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第四节　随机事件、频率与概率
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.结合实例,会用频率估计概率
教材再回首
1.样本空间和随机事件
样本点和有限样本空间 样本点 随机试验E的每个可能的　　　　　　称为样本点,常用ω表示
样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示
有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间
随机事件 定义 样本空间Ω的　　　称为随机事件,简称事件
表示 大写字母A,B,C,…
随机事件的 极端情形 必然事件、不可能事件
2.事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 　　　　
相等关系 B A且A B 　　　　
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或 A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥事件 (互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 　　　 　, 　　　　
3.频率与概率
(1)频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐　　　　　　事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用:可以用频率fn(A)估计概率P(A).
典题细发掘
1.(人A必修②P235T1改编)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 (　　)
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
2.[多选]下述关于频率与概率的说法错误的是 (　　)
A.设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品
B.利用随机事件发生的频率估计随机事件发生的概率,即使随机试验的次数超过10 000,所估计出的概率也不一定很准确
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的概率是
3.(人A必修②P235T2改编)掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则 (　　)
A.A∪B表示向上的点数是1或3或5
B.A=B
C.A∪B表示向上的点数是1或3
D.A∩B表示向上的点数是1或5
4.(北师大必修①P190T3改编)一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球.从中先后取出2个球,则样本点的个数为　　　　.
题点一　随机事件与样本空间
[例1]　(2025·吉林模拟)若随机试验的样本空间为Ω={0,1,2},则下列说法不正确的是 (　　)
A.事件P={1,2}是随机事件
B.事件Q={0,1,2}是必然事件
C.事件M={-1,-2}是不可能事件
D.事件{-1,0}是随机事件
|思维建模|　确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件.
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
[即时训练]
1.“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和为3”这一事件是 (　　)
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.以上都不对
2.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
题点二　事件的关系与运算
[例2]
(1)(2025·大连模拟)[多选]有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件E为“只订甲报纸”,事件F为“至少订一种报纸”,事件G为“至多订一种报纸”,事件I为“一种报纸也不订”,则下列命题正确的是 (　　)
A.E与G是互斥事件 　B.F与I互为对立事件
C.F与G不是互斥事件 　D.G与I是互斥事件
(2)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},则下列关系不正确的是 (　　)
A.A D 　B.B∩D=
C.A∪C=D 　D.A∪B=B∪D
|思维建模|
1.判断互斥事件、对立事件的两种方法
(1)定义法:不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.
②事件A的对立事件所含的结果组成集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.事件的关系运算策略
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生.
(2)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.
[即时训练]
3.(2025·南通模拟)不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球,现从盒子里随机取2个球.记事件M:至少一个红球,事件N:一个红球一个白球,则下列说法正确的是 (　　)
A.M+N=N B.MN=N
C.M与N互斥 D.M与N独立
4.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件1表示“骰子向上的点数为奇数”,事件2表示“骰子向上的点数为偶数”,事件3表示“骰子向上的点数大于3”,事件4表示“骰子向上的点数小于3”,则 (　　)
A.事件1与事件3互斥
B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥
D.事件3与事件4互为对立事件
题点三　频率与概率
[例3]　某商场为提高服务质量,用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,结果如表所示.
满意 不满意
男顾客 50 10
女顾客 50 30
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)估计顾客对该商场满意的概率;
(3)若该商场一天有2 100名顾客,大约有多少人对该商场的服务满意
(4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关 并说明理由.
|思维建模|
随机事件的频率与概率问题的常见类型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表:可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.
(2)由频率估计概率:可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.
(3)由频率估计某部分的数值:可由频率估计概率,再由概率估算某部分的数值.
[即时训练]
5.某商场计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶8元,售价每瓶10元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为400瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
最高 气温 [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40)
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率,并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
第四节　随机事件、频率与概率
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.基本结果　子集
2.A B　A=B　A∩B= 　A∪B=Ω
3.(1)稳定于
[典题细发掘]
1.D
2.选ACD　从中任取100件,可能有10件是次品,A错误;10 000次的界定没有科学依据,“不一定很准确”的表达正确,试验次数越多,频率越稳定在概率值附近,但并非试验次数越多,频率就等于概率,B正确;多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近,此常数为概率,C中描述不符合概率定义,C错误;做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的频率是,不是概率为,D错误.
