位置优先法　左、右两边位置可安排除甲外的6人中的两人，有种排法，其他人有种排法，故共有=3 600(种).
(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
解：法一：特殊元素优先法　甲在最右边时，其他人可全排列，有种排法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种排法，而乙可在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个，有种排法，其他人全排列，有种不同排法，故共有+=3 720(种).
法二：间接法　7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故共有-2+=3 720(种).
(5)全体排成一排，甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解：由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的排法共有=840(种).
排列问题的分类与解法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
思维建模
1.(2025·西安模拟)从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译)，则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　　)
A.120种 B.150种
C.180种 D.210种
解析：依题意，可得甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有=60种选法，所以满足条件的不同选法共有3=180(种).
即时训练
√
2.某中学举办田径运动会.某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为 (　　)
A.48 B.36
C.24 D.12
解析：当甲跑第一棒时，乙可跑第二棒或第四棒，共有=
24(种)方案；当甲跑第二棒时，乙只能跑第四棒，共有=12(种)方案.故甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为24+12=36.
√
[例2]　(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____种(用数字作答).
解析：法一　由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有++=64(种).
题点二　组合问题
64
法二　若学生从这8门课中选修2门课，则有--=16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有--=48(种)选课方案.综上，不同的选课方案共有16+48=64(种).
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
思维建模
3.(2024·天津和平二模)为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法种数共有______.
解析：根据题意，分2步进行分析：首先选取1种相同课外读物的选法有=5种，再选取另外两种课外读物需不同，则共有=12种，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5×12=60种.
即时训练
60
4.(2024·西安三模)2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式种数共有_____.
解析：要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从五人中任选三人，有种方法；
第二步再选这三人所在的区域，有种方法；
第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.由分步乘法计数原理，得共有=120种方法.
120
考法(一)　相邻与相间问题
[例3] (1)(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)
A.12种 B.24种
C.36种 D.48种
解析：先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有=24种，故选B.
(注意：排列、组合混合问题要先选后排)
√
题点三　排列与组合的综合应用
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_____.
解析：安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“　 小品1歌舞1小品2　 相声　 ”，有=
36(种)排法；同理，第三种情况也有36种排法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“　 小品1 　相声 　小品2 　”，有=48(种)排法，故共有36+36+48=120(种)排法.
120
相邻与相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列.
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
思维建模
考法(二)　分组与分配问题
[例4]　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
解：无序不均匀分组问题.先选1本有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下3本全选有种方法，故共有=60种.
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
解：有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有=360种.
(3)平均分成三份，每份2本；
解：无序均匀分组问题.共有=15种.
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
解：在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有15=90种.
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
解：分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以即可，共有=15种.
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
解：在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有15=90种.
分组与分配问题的解题思路
　　分组与分配问题的一般解题思路是先分组再分配.
(1)分组问题属于“组合”问题.
①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘；
②对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m!；
③对于不等分组，只需先分组，后排列.
思维建模
(2)分配问题属于“排列”问题.
①相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”；
②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是分配；
③有限制条件的分配问题常采用分类法求解.
5.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国优秀传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共有______种.(用数字作答)
即时训练
864
解析：首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”，有种选法；“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”全排列，有种排法；最后将“书”与“画”插入到所形成的4个空中的2个空，有种插法.按照分步乘法计数原理，可得共有=864(种)排课方法.
6.(2025·南京开学考试)某校抽调志愿者去服务社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有_____种.
解析：有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有×=90种分配方案.若两名学生分在同一社区，则有=18种分配方案.因为两名学生不分在同一社区，所以不同的分配方案有90-18=72(种).
72
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·广州模拟)若a∈N*，且a<27，则(27-a)·(28-a)·…·(34-a)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵从27-a到34-a共有34-a-(27-a)+1=8个数，∴(27-a)(28-a)·…·(34-a)=.故选D.
√
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2
3
4
2.若=6，则m等于(　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
解析：因为=6，所以m(m-1)(m-2)=6×，即1=，解得m=7.
