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第三节　　　　二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
　 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
教材再回首
1.二项式定理
二项式定理 (a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(n∈N*)
二项展开式 an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)叫做(a+b)n的二项展开式
通项 　　　　　　　　叫做二项展开式的通项,是展开式中的第　　　　项,可记做Tk+1=an-kbk(k=0,1,2,…,n)
二项式系数 各项的系数为　　　　　(k=0,1,2,…,n)
2.二项式系数的性质
对称性 在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由　　　　　　得到
增减性与 最大值 当k<时,随k的增加而增大;当k>时,随k的增加而减少.如果二项式的幂指数n是偶数,那么其展开式中间一项,即　　　　　　　　的二项式系数最大;如果n是奇数,那么其展开式中间两项　　　　　　　与　　　　　　　　的二项式系数相等且最大
各二项式 系数的和 +++…+=　　,且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,即+++…=+++…=2n-1
典题细发掘
1.(人A选必修③P31T4)(x-1)10的展开式的第6项的系数是 (　　)
A. B.-
C. D.-
2.(人A选必修③P34T1(1))在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是 (　　)
A.74 B.121
C.-74 D.-121
3.(苏教选必修②P96T9)若展开式中的常数项为60,则常数a的值为 (　　)
A.4 B.2
C.8 D.6
4.(人A选必修③P38T3(5)改编)在(1-2x)10的展开式中,各项系数的和是　　　　.
5.(人B选必修②P32例2改编)的展开式中含x3的项为　　　　.
题点一　二项展开式的通项及其应用
考法(一)　求二项展开式的特定项
[例1]
(1)(2024·北京高考)(x-)4的二项展开式中x3的系数为 (　　)
A.15 B.6
C.-4 D.-13
(2)若的展开式中共有n个有理项,则n的值为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
|思维建模|
求二项展开式有关问题的策略
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=an-rbr(r∈N*且r≤n),把字母和系数分离(注意符号不要出错);
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组),解出r;
(3)把r代入通项公式中,即可求出Tr+1.
考法(二)　形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题
[例2]　(2022·新课标Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　　　　(用数字作答).
|思维建模|　求解形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;
第二步,根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到;
第三步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
考法(三)　三项式问题
[例3]　(2025·辽宁模拟)展开式中含x2项的系数为 (　　)
A.-120 B.-115
C.5 D.125
|思维建模|
求形如(a+b+c)n(n∈N*)的式子的展开式中与特定项相关的量的方法:
(1)因式分解法:通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式,然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开,从而解决问题.
(3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n(n∈N*)看成n个(a+b+c)的积,然后利用组合知识求解.
[即时训练]
1.(2025·杭州模拟)(2x-y)5的展开式中,x2y3的系数为 (　　)
A.-10 B.10
C.-40 D.40
2.已知(ax3+2x)的展开式中的常数项为0,则a= (　　)
A.3 B.-3
C.2 D.-2
3.(x2-2y-3)5的展开式中x4y项的系数为　　　　.
题点二　二项式系数与各项系数问题
考法(一)　二项式系数和与各项系数的和
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例4]
(1)在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则 (　　)
A.二项式系数和为32 B.各项系数和为128
C.常数项为-135 D.常数项为135
(2)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=　　　　　　;a1+2a2+3a3+…+10a10=　　　　　.
|思维建模|
赋值法求系数和的应用技巧
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,n,m∈N*)的式子,求其展开式中的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子,求其展开式中的各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),偶次项系数之和为a0+a2+a4+…=,奇次项系数之和为a1+a3+a5+…=.