(易错提醒:混淆频率和概率)
3.A　4.12
课堂·题点精研
题点一
[例1]　选D　随机试验的样本空间为Ω={0,1,2},则事件P={1,2}是随机事件,故A正确;事件Q={0,1,2}是必然事件,故B正确;事件M={-1,-2}是不可能事件,故C正确;事件{-1,0}是不可能事件,故D错误.
[即时训练]
1.选B　由于“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和必大于等于4”,故“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和为3”这一事件是不可能事件.
2.选D　因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个样本点.
题点二
[例2]　(1)BC　(2)D
(1)E与G有可能同时发生,不是互斥事件,故A错误;F与I不可能同时发生,且发生的概率之和为1,所以F与I互为对立事件,故B正确;F与G可以同时发生,不是互斥事件,故C正确;G与I可以同时发生,不是互斥事件,故D错误.
(2)用(x1,x2)表示射击的情况,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况.设击中飞机为1,没击中为0,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.由题意得,A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)},则A D,A∪C=D,且B∩D= .故A、B、C都正确;又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,所以A∪B≠B∪D,故D不正确.
[即时训练]
3.选B　现从盒子里随机取2个球.记事件M:至少一个红球,则存在两种情况,有一个红球和一个白球,有两个红球.M+N=M,故A错误;MN=N,故B正确;∵MN=N,∴M与N不互斥,故C错误,∵MN=N,∴N发生,M一定发生,M发生,N不一定发生,故M与N不独立,故D错误.
4.选B　由题可知,事件1可表示为A={1,3,5},事件2可表示为B={2,4,6},事件3可表示为C={4,5,6},事件4可表示为D={1,2},因为A∩C={5},所以事件1与事件3不互斥,A错误;因为A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,所以事件1与事件2互为对立事件,B正确;因为B∩C={4,6},所以事件2与事件3不互斥,C错误;因为C∩D为不可能事件,C∪D不为必然事件,所以事件3与事件4不互为对立事件,D错误.
题点三
[例3]　解:(1)估计男顾客对该商场服务满意的概率为=,女顾客对该商场服务满意的概率为=.
(2)估计顾客对该商场满意的概率为=.
(3)因为2 100×=1 500(人),所以约有1 500人对该商场的服务满意.
(4)由(1)知男顾客对该商场服务满意的比例约为≈0.833,
女顾客对该商场服务满意的比例约为=0.625,
因为这两个比例相差较大,所以可以说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关.
[即时训练]
5.解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数为1+17+38=56,∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率P==.前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为×[(22+7+5)×600+38×400+(1+17)×300]=≈456(瓶).
(2)当最高气温大于等于25 ℃时,需求量为600,Y=550×2=1 100元,当最高气温在[20,25)℃时,需求量为400,Y=400×2-(550-400)×4=200元,当最高气温低于20 ℃时,需求量为300,Y=600-(550-300)×4=-400元,当最高气温大于等于20 ℃时,Y>0.由前三年六月份各天的最高气温数据,得最高气温大于等于20 ℃的天数为90-(1+17)=72,∴估计Y大于零的概率P==.(共57张PPT)
第四节
随机事件、频率与概率
明确目标
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.结合实例，会用频率估计概率.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.样本空间和随机事件
样本点和有限样本空间 样本点 随机试验E的每个可能的_________称为样本点，常用ω表示
样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示
有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
基本结果
续表
随机事件 定义 样本空间Ω的_____称为随机事件，简称事件
表示 大写字母A，B，C，…
随机事件的 极端情形 必然事件、不可能事件
子集
2.事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 ______
相等关系 B A且A B _____
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥事件(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 _______，_______
A B
A=B
A∩B=
A∪B=Ω
3.频率与概率
(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐_________事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A).
稳定于
典题细发掘
1.(人A必修②P235T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 (　　)
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
√
2.[多选]下述关于频率与概率的说法错误的是 (　　)
A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B.利用随机事件发生的频率估计随机事件发生的概率，即使随机试验的次数超过10 000，所估计出的概率也不一定很准确
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
√
√
√
解析：从中任取100件，可能有10件是次品，A错误；10 000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确；多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误.
(易错提醒：混淆频率和概率)
3.(人A必修②P235T2改编)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则 (　　)
A.A∪B表示向上的点数是1或3或5
B.A=B
C.A∪B表示向上的点数是1或3
D.A∩B表示向上的点数是1或5
4.(北师大必修①P190T3改编)一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球.从中先后取出2个球，则样本点的个数为______.