√
1
5
6
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3.某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生、4名女生中选4人代表本班参赛，按照学校要求，女生至少参加1人，至多参加2人，则选派方式共有 (　　)
A.80种 B.90种
C.100种 D.120种
解析：若恰有1名女生参加，则有=10×4=40种，若恰有2名女生参加，则有=10×6=60种，所以共有40+60=100种不同的选派方式.故选C.
√
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4.(2025·泉州模拟)七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有 (　　)
A.96种 B.120种
C.192种 D.240种
解析：由题意可知，丙排在第4位，则甲、乙两人可能在第1，2或2，3或5，6或6，7位，故不同的排法有=4×2×24=192种.故选C.
√
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5.(2025·北京阶段模拟)某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 (　　)
A.36种 B.60种
C.120种 D.180种
解析：该外商不同的投资方案分为两类：若1个城市投资2个项目，另外1个城市投资1个项目，有=60种投资方案；若3个城市各投资1个项目，共有=60种投资方案，由分类加法计数原理，知共有120种不同的投资方案.故选C.
√
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6.(2025·宁波模拟)如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有 (　　)
A.68种 B.136种
C.272种 D.544种
√
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13
解析：根据题意，分2种情况讨论：①甲、乙放在同一排，有=128种放法，②甲、乙不放在同一排，有=144种放法.故共有128+144=272种不同的放法.故选C.
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7.(2025·上海模拟)从1，2，3，4，5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面(不一定相邻)，这样的三位数有 (　　)
A.9个 B.15个
C.42个 D.51个
解析：从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数共有=60个，当三个数字中有2和3时，3在2的前面(不一定相邻)有=9个，所以所求的三位数有60-9=51个.故选D.
√
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3
4
13
8.(2025·邢台开学考试)有4名男生、3名女生和2个不同的道具(记作A和B)参加一个活动，活动要求：所有人(男生和女生)必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列(假设女生的身高各不相同)；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人(可以是男生，也可以是女生)，但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有 (　　)
A.2 400种 B.3 600种
C.2 880种 D.4 220种
√
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13
解析：根据题意4名男生、3名女生的排列方法为种，然后在7人中选2人(不相邻)分配道具为-6种，总方法数为(-6)=3 600，故选B.
1
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13
9.(2025·济南模拟)甲、乙等6名高三同学计划今年暑假在A，B，C，D四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同的游玩方法有 (　　)
A.96种 B.132种
C.168种 D.204种
√
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13
解析：由题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则剩下的4人去其他两个景点游玩，有两种情况：①若3位同学去一个景点，1位同学去另一个景点，有=96种不同游玩方法；②分别都是2位同学去一个景点，有··=72种不同的游玩方法，由分类加法计数原理，得共有96+72=168种.
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13
二、多选题
10.在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径从A地出发到B地，则下列结论正确的是(　　)
A.不同的路径共有31条
B.不同的路径共有41条
C.若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D.若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有8条
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解析：由题图可知，从A地出发到B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有++=31(条)，故A正确，B错误；若甲途经C地，则不同的路径共有=18(条)，故C正确；若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有=9(条)，故D错误.
13
11.(2025·呼伦贝尔期末)现有6个同学排成一排照相，其中甲、乙两位同学不能相邻，则不同的排法有 (　　)
A.种 B.-种
C.种 D.种
解析：先将除甲、乙两位同学之外的4位同学排好，再将甲、乙两位同学插入5个空中，则不同的排法有种.假如甲、乙两位同学相邻，则有种排法，所以甲、乙两位同学不能相邻的不同排法有-种.故选BC.
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√
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√
12.安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是 (　　)
A.若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45
B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为
C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(+)
D.若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为+
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√
解析：若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误；先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故C错误；①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有(+)种安排方法，故D正确.
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三、填空题
13.(2025·内江模拟)假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有____种.
解析：由题意知甲、乙两人一定在天和核心舱内，则丙、丁、戊会被安排在不同的三个舱内，有=6种.