考法(二)　“二项式系数”与“项的系数”的最值问题
[例5]
(1)(2025·廊坊模拟)(n∈N*)的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 (　　)
A.-160 B.-20
C.20 D.160
(2)(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.
|习得方略|
(1)若已知第p项和第q项的二项式系数相等,则=,此时n=p+q-2;
(2)若已知只有第p项的二项式系数最大,则最大,此时前后各有(p-1)项,n=2(p-1);
(3)若已知第p项的二项式系数最大,则需分为只有第p项的二项式系数最大、第p项和第(p+1)项的二项式系数最大、第p项和第(p-1)项的二项式系数最大三种情况分类讨论.
|思维建模|
1.二项式系数最值的求法
当n是偶数时,第项的二项式系数最大,为;当n是奇数时,第项和第项的二项式系数相等,且同时取得最大值,为或.
2.二项展开式中项的系数最值的求法
由于展开式中项的系数是离散型变量,可设展开式各项的系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,因此在系数均为正值的前提下,求二项展开式中项的系数的最大值时只需解不等式组即得结果.
[即时训练]
4.(2025·邵阳模拟)[多选]设(3x-2)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a7x7,则下列结论正确的是 (　　)
A.a0=-2
B.a3=85
C.a1+a3+a5+a7=32
D.a0+2a1+22a2+23a3+…+27a7=2 916
5.已知(1+2x)6的二项展开式中,二项式系数最大的项为a,系数最大的项为b,则=　　　　.
第三节　二项式定理
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　an-kbk　k+1　
2.=　　　　2n
[典题细发掘]
1.D　2.D
3.选A　由二项式定理得Tr+1=x6-r=(-1)r··x6-3r.令6-3r=0,得r=2,故15a=60,解得a=4.
4.解析:令x=1可得各项系数的和为(1-2)10=1.
答案:1
5.-84x3
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)C
(1)(x-)4的二项展开式的通项为Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0,1,2,3,4),令4-=3,解得r=2,故所求即为(-1)2=6.
易错提醒:在二项式(a-b)n中,要注意b的系数为-1,展开求解时不要忽略.
(2)因为展开式的通项为Tr+1==,r=0,1,…,6,当且仅当r=0,3,6时,为整数,可得T1,T4,T7为有理项.
[例2]　解析:(x+y)8展开式的通项Tr+1=x8-ryr,r=0,1,…,7,8.令r=6,得T6+1=x2y6,令r=5,得T5+1=x3y5,所以(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28.
答案:-28
[例3]　选B　法一　是5个之积,展开后得到x2有两种可能:1个取x2,4个取-1,得到含有x2的项为x2(-1)4=5x2.2个取x2,2个取-,1个取-1,得到含有x2的项为(x2)2(-1)1=-120x2.
因此含x2项的系数为-120+5=-115.
法二　=,
二项展开得(-1)5-k(k=0,1,2,3,4,5).
(-1)5-k二项展开得
(-1)5-k+r2rx2k-3r(0≤r≤k).
由2k-3r=2得3r=2(k-1),或
因此含x2项的系数为
(-1)4×20+(-1)3×22=-115.
[即时训练]
1.选C　(2x-y)5展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k(-y)k,0≤k≤5,k∈N,所以x2y3的系数为×22×(-1)3=-40.
2.选C　二项式的通项为Tr+1=(-2)rx5-2r,当5-2r=-3时,解得r=4,当5-2r=-1时,解得r=3,
所以展开式中的常数项为a(-2)4+2·(-2)3=80a-160=0,解得a=2.故选C.
3.解析:由题意知(x2-2y-3)5的通项为
T=(x2)r(-2y)k(-3)5-k-r,
化简得T=(-2)k·(-3)5-k-rx2ryk,
令得
即T=(-2)·(-3)2x4y=-540x4y.
则x4y的系数为-540.
答案:-540
题点二
[例4]　(1)D　(2)300　5 120
(1)令x=1,得各项系数和为2n,又二项式系数和为2n,则2×2n=128,得n=6,即二项式系数和为64,各项系数和也为64,故A、B不正确;的展开式的通项为Tk+1=·(3x)6-k·=·(-1)k36-k·,令6-k=0,得k=4,因此展开式中的常数项为T5=·(-1)4·32=135,故C不正确,D正确.
(2)①由已知得(1+x)10展开式的通项为Tk+1=xk,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数.故a2+a6+a8=++=300.