√
12
课堂·题点精研
02
[例1]　(2025·吉林模拟)若随机试验的样本空间为Ω={0，1，2}，则下列说法不正确的是 (　　)
A.事件P={1，2}是随机事件
B.事件Q={0，1，2}是必然事件
C.事件M={-1，-2}是不可能事件
D.事件{-1，0}是随机事件
√
题点一　随机事件与样本空间
解析：随机试验的样本空间为Ω={0，1，2}，则事件P={1，2}是随机事件，故A正确；事件Q={0，1，2}是必然事件，故B正确；事件M={-1，-2}是不可能事件，故C正确；事件{-1，0}是不可能事件，故D错误.
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件.
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
思维建模
1.“某点P到点A(-2，0)和点B(2，0)的距离之和为3”这一事件是 (　　)
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.以上都不对
解析：由于“某点P到点A(-2，0)和点B(2，0)的距离之和必大于等于4”，故“某点P到点A(-2，0)和点B(2，0)的距离之和为3”这一事件是不可能事件.
即时训练
√
2.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω={(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8个样本点.
√
[例2]
(1)(2025·大连模拟)[多选]有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，则下列命题正确的是(　　)
A.E与G是互斥事件 B.F与I互为对立事件
C.F与G不是互斥事件 D.G与I是互斥事件
√
题点二　事件的关系与运算
√
解析：E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，所以F与I互为对立事件，故B正确；F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；G与I可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.
(2)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一弹击中飞机}，D={至少有一弹击中飞机}，则下列关系不正确的是 (　　)
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
√
解析：用(x1，x2)表示射击的情况，其中x1表示第1次射击的情况，x2表示第2次射击的情况.设击中飞机为1，没击中为0，则样本空间Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}.由题意得，A={(1，1)}，B={(0，0)}，C={(0，1)，(1，0)}，D={(0，1)，(1，0)，(1，1)}，则A D，A∪C=D，且B∩D= .故A、B、C都正确；又B∪D=Ω，A∪B={(0，0)，(1，1)}≠Ω，所以A∪B≠B∪D，故D不正确.
1.判断互斥事件、对立事件的两种方法
思维建模
定义法 不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥
事件A的对立事件所含的结果组成集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
2.事件的关系运算策略
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.
3.(2025·南通模拟)不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球.记事件M：至少一个红球，事件N：一个红球一个白球，则下列说法正确的是 (　　)
A.M+N=N B.MN=N
C.M与N互斥 D.M与N独立
即时训练
√
解析：现从盒子里随机取2个球.记事件M：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球.M+N=M，故A错误；MN=N，故B正确；∵MN=N，∴M与N不互斥，故C错误，∵MN=N，∴N发生，M一定发生，M发生，N不一定发生，故M与N不独立，故D错误.
4.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则 (　　)
A.事件1与事件3互斥
B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥
D.事件3与事件4互为对立事件
√
解析：由题可知，事件1可表示为A={1，3，5}，事件2可表示为B={2，4，6}，事件3可表示为C={4，5，6}，事件4可表示为D={1，2}，因为A∩C={5}，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为B∩C={4，6}，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误.
[例3]　某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示.
题点三　频率与概率
满意 不满意
男顾客 50 10
女顾客 50 30
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
解：估计男顾客对该商场服务满意的概率为=，女顾客对该商场服务满意的概率为=.
(2)估计顾客对该商场满意的概率；
解：估计顾客对该商场满意的概率为=.
(3)若该商场一天有2 100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意
解：因为2 100×=1 500(人)，所以约有1 500人对该商场的服务满意.
(4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关 并说明理由.
解：由(1)知男顾客对该商场服务满意的比例约为≈0.833，
女顾客对该商场服务满意的比例约为=0.625，
因为这两个比例相差较大，所以可以说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关.
随机事件的频率与概率问题的常见类型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表：可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率.
(2)由频率估计概率：可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率.
(3)由频率估计某部分的数值：可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值.
思维建模
5.某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
即时训练
最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；
解：由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25)和最高气温低于20的天数为1+17+38=56，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率P==.
前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为
×[(22+7+5)×600+38×400+(1+17)×300]=≈456(瓶).