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14.(2025·荆州模拟)将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i=1，2，…，7)，若a4=7，a1+a2+a3解析：∵1+2+3+4+5+6=21，∴前3项的和S3≤10，列举可知，①(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)有4个；②(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)有3个；③(1，4，5)有1个；④(2，3，4)，(2，3，5)有2个，共有10个，∴共计有10××=360个这样的数列.
13
360
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3
4
15.同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有_____种.
解析：分三步：第一步，先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法；第二步，第一步排好后有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法；第三步，最后将B，C插入剩余三个空位，有种方法.由分步乘法计数原理得，共有×2×=72种方法.
13
72第二节　　　　排列与组合
1.理解排列、组合的概念.
　2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式
教材再回首
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照　　　　　　排成一列
组合 作为一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　　的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　　　的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公 式 (1)=　　　　　　　　　　　　　　　 =; (2)== =　　　　　　　　(n,m∈N*,且m≤n). 特别地,=1
性 质 (1)0!=　　;=　　; (2)=,=　　　　　　
解题结论拓展
1.排列数、组合数常用公式
(1)=(n-m+1).
(2)=n.
(3)(n+1)!-n!=n·n!.
(4)k=n.
(5)++…++=.
2.解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1)特殊优先原则:如果问题中有特殊元素或特殊位置,优先考虑这些特殊元素或特殊位置.
(2)先取后排原则:在既有取出又需要对取出的元素进行排列时,要先取后排,即完整地把需要排列的元素取出后,再进行排列.
(3)正难则反原则:当直接求解困难时,采用间接法解决问题.
(4)先分组后分配原则:在分配问题中如果被分配的元素多于位置,这时要先进行分组,再进行分配.
典题细发掘
1.(人A选必修③P26T4(2)改编)从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是 (　　)
A.12 B.24
C.64 D.81
2.(人A选必修③P37T1(3))安排6名歌手演出顺序时,要求某歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,不同排法的种数为　　　　　.
3.(苏教选必修②P96T4改编)某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为　　　　　　.
4.(人B选必修②P12例5改编)由数字0,1,2,…,9这10个数字可以组成　　　　个没有重复数字的三位数.
5.(组合性质的应用)若=+(n≥4,且n∈N*),则n=　　　　　.
题点一　排列问题
[例1]　有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
(4)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边;
(5)全体排成一排,甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
|思维建模|　排列问题的分类与解法
　　对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
[即时训练]
1.(2025·西安模拟)从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译),则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　　)
A.120种　　　 B.150种
C.180种 D.210种
2.某中学举办田径运动会.某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛,其中甲只能跑第一棒或第二棒,乙只能跑第二棒或第四棒,那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为 (　　)
A.48 B.36
C.24 D.12
题点二　组合问题
[例2]　(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　种(用数字作答).
|思维建模|
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
[即时训练]
3.(2024·天津和平二模)为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召,某学校开展读书活动,组织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法种数共有　　　　　.
4.(2024·西安三模)2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆,一票难求,主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域,五位球迷相约看球赛,则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式种数共有　　　　　.
题点三　排列与组合的综合应用
考法(一)　相邻与相间问题
[例3]
(1)(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (　　)
A.12种 B.24种
C.36种 D.48种
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是　　　　.
|思维建模|
相邻与相间问题的解题策略
(1)要求相邻时,把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列.
(2)对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
考法(二)　分组与分配问题
[例4]　按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.
|思维建模|
分组与分配问题的解题思路
　　分组与分配问题的一般解题思路是先分组再分配.
(1)分组问题属于“组合”问题.
①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;
②对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;
③对于不等分组,只需先分组,后排列.
(2)分配问题属于“排列”问题.
①相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”;
②不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是分配;
③有限制条件的分配问题常采用分类法求解.