②对原式两边求导,得10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9.
令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5 120.
[例5]　(1)A　(2)5
(1)因为(n∈N*)的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则由二项式系数性质知展开式共有7项,则n=6,展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-2)rx6-2r.
展开式中的常数项,必有6-2r=0,即r=3,所以展开式中常数项为T4=(-2)3=-8×20=-160.
(2)由题知,展开式通项为Tr+1=xr,0≤r≤10且r∈Z,设展开式中第r+1项系数最大,则解得即≤r≤.
又r∈Z,故r=8.所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为=5.
[即时训练]
4.选ACD　(1+x)6展开式的通项为Tk+1=xk(k=0,1,2,…,6),a0=-2×=-2,故A正确;因为T4=20x3,T3=15x2,而(3x-2)(1+x)6的展开式中x3的系数为3×+(-2)×=45-40=5,故B错误;令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=(3×1-2)(1+1)6=64,令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0,两式相减得2(a1+a3+a5+a7)=64,即a1+a3+a5+a7=32,故C正确;令x=2,得a0+2a1+22a2+23a3+…+27a7=(3×2-2)(1+2)6=2 916,故D正确.
5.解析:由题意得a=·(2x)3=160x3,
通项Tr+1=2rxr(r=0,1,2,3,4,5,6),
当满足时,系数最大,
因为即
解得≤r≤.又r=0,1,…,6,
解得r=4,所以b=·(2x)4=240x4,故=.
答案:(共59张PPT)
第三节
二项式定理
明确目标
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.二项式定理
二项式定理 (a+b)n=_________________________________(n∈N*)
二项展开式 an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)叫做(a+b)n的二项展开式
通项 _________叫做二项展开式的通项，是展开式中的第______项，可记做Tk+1=an-kbk(k=0，1，2，…，n)
二项式系数 各项的系数为____(k=0，1，2，…，n)
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn
an-kbk
k+1
2.二项式系数的性质
对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由__________得到
增减性与 最大值 当k<时，随k的增加而增大；当k>时，随k的增加而减少.如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即_______的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项______与_______的二项式系数相等且最大
各二项式 系数的和 +++…+=____，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即+++…=+++…=2n-1
=
典题细发掘
1.(人A选必修③P31T4)(x-1)10的展开式的第6项的系数是 (　　)
A. B.-
C. D.-
2.(人A选必修③P34T1(1))在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含x3的项的系数是 (　　)
A.74 B.121
C.-74 D.-121
√
√
3.(苏教选必修②P96T9)若展开式中的常数项为60，则常数a的值为(　　)
A.4 B.2
C.8 D.6
解析：由二项式定理得Tr+1=x6-r=(-1)r··x6-3r.令6-3r=0，得r=2，故15a=60，解得a=4.
√
4.(人A选必修③P38T3(5)改编)在(1-2x)10的展开式中，各项系数的和是_____.
解析：令x=1可得各项系数的和为(1-2)10=1.
5.(人B选必修②P32例2改编)的展开式中含x3的项为_____.
1
-84x3
课堂·题点精研
02
考法(一)　求二项展开式的特定项
[例1] (1)(2024·北京高考)(x-)4的二项展开式中x3的系数为(　　)
A.15 B.6
C.-4 D.-13
解析： (x-)4的二项展开式的通项为Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r
(r=0，1，2，3，4)，令4-=3，解得r=2，故所求即为(-1)2=6.
√
题点一　二项展开式的通项及其应用
在二项式(a-b)n中，要注意b的系数为-1，展开求解时不要忽略.
易错提醒
(2)若的展开式中共有n个有理项，则n的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：因为展开式的通项为Tr+1==，r=0，1，…，6，当且仅当r=0，3，6时，为整数，可得T1，T4，T7为有理项.
√
求二项展开式有关问题的策略
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=an-rbr(r∈N*且r≤n)，把字母和系数分离(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
(3)把r代入通项公式中，即可求出Tr+1.