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解：当最高气温大于等于25 ℃时，需求量为600，Y=550×2=1 100元，当最高气温在[20，25)℃时，需求量为400，Y=400×2-(550-400)×4=200元，当最高气温低于20 ℃时，需求量为300，Y=600-(550-300)×4=-400元，当最高气温大于等于20 ℃时，Y>0.由前三年六月份各天的最高气温数据，得最高气温大于等于20 ℃的天数为90-(1+17)=72，∴估计Y大于零的概率P==.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·三明调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(　　)
A.3个都是白球 B.3个都是红球
C.至少1个红球 D.至多2个白球
解析：从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球，不可能发生，故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
2.(2025·雅礼中学模拟)若干个人站成一排，其中为互斥事件的是 (　　)
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.
√
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3.在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个样本点.
√
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4.手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
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顾客 年龄(岁) 20岁 以下 [20， 30) [30， 40) [40， 50) [50， 60) [60， 70) 70岁及
以上
手机 支付人数 3 12 14 9 5 2 0
其他支付 方式人数 0 0 2 13 27 12 1
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在[40，60)内且未使用手机支付的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意可知该顾客年龄在[40，60)内且未使用手机支付的频率为=，用频率估计概率，估计该顾客年龄在[40，60)内且未使用手机支付的概率为.
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√
5.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为 (　　)
A.M∪N B.M∩N
C.∩ D.∪
解析：因为甲、乙两个元件串联，所以线路没有故障，即甲、乙都没有故障.故事件和同时发生，即事件∩发生.
√
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6.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai=“向上的点数为i”，其中i=1，2，3，4，5，6，B=“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是 (　　)
A. B B.A2+B=Ω
C.A3与B互斥 D.A4与对立
解析：∵={2，3，4，5，6}，B={2，4，6}，∴B ，故A错误；A2+B={2}∪{2，4，6}={2，4，6}≠Ω，故B错误；A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；A4={4}，={1，3，5}，A4与互斥但不对立，故D错误.
√
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二、多选题
7.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(　　)
A.2张卡片不全为红色
B.2张卡片中恰有一张为红色
C.2张卡片中至少有一张为红色
D.2张卡片都为绿色
√
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√
解析：A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.C中“2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥.显然B、D正确.
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8.(2025·遂宁模拟)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1，2，3，4，5，6；D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”.下列结论判断正确的是 (　　)
A.C1与C2互斥 B.D1∪D2=Ω，D1D2=
C.D3 D2 D.C2，C3为对立事件
√
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√
√
解析：由题意C1与C2不可能同时发生，它们互斥，A正确；D1中点数为1或2，D2中点数为3，4，5或6，因此D1∪D2是必然事件，但它们不可能同时发生，因此D1D2为不可能事件，B正确；D3发生时，D2一定发生，但D2发生时，D3可能不发生，因此D3 D2，C正确；C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误.故选ABC.
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三、填空题
9.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=__________________.
解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
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{0，2，4，6，8}
10.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗 若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中作过弊.若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”.则问题二“考试是否作过弊”回答“是”的百分比为(以100人的频率估计概率)______.
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54%
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4
解析：由题意，可知每名调查者从袋子中摸到1个白球或黑球的概率均为0.5，所以100人中回答第一个问题的人数为100×0.5=50，则另外50人回答了第二个问题，在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为50×=25，则摸到白球且回答“是”的人数为52-25=27，所以问题二“考试是否作过弊”回答“是”的百分比为=0.54=54%.
四、解答题
11.(10分)某校为了解学生在家学习的周均时长(单位：小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.
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(1)求该校学生学习的周均时长的众数和平均数的估计值；(用每小组的组中间值代替本组数值)(5分)
解：众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，由题图可得众数为25.
平均数的估计值
=10×(5×0.005+15×0.025+25×0.040+35×0.020+45×0.010)
=25.5.
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(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.(5分)
解：由题图知，学生学习的周均时长不少于30小时的频率为(0.020+0.010)×10=0.3.
则该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率估计值也为0.3.
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12.(15分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
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上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(5分)
解：事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为=0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(5分)
解：事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3，故P(B)的估计值为0.3.