[即时训练]
5.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国优秀传统文化,某校决定从“八雅”中挑选“六雅”,于某周末开展知识讲座,每雅安排一节,连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选,且要求“琴”“棋”相邻,“书”与“画”不相邻,则不同的排课方法共有　　　　种.(用数字作答)
6.(2025·南京开学考试)某校抽调志愿者去服务社区,已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者,要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者,若要求两名学生不分在同一社区,则不同的分配方案有　　　　　种.
第二节　排列与组合
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.一定的顺序
2.(1)不同排列　(2)不同组合
3.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　　1　n!　+
[典题细发掘]
1.B
2.解析:先安排这名歌手有种方法,余下5名歌手全排列有种方法.所以不同排法的种数为=4×5×4×3×2×1=480.
答案:480
3.解析:由题意可知,这位同学可以从A类选修课中选1门,从B类选修课中选2门,也可以从A类选修课中选2门,从B类选修课中选1门,所以不同的选法种数为×+×=18+12=30.
答案:30
4.解析:先考虑百位,有9种方法;然后考虑十位和个位,有9×8种方法,故没有重复数字的三位数有9×9×8=648个.
(易错提醒:数字排列中忽视0的位置)
答案:648
5.解析:由=+(n≥4),得=.又由=,得n-2=3,即n=5.
答案:5
课堂·题点精研
题点一
[例1]　解:(1)从7人中选5人排列,有=7×6×5×4×3=2 520(种).
(2)分两步完成,先选3人站前排,有种方法,余下4人站后排,有种方法,故共有=5 040(种).
(3)法一:特殊元素优先法　先排甲,有5种排法,其余6人有种排列方法,共有5×=3 600(种).
法二:特殊位置优先法　左、右两边位置可安排除甲外的6人中的两人,有种排法,其他人有种排法,故共有=3 600(种).
(4)法一:特殊元素优先法　甲在最右边时,其他人可全排列,有种排法;甲不在最右边时,可从余下的5个位置任选一个,有种排法,而乙可在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个,有种排法,其他人全排列,有种不同排法,故共有+=3 720(种).
法二:间接法　7名学生全排列,有种排法,其中甲在最左边时,有种排法,乙在最右边时,有种排法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有种排法,故共有-2+=3 720(种).
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定,则满足条件的排法共有=840(种).
[即时训练]
1.选C　依题意,可得甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项,有3种选法,再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作,有=60种选法,所以满足条件的不同选法共有3=180(种).
2.选B　当甲跑第一棒时,乙可跑第二棒或第四棒,共有=24(种)方案;当甲跑第二棒时,乙只能跑第四棒,共有=12(种)方案.故甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为24+12=36.
题点二
[例2]　解析:法一　由题意,可分三类:第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有种方案;第二类,在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有种方案;第三类,在体育类选修课中选修2门,在艺术类选修课中选修1门,有种方案.综上,不同的选课方案共有++=64(种).
法二　若学生从这8门课中选修2门课,则有--=16(种)选课方案;若学生从这8门课中选修3门课,则有--=48(种)选课方案.综上,不同的选课方案共有16+48=64(种).
答案:64
[即时训练]
3.解析:根据题意,分2步进行分析:首先选取1种相同课外读物的选法有=5种,再选取另外两种课外读物需不同,则共有=12种,所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5×12=60种.
答案:60
4.解析:要使五人中恰有三人在同一区域,可以分成三步完成:
第一步,先从五人中任选三人,有种方法;
第二步再选这三人所在的区域,有种方法;
第三步,将另外两人从余下的两个区域里任选,有种方法.由分步乘法计数原理,得共有=120种方法.
答案:120
题点三
[例3]　(1)B　(2)120
(1)先将丙和丁捆在一起有种排列方式,然后将其与乙、戊排列,有种排列方式,最后将甲插入中间两空,有种排列方式,所以不同的排列方式共有=24种,故选B.
(注意:排列、组合混合问题要先选后排)
(2)安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“　小品1歌舞1小品2　相声　”,有=36(种)排法;同理,第三种情况也有36种排法;对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“　小品1　相声　小品2　”,有=48(种)排法,故共有36+36+48=120(种)排法.