思维建模
考法(二)　形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题
[例2]　(2022·新课标Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为
____(用数字作答).
解析：(x+y)8展开式的通项Tr+1=x8-ryr，r=0，1，…，7，8.令r=6，得T6+1=x2y6，令r=5，得T5+1=x3y5，所以(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28.
-28
求解形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开，并写出其通项；
第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
思维建模
考法(三)　三项式问题
[例3]　(2025·辽宁模拟)展开式中含x2项的系数为(　　)
A.-120　　　　　 B.-115
C.5 D.125
解析：法一　是5个之积，展开后得到x2有两种可能：1个取x2，4个取-1，得到含有x2的项为x2(-1)4=5x2.2个取x2，2个取-，1个取-1，得到含有x2的项为(x2)2(-1)1=-120x2.因此含x2项的系数为-120+5=-115.
√
法二　=，
二项展开得(-1)5-k(k=0，1，2，3，4，5).
(-1)5-k二项展开得(-1)5-k+r2rx2k-3r(0≤r≤k).
由2k-3r=2得3r=2(k-1)，或
因此含x2项的系数为(-1)4×20+(-1)3×22=-115.
求形如(a+b+c)n(n∈N*)的式子的展开式中与特定项相关的量的方法：
思维建模
因式 分解法 通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理分别展开
逐层 展开法 将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，从而解决问题
利用组 合知识 把三项式(a+b+c)n(n∈N*)看成n个(a+b+c)的积，然后利用组合知识求解
1.(2025·杭州模拟)(2x-y)5的展开式中，x2y3的系数为 (　　)
A.-10　　　　　　 B.10
C.-40 D.40
解析： (2x-y)5展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k(-y)k，0≤k≤5，k∈N，所以x2y3的系数为×22×(-1)3=-40.
即时训练
√
2.已知(ax3+2x)的展开式中的常数项为0，则a=(　　)
A.3 B.-3
C.2 D.-2
解析：二项式的通项为Tr+1=(-2)rx5-2r，当5-2r=-3时，解得r=4，当5-2r=-1时，解得r=3，所以展开式中的常数项为a(-2)4
+2·(-2)3=80a-160=0，解得a=2.故选C.
√
3.(x2-2y-3)5的展开式中x4y项的系数为_____.
解析：由题意知(x2-2y-3)5的通项为T=(x2)r(-2y)k(-3)5-k-r，化简得T=(-2)k·(-3)5-k-rx2ryk，令得即T=(-2)·
(-3)2x4y=-540x4y.则x4y的系数为-540.
-540
考法(一)　二项式系数和与各项系数的和
[例4]
(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)
A.二项式系数和为32 B.各项系数和为128
C.常数项为-135 D.常数项为135
√
题点二　二项式系数与各项系数问题
解析：令x=1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2×2n=128，得n=6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B不正确；的展开式的通项为Tk+1=·(3x)6-k·=
·(-1)k36-k·，令6-k=0，得k=4，因此展开式中的常数项为T5=·(-1)4·32=135，故C不正确，D正确.
(2)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a2+a6+a8=_____；a1+2a2
+3a3+…+10a10=________.
解析：①由已知得(1+x)10展开式的通项为Tk+1=xk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数.故a2+a6+a8=++=300.
②对原式两边求导，得10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9.令x=1，得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5 120.
　5 120
300
赋值法求系数和的应用技巧
(1)对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，c∈R，n，m∈N*)的式子，求其展开式中的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式中的各项系数之和，只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0+a2+a4+…=，奇次项系数之和为a1+a3+a5+…=.
思维建模
考法(二)　“二项式系数”与“项的系数”的最值问题
[例5]
(1)(2025·廊坊模拟)(n∈N*)的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(　　)
A.-160 B.-20
C.20 D.160
√
解析：因为(n∈N*)的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知展开式共有7项，则n=6，展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-2)rx6-2r.
展开式中的常数项，必有6-2r=0，即r=3，所以展开式中常数项为T4=(-2)3=-8×20=-160.