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(3)求续保人本年度平均保费的估计值.(5分)
解：由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
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保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05课时跟踪检测(七十五)　随机事件、频率与概率
一、单选题
1.(2025·三明调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是 (　　)
A.3个都是白球 B.3个都是红球
C.至少1个红球 D.至多2个白球
2.(2025·雅礼中学模拟)若干个人站成一排,其中为互斥事件的是 (　　)
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
3.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
4.手机支付已经成为人们常用的付费方式,某大型超市为调查顾客付款方式的情况,随机抽取了100名顾客进行调查,统计结果整理如下:
顾客年龄(岁) 20岁以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0
其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1
从该超市顾客中随机抽取1人,估计该顾客年龄在[40,60)内且未使用手机支付的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
5.如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,设M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为 (　　)
A.M∪N B.M∩N
C.∩ D.∪
6.抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ai=“向上的点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,B=“向上的点数为偶数”,则下列说法正确的是 (　　)
A. B B.A2+B=Ω
C.A3与B互斥 D.A4与对立
二、多选题
7.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有 (　　)
A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片中恰有一张为红色
C.2张卡片中至少有一张为红色 D.2张卡片都为绿色
8.(2025·遂宁模拟)抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”.下列结论判断正确的是 (　　)
A.C1与C2互斥 B.D1∪D2=Ω,D1D2=
C.D3 D2 D.C2,C3为对立事件
三、填空题
9.笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=　　　　.
10.在对于一些敏感性问题调查时,被调查者往往不愿意给正确答复,因此需要特别的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置,在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球,每个被调查者随机从该装置中抽取一个球,若摸到黑球则需要如实回答问题一:你公历生日是奇数吗 若摸到白球则如实回答问题二:你是否在考试中作过弊.若100人中有52人回答了“是”,48人回答了“否”.则问题二“考试是否作过弊”回答“是”的百分比为(以100人的频率估计概率)　　　　　.
四、解答题
11.(10分)某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时),随机调查了部分学生,根据他们学习的周均时长,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求该校学生学习的周均时长的众数和平均数的估计值;(用每小组的组中间值代替本组数值)(5分)
(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.(5分)
12.(15分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(5分)
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(5分)
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.(5分)
课时跟踪检测(七十五)
1.选A　从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球,不可能发生,故选A.
2.选A　根据互斥事件不能同时发生,判断A是互斥事件;B、C、D中两事件能同时发生,故不是互斥事件.
3.选B　从5个小球中任取2个,其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个样本点.
4.选C　由题意可知该顾客年龄在[40,60)内且未使用手机支付的频率为=,用频率估计概率,估计该顾客年龄在[40,60)内且未使用手机支付的概率为.
5.选C　因为甲、乙两个元件串联,所以线路没有故障,即甲、乙都没有故障.故事件和同时发生,即事件∩发生.
6.选C　∵={2,3,4,5,6},B={2,4,6},∴B ,故A错误;A2+B={2}∪{2,4,6}={2,4,6}≠Ω,故B错误;A3与B不能同时发生,是互斥事件,故C正确;A4={4},={1,3,5},A4与互斥但不对立,故D错误.
7.选BD　A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.C中“2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥.显然B、D正确.
8.选ABC　由题意C1与C2不可能同时发生,它们互斥,A正确;D1中点数为1或2,D2中点数为3,4,5或6,因此D1∪D2是必然事件,但它们不可能同时发生,因此D1D2为不可能事件,B正确;D3发生时,D2一定发生,但D2发生时,D3可能不发生,因此D3 D2,C正确;C2与C3不可能同时发生,但也可能都不发生,互斥不对立,D错误.故选ABC.
9.解析:最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.
答案:{0,2,4,6,8}
10.解析:由题意,可知每名调查者从袋子中摸到1个白球或黑球的概率均为0.5,所以100人中回答第一个问题的人数为100×0.5=50,则另外50人回答了第二个问题,在摸到黑球的前提下,回答“是”的概率为,即摸到黑球且回答“是”的人数为50×=25,则摸到白球且回答“是”的人数为52-25=27,所以问题二“考试是否作过弊”回答“是”的百分比为=0.54=54%.
答案:54%
11.解:(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标,由题图可得众数为25.
平均数的估计值=10×(5×0.005+15×0.025+25×0.040+35×0.020+45×0.010)=25.5.
(2)由题图知,学生学习的周均时长不少于30小时的频率为(0.020+0.010)×10=0.3.
则该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率估计值也为0.3.
12.解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

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