[例4]　解:(1)无序不均匀分组问题.先选1本有种选法;再从余下的5本中选2本有种选法;最后余下3本全选有种方法,故共有=60种.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问基础上,还应考虑再分配,共有=360种.
(3)无序均匀分组问题.共有=15种.
(4)在第(3)问的基础上,还应考虑再分配,共有
15=90种.
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本,这是部分均匀分组问题,求出组合总数除以即可,共有=15种.
(6)在第(5)问的基础上,还应考虑再分配,共有15=90种.
[即时训练]
5.解析:首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”,有种选法;“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体,与除“书”与“画”外的“两雅”全排列,有种排法;最后将“书”与“画”插入到所形成的4个空中的2个空,有种插法.按照分步乘法计数原理,可得共有=864(种)排课方法.
答案:864
6.解析:有4名教师志愿者和2名学生志愿者,要分配到3个不同的社区参加服务,每个社区分配2名志愿者,共有×=90种分配方案.若两名学生分在同一社区,则有=18种分配方案.因为两名学生不分在同一社区,所以不同的分配方案有90-18=72(种).
答案:72课时跟踪检测(七十三)　排列与组合
一、单选题
1.(2025·广州模拟)若a∈N*,且a<27,则(27-a)(28-a) ·…·(34-a)等于 (　 )
A. B.
C. D.
2.若=6,则m等于 (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
3.某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛,高二年级某班从本班5名男生、4名女生中选4人代表本班参赛,按照学校要求,女生至少参加1人,至多参加2人,则选派方式共有 (　　)
A.80种 B.90种
C.100种 D.120种
4.(2025·泉州模拟)七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼,甲、乙渔船要排在一起出行,丙必须在最中间出行,则不同的排法有 (　　)
A.96种 B.120种
C.192种 D.240种
5.(2025·北京阶段模拟)某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 (　　)
A.36种 B.60种
C.120种 D.180种
6.(2025·宁波模拟)如图,某种雨伞架前后两排共8个孔,编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞,每个孔最多放一把伞,则甲放在奇数孔,乙放在偶数孔,且丙、丁没有放在同一排的放法有 (　　)
A.68种 B.136种
C.272种 D.544种
7.(2025·上海模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有2和3时,2需排在3前面(不一定相邻),这样的三位数有 (　　)
A.9个 B.15个
C.42个 D.51个
8.(2025·邢台开学考试)有4名男生、3名女生和2个不同的道具(记作A和B)参加一个活动,活动要求:所有人(男生和女生)必须站成一排,女生必须站在一起,并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列(假设女生的身高各不相同);两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人(可以是男生,也可以是女生),但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有 (　　)
A.2 400种 B.3 600种
C.2 880种 D.4 220种
9.(2025·济南模拟)甲、乙等6名高三同学计划今年暑假在A,B,C,D四个景点中选择一个打卡游玩,若每个景点至少有一个同学去打卡游玩,每位同学都会选择一个景点打卡游玩,且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩,则不同的游玩方法有 (　　)
A.96种 B.132种
C.168种 D.204种
二、多选题
10.在某城市中,A,B两地之间有如图所示的道路网,甲随机沿道路网选择一条最短路径从A地出发到B地,则下列结论正确的是 (　　)
A.不同的路径共有31条
B.不同的路径共有41条
C.若甲途经C地,则不同的路径共有18条
D.若甲途经C地,且不经过D地,则不同的路径共有8条
11.(2025·呼伦贝尔期末)现有6个同学排成一排照相,其中甲、乙两位同学不能相邻,则不同的排法有 (　　)
A.种 B.-种
C.种 D.种
12.安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则以下说法正确的是 (　　)
A.若每人都安排一项工作,则不同的方法种数为45
B.若每项工作至少有1人参加,则不同的方法种数为
C.如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排1人,则不同的方法种数为(+)
D.若每项工作至少有1人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同的安排方法种数为+
三、填空题
13.(2025·内江模拟)假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人,甲、乙两人要在同一个舱内,则不同的安排方案共有　　　　种.