(1)若已知第p项和第q项的二项式系数相等，则=，此时n=p+q-2；
(2)若已知只有第p项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有(p-1)项，n=2(p-1)；
(3)若已知第p项的二项式系数最大，则需分为只有第p项的二项式系数最大、第p项和第(p+1)项的二项式系数最大、第p项和第(p-1)项的二项式系数最大三种情况分类讨论.
习得方略
(2)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为__.
解析：由题知，展开式通项为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r+1项系数最大，则解得即≤r≤.又r∈Z，故r=8.所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5.
5
1.二项式系数最值的求法
当n是偶数时，第项的二项式系数最大，为；当n是奇数时，第项和第项的二项式系数相等，且同时取得最大值，为或.
思维建模
2.二项展开式中项的系数最值的求法
由于展开式中项的系数是离散型变量，可设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求二项展开式中项的系数的最大值时只需解不等式组即得结果.
4.(2025·邵阳模拟)[多选]设(3x-2)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a7x7，则下列结论正确的是 (　　)
A.a0=-2
B.a3=85
C.a1+a3+a5+a7=32
D.a0+2a1+22a2+23a3+…+27a7=2 916
即时训练
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解析： (1+x)6展开式的通项为Tk+1=xk(k=0，1，2，…，6)，a0=-2×=-2，故A正确；因为T4=20x3，T3=15x2，而(3x-2)(1+x)6的展开式中x3的系数为3×+(-2)×=45-40=5，故B错误；令x=1，得a0+a1+a2+…+a7=(3×1-2)(1+1)6=64，令x=-1，得a0-a1+a2-…-a7=0，两式相减得2(a1+a3+a5+a7)=64，即a1+a3+a5+a7=32，故C正确；令x=2，得a0+2a1+22a2+23a3+…+27a7=(3×2-2)(1+2)6=2 916，故D正确.
5.已知(1+2x)6的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则=___.
解析：由题意得a=·(2x)3=160x3，
通项Tr+1=2rxr(r=0，1，2，3，4，5，6)，
当满足时，系数最大，
因为即
解得≤r≤.又r=0，1，…，6，
解得r=4，所以b=·(2x)4=240x4，故=.
数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·白城模拟)(3+2x)n展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为(　　)
A.8 B.7
C.6 D.5
解析：因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故+1=4，得n=6.
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2.(2025·雅礼中学模拟)若a>1，则的展开式中x4的系数的取值范围为(　　)
A.(192，+∞) B.(-∞，192)
C.(-192，+∞) D.(-∞，-192)
解析：的展开式中x4的系数为×25×(-a)=-192a，因为a>1，所以-192a<-192.故选D.
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3.(2025·长春模拟)在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中x2项的系数为(　　)
A.15 B.54
C.12 D.-54
解析：因为二项式系数的和是16，所以2n=16，解得n=4.二项式展开式的通项为Tr+1=(x2)4-r=(-3)r，令8-3r=2 r=2，所以展开式中x2项的系数为(-3)2=54.故选B.
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4.已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A. B.7
C.x2 D.7x2
快审准解：利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出n的值，由二项式系数的性质求出答案.
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解析：展开式中的第r+1项为Tr+1=xn-r=，
所以前三项的系数依次为.
依题意，有+=，即1+×=n，
整理得n2-9n+8=0，解得n=1(舍去)或n=8.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即T5==x2.故选C.
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5.在(x+3)的展开式中，常数项为(　　)
A.- B.
C.- D.
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解析：原式=x+3①，
而的通项为Tk+1=x6-2k.当6-2k=-1时，k= Z，故①式中的前一项不会出现常数项；当6-2k=0，即k=3时，可得①式中的后一项满足题意，此时原式的常数项为3××=-.
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6.已知(x+a)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10，若a9=30，则实数a= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
快审准解：利用换元法，根据二项式定理的性质，即可求解.
解析：令x-1=t，则x=t+1，所以(t+1+a)10=a0+a1t+a2t2+…+a9t9+a10t10，所以T10=(a+1)t9，所以(a+1)=a9 10(a+1)=30 a=2.故选B.
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习得方略：对于展开式中含有(m+x)因式的展开问题的解题策略
①换元法，即令m+x=t，则x=t-m，再将x=t-m代入，即可转化为关于t的二项式，进而求解；
②整体代入法，实质是和换元法一致的，即将(m+x)看成一个“因子”，左、右两端都转化为有(m+x)的因式即可求解.
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7.已知m为正整数，(x+y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a，(x+y)2m+1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b，则m= (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：由题意可知，a=，b=.∵13a=7b，∴13·=7·，即=，解得m=6.
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8.在(x+y-2z)5的展开式中，xy2z2的系数是 (　　)
A.120 B.-120
C.60 D.30
解析：法一　由题意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5，展开式的第k+1项为(x+y)5-k·(-2z)k，令k=2，可得第3项为(-2)2(x+y)3z2，(x+y)3的展开式的第m+1项为x3-m·ym，令m=2，可得第3项为xy2，所以(x+y-2z)5的展开式中xy2z2的系数是(-2)2=120.
法二　(x+y-2z)5相当于5个(x+y-2z)相乘，含xy2z2的项则是其中1个(x+y-2z)中取x，2个(x+y-2z)中取y，2个(x+y-2z)中取z，故系数为(-2)2=120.
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9.已知p：a=-1，q：4n+a(n∈N*，n>1)能被3整除，则p是q的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
快审准解：首先根据二项式定理展开来分析4n+a(n∈N*，n>1)能被3整除时a的值，然后结合充分性和必要性判断即可.
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解析：因为4n+a=(1+3)n+a=1+3+32+…+3n+a，所以当a=-1时，4n+a(n∈N*，n>1)能被3整除，即p q.
又4n+a(n∈N*，n>1)能被3整除时，不一定有a=-1，也可能a取其他值，比如a=2，即q p，所以p是q的充分不必要条件.故选A.
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10.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为(　　)
A. B.
C. D.
快审准解：求出二项式展开式，再利用古典概型求出这两项的乘积为有理项的概率.
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解析：展开式的通项为Tr+1=()5-r·=·，则的各项分别为·=·x=5x，·=10·x-2=10x-2，·=5 ，·x-5=x-5，将这6项依次记为A，B，C，D，E，F，从的二项展开式中随机取出不同的两项有=15种情况，这两项的乘积为有理项的样本点为(A，C)，(A，E)，(B，D)，(B，F)，(C，E)，(D，F)，共6个，所以这两项的乘积为有理项的概率为=.故选A.
13
二、多选题
11.(2025·重庆模拟)已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是(　　)
A.展开式共有6项
B.二项式系数最大的项是第4项
C.展开式的常数项为540
D.展开式含有x2
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解析：由于二项式的展开式中各项系数之和是，令x=1，则==，所以n=6，即二项式为，其展开后有7项，故A错误；二项式系数最大的项是第4项，故B正确；二项式展开式的通项为Tr+1==26-r·，所以当r=2时，常数项为24·=540，故C正确；当=2时，解得r=，不是整数，所以展开式不含有x2项，故D错误.
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12.已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是 (　　)
A.n=8 B.a0=1
C.a3=-160 D.|a1|+|a2|+…+|an|=36-1
解析：因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2n=64，解得n=6，故A错误；由(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，令x=0，可得a0=1，故B正确；
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因为(1-2x)6展开式的通项为Tr+1=(-2x)r，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a3x3=×(-2x)3=-160x3，所以a3=-160，故C正确；由展开式的通项为Tr+1=(-2x)r，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a1，a3，a5<0，a0，a2，a4，a6>0，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-…+a6，令x=-1，可得a0-a1+a2-…+a6=36，所以|a1|+|a2|+…+|an|=36-1，故D正确.
习得方略：令x=0可以求得展开式的常数项，令x=1可以求得展开式中所有项的系数之和.