14.(2025·荆州模拟)将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i项为ai(i=1,2,…,7),若a4=7,a1+a2+a315.同宿舍六位同学在食堂排队取餐,其中A,B,C三人两两不相邻,A和D是双胞胎必须相邻,这样的排队方法有　　　　　种.
课时跟踪检测(七十三)
1.选D　∵从27-a到34-a共有34-a-(27-a)+1=8个数,∴(27-a)(28-a)·…·(34-a)=.故选D.
2.选C　因为=6,所以m(m-1)(m-2)=6×,即1=,解得m=7.
3.选C　若恰有1名女生参加,则有=10×4=40种,若恰有2名女生参加,则有=10×6=60种,所以共有40+60=100种不同的选派方式.故选C.
4.选C　由题意可知,丙排在第4位,则甲、乙两人可能在第1,2或2,3或5,6或6,7位,故不同的排法有=4×2×24=192种.故选C.
5.选C　该外商不同的投资方案分为两类:若1个城市投资2个项目,另外1个城市投资1个项目,有=60种投资方案;若3个城市各投资1个项目,共有=60种投资方案,由分类加法计数原理,知共有120种不同的投资方案.故选C.
6.选C　根据题意,分2种情况讨论:①甲、乙放在同一排,有=128种放法,②甲、乙不放在同一排,有=144种放法.故共有128+144=272种不同的放法.故选C.
7.选D　从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数共有=60个,当三个数字中有2和3时,3在2的前面(不一定相邻)有=9个,所以所求的三位数有60-9=51个.故选D.
8.选B　根据题意4名男生、3名女生的排列方法为种,然后在7人中选2人(不相邻)分配道具为-6种,总方法数为(-6)=3 600,故选B.
9.选C　由题意,甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩,则剩下的4人去其他两个景点游玩,有两种情况:①若3位同学去一个景点,1位同学去另一个景点,有=96种不同游玩方法;②分别都是2位同学去一个景点,有··=72种不同的游玩方法,由分类加法计数原理,得共有96+72=168种.
10.选AC　由题图可知,从A地出发到B地的最短路径共包含7步,其中3步向上,4步向右,且前3步中至少有1步向上,则不同的路径共有++=31(条),故A正确,B错误;若甲途经C地,则不同的路径共有=18(条),故C正确;若甲途经C地,且不经过D地,则不同的路径共有=9(条),故D错误.
11.选BC　先将除甲、乙两位同学之外的4位同学排好,再将甲、乙两位同学插入5个空中,则不同的排法有种.假如甲、乙两位同学相邻,则有种排法,所以甲、乙两位同学不能相邻的不同排法有-种.故选BC.
12.选AD　若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则有45种安排方法,故A正确;先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工作,有种安排方法,故B错误;先将5人分为3组,有种分组方法,将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有种情况,则有种安排方法,故C错误;①从丙、丁、戊中选出1人开车,②从丙、丁、戊中选出2人开车,则有(+)种安排方法,故D正确.
13.解析:由题意知甲、乙两人一定在天和核心舱内,则丙、丁、戊会被安排在不同的三个舱内,有=6种.
答案:6
14.解析:∵1+2+3+4+5+6=21,∴前3项的和S3≤10,列举可知,①(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6)有4个;②(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6)有3个;③(1,4,5)有1个;④(2,3,4),(2,3,5)有2个,共有10个,∴共计有10××=360个这样的数列.
答案:360
15.解析:分三步:第一步,先将除A,B,C三人的其余三人进行排序,有种方法;第二步,第一步排好后有4个空位,因为A和D必须相邻,所以A只能插入与D相邻的两个空位,有2种方法;第三步,最后将B,C插入剩余三个空位,有种方法.由分步乘法计数原理得,共有×2×=72种方法.
答案:72

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