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三、填空题
13.(2024·上海高考)在(x+1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为____.
解析：由题意得2n=32，所以n=5，则(x+1)5的通项Tr+1=x5-r1r，令5-r=2，得r=3，所以展开式中x2的系数为=10.
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14.从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，则的展开式中的常数项为_____.(用数字作答)
解析：由已知，得n==6，所以二项式展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=·(-1)r·26-r·x6-2r，令6-2r=0，得r=3，所以二项式的展开式中的常数项为·(-1)3·23=-160.
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15.(2025·北京东城模拟)若的展开式中存在x2项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列{an}的通项公式为________.
解析：展开式的通项为Tk+1=(-)k=(-1)k，由于展开式中存在x2项，令=2，则m=，所以an==4n.
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an=4n课时跟踪检测(七十四)　二项式定理
一、单选题
1.(2025·白城模拟)(3+2x)n展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则n的值为 (　　)
A.8 B.7
C.6 D.5
2.(2025·雅礼中学模拟)若a>1,则的展开式中x4的系数的取值范围为 (　　)
A.(192,+∞) B.(-∞,192)
C.(-192,+∞) D.(-∞,-192)
3.(2025·长春模拟)在的展开式中,二项式系数的和是16,则展开式中x2项的系数为 (　　)
A.15 B.54
C.12 D.-54
4.已知的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则展开式中二项式系数最大的项是 (　　)
A. B.7
C.x2 D.7x2
5.在(x+3)的展开式中,常数项为 (　　)
A.- B.
C.- D.
6.已知(x+a)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9+a10(x-1)10,若a9=30,则实数a= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知m为正整数,(x+y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
8.在(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是 (　　)
A.120 B.-120
C.60 D.30
9.已知p:a=-1,q:4n+a(n∈N*,n>1)能被3整除,则p是q的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.从的二项展开式中随机取出不同的两项,则这两项的乘积为有理项的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
11.(2025·重庆模拟)已知二项式的展开式中各项系数之和是,则下列说法正确的是 (　　)
A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项
C.展开式的常数项为540 D.展开式含有x2
12.已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,展开式中的所有项的二项式系数和为64,下列说法正确的是 (　　)
A.n=8 B.a0=1
C.a3=-160 D.|a1|+|a2|+…+|an|=36-1
三、填空题
13.(2024·上海高考)在(x+1)n的展开式中,若各项系数和为32,则展开式中x2的系数为　　　　.
14.从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位,共有n种方法,则的展开式中的常数项为　　　　.(用数字作答)
15.(2025·北京东城模拟)若的展开式中存在x2项,则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列{an}的通项公式为　　　　　.
课时跟踪检测(七十四)
1.选C　因为只有一项二项式系数最大,所以n为偶数,故+1=4,得n=6.
2.选D　的展开式中x4的系数为×25×(-a)=-192a,因为a>1,所以-192a<-192.故选D.
3.选B　因为二项式系数的和是16,所以2n=16,解得n=4.二项式展开式的通项为Tr+1=(x2)4-r=(-3)r,令8-3r=2 r=2,所以展开式中x2项的系数为(-3)2=54.故选B.
4.快审准解:利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数,列出方程求出n的值,由二项式系数的性质求出答案.
选C　展开式中的第r+1项为Tr+1=xn-r=,所以前三项的系数依次为,,.
依题意,有+=,即1+×=n,
整理得n2-9n+8=0,解得n=1(舍去)或n=8.
由二项式系数的性质可知,展开式中第5项的二项式系数最大,
即T5==x2.故选C.
5.选A　原式=x+3①,
而的通项为Tk+1=x6-2k.当6-2k=-1时,k= Z,故①式中的前一项不会出现常数项;当6-2k=0,即k=3时,可得①式中的后一项满足题意,此时原式的常数项为3××=-.
6.快审准解:利用换元法,根据二项式定理的性质,即可求解.
选B　令x-1=t,则x=t+1,所以(t+1+a)10=a0+a1t+a2t2+…+a9t9+a10t10,所以T10=(a+1)t9,所以(a+1)=a9 10(a+1)=30 a=2.故选B.
习得方略:
对于展开式中含有(m+x)因式的展开问题的解题策略
①换元法,即令m+x=t,则x=t-m,再将x=t-m代入,即可转化为关于t的二项式,进而求解;
②整体代入法,实质是和换元法一致的,即将(m+x)看成一个“因子”,左、右两端都转化为有(m+x)的因式即可求解.
7.选B　由题意可知,a=,b=.
∵13a=7b,∴13·=7·,
即=,解得m=6.
8.选A　法一　由题意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展开式的第k+1项为(x+y)5-k(-2z)k,令k=2,可得第3项为(-2)2(x+y)3z2,(x+y)3的展开式的第m+1项为x3-mym,令m=2,可得第3项为xy2,所以(x+y-2z)5的展开式中xy2z2的系数是(-2)2=120.
法二　(x+y-2z)5相当于5个(x+y-2z)相乘,含xy2z2的项则是其中1个(x+y-2z)中取x,2个(x+y-2z)中取y,2个(x+y-2z)中取z,故系数为(-2)2=120.
9快审准解:首先根据二项式定理展开来分析4n+a(n∈N*,n>1)能被3整除时a的值,然后结合充分性和必要性判断即可.
选A　因为4n+a=(1+3)n+a=1+3+32+…+3n+a,所以当a=-1时,4n+a(n∈N*,n>1)能被3整除,即p q.又4n+a(n∈N*,n>1)能被3整除时,不一定有a=-1,也可能a取其他值,比如a=2,即qp,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
10.快审准解:求出二项式展开式,再利用古典概型求出这两项的乘积为有理项的概率.
选A　展开式的通项为Tr+1=()5-r=·,则的各项分别为·=,·x=5x,·=10,·x-2=10x-2,·=5 ,·x-5=x-5,
将这6项依次记为A,B,C,D,E,F,从的二项展开式中随机取出不同的两项有=15种情况,这两项的乘积为有理项的样本点为(A,C),(A,E),(B,D),(B,F),(C,E),(D,F),共6个,所以这两项的乘积为有理项的概率为=.故选A.
11.选BC　由于二项式的展开式中各项系数之和是,令x=1,则==,所以n=6,即二项式为,其展开后有7项,故A错误;二项式系数最大的项是第4项,故B正确;二项式展开式的通项为Tr+1==26-r,所以当r=2时,常数项为24=540,故C正确;当=2时,解得r=,不是整数,所以展开式不含有x2项,故D错误.
12.选BCD　因为展开式中的所有项的二项式系数和为64,所以2n=64,解得n=6,故A错误;由(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=0,可得a0=1,故B正确;因为(1-2x)6展开式的通项为Tr+1=(-2x)r,r∈{0,1,2,3,4,5,6},所以a3x3=×(-2x)3=-160x3,所以a3=-160,故C正确;由展开式的通项为Tr+1=(-2x)r,r∈{0,1,2,3,4,5,6},所以a1,a3,a5<0,a0,a2,a4,a6>0,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-…+a6,令x=-1,可得a0-a1+a2-…+a6=36,所以|a1|+|a2|+…+|an|=36-1,故D正确.
习得方略:令x=0可以求得展开式的常数项,令x=1可以求得展开式中所有项的系数之和.
13.解析:由题意得2n=32,所以n=5,则(x+1)5的通项Tr+1=x5-r1r,令5-r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为=10.
答案:10
14.解析:由已知,得n==6,所以二项式展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=·(-1)r·26-r·x6-2r,令6-2r=0,得r=3,所以二项式的展开式中的常数项为·(-1)3·23=-160.
答案:-160
15.解析:展开式的通项为Tk+1=(-)k=(-1)k,由于展开式中存在x2项,令=2,则m=,所以an==4n.
答案:an=4n